10.4: Cuerpos Rotores de Hierro Sólido

Las máquinas eléctricas de rotor de acero sólido (SSRM) se pueden fabricar para operar con velocidades superficiales muy altas y, por lo tanto, son adecuadas para su uso en situaciones de altas RPM. Se asemejan, en forma y función, a máquinas de histéresis. Sin embargo, la operación asíncrona producirá una mayor potencia de salida porque aprovecha una mayor densidad de flujo. Consideramos aquí las interacciones que se esperan de los cuerpos de rotor de hierro sólido. Los circuitos equivalentes se pueden colocar en paralelo (armónico por armónico) con los circuitos equivalentes para la jaula de ardilla, si también hay una jaula en la máquina.

Para estimar los parámetros del rotor\(\ R_{2 s}\) y\(\ X_{2 s}\), suponemos que importantes cantidades de campo en la máquina se distribuyen sinusoidalmente en tiempo y espacio, de manera que la densidad de flujo radial es:

\[\ B_{r}=\operatorname{Re}\left(\underline{B}_{r} e^{j(\omega t-p \phi)}\right)\label{127} \]

y, de manera similar, la corriente de superficie del rotor dirigida axialmente es:

\[\ K_{z}=\operatorname{Re}\left(\underline{K}_{z} e^{j(\omega t-p \phi)}\right)\label{128} \]

Ahora, ya que por la ley de Faraday:

\[\ \nabla \times \bar{E}=-\frac{\partial \bar{B}}{\partial t}\label{129} \]

tenemos, en esta geometría de máquina:

\[\ \frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial \phi} E_{z}=-\frac{\partial B_{r}}{\partial t}\label{130} \]

La transformación entre las coordenadas del rotor y el estator es:

\[\ \phi^{\prime}=\phi-\omega_{m} t\label{131} \]

donde\(\ \omega_{m}\) esta la velocidad del rotor. Entonces:

\[\ p \omega_{m}=\omega-\omega_{r}=\omega(1-s)\label{132} \]

y

Ahora, el campo eléctrico axial es, en el marco del rotor, solo:

\[\ E_{z}=\operatorname{Re}\left(\underline{E_{z}} e^{j(\omega t-p \phi)}\right)\label{133} \]

\[\ =\operatorname{Re}\left(\underline{E}_{z} e^{j\left(\omega_{r} t-p \phi^{\prime}\right)}\right)\label{134} \]

y

\[\ \underline{E}_{z}=\frac{\omega_{r} R}{p} \underline{B}_{r}\label{135} \]

Por supuesto, el campo eléctrico en el bastidor del rotor está relacionado con la corriente superficial del rotor por:

\[\ \underline{E}_{z}=\underline{Z}_{s} \underline{K}_{z}\label{136} \]

Ahora bien, estas cantidades pueden relacionarse con el estator al señalar que el voltaje del entrehierro está relacionado con la densidad de flujo radial al:

\[\ \underline{B}_{r}=\frac{p}{2 l N_{a} k_{1} R \omega} \underline{V}_{a g}\label{137} \]

La corriente del rotor equivalente al estator es:

\[\ \underline{I}_{2}=\frac{\pi}{3} \frac{R}{N_{a} k_{a}} \underline{K}_{z}\label{138} \]

Entonces podemos encontrar estator referido, rotor de impedancia equivalente a ser:

\[\ \underline{Z}_{2}=\frac{\underline{V}_{a g}}{\underline{I}_{2}}=\frac{3}{2} \frac{4}{\pi} \frac{l}{R} N_{a}^{2} k_{a}^{2} \frac{\omega}{\omega_{r}} \frac{\underline{\underline{E}_{z}}}{\underline{K}_{z}}\label{139} \]

Ahora, si la impedancia de la superficie del rotor se puede expresar como:

\[\ \underline{Z}_{s}=R_{s}+j \omega_{r} L_{s}\label{140} \]

entonces

\[\ \underline{Z}_{2}=\frac{R_{2}}{s}+j X_{2}\label{141} \]

donde

\[\ R_{2}=\frac{3}{2} \frac{4}{\pi} \frac{l}{R} N_{a}^{2} k_{1}^{2} R_{s}\label{142} \]

\[\ X_{2}=\frac{3}{2} \frac{4}{\pi} \frac{l}{R} N_{a}^{2} k_{1}^{2} X_{s}\label{143} \]

