2.3: Antenas resonantes

Con una antena resonante la corriente en la antena está directamente relacionada con la amplitud del campo EM irradiado. La resonancia asegura que la corriente de onda estacionaria en la antena sea alta.

2.3.1 Radiación de un filamento de corriente

Los campos radiados por una antena resonante se calculan más convenientemente considerando la distribución de corriente en la antena. El análisis comienza considerando un filamento corto de corriente, ver Figura 2.2.1 (a). Considerando el estado estacionario sinusoidal a frecuencia radianes\(\omega\), la corriente en el filamento con fase\(χ\) es\(I(t) = |I_{0}| \cos(\omega t + χ)\), así que\(I_{0} = |I_{0}|e^{-\jmath χ}\) es el fasor de la corriente en el filamento. El largo del filamento es\(h\), pero no tiene otras dimensiones, es decir, se considera infinitamente delgado.

Las antenas resonantes se modelan convenientemente como formadas por una matriz de filamentos de corriente con espaciamientos y longitudes que son una pequeña fracción de una longitud de onda. Las antenas de alambre son aún más simples y pueden considerarse como una línea de filamentos actuales. Ramo, Whinery y Van Duzer [1] calcularon los campos EM esféricos en el punto P con las coordenadas esféricas\((\phi , θ, r)\) generadas por el filamento de corriente\(z\) dirigida centrado en el origen en la Figura 2.2.1. Los componentes totales del campo EM en forma de fasor son

\[\label{eq:1} H_{\phi}=\frac{I_{0}h}{4\pi}e^{-\jmath kr}\left(\frac{\jmath k}{r}+\frac{1}{r^{2}}\right)\sin\theta ,\quad\overline{H_{\phi}}=H_{\phi}\hat{\phi} \]

\[\label{eq:2}E_{r}=\frac{I_{0}h}{r\pi}e^{-\jmath kr}\left(\frac{2\eta }{r^{2}}+\frac{2}{\jmath\omega\varepsilon_{0}r^{3}}\right)\cos\theta ,\quad \overline{E_{r}}=E_{r}\hat{R} \]

\[\label{eq:3}E_{\theta}=\frac{I_{0}h}{4\pi}e^{-\jmath kr}\left(\frac{\jmath\omega\mu_{0}}{r}+\frac{1}{\jmath\omega\varepsilon r^{3}}+\frac{\eta}{r^{2}}\right)\sin\theta ,\quad\overline{E_{\theta}}=E_{\theta}\hat{\theta} \]

donde\(\eta\) está la impedancia característica de espacio libre. La variable\(k\) se llama número de onda y\(k = 2π/\lambda = \omega\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}\). Los\(e^{-\jmath kr}\) términos describen la variación de la fase del campo a medida que el campo se propaga lejos del filamento. Ecuaciones\(\eqref{eq:1}\) -\(\eqref{eq:3}\) son los campos completos con la\(1/r^{3}\) dependencia\(1/r^{2}\) y la descripción de los componentes de campo cercano. En el campo lejano, es decir\(r ≫ \lambda\), los componentes con\(1/r^{2}\) y\(1/r^{3}\) dependencia se vuelven insignificantes y los componentes de campo que quedan son los componentes propagantes\(H_{\phi}\) y\(E_{θ}\):

\[\label{eq:4}H_{\phi}=\frac{I_{0}h}{4\pi }e^{-\jmath kr}\left(\frac{\jmath k}{r}\right)\sin\theta,\quad E_{r}=0,\quad\text{and}\quad E_{\theta}=\frac{I_{0}h}{4\pi}e^{-\jmath kr}\left(\frac{\jmath\omega\mu_{0}}{r}\right)\sin\theta \]

Ahora considere los campos en el plano normales al filamento, es decir, con\(θ = π/2\text{ radians}\) para que\(\sin θ = 1\). Los campos son ahora

\[\label{eq:5}H_{\phi}=\frac{I_{0}h}{4\pi}e^{-\jmath kr}\left(\frac{\jmath k}{r}\right)\quad\text{and}\quad E_{\theta}=\frac{I_{0}h}{4\pi}e^{-\jmath kr}\left(\frac{\jmath\omega\mu_{0}}{r}\right) \]

y la impedancia de onda es

\[\label{eq:6}\eta =\frac{E_{\theta}}{H_{\phi}}=\frac{I_{0}h}{4\pi}e^{-\jmath kr}\frac{\jmath\omega\mu_{0}}{r}\left(\frac{I_{0}h}{4\pi}e^{-\jmath kr}\frac{\jmath k}{r}\right)^{-1}=\frac{\omega\mu_{0}}{k} \]

Tenga en cuenta que la intensidad de los campos es directamente proporcional a la magnitud de la corriente. Esto demuestra ser muy útil para comprender la radiación espuria de las estructuras de microondas. Ahora\(k=\omega\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}\), entonces

\[\label{eq:7}\eta =\frac{\omega\mu_{0}}{\omega\sqrt{\mu_{0}\epsilon_{0}}}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\epsilon_{0}}}=377\:\Omega \]

como se esperaba. Por lo tanto, se puede ver que una antena tiene la función inherente de un transformador de impedancia que convierte de la impedancia característica más baja de una línea de transmisión (a menudo\(50\:\Omega\)) a la impedancia\(377\:\Omega\) característica del espacio libre.

