14.3: Ejercicios

Ejercicio 14.1 Perturbación acotada

Recordar Ejemplo 14.3. En este problema queremos mejorar el límite inferior en$\gamma(A)$.

(a) Para mejorar el límite inferior, utilizamos la información de que si$\Delta$ es real, entonces los polos aparecen en par conjugado complejo. Definir

\ [A_ {w} =\ left (\ begin {array} {cc}
A & w I\\
-w I & A
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

Demostrar que

$$\gamma(A) \geq \min _{w \in \mathbb{R}} \sigma_{\min }\left[A_{w}\right] \nonumber$$

(b) Si piensa más en su prueba anterior, podrá mejorar aún más el límite inferior. De hecho, se deduce que

$$\gamma(A) \geq \min _{w \in \mathbb{R}} \sigma_{2 n-1}\left[A_{w}\right]\nonumber$$

donde$\sigma_{2 n-1}$ está el siguiente al último valor singular. Mostrar este resultado.

Ejercicio 14.2

Considere el sistema LTI no forzado que se indica a continuación:

\ [\ punto {x} =A x=\ izquierda (\ begin {array} {cccccc}
0 & 1 & 0 &\ ldots & 0\\ ldots &
0\\ 0 & 0 & 1 & 0 &\ ldots &\
\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
-a_ {N-1} & -a_ {N-2} &\ lpuntos &\ ldots &\ ldots & -a_ {0}
\ end {array}\ derecha) x\ nonumber\]

a) ¿En qué condiciones es asintóticamente estable este sistema?

Supongamos que el sistema anterior es asintóticamente estable. Ahora, considere el sistema perturbado

$$\dot{x}=A x+\Delta x,\nonumber$$

donde$\Delta$ es dado por

\ [\ Delta=\ left (\ begin {array} {cccccc}
0 & 0 & 0 & 0 &\ ldots & 0\\ 0 &
0 & 0 &\ ldots &\ ldots & 0\
\ ldots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
-\ delta_ {N-1} & -\ delta_ {N-2} &\ ldots &\ ldots &\ ldots & -\ delta_ {0}
\ end {array}\ derecha),\ quad\ delta_ {i}\ in\ mathbb {R}\ nonumber\]

b) Argumentar que la perturbación con la norma Frobenius más pequeña que desestabiliza el sistema (hace que el sistema no sea asintóticamente estable) dará como resultado$A + \Delta$ tener un valor propio en el eje imaginario.

(c) Derivar una expresión exacta para la norma Frobenius más pequeña de$\Delta$ necesaria para desestabilizar el sistema anterior (es decir, no$\dot{x} = (A+\Delta)x$ es asintóticamente estable). Dar una expresión para la perturbación$\Delta$ que alcanza el mínimo.

(d) Evalúe su respuesta en la parte 3 para el caso$N = 2$, y$a_{0} = a_{1}$.

Ejercicio 14.3 Controladores periódicos

a) Demostrar que el sistema que varía periódicamente en el Ejercicio 7.4 es asintóticamente estable si y sólo si todos los valores propios de la matriz$\left[A_{N-1} \ldots A_{0}\right]$ tienen una magnitud menor a 1.

b)

i) Dado el sistema

\ [x (k+1) =\ left (\ begin {array} {cc}
0 & 1\\
1 & -1
\ end {array}\ right) x (k) +\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1
\ end {array}\ right) u (k),\ quad y (k) =\ left (\ begin {array} {cc}
1 & 1) x (k)
\ end { array}\ derecho. \ nonumber\]

anotar una representación lineal de espacio de estado del sistema de bucle cerrado obtenida mediante la implementación del control de retroalimentación de salida lineal$u(k) = g(k)y(k)$.

(ii) Resulta que no existe una ganancia constante$g(k) = g$ para la cual el sistema anterior sea asintóticamente estable. (Opcional: Mostrar esto.) Sin embargo, considere el sistema periódicamente variable obtenido al hacer que la ganancia tome el valor$-1$ para par$k$ y el valor 3 para impar$k$. Mostrar que cualquier condición inicial distinta de cero en el sistema resultante será llevada al origen en como máximo 4 pasos. (La moraleja de esto es que la retroalimentación de salida que varía periódicamente puede hacer más que una retroalimentación de salida constante).

