2.5: Ecuaciones de velocidad
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Con la ecuación de onda Ec. (2.2.2) y la expresión para la polarización inducida por el campo eléctrico de la onda, terminamos con las ecuaciones completas de Maxwell-Bloch que describen un campo electromagnético que interactúa con un conjunto estadístico de átomos que se encuentran en las partes\(z_i\)
\[\left ( \Delta - \dfrac{1}{c_0^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\right ) \vec{E}^{(+)} (z, t) = \mu_0 \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{P}^{(+)} (z, t),\label{eq2.5.1} \]
\[\vec{P}^{(+)} (z, t) = -2N \vec{M} ^* d(z, t) \nonumber \]
\[\dot{d} (z, t) = -(\dfrac{1}{T_2} - j \omega_{eg} )d + \dfrac{1}{2j \hbar} \vec{M} \vec{E}^{(+)} w, \nonumber \]
\[\dot{w} (z, t) = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{1}{j\hbar} (\vec{M}^*\vec{E}^{(-)} d - \vec{M} \vec{E}^{(+)} d^*) \nonumber \]
A continuación consideramos una onda electromagnética con vector de polarización\(\vec{e}\), frecuencia\(\omega_{eg}\) y número de onda\(k_0 = \omega_{eg}/c_0\) con una envolvente que varía lentamente que se propaga hacia la derecha
\[\vec{E} (z, t)^{(+)} = \sqrt{2 Z_{F_0}} A(z, t) e^{j(\omega_{eg} t - k_0 z)} \vec{e}, \nonumber \]
con
\[\left |\dfrac{\partial A(z,t)}{\partial t} \right |, \left |c\dfrac{\partial A(z,t)}{\partial z} \right |\ll |\omega_{eg} A(z, t)| \nonumber \]
Tenga en cuenta que normalizamos la amplitud compleja de\(A(t)\) tal manera que su magnitud cuadrada es proporcional a la intensidad de la onda. Esto también excitará una ola de momentos dipolares en el medio atómico según
\[d(z, t) = \hat{d} (z, t) e^{j(\omega_{eg} t - k_0 z)}, \nonumber \]
que también va variando lentamente. En ese caso, obtenemos de la Ec. (\(\ref{eq2.5.1}\)) en orden principal
\[\left (\dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{1}{c_0} \dfrac{\partial}{\partial t} \right ) A(z, t) = jN \vec{e}^T \vec{M}^* \sqrt{\dfrac{Z_{F_0}}{2}} \hat{d} (z, t) \nonumber \]
\[\dfrac{\partial}{\partial t} d(z, t) = -\dfrac{1}{T_2} \hat{d} + \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{2j\hbar} (\vec{M} \vec{e}) A(t) w \nonumber \]
\[\dfrac{\partial}{\partial t} w(z,t) = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{j\hbar}((\vec{M}^* \vec{e}^*)A^*(t) \hat{d} - (\vec{M} \vec{e})A(t)\hat{d}^*) \nonumber \]
Además, en el límite, donde el tiempo de desfase\(T_2\) es mucho más rápido que la variación en la envolvente del campo eléctrico, se puede eliminar adiabáticamente el momento dipolar que se descompone rápidamente, es decir,
\[\hat{d} = T_2 \dfrac{\sqrt{2Z_{F_0}}}{2j\hbar} (\vec{M} \vec{e}) A(t) w \nonumber \]
\[\hat{w} = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{|A(t)|^2}{E_s}w, \nonumber \]
donde\(E_s = I_sT_1\), se llama la fluencia de saturación\([J/cm^2]\),, del medio. Nota, ahora ya no tenemos que preocuparnos por el momento dipolo y nos sobra una ecuación de tasa para la diferencia poblacional del
media y la amplitud de campo compleja de la onda.
\[\left (\dfrac{\partial}{\partial z} + \dfrac{1}{c_0} \dfrac{\partial}{\partial t} \right ) A(z, t) = \dfrac{N\hbar}{4T_2 E_s} w (z, t) A(z,t),\label{eq2.5.13} \]
\[\dot{w} = -\dfrac{w - w_0}{T_1} + \dfrac{|A(z, t)|^2}{E_s} w(z, t) \nonumber \]
La ecuación (\(\ref{eq2.5.13}\)) muestra claramente que obtenemos ganancia para un medio invertido y que la ganancia se satura con la densidad de potencia electromagnética que fluye a través del medio.