Se pueden hacer más comentarios sobre los campos de propagación (Ecuación\(\eqref{eq:4}\)). El campo EM se propaga en todas las direcciones excepto no directamente en línea con el filamento. Para fijo\(r\), la amplitud del campo de propagación aumenta sinusoidalmente con respecto a\(θ\) hasta que es máxima en la dirección normal al filamento.

La potencia irradiada se obtiene utilizando el vector Poynting, que es el producto cruzado de los campos eléctricos y magnéticos propagantes. A partir de esto, la densidad de potencia de propagación promedio en el tiempo es (con las unidades SI de\(\text{W/m}^{2}\))

\[\label{eq:8}P_{R}=\frac{1}{2}\Re (E_{\theta}H^{\ast}_{\phi}=\frac{\eta k^{2}|I_{0}|^{2}h^{2}}{32\pi^{2}r^{2}}\sin^{2}\theta \]

y la densidad de potencia es proporcional a\(1/r^{2}\). En Ecuación\(\eqref{eq:8}\)\(\Re(\cdots )\) indica que se toma la parte real.

2.3.2 Antenas de cable de longitud finita

La onda EM propagada a partir de un alambre de longitud finita se obtiene considerando que el alambre está formado por muchos filamentos y el campo es entonces la superposición de los campos de cada filamento. Como ejemplo, considere la antena en la Figura 2.2.1 (b) donde el cable tiene media longitud de onda. Como buena aproximación, la corriente en el cable es una onda estacionaria y la corriente en el cable está en fase para que el fasor de corriente esté

\[\label{eq:9}I(z)=I_{0}\cos (kz) \]

De la Ecuación\(\eqref{eq:4}\) y haciendo referencia a la Figura 2.1.1 los campos en el campo lejano son

\[\label{eq:10}H_{\phi}=\int^{\lambda /4}_{-\lambda /4}\frac{I_{0}\cos (kz)}{4\pi}e^{-\jmath kr'}\left(\frac{\jmath k}{r'}\right)\sin\theta 'dz \]

\[\label{eq:11}E_{\theta}=\int^{\lambda /4}_{-\lambda /4}\frac{I_{0}\cos (kz)}{4\pi}e^{-\jmath kr'}\left(\frac{\jmath\omega\mu_{0}}{r'}\right)\sin\theta 'dz \]

donde\(θ′\) está el ángulo desde el filamento hasta el punto\(P\). Ahora\(k = 2π/\lambda\) y en los extremos del alambre\(z = ±\lambda /4\) donde\(\cos (kz) = \cos (±π/2) = 0\). La evaluación de las ecuaciones está implicada analíticamente y no se hará aquí. El resultado neto es que los campos se concentran aún más en el plano normal al alambre. En general\(r\), de al menos varias longitudes de onda distantes de la antena, solo los componentes de campo disminuyen ya\(1/r\) que son significativos. En general\(r\), las diferencias de fase de las contribuciones de los filamentos son significativas y dan como resultado la conformación de los campos. La geometría a utilizar en el cálculo del campo lejano se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a). La contribución de fase de cada filamento, relativa a la de\(z = 0\), es\((kz \sin θ)/\lambda\) y Ecuaciones\(\eqref{eq:10}\) y\(\eqref{eq:11}\) se convierten

\[\label{eq:12}H_{\phi}=I_{0}\left(\frac{\jmath j}{4\pi r}\right)\sin (\theta )e^{-\jmath kr}\int^{\lambda /4}_{-\lambda /4}\frac{\sin (kz)}{4\pi}\sin (z\sin (\theta ))dz \]

\[\label{eq:13} E_{\theta}=I_{0}\left(\frac{\jmath\omega\mu_{0}}{4\pi r}\right)\sin (\theta ))e^{-\jmath kr}\int^{\lambda /4}_{-\lambda /4}\sin (kz)\sin (z\sin (\theta ))dz \]

La Figura\(\PageIndex{1}\) (b) es una gráfica del campo eléctrico de campo cercano en el\(y-z\) plano calculando\(E_{r}\) y\(E_{θ}\) (recuérdese que\(E_{\phi} = 0\)) cada\(90^{\circ}\). Más lejos de la antena el\(E_{r}\) componente reduce rápidamente de tamaño, y\(E_{θ}\) domina.

Un resumen de las implicaciones de las ecuaciones anteriores es, primero, que la intensidad de los campos eléctricos y magnéticos radiados son proporcionales a la

Figura\(\PageIndex{1}\): Antena de alambre: (a) geometría para calcular contribuciones de filamentos actuales de longitud\(dz\) con coordenadas\(z\)\((d = −z \sin θ)\); y (b) campo eléctrico instantáneo en el\(y-z\) plano debido a un elemento de corriente\(\lambda /2\) larga. También hay un campo magnético.

