26.2: Un sistema de 3 × 3 (n = 3)

La figura\(26.3\) muestra un sistema de resorte-masa de tres masas\((n=3)\). De nuevo asumiendo muelles de unidad-rigidez

Figura 26.3: Un sistema de\(n=3\) masa-resorte.

por simplicidad, obtenemos un sistema lineal que describe el desplazamiento de equilibrio:\[\underset{(K)}{A} u=f \rightarrow\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} f_{1} \\ f_{2} \\ f_{3} \end{array}\right) .\] Como se describe en el capítulo anterior, el sistema lineal admite una solución única para un determinado\(f\).

Ahora llevemos a cabo la eliminación gaussiana para transformar el sistema en un sistema triangular superior. Como antes, en el primer paso, identificamos la primera entrada de la primera fila (2 en este caso) como el “pivote”; nos referiremos a esta ecuación que contiene el pivote para el paso de eliminación actual como la “ecuación de pivote”. Luego agregamos la “ecuación\((-(-1 / 2))\) de pivote” a la segunda ecuación, i.e.

\(\begin{array}{rrrrr}2 & -1 & 0 & f_{1} & \frac{1}{2} \text { eqn 1 } \\ -1 & 2 & -1 & f_{2} & +1 \text { eqn 2 } \\ 0 & -1 & 1 & f_{3} & \end{array}\)

donde el sistema antes de la reducción se muestra a la izquierda, y la operación a aplicar se muestra a la derecha. La operación elimina el primer coeficiente (es decir, la entrada de la primera columna, o simplemente “columna 1 “) de eqn 2, y reduce eqn 2 a\[0 u_{1}+\frac{3}{2} u_{2}-u_{3}=f_{2}+\frac{1}{2} f_{1} .\] Dado que la columna 1 de eqn 3 ya es cero, no necesitamos agregar la ecuación de pivote a eqn 3. (Sistematicamente, podemos interpretar esto como la suma\((-(0 / 2))\) de la ecuación de pivote a la ecuación 3.) En este punto, hemos completado la eliminación de la columna 1 de eqn 2 a través de eqn\(3(=n)\) agregando a cada uno ecuaciones de pivote apropiadamente escaladas. Nos referiremos a este sistema parcialmente reducido, como "\(U\)a-ser”; en particular, denotaremos el sistema que se ha reducido hasta (e incluyendo) el\(k\) -ésimo pivote por\(\tilde{U}(k)\). Debido a que hasta ahora hemos procesado el primer pivote, tenemos\(\tilde{U}(k=1)\), es decir,\[\tilde{U}(k=1)=\left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right)\] en el segundo paso de eliminación, identificamos la segunda ecuación modificada (eqn\(2^{\prime}\)) como la “ecuación de pivote” y procedemos con la eliminación de la columna 2 de eqn\(3^{\prime}\) a través de eqn\(n^{\prime}\). (En este caso, modificamos solo eqn\(3^{\prime}\) ya que sólo hay tres ecuaciones.) Aquí el primo se refiere a las ecuaciones en\(\tilde{U}(k=1)\). Usando la columna 2 de la ecuación de pivote como pivote, agregamos\((-(-1 /(3 / 2)))\) de la ecuación de pivote a eqn\(3^{\prime}\), i.e.

\(\begin{array}{ccccc}2 & -1 & 0 & f_{1} & \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & f_{2}+\frac{1}{2} f_{1} & \frac{2}{3} \text { eqn } 2^{\prime} \\ 0 & -1 & 1 & f_{3} & 1 \text { eqn } 3^{\prime}\end{array}\)

donde, nuevamente, el sistema antes de la reducción se muestra a la izquierda, y la operación a aplicar se muestra a la derecha. La operación produce un nuevo sistema,\[\begin{array}{rrrc} 2 & -1 & 0 & f_{1} \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 & f_{2}+\frac{1}{2} f_{1}, \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & f_{3}+\frac{2}{3} f_{2}+\frac{1}{3} f_{1} \end{array}\] o, equivalentemente en forma de matriz\[\begin{array}{rrrr} \left(\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & -1 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{array}\right) & \left(\begin{array}{l} u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{array}\right) & = & \left(\begin{array}{c} f_{1} \\ f_{2}+\frac{1}{2} f_{1} \\ f_{3}+\frac{2}{3} f_{2}+\frac{1}{3} f_{1} \end{array}\right) \\ u & U & = & \hat{f} \end{array}\] que es un sistema triangular superior. Tenga en cuenta que este segundo paso de eliminación gaussiana, que agrega una eqn apropiadamente escalada\(2^{\prime}\) para eliminar la columna 3 de todas las ecuaciones debajo de ella, se\(-\) puede reinterpretar como realizar el primer paso de eliminación gaussiana al subbloque\((n-1) \times(n-1)\) inferior de la matriz (que es\(2 \times 2\) en este caso). Esta interpretación permite extender el procedimiento de eliminación gaussiana a\(n \times n\) matrices generales, como veremos en breve.

Habiendo construido un sistema triangular superior, podemos encontrar la solución usando el procedimiento de sustitución posterior. Primero, resolviendo para la última variable usando la última ecuación (es decir, resolviendo para\(u_{3}\) usar eqn 3),\[\begin{aligned} &\text { eqn } n(=3) \\ &\text { of } U \end{aligned} \quad \frac{1}{3} u_{3}=f_{3}+\frac{2}{3} f_{2}+\frac{1}{3} f_{1} \quad \Rightarrow \quad u_{3}=3 f_{3}+2 f_{2}+f_{1} \text {. }\]

Ahora\(u_{3}\) tratándolo como un “conocido”, resolvemos por\(u_{2}\) usar la segunda a la última ecuación (es decir, eqn 2),

\[\begin{aligned} & \underset{\text { of } U}{\operatorname{eqn} 2} \quad \frac{3}{2} u_{2}-\underset{\begin{array}{c}\text { known; } \\\text { (move to r.h.s.) }\end{array}}{u_{3}}=f_{2}+\frac{1}{2} f_{1} \\ & \frac{3}{2} u_{2}=f_{2}+\frac{1}{2} f_{1}+u_{3} \Rightarrow u_{2}=2 f_{2}+f_{1}+2 f_{3} . \end{aligned}\]

Finalmente, tratando\(u_{3}\) y\(u_{2}\) como “conocidos”, resolvemos para\(u_{1}\) usar eqn 1,\[\begin{aligned} & 2 u_{1}=f_{1}+u_{2}\left(+0 \cdot u_{3}\right) \Rightarrow u_{1}= \\ & 2 u_{1}=f_{1}+u_{2}\left(+0 \cdot u_{3}\right) \quad \Rightarrow \quad u_{1}=f_{1}+f_{2}+f_{3} \end{aligned}\]

Nuevamente, hemos aprovechado la estructura triangular superior del sistema lineal para resolver secuencialmente incógnitas a partir de la última ecuación.

(a) sistema original\(A=\tilde{U}(k=0)\)

(b) pivote de procesamiento 1

(c) inicio del paso\(2, \tilde{U}(k=1)\)

(d) pivote de procesamiento 2

(e) inicio del escalón\(3, \tilde{U}(k=2)\)

(f) Matriz final\(U=\tilde{U}(k=n)\)

Figura 26.4: Ilustración de la eliminación gaussiana aplicada a un\(6 \times 6\) sistema. Consulte el texto principal para una descripción de los colores.