14.1: Cálculo de una probabilidad de falla

Objetivo

Digamos que hay un conjunto de variables “ambientales” o “carga”\(\left(x_{1}, x_{2}, \ldots\right)\) que afectan el rendimiento de un sistema de ingeniería. Por simplicidad, limitémonos al tamaño del parámetro de dos, para que solo tengamos\(\left(x_{1}, x_{2}\right)\). También asumimos que hay dos métricas de “rendimiento”,\(g_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)\) y\(g_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)\). Sin pérdida de generalidad, supongamos menor\(g_{1}\) y\(g_{2}\) significa mejor desempeño (siempre podemos considerar negativo de la variable de rendimiento si valores mayores implican un mejor desempeño). De hecho, asumimos que deseamos confirmar que las métricas de rendimiento están por debajo de ciertos umbrales, es decir, de\[g_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right) \leq \tau_{1} \quad \text { and } \quad g_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right) \leq \tau_{2} .\] manera equivalente, deseamos evitar fallas, lo que se define como\[g_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)>\tau_{1} \quad \text { or } \quad g_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)>\tau_{2} .\] Tenga en cuenta que en este capítulo el fallo se interpreta generosamente como la condición (14.1) aunque esta condición no sea equivalente en cualquier situación dada como fracaso real.

Supongamos que\(\left(x_{1}, x_{2}\right)\) residen en algún rectángulo\(R\). Ahora elegimos interpretar\(\left(x_{1}, x_{2}\right)\) como realizaciones de un vector aleatorio\(X=\left(X_{1}, X_{2}\right)\) con función de densidad de probabilidad prescrita\(f_{X}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\)\(f_{X_{1}, X_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\right)\). Deseamos entonces cuantificar la probabilidad de falla\(\theta_{F}\), definida por\[\theta_{F}=P\left(g_{1}\left(X_{1}, X_{2}\right)>\tau_{1} \text { or } g_{2}\left(X_{1}, X_{2}\right)>\tau_{2}\right) .\] Observamos que\(g_{1}\) y\(g_{2}\) son funciones deterministas; sin embargo, debido a que el argumento a las funciones son variables aleatorias, la salida\(g_{1}\left(X_{1}, X_{2}\right)\) y \(g_{2}\left(X_{1}, X_{2}\right)\)son variables aleatorias. Así, el fracaso se describe probabilísticamente. Si\(\left(x_{1}, x_{2}\right)\) se conocen los límites de las variables ambientales a\(a\) priori, se podría diseñar un sistema para manejar los peores casos posibles; sin embargo, el diseño del sistema para manejar eventos muy raros puede estar sobrediseñado. Por lo tanto, un enfoque probabilístico puede ser apropiado en muchos escenarios de ingeniería.

En cualquier simulación probabilística, debemos asegurarnos de que la densidad de probabilidad de la variable aleatoria,\(f_{X}\), sea significativa y que la interpretación de la declaración probabilística sea relevante. Por ejemplo, al construir la distribución, se puede obtener una buena estimación a partir de datos estadísticos (es decir, muestreando una población). La probabilidad de falla se\(\theta_{F}\) puede interpretar como

(\(i\)) probabilidad de fallo para el siguiente conjunto “aleatorio” de condiciones ambientales u operativas, o

(\(ii\)) frecuencia de fracaso sobre una población (basada en la perspectiva frecuencista).

Integral

Ahora mostramos que el cálculo de probabilidad de falla es similar al cálculo de un área. \(R\)Definamos que es la región de la que\(X=\left(X_{1}, X_{2}\right)\) se muestrea (no necesariamente de manera uniforme). En otras palabras,\(R\) abarca todos los valores posibles que\(X\) pueda tomar la variable ambiental. \(D\)Definamos también que es la región cuyo elemento\(\left(x_{1}, x_{2}\right) \in D\) conduciría al fracaso, es decir\[D \equiv\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right): g_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)>\tau_{1} \quad \text { or } \quad g_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)>\tau_{2}\right\} .\] Entonces, la probabilidad de falla puede expresarse como una integral\[\theta_{F}=\iint_{D} f_{X}\left(x_{1}, x_{2}\right) d x_{1} d x_{2} .\] Esto requiere una integración sobre la región\(D\), lo cual puede ser complicado dependiendo de los criterios de falla.