Ejercicio 14.4 Sistemas de retardo

El material que cubrimos en clase se ha centrado en sistemas de dimensiones finitas, es decir, sistemas que tienen descripciones estado-espacio con un número finito de variables de estado. Una clase de sistemas que no pertenece a la clase de sistemas de dimensiones finitas son los sistemas de tiempo continuo con retardos.

Considere el siguiente sistema forzado de tiempo continuo:

$$y(t)+a_{1} y(t-1)+a_{2} y(t-2)+\ldots+a_{N} y(t-N)=u(t) \quad t \geq N, t \in \mathbb{R}\nonumber$$

Esto se conoce como un sistema de retardo con retardos proporcionales (múltiplo de la misma unidad de retardo). Asumimos eso$u(t) = 0$ para todos$t < N$.

(a) Demostrar que podemos calcular la solución$y(t), t \geq N$, si$y(t)$ se conoce completamente en el intervalo$[0,N)$. Explique por qué este sistema no puede tener una descripción del espacio de estado finito-dimensional.

(b) Para calcular la solución$y(t)$ dados los valores iniciales (denotar aquellos por la función$f (t), t \in [0, N)$, que llamaremos la función inicial) y la entrada$u$, es útil pensar en cada número real no negativo como$t=\tau+k$ con$\tau \in[0,1)$ y$k$ siendo un entero no negativo. Demostrar que por cada fijo$\tau$, la solución evaluada en$\tau+k(y(\tau+k))$ puede calcularse usando métodos de tiempo discreto y puede expresarse en términos de la matriz

\ [A=\ left (\ begin {array} {cccccc}
0 & 1 & 0 & 0 &\ ldots & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 &\ ldots &\ ldots & 0
\\ ldots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots &\ vdots\\
-a_ {N} & -a_ {N-1} &\ ldots &\ ldots &\ ldots & -a_ {1}
\ end {array}\ derecha)\ nonumber\]

y el vector inicial

$$(f(\tau) \quad f(\tau+1) \quad \ldots \quad f(\tau+N-1))^{T}\nonumber$$

Anote la solución general para$y(t)$.

(c) Calcular la solución$N = 2, f (t) = 1$ para t\ in [0, 2)\), y$u(t) = e^{-(t-2)}$ para$t \geq 2$

d) Este sistema es asintóticamente estable si por cada$\epsilon > 0$, existe$\delta > 0$ tal que para todas las funciones iniciales con$|f(t)|<\delta, t \in[0, N)$, y$u = 0$, se deduce que$|y(t)|<\epsilon$, y$\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)=0$. Dar una condición necesaria y suficiente para la estabilidad asintótica de este sistema. Explica tu respuesta.

e) Dar una condición necesaria y suficiente para que el sistema anterior sea BIBO estable ($\infty$-estable). Verifica tu respuesta.

Ejercicio 14.5 Estabilización Local

(a) Un método para estabilizar un sistema no lineal es linealizarlo alrededor de un punto de equilibrio y luego estabilizar el sistema lineal resultante. De manera más formal, considere un sistema no lineal invariante en el tiempo

$$\dot{x}=f(x, u)\nonumber$$

y su linealización alrededor de un punto de equilibrio$(\tilde{x}, \tilde{u})$

$$\dot{\delta} x=A \delta x+B \delta u\nonumber$$

Como es habitual,$\delta x=x-\tilde{x}$ y$\delta u=u-\tilde{u}$. Supongamos que la retroalimentación estabiliza$\delta u=K \delta u$ asintóticamente el sistema linealizado

1. Qué se puede decir sobre los valores propios de la matriz A + BK.
2. Mostrar que$\dot{x} = f (x, Kx)$ es (localmente) asintóticamente estable alrededor$\tilde{x}$

b) Considerar el sistema dinámico$S_{1}$ regido por la siguiente ecuación diferencial:

$$\ddot{y}+\dot{y}^{4}+\dot{y}^{2} u+y^{3}=0\nonumber$$

donde$u$ esta la entrada.

1. Escribe una representación de espacio de estado para el sistema$S_{1}$ y encuentra su punto de equilibrio único$x^{*}$.
2. Ahora intenta aplicar el método anterior al sistema$S_{1}$ en el punto de equilibrio$x^{*}$ y$u^{*}=0$. ¿El sistema linealizado proporciona información sobre la estabilidad de$S_{1}$. Explique por qué falla el método.