Ahora, para encontrar la impedancia de la superficie del rotor, hacemos uso de un modelo no lineal de corrientes parásitas propuesto por Agarwal. Primero definimos una profundidad de penetración equivalente (similar a una profundidad de piel):

\[\ \delta=\sqrt{\frac{2 H_{m}}{\omega_{r} \sigma B_{0}}}\label{144} \]

donde\(\ \sigma\) está la conductividad del volumen del material de la superficie del rotor\(\ B_{0}\),” densidad de flujo de saturación” se toma como 75% de la densidad de flujo de saturación real y

\[\ H_{m}=\left|\underline{K}_{z}\right|=\frac{3}{\pi} \frac{N_{a} k_{a}}{R}\left|\underline{I}_{2}\right|\label{145} \]

Entonces la resistividad de la superficie del rotor y la reactancia superficial son:

\[\ R_{s}=\frac{16}{3 \pi} \frac{1}{\sigma \delta}\label{146} \]

\[\ X_{s}=.5 R_{s}\label{147} \]

Tenga en cuenta que los elementos del rotor\(\ X_{2}\) y\(\ R_{2}\) dependen de la corriente del rotor\(\ I_{2}\), por lo que el problema es no lineal. Encontramos, sin embargo, que se puede utilizar una solución iterativa simple. Primero hacemos una conjetura para\(\ R_{2}\) y encontramos corrientes. Entonces usamos esas corrientes para calcular\(\ R_{2}\) y resolver de nuevo para corriente. Este procedimiento se repite hasta la convergencia, y el problema parece converger en tan solo unos pasos.

Aparte de la necesidad de iterar para encontrar elementos de rotor, se pueden utilizar técnicas de red estándar para encontrar corrientes, entrada de potencia al motor y salida de potencia del motor, par, etc.

Solución

No todos los elementos equivalentes del circuito son conocidos ya que iniciamos la solución. Para comenzar, asumimos un valor para\(\ R_{2}\), posiblemente alguna fracción de\(\ X_{m}\), pero el valor elegido no parece importar mucho. La reactancia del rotor\(\ X_{2}\) es solo una fracción de\(\ R_{2}\). Luego, procedemos a calcular una impedancia de “espacio de aire”, solo la impedancia mirando a la combinación paralela de ramas de magnetización y rotor:

\[\ Z_{g}=j X_{m} \|\left(j X_{2}+\frac{R_{2}}{s}\right)\label{148} \]

(Tenga en cuenta que, para un generador, el deslizamiento s es negativo).

Una impedancia total es entonces

\[\ Z_{t}=j X_{1}+R_{1}+Z_{g}\label{149} \]

y la corriente del terminal es

\[\ I_{t}=\frac{V_{t}}{Z_{t}}\label{150} \]

La corriente del rotor es solo:

\[\ I_{2}=I_{t} \frac{j X_{m}}{j X_{2}+\frac{R_{2}}{s}}\label{151} \]

Ahora es necesario corregir iterativamente la impedancia del rotor. Esto se hace estimando la densidad de flujo en la superficie del rotor usando (145), luego obteniendo una impedancia de superficie del rotor usando (146) y usando eso y (143 para estimar un nuevo valor para\(\ R_{2}\). Entonces empezamos de nuevo con (148). El proceso “deja caer” este punto cuando las estimaciones nuevas y antiguas para\(\ R_{2}\) concuerdan con algún criterio.

Pérdidas armónicas en acero sólido

Si el rotor de la máquina está construido de acero sólido, habrá corrientes parásitas inducidas en la superficie del rotor por los armónicos espaciales de orden superior de la corriente del estator. Estos producirán campos magnéticos y pérdidas. Este cálculo supone que la superficie del rotor es lineal y lisa y se puede caracterizar por una conductividad y permeabilidad relativa. En esta discusión incluimos dos armónicos espaciales (positivo y negativo). En la práctica puede ser necesario llevar cuatro (o incluso más) armónicos, incluyendo armónicos de orden tanto 'cinturón' como 'zigzag'.

La corriente terminal produce un campo magnético en el entrehierro para cada uno de los órdenes armónicos espaciales, y cada uno de estos campos magnéticos induce corrientes de rotor del mismo orden armónico.

Las reactancias “magnetizantes” para los dos órdenes armónicos, realmente los dos componentes de la fuga en zigzag, son:

\[\ X_{z p}=X_{m} \frac{k_{p}^{2}}{N_{p}^{2} k_{1}^{2}}\label{152} \]

\[\ X_{z n}=X_{m} \frac{k_{n}^{2}}{N_{n}^{2} k_{1}^{2}}\label{153} \]

donde\(\ N_{p}\) y\(\ N_{n}\) son los órdenes armónicos positivos y negativos que van: Para los armónicos de 'cinturón' estos órdenes son 7 y 5. Para 'zigzag' son:

\[\ N_{p}=\frac{N_{s}+p}{p}\label{154} \]

\[\ N_{n}=\frac{N_{s}-p}{p}\label{155} \]