Sin embargo, podemos simplificar la integral utilizando la técnica utilizada anteriormente para calcular el área. A saber, introducimos un indicador de falla o función característica,\[\mathbf{1}_{F}\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left\{\begin{array}{llll} 1, & g_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)>\tau_{1} & \text { or } & g_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)>\tau_{2} \\ 0, & \text { otherwise } \end{array} .\right.\] Usando el indicador de falla, podemos escribir la integral sobre\(D\) como una integral sobre el dominio más simple\(R\), es decir,\[\theta_{F}=\iint_{R} \mathbf{1}\left(x_{1}, x_{2}\right) f_{X}\left(x_{1}, x_{2}\right) d x_{1} d x_{2} .\] Tenga en cuenta que los métodos de Monte Carlo se pueden usar para evaluar cualquier integral en cualquier número de dimensiones. Los dos enfoques principales son “hit or miss” y “sample mean”, siendo este último más eficiente. Nuestro caso aquí es un ejemplo natural del enfoque de media muestral, aunque también tiene el sabor de “hit or miss”. En la práctica, a menudo se aplican técnicas de reducción de varianza para mejorar la convergencia.

Enfoque de Monte Carlo

Podemos desarrollar fácilmente un enfoque de Monte Carlo si podemos reducir nuestro problema a una variable aleatoria de Bernoulli con un parámetro\(\theta_{F}\) tal que\[B=\left\{\begin{array}{ll} 1, & \text { with probability } \theta_{F} \\ 0, & \text { with probability } 1-\theta_{F} \end{array} .\right.\] Entonces, el cálculo de la probabilidad de falla\(\theta_{F}\) se convierte en la estimación del parámetro\(\theta_{F}\) a través de muestreo (como en el ejemplo de flip de monedas).

La determinación de\(B\) es fácil asumiendo que podemos evaluar\(g_{1}\left(x_{1}, x_{2}\right)\) y\(g_{2}\left(x_{1}, x_{2}\right)\). Pero, por definición\[\begin{aligned} \theta_{F} &=P\left(g_{1}(X)>\tau_{1} \quad \text { or } \quad g_{2}(X)>\tau_{2}\right) \\ &=\iint_{R} \mathbf{1}_{F}\left(x_{1}, x_{2}\right) f_{X}\left(x_{1}, x_{2}\right) d x_{1} d x_{2} . \end{aligned}\]

De ahí que se haya identificado una variable aleatoria de Bernoulli con el parámetro requerido\(\theta_{F}\).

El procedimiento de Montecarlo es sencillo. Primero, dibujamos variables\(n_{\max }\) aleatorias\[\left(X_{1}, X_{2}\right)_{1},\left(X_{1}, X_{2}\right)_{2}, \ldots,\left(X_{1}, X_{2}\right)_{n}, \ldots,\left(X_{1}, X_{2}\right)_{n_{\max }},\] y las mapeamos a variables aleatorias de Bernoulli\[\left(X_{1}, X_{2}\right)_{n} \rightarrow B_{n} \quad n=1, \ldots, n_{\max },\] según\((\underline{14.2})\). Mediante este mapeo, asignamos medias de muestra\(\widehat{\Theta}_{n}\), e intervalos de confianza\(\left[\mathrm{CI}_{F}\right]_{n}\), de acuerdo con\[\begin{aligned} &\left(\widehat{\Theta}_{F}\right)_{n}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} B_{i}, \\ &{\left[\mathrm{CI}_{F}\right]_{n}=\left[\left(\widehat{\Theta}_{F}\right)_{n}-z_{\gamma} \sqrt{\frac{\left(\widehat{\Theta}_{F}\right)_{n}\left(1-\left(\widehat{\Theta}_{F}\right)_{n}\right)}{n}},\left(\widehat{\Theta}_{F}\right)_{n}+z_{\gamma} \sqrt{\frac{\left(\widehat{\Theta}_{F}\right)_{n}\left(1-\left(\widehat{\Theta}_{F}\right)_{n}\right)}{n}}\right] .} \end{aligned}\]

Tenga en cuenta que en casos de fracaso, normalmente nos\(\theta_{F}\) gustaría ser muy pequeños. Recordamos de la Sección 10.3.3 que es precisamente este caso para el que el error relativo RelERR es bastante grande (y además para el cual el intervalo de confianza de densidad normal sólo es válido para bastante grande\(n\)). Por lo tanto, en la práctica, debemos considerar tamaños de muestra muy grandes para obtener resultados relativamente precisos con una confianza razonable. Los enfoques más sofisticados abordan parcialmente estos problemas, pero incluso estos enfoques avanzados a menudo se basan en ingredientes básicos de Montecarlo.

Por último, observamos que aunque la descripción anterior es para el enfoque acumulativo también podemos aplicar directamente ecuaciones\(14.3\) y\(14.4\) para cualquier fijo\(n\). En este caso obtenemos\(\operatorname{Pr}\left(\theta_{F} \in\left[\mathrm{CI}_{f}\right]_{n}\right)=\gamma\).