(c) Para encontrar un controlador estabilizador para$S_{1}$, necesitamos seguir enfoques que no se basen en la linealización local. Un enfoque es elegir una función definida positiva de los estados y luego construir el control de tal manera que esta función se convierta en una función de Lyapunov. Este puede ser un ejercicio muy frustrante. Un truco que se usa comúnmente es encontrar una entrada en función de los estados para que el sistema resultante pertenezca a una clase de sistemas que se sabe que son estables (por ejemplo, un circuito no lineal o un sistema mecánico que se sabe que es estable). Usa esta idea para encontrar una entrada$u$ como función de los estados tal que$S_{1}$ sea estable.

Ejercicio 14.6

Para el sistema

\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} (t) =\ sin [x (t) +y (t)]\
\ punto {y} (t) =e^ {x (t)} -1
\ end {array}\ nonumber\]

determinar todos los puntos de equilibrio, y utilizando el método indirecto de Lyapunov (es decir, linealización), clasificar cada punto de equilibrio como asintóticamente estable o inestable.

Ejercicio 14.7

Para cada una de las siguientes partes, todas ellas opcionales, utilice el método indirecto de Lyapunov para determinar, si es posible, si el origen es un punto de equilibrio asintóticamente estable o inestable.

(a)\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} _ {1} =-x_ {1} +x_ {2} ^ {2}\
\ punto {x} _ {2} =-x_ {2}\ izquierda (x_ {1} +1\ derecha)
\ end {array}\ nonumber\]

(b)\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} _ {1} =x_ {1} ^ {3} +x_ {2}\
\ punto {x} _ {2} =x_ {1} -x_ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

(c)\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} _ {1} =-x_ {1} +x_ {2}\
\ punto {x} _ {2} =-x_ {2} +x_ {1} ^ {2}
\ end {array}\ nonumber\]

(d)\ [\ begin {array} {l}
x_ {1} (k+1) =2 x_ {1} (k) +x_ {2} (k) ^ {2}\\
x_ {2} (k+1) =x_ {1} (k) +x_ {2} (k)
\ end {array}\ nonumber\]

(e)\ [\ begin {array} {l}
x_ {1} (k+1) =1-e^ {x_ {1} (k) x_ {2} (k)}\\
x_ {2} (k+1) =x_ {1} (k) +2 x_ {2} (k)
\ end {array}\ nonumber\]

Ejercicio 14.8

Para cada uno de los sistemas no lineales siguientes, construya una linealización para el punto de equilibrio en el origen, evalúe la estabilidad de la linealización y decida (utilizando los resultados del método indirecto de Lyapunov) si se puede inferir algo sobre la estabilidad del equilibrio del no lineal sistema en el origen. Entonces usa el método directo de Lyapunov para demostrar que el origen es realmente estable en cada caso; si puedes hacer más argumentos para deducir realmente la estabilidad asintótica o incluso la estabilidad asintótica global, hazlo. [Consejos: En la parte (a), encuentra una función Lyapunov (energía) adecuada interpretando el modelo como la ecuación dinámica para una masa unida a un resorte no lineal (cúbico). En las partes (b) y (c), pruebe una sencilla función cuadrática de Lyapunov de la forma$px^{2} + qy^{2}$, luego elija$p$ y$q$ apropiadamente. En la parte (d), utilice la función Lyapunov indicada.]

(a)\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} =y\
\ punto {y} =-x^ {3}
\ end {array}\ nonumber\]

(b)\ [\ begin {array} {l}
\ punto {x} =-x^ {3} -y^ {2}\
\ punto {y} =x y-y^ {3}
\ end {array}\ nonumber\]

(c)\ [\ begin {alineado}
x_ {1} (k+1) &=\ frac {x_ {2} (k)} {1+x_ {2} ^ {2} (k)}\\
x_ {2} (k+1) &=\ frac {x_ {1} (k)} {1+x_ {2} ^ {2} (k)}
\ fin alineado}\ nonumber\]

(d)\ [\ comenzar {alineado}
\ punto {x} &=y (1-x)\
\ punto {y} &=-x (1-y)\\
V (x, y) &=-x-\ ln (1-x) -y-\ ln (1-y)
\ end {alineado}\ nonumber\]