16.4: Otros conceptos en álgebra lineal

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Espacio de columna y espacio nulo

Introducimos más conceptos en álgebra lineal. Primero está el espacio de la columna. El espacio de columna de matriz\(A\) es un espacio de vectores que se puede expresar como\(A x\). De la interpretación de columna del producto matriz-vector, recordamos que\(A x\) es una combinación lineal de las columnas de\(A\) con los pesos proporcionados por\(x\). Denotaremos el espacio de columna de\(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) by\(\operatorname{col}(A)\), y el espacio se define como\[\operatorname{col}(A)=\left\{v \in \mathbb{R}^{m}: v=A x \text { for some } x \in \mathbb{R}^{n}\right\} .\] El espacio de columna de también\(A\) se llama la imagen de\(A, \operatorname{img}(A)\), o el rango de\(A\),\(\operatorname{range}(A)\).

El segundo concepto es el espacio nulo. El espacio nulo de\(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) se denota por\(\operatorname{null}(A)\) y se define como\[\operatorname{null}(A)=\left\{x \in \mathbb{R}^{n}: A x=0\right\},\] es decir, el espacio nulo de\(A\) es un espacio de vectores que resulta en\(A x=0\). Recordando la interpretación de columna del producto matriz-vector y la definición de independencia lineal, observamos que las columnas de\(A\) deben ser linealmente dependientes\(A\) para que tengan un espacio nulo no trivial. El espacio nulo definido anteriormente se conoce más formalmente como el espacio nulo derecho y también se llama el núcleo de\(A\),\(\operatorname{ker}(A)\).

Ejemplo 16.4.1 espacio de columna y espacio nulo

Consideremos una\(3 \times 2\) matriz\[A=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \text {. }\] El espacio de columna de\(A\) es el conjunto de vectores representables como\(A x\), que son\[A x=\left(\begin{array}{ll} 0 & 2 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \cdot x_{1}+\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \cdot x_{2}=\left(\begin{array}{c} 2 x_{2} \\ x_{1} \\ 0 \end{array}\right) .\] Así, el espacio de columna de\(A\) es un conjunto de vectores con valores arbitrarios en las dos primeras entradas y cero en la tercera entrada. Es decir,\(\operatorname{col}(A)\) es el avión 1-2 adentro\(\mathbb{R}^{3}\).

Debido a que las columnas de\(A\) son linealmente independientes, la única manera de realizar\(A x=0\) es si\(x\) es el vector cero. Así, el espacio nulo de\(A\) consiste únicamente en el vector cero.

Consideremos ahora una\(2 \times 3\) matriz\[B=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right) .\] El espacio de columna de\(B\) consiste en vectores de la forma\[B x=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} x_{1}+2 x_{2} \\ 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} \end{array}\right) .\] Al elegir juiciosamente\(x_{1}, x_{2}\), y\(x_{3}\), podemos expresar cualquier vector en\(\mathbb{R}^{2}\). Así, el espacio de columna de\(B\) es entero\(\mathbb{R}^{2}\), es decir,\(\operatorname{col}(B)=\mathbb{R}^{2}\).

Debido a que las columnas de no\(B\) son linealmente independientes, esperamos\(B\) tener un espacio nulo no trivial. Invocando la interpretación de fila del producto matriz-vector, un vector\(x\) en el espacio nulo debe satisfacer\[x_{1}+2 x_{2}=0 \quad \text { and } \quad 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3}=0 .\] La primera ecuación requiere\(x_{1}=-2 x_{2}\). La combinación del primer requisito y la segunda ecuación rinde\(x_{3}=\frac{5}{3} x_{2}\). Así, el espacio nulo de\(B\) es\[\operatorname{null}(B)=\left\{\alpha \cdot\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 5 / 3 \end{array}\right): \alpha \in \mathbb{R}\right\}\] Así, el espacio nulo es un espacio unidimensional (es decir, una línea) en\(\mathbb{R}^{3}\).

Proyectores

Otro concepto importante -en particular para los mínimos cuadrados cubiertos en el Capítulo 17- es el concepto de proyector. Un proyector es una matriz cuadrada\(P\) que es idempotente, es decir,\[P^{2}=P P=P .\] Let\(v\) ser un vector arbitrario en\(\mathbb{R}^{m}\). El proyector\(P\) proyecta\(v\), lo cual no es necesario en\(\operatorname{col}(P)\), sobre\(\operatorname{col}(P)\), es decir\[w=P v \in \operatorname{col}(P), \quad \forall v \in \mathbb{R}^{m} .\] Además, el proyector\(P\) no modifica un vector que ya se encuentra en\(\operatorname{col}(P)\). Esto se verifica fácilmente porque\[P w=P P v=P v=w, \quad \forall w \in \operatorname{col}(P) .\] Intuitivamente, un proyector proyecta un vector\(v \in \mathbb{R}^{m}\) en un espacio más pequeño\(\operatorname{col}(P)\). Si el vector ya está en\(\operatorname{col}(P)\), entonces se dejaría sin cambios.

El proyector complementario de\(P\) es un proyector\(I-P\). Es fácil verificar que\(I-P\) es un proyector en sí\[(I-P)^{2}=(I-P)(I-P)=I-2 P+P P=I-P .\] porque se puede demostrar que el proyector complementario se\(I-P\) proyecta sobre el espacio nulo de\(P\), nulo\((P)\).

Cuando el espacio a lo largo del cual se proyecta el proyector es ortogonal al espacio sobre el que se proyecta el proyector, se dice que el proyector es un proyector ortogonal. Álgebraicamente, los proyectores ortogonales son simétricos.

Cuando se dispone de una base ortonormal para un espacio, es particularmente sencillo construir un proyector ortogonal sobre el espacio. Say\(\left\{q_{1}, \ldots, q_{n}\right\}\) es una base ortonormal para un subespacio\(n\) -dimensional de\(\mathbb{R}^{m}, n<m\). Ante cualquiera\(v \in \mathbb{R}^{m}\), recordamos que\[u_{i}=q_{i}^{\mathrm{T}} v\] es el componente de\(v\) en la dirección de\(q_{i}\) representado en la base\(\left\{q_{i}\right\}\). Luego introducimos el vector\[w_{i}=q_{i}\left(q_{i}^{\mathrm{T}} v\right)\] en el que la suma de dichos vectores produciría la proyección\(v \in \mathbb{R}^{m}\) sobre\(V\) abarcada\(\left\{q_{i}\right\}\). De manera más compacta, si formamos una\(m \times n\) matriz\[Q=\left(\begin{array}{lll} q_{1} & \cdots & q_{n} \end{array}\right)\] entonces la proyección de\(v\) sobre el espacio de columna de\(Q\) es\[w=Q\left(Q^{\mathrm{T}} v\right)=\left(Q Q^{\mathrm{T}}\right) v .\] Reconocemos que el proyector ortogonal sobre el lapso de\(\left\{q_{i}\right\}\) o\(\operatorname{col}(Q)\) es \[P=Q Q^{\mathrm{T}} .\]Por supuesto,\(P\) es simétrico\(\left(Q Q^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}}=\left(Q^{\mathrm{T}}\right)^{\mathrm{T}} Q^{\mathrm{T}}=Q Q^{\mathrm{T}}\), e idempotente,\(\left(Q Q^{\mathrm{T}}\right)\left(Q Q^{\mathrm{T}}\right)=\)\(Q\left(Q^{\mathrm{T}} Q\right) Q^{\mathrm{T}}=Q Q^{\mathrm{T}} .\)

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