Ahora, habrá una corriente en la superficie del rotor en cada orden armónico, y siguiendo 67, la corriente equivalente del elemento del rotor es:

\[\ \underline{I}_{2 p}=\frac{\pi}{3} \frac{R}{N_{a} k_{p}} \underline{K}_{p}\label{156} \]

\[\ \underline{I}_{2 n}=\frac{\pi}{3} \frac{R}{N_{a} k_{n}} \underline{K}_{n}\label{157} \]

Estas corrientes fluyen en respuesta al campo magnético en el entrehierro que a su vez produce un campo eléctrico axial. Visto desde el rotor este campo eléctrico es:

\[\ \underline{E}_{p}=s_{p} \omega R \underline{B}_{p}\label{158} \]

\[\ \underline{E}_{n}=s_{n} \omega R \underline{B}_{n}\label{159} \]

donde el resbalón para cada una de las órdenes armónicas es:

\[\ s_{p}=1-N_{p}(1-s)\label{160} \]

\[\ s_{n}=1+N_{p}(1-s)\label{161} \]

y luego las corrientes superficiales que fluyen en la superficie del rotor son:

\[\ \underline{K}_{p}=\frac{E_{p}}{Z_{s p}}\label{162} \]

\[\ \underline{K}_{n}=\frac{\underline{E}_{n}}{Z_{s n}}\label{163} \]

donde\(\ Z_{s p}\) y\(\ Z_{s n}\) son las impedancias superficiales a frecuencias de deslizamiento armónico positivo y negativo, respectivamente. Suponiendo una superficie lineal, estas son, aproximadamente:

\[\ Z_{s}=\frac{1+j}{\sigma \delta}\label{164} \]

donde\(\ \sigma\) está la restividad material y la profundidad de la piel es

\[\ \delta=\sqrt{\frac{2}{\omega_{s} \mu \sigma}}\label{165} \]

y\(\ \omega_{s}\) es la frecuencia del armónico dado desde la superficie del rotor. Podemos postular que el valor apropiado de\(\ \mu\) utilizar es el mismo que el estimado en el cálculo no lineal del espacio fundamental, pero esto requiere confirmación empírica.

El voltaje inducido en el estator por cada uno de estos flujos magnéticos armónicos espaciales es:

\[\ V_{p}=\frac{2 N_{a} k_{p} l R \omega}{N_{p} p} \underline{B}_{p}\label{166} \]

\[\ V_{n}=\frac{2 N_{a} k_{n} l R \omega}{N_{n} p} \underline{B}_{n}\label{167} \]

Entonces la impedancia equivalente del circuito del rotor es solo:

\[\ Z_{2 p}=\frac{V_{p}}{I_{p}}=\frac{3}{2} \frac{4}{\pi} \frac{N_{a}^{2} k_{p}^{2} l}{N_{p} R} \frac{Z_{s p}}{s_{p}}\label{168} \]

\[\ Z_{2 n}=\frac{V_{n}}{I_{n}}=\frac{3}{2} \frac{4}{\pi} \frac{N_{a}^{2} k_{n}^{2} l}{N_{n} R} \frac{Z_{s n}}{s_{n}}\label{169} \]

Los elementos equivalentes del circuito del rotor son ahora:

\[\ R_{2 p}=\frac{3}{2} \frac{4}{\pi} \frac{N_{a}^{2} k_{p}^{2} l}{N_{p} R} \frac{1}{\sigma \delta_{p}}\label{170} \]

\[\ R_{2 n}=\frac{3}{2} \frac{4}{\pi} \frac{N_{a}^{2} k_{n}^{2} l}{N_{n} R} \frac{1}{\sigma \delta_{n}}\label{171} \]

\[\ X_{2 p}=\frac{1}{2} R_{2 p}\label{172} \]

\[\ X_{2 n}=\frac{1}{2} R_{2 n}\label{173} \]

Pérdidas extraviadas

En lo que va de este documento, hemos esbozado los principales elementos de la producción de par y, en consecuencia, del rendimiento de la máquina. También hemos discutido, en algunos casos, brevemente, las principales fuentes de pérdida en las máquinas de inducción. El uso de lo que se ha descrito en este documento dará una impresión razonable de cómo funciona una máquina de inducción. También hemos discutido algunas de las pérdidas de carga parásita: aquellas que pueden ser (relativamente) fácilmente contabilizadas en una descripción de circuito equivalente de la máquina. Pero hay otras pérdidas que se producirán y que son más difíciles de estimar. No pretendemos hacer un trabajo particularmente preciso de estimar estas pérdidas, y afortunadamente normalmente no resultan ser muy grandes. Para ser contabilizados aquí están:

1. Pérdidas sin carga en los dientes del rotor debido a la modulación de apertura de ranura del estator de densidad de flujo fundamental
2. Pérdidas de carga en los dientes del rotor debido al zigzag del estator mmf, y
3. Pérdidas sin carga en el cuerpo sólido del rotor (si existe) debido a la modulación de apertura de la ranura del estator de la densidad de flujo fundamental.

