26.1: Un sistema 2 × 2 (n = 2)

Revisemos el sistema masa-resorte de dos masas\((n=2)\) considerado en el capítulo anterior; el sistema se reproduce en la Figura\(26.1\) por conveniencia. Para simplificar, establecemos ambas constantes de resorte a la unidad, i.e\(k_{1}=k_{2}=1\). Luego, el desplazamiento de equilibrio de masa\(m_{1}\)\(m_{2}, u_{1}\) y y\(u_{2}\), es descrito por un sistema lineal\[\underset{(K)}{A} u=f \quad \rightarrow\left(\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} u_{1} \\ u_{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} f_{1} \\ f_{2} \end{array}\right),\] donde\(f_{1}\) y\(f_{2}\) son las fuerzas aplicadas a\(m_{1}\) y \(m_{2}\). Utilizaremos este\(2 \times 2\) sistema para describir un procedimiento sistemático de dos pasos para resolver un sistema lineal: una estrategia de solución lineal basada en la eliminación gaussiana y la sustitución inversa. Si bien la descripción de la estrategia de solución puede parecer demasiado detallada, nos enfocamos en presentar un enfoque sistemático tal que el enfoque generalice a\(n \times n\) los sistemas y pueda ser llevado a cabo por una computadora.

Figura 26.1: Sistema de\(n=2\) masa-resorte.

Reconocemos que podemos eliminar\(u_{1}\) de la segunda ecuación sumando\(1 / 2\) la primera ecuación a la segunda ecuación. El factor de escala requerido para eliminar el primer coeficiente de la segunda ecuación se deduce simplemente sumergiendo el primer coeficiente de la segunda ecuación\((-1)\) por el “pivote” -el coeficiente inicial de la primera ecuación (2) - y negando el signo; este procedimiento sistemático rinde \((-(-1) / 2)=1 / 2\)en este caso. La adición\(1 / 2\) de la primera ecuación a la segunda ecuación produce una nueva segunda ecuación\[\begin{aligned} u_{1}-\frac{1}{2} u_{2} &=\frac{1}{2} f_{1} \\ -u_{1}+u_{2} &=f_{2} \\ 0 u_{1}+\frac{1}{2} u_{2} &=\frac{1}{2} f_{1}+f_{2} \end{aligned} .\] Tenga en cuenta que la solución al sistema lineal no se ve afectada por este procedimiento de adición ya que simplemente estamos agregando “0" -expresado en una forma bastante compleja- a la segunda ecuación. (Más precisamente, estamos agregando el mismo valor a ambos lados de la ecuación).

Recogiendo la nueva segunda ecuación con la primera ecuación original, podemos reescribir nuestro sistema de ecuaciones lineales como\[\begin{aligned} 2 u_{1}-u_{2} &=f_{1} \\ 0 u_{1}+\frac{1}{2} u_{2} &=f_{2}+\frac{1}{2} f_{1} \end{aligned}\] o, en la forma de matriz,\[\underbrace{\left(\begin{array}{rr} 2 & -1 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{array}\right)}_{U} \underbrace{\left(\begin{array}{l} u_{1} \\ u_{2} \end{array}\right)}_{u}=\underbrace{\left(\begin{array}{c} f_{1} \\ f_{2}+\frac{1}{2} f_{1} \end{array}\right)}_{\hat{f}} .\] Aquí, hemos identificado la nueva matriz, que es triangular superior, por\(U\) y la derecha modificada lado a \(\hat{f}\). En general, una matriz triangular superior tiene todos los ceros por debajo de la diagonal principal, como se muestra en la Figura 26.2; las entradas cero de la matriz están sombreadas en azul y (posiblemente) las entradas distintas de cero están sombreadas en rojo. Para el\(2 \times 2\) caso, triangular superior simplemente significa que la\((2,1)\) entrada es cero. Usando la matriz\(U\) y el vector recién introducidos\(\hat{f}\), podemos escribir concisamente nuestro sistema\(2 \times 2\) lineal como\[U u=\hat{f}\] La diferencia clave entre la ecuación original del sistema (26.1) y la nueva ecuación del sistema (26.2) es que el nuevo sistema es triangular superior; esto lleva a una gran simplificación en el procedimiento de solución como ahora demostramos.

Primero, tenga en cuenta que podemos encontrar\(u_{2}\) a partir de la segunda ecuación de manera directa, ya que la ecuación solo contiene una desconocida. Una simple manipulación rinde\[\begin{array}{ll} \text { eqn } 2 \\ \text { of } U \end{array} \quad \frac{1}{2} u_{2}=f_{2}+\frac{1}{2} f_{1} \Rightarrow u_{2}=f_{1}+2 f_{2}\] Habiendo obtenido el valor de\(u_{2}\), ahora podemos tratar la variable como un “conocido” (en lugar de “desconocido”) a partir de aquí. En particular, la primera ecuación contiene ahora sólo un “desconocido”,\(u_{1}\); nuevamente,

Figura 26.2: Ilustración de una matriz triangular superior.

es trivial resolver para lo único desconocido de una sola ecuación, i.e.

\[\begin{aligned} & \begin{array}{ll}\text { eqn } 1 \\\text { of } U\end{array} \quad 2 u_{1}-u_{2}=f_{1} \\ & \Rightarrow 2 u_{1} \quad=f_{1}+\underset{\text { (already know) }}{u_{2}} \\ & \Rightarrow \quad 2 u_{1} \quad=f_{1}+f_{1}+2 f_{2}=2\left(f_{1}+f_{2}\right) \\ & \Rightarrow u_{1} \quad=\left(f_{1}+f_{2}\right) . \end{aligned}\]

Tenga en cuenta que, a pesar de que la ecuación del sistema\(2 \times 2\) lineal (26.2) sigue siendo un sistema completamente acoplado, el procedimiento de solución para el sistema triangular superior se simplifica enormemente porque podemos resolver secuencialmente (dos) ecuaciones de una sola variable-única desconocida.

En lo anterior, hemos resuelto un\(2 \times 2\) sistema sencillo utilizando un enfoque sistemático de dos pasos. En el primer paso, reducimos el sistema lineal original a un sistema triangular superior; este paso se llama eliminación gaussiana (GE). En el segundo paso, resolvimos secuencialmente el sistema triangular superior partiendo de la ecuación descrita por la última fila; a este paso se le llama sustitución inversa (BS). Esquemáticamente, nuestra estrategia de solución de sistema lineal se resume mediante\[\left\{\begin{array}{lll} \text { GE: } & A u=f \Rightarrow U u=\hat{f} & \text { STEP } 1 \\ \text { BS: } & U u=\hat{f} \Rightarrow u & \text { STEP } 2 . \end{array}\right.\] Este enfoque sistemático para resolver un sistema lineal de hecho generalizar a\(n \times n\) sistemas generales, como veremos en breve. Antes de presentar el procedimiento general, brindemos otro ejemplo concreto utilizando un\(3 \times 3\) sistema.