Figura\(\PageIndex{2}\): Antena monopolo que muestra corriente total y corrientes de avance y retroceso: (a) una antena\(\frac{1}{2}\lambda\) larga; y (b) una antena relativamente larga.

corriente en la antena de cable. Por lo tanto, establecer una onda de corriente estacionaria y, por lo tanto, aumentar la corriente es importante para la eficiencia de una antena de cable. Un segundo resultado es que la densidad de potencia de los campos EM que se propagan libremente en el campo lejano es proporcional a\(1/r^{2}\), donde\(r\) esta la distancia desde la antena. Una tercera interpretación es que cuanto más larga es la antena, más plano es el perfil de transmisión radiada; es decir, la energía radiada está más estrechamente confinada al plano\(x-y\) (es decir\(\Theta =0\)). Para la antena de cable el campo radiado pico está en el plano normal a la antena, y así la antena de cable generalmente está orientada verticalmente de manera que la transmisión está en el plano de la tierra y la potencia no se irradia innecesariamente al suelo o al cielo.

Para obtener una antena resonante eficiente, toda la corriente debe apuntarse en la misma dirección en un momento determinado. Una forma de lograrlo es establecer una onda estacionaria, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a). En el extremo de circuito abierto, la corriente se refleja de manera que la corriente total al final del cable es cero. Las ondas de corriente inicial y reflejada se combinan para crear una onda estacionaria. Siempre que la antena sea suficientemente corta, toda la corriente total, la onda estacionaria, apunta en la misma dirección. La longitud óptima es aproximadamente media longitud de onda. Si el cable es más largo, las contribuciones al campo de los segmentos actuales dirigidos opuestamente cancelan (consulte la Figura\(\PageIndex{2}\) (b)).

En la Figura\(\PageIndex{2}\) (a) se une un cable coaxial a la antena monopolo por debajo del plano de tierra y a menudo un condensador en serie entre el cable y la antena proporciona un bajo nivel de acoplamiento que conduce a una onda estacionaria más grande. El condensador también coincide aproximadamente con la impedancia característica del cable con la impedancia\(Z_{in}\) de entrada de la antena. Si la longitud del monopolo se reduce a un cuarto de longitud de onda, vuelve a ser resonante, y la impedancia de entrada\(Z_{in}\),, se encuentra que es\(36\:\Omega\). Entonces un\(50\:\Omega\) cable puede

Figura\(\PageIndex{3}\): Antena móvil con bobina de fase que extiende la longitud efectiva de la antena.

Figura\(\PageIndex{4}\): Antena dipolo: (a) distribución de corriente; (b) antena dipolo apilada; y (c) detalle de la conexión en una antena dipolo apilada.

estar directamente conectado a la antena y solo hay un pequeño desajuste y casi toda la potencia se transfiere a la antena y luego se irradia.

Otra variación del monopolo se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\), donde el componente clave es la bobina de fase. La bobina de fase (con una longitud de cable de\(\lambda /2\)) gira el ángulo eléctrico del fasor de corriente en la línea para que la corriente en el\(\lambda /4\) segmento esté en la misma dirección que en el\(\lambda /2\) segmento. El resultado es que los dos segmentos rectos del monopolo cargado irradian un campo EM más estrechamente confinado. La bobina de fase en sí no irradia (mucho).

Otra solución ingeniosa para obtener una antena de cable efectiva más larga con la misma corriente dirigida (y por lo tanto un haz de RF más estrechamente confinado) es la antena dipolo apilada (Figura\(\PageIndex{4}\)). La base de la antena es un dipolo como se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) (a). El cable tiene dos conductores que tienen corrientes de igual amplitud\(I\), pero que fluyen como se muestra. La sección de cable está acoplada al cable para que las corrientes en los dos conductores realicen una sola corriente efectiva\(I_{\text{dipole}}\) en la antena dipolo. El dipolo apilado mostrado en la Figura\(\PageIndex{4}\) (b) lleva esta disposición geométrica más allá. Ahora el elemento radiante es hueco y se pasa un cable coaxial a través de los elementos de antena y las secciones de media longitud de onda se alimentan por separado para crear efectivamente una antena de alambre que tiene varias longitudes de onda con la corriente apuntando en una dirección. La mayoría de las antenas celulares que utilizan antenas de alambre son antenas dipolo apiladas.

Figura\(\PageIndex{5}\): Antena Vivaldi que muestra el procedimiento de diseño: (a) la antena; (b) una aproximación escalonada; y (c) aproximación de línea de transmisión. En (a) la región negra es una chapa metálica.

Resumen

Las ondas estacionarias de corriente se pueden realizar mediante estructuras resonantes que no sean cables. Una antena de parche de microcinta, ver Figura 2.1.2 (b), es un ejemplo, pero el principio subyacente es que una matriz de filamentos actuales genera componentes EM que se combinan para crear un campo de propagación. Las antenas resonantes son inherentemente de banda estrecha debido a la dependencia del establecimiento de una onda estacionaria. Un ancho de banda relativo de\(5\%–10\%\) es típico.