Tenga en cuenta que estas pérdidas tienen un carácter algo diferente de las otras pérdidas misceláneas que calculamos. Aparecen como arrastre en el rotor, por lo que restamos su potencia de la salida mecánica de la máquina. El primero y el tercero de estos están, desde luego, muy estrechamente relacionados así que los tomamos primero.

Las aberturas de la ranura del estator 'modulan' la densidad de flujo magnético fundamental del espacio. Podemos estimar un ángulo de apertura de ranura (relativo al paso de ranura):

\(\ \theta_{D}=\frac{2 \pi w_{d} N_{s}}{2 \pi r}=\frac{w_{d} N_{s}}{r}\)

Entonces la amplitud de la perturbación del campo magnético es:

\(\ B_{H}=B_{r 1} \frac{2}{\pi} \sin \frac{\theta_{D}}{2}\)

De hecho, esta perturbación del flujo es realmente en forma de dos ondas viajeras, una que va hacia adelante y otra hacia atrás con respecto al estator a una velocidad de\(\ \omega / N_{s}\). Dado que el deslizamiento operativo es relativamente pequeño, las dos variaciones tendrán casi la misma frecuencia que se ve desde el rotor, por lo que parece razonable agruparlas. La frecuencia es:

\(\ \omega_{H}=\omega \frac{N_{s}}{p}\)

Ahora, para los rotores laminados esta modulación del campo magnético afectará las puntas de los dientes del rotor. Suponemos (quizás arbitrariamente) que la pérdida debida a esta modulación del campo magnético puede estimarse a partir de datos de acero ordinarios (como estimamos la pérdida del núcleo anteriormente) y que solo los dientes del rotor, no ninguno del cuerpo del rotor, se ven afectados. El método a utilizar es sencillo y sigue casi exactamente lo que se hizo para la pérdida de núcleo, con modificación solo de la frecuencia y amplitud de campo.

Para los rotores de acero sólido la historia es solo un poco diferente. El campo magnético producirá un campo eléctrico axial:

\(\ \underline{E}_{z}=R \frac{\omega}{p} B_{H}\)

y que, a su vez, impulsará una corriente superficial

\(\ \underline{K}_{z}=\frac{\underline{E}_{z}}{\underline{Z}_{s}}\)

Ahora bien, lo importante es la magnitud de la corriente superficial, y ya que\(\ \left|\underline{Z}_{s}\right|=\sqrt{1+.5^{2}} R_{s} \approx1.118R_s\), simplemente podemos utilizar la resistencia del rotor. La profundidad de penetración superficial no lineal es:

\(\ \delta=\sqrt{\frac{2 B_{0}}{\omega_{H} \sigma\left|\underline{K}_{z}\right|}}\)

Una breve sustitución iterativa, recálculo\(\ \delta\) y luego arroja\(\ \left|\underline{K}_{z}\right|\) rápidamente valores consistentes para\(\ \delta\) y\(\ R_{s}\). Entonces la disipación de voltaje completo es:

\(\ P_{r s}=2 \pi R l \frac{\left|\underline{K}_{z}\right|^{2}}{\sigma \delta}\)

y una resistencia equivalente es:

\(\ R_{r s}=\frac{3\left|V_{a}\right|^{2}}{P_{r s}}\)

Finalmente, los armónicos de corriente de orden zigzag en el estator producirán campos magnéticos en el entrehierro que impulsarán pérdidas magnéticas en los dientes del rotor. Tenga en cuenta que esto es un poco diferente de la modulación del espacio fundamental producida por las aberturas de la ranura del estator (aunque el orden armónico será el mismo, la orientación espacial será diferente y variará con la corriente de carga). El flujo magnético en el entrehierro se relaciona más fácilmente con el voltaje equivalente del circuito en el\(\ n^{t h}\) armónico:

\(\ B_{n}=\frac{n p v_{n}}{2 l R N_{a} k_{n} \text {omega }}\)

Esta variación del campo magnético será sustancial solo para los armónicos de orden en zigzag: los armónicos de correa estarán esencialmente cortocircuitados por la jaula del rotor y esas pérdidas se calcularán dentro del circuito equivalente. La frecuencia que ve el rotor es la de los armónicos espaciales, ya calculados, y la pérdida se puede estimar de la misma manera que la pérdida del núcleo, aunque como hemos señalado aparece como un 'arrastre' sobre el rotor.