4.10: Líneas en Sustratos Semiconductores
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Ahora, una explicación intuitiva de las características de propagación de líneas de microcinta en sustratos estratificados puede basarse en la estructura de placa paralela mostrada en la Figura\(\PageIndex{2}\). Para un análisis EM exacto del efecto de onda lenta con sustratos de silicio, ver [14]. Además de desarrollar una aproximación muy útil para la importante situación de las líneas de transmisión en un aislante como el óxido de silicio sobre un semiconductor, el tratamiento a continuación indica el tipo de aproximación que se puede utilizar para analizar estructuras inusuales. En esta estructura, asuma un modo de propagación cuasi-tem. En otras palabras, los parámetros de propagación de onda\(\alpha,\:\beta,\) y se\(Z_{0}\) pueden deducir a partir de soluciones electrostáticas y magnetostáticas para los parámetros por unidad de longitud\(C,\: G,\: L,\) y\(R\).
El análisis comienza con un tratamiento del clásico condensador Maxwell—Wagner. La figura\(\PageIndex{3}\) (a) muestra la estructura de dicho condensador donde hay dos materiales diferentes entre las placas paralelas del condensador con diferentes permitividades y conductividades. El circuito equivalente se muestra en
Figura\(\PageIndex{1}\): Líneas de transmisión sobre semiconductor de silicio: (a) sándwich de silicio-dióxido de silicio; y (b) vista a granel.
Figura\(\PageIndex{2}\): Estructura de línea de transmisión de placa paralela.
Figura\(\PageIndex{3}\) (b) con los elementos dados por (\(A\)es el área de la placa)
\[\begin{align}\label{eq:1}C_{1}&=\varepsilon_{1}\frac{A}{d_{1}},\: R_{1}=\frac{1}{\sigma_{1}}\frac{d_{1}}{A},\:C_{2}=\varepsilon_{2}\frac{A}{d_{2}},\:R_{2}=\frac{1}{\sigma_{2}}\frac{d_{2}}{A} \\ \label{eq:2}\tau_{1}&=R_{1}C_{1}=\frac{\varepsilon_{1}}{\sigma_{1}},\:\tau_{2}=R_{2}C_{2}=\frac{\varepsilon_{2}}{\sigma_{2}}\end{align} \]
La admisión de toda la estructura a la frecuencia de radián\(\omega\) es
\[\label{eq:3}Y(\omega)=\frac{1}{R_{1}+R_{2}}\frac{(1+\jmath\omega\tau_{1})(1+\jmath\omega\tau_{2})}{1+\jmath\omega\tau} \]
donde
\[\label{eq:4}\tau=\frac{R_{1}\tau_{2}+R_{2}\tau_{1}}{R_{1}+R_{2}} \]
Presentando
\[\label{eq:5}Y(\omega)=\jmath\omega\left(\varepsilon_{e}\frac{A}{d}\right) \]
la permitividad compleja efectiva,\(\varepsilon_{e} = \varepsilon_{e}' −\jmath\varepsilon_{e}''\), puede definirse en términos de Ecuación\(\eqref{eq:3}\). Uso de ecuaciones\(\eqref{eq:3}\) y\(\eqref{eq:5}\) rendimientos
\[\label{eq:6}\varepsilon_{e}'=\frac{\tau_{1}+\tau_{2}-\tau+\tau\tau_{1}\tau_{2}\omega^{2}}{(R_{1}+R_{2})[1+(\omega\tau)^{2}]}\frac{d}{A} \]
Consideremos ahora el caso cuando\(R_{1}\) va al infinito (es decir\(\mathsf{1}\), Capa, la capa superior, en Figura\(\PageIndex{3}\) es un aislante). Para este caso, la ecuación\(\eqref{eq:6}\) se convierte en
\[\label{eq:7}\varepsilon_{e}'=\frac{1+\left(1+\frac{d_{2}}{d_{1}}\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}\right)\left(\frac{\omega\varepsilon_{2}}{\sigma_{2}}\right)^{2}}{1+\left(1+\frac{d_{2}}{d_{1}}\frac{\varepsilon_{1}}{\varepsilon_{2}}\right)^{2}\left(\frac{\omega\varepsilon_{2}}{\sigma_{2}}\right)^{2}}\left(\varepsilon_{1}\frac{d}{d_{1}}\right) \]
Se desprende de Ecuaciones\(\eqref{eq:6}\) y\(\eqref{eq:7}\) que la permitividad compleja efectiva tiene un componente dependiente de la frecuencia. Considera cómo varía esto con algunos casos de\(\omega\). Para\(\omega = 0\), el valor estático de la permitividad efectiva es
\[\label{eq:8}\varepsilon_{e,0}'=\varepsilon_{1}\frac{d}{d_{1}} \]
Para el caso donde\(\omega\) va al infinito (el valor óptico), la parte real de la permitividad efectiva es
\[\label{eq:9}\varepsilon_{e,\infty}'=\frac{\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}(d_{1}+d_{2})}{\varepsilon_{2}d_{1}+\varepsilon_{1}d_{2}} \]
Tenga en cuenta también que el valor de se\(\varepsilon_{e,\infty}′\) puede lograr aproximadamente para un gran valor de\(\omega\varepsilon_{2}/\sigma_{2}\) (es decir, se pueden usar sustratos de baja conductividad para asegurar que las corrientes de desplazamiento dominen). De manera similar, es claro que se\(\varepsilon_{e,0}'\) puede lograr teniendo un pequeño valor de\(\omega\varepsilon_{2}/\sigma_{2}\). También tenga en cuenta que se\(\varepsilon_{e,0}'\) puede hacer muy grande haciendo\(d_{1}\) mucho más pequeño que\(d\).
Figura\(\PageIndex{3}\): Capacitor Maxwell—Wagner.
Figura\(\PageIndex{4}\): Modos en una línea de transmisión MOS: (a) estructura equivalente de la línea MOS de la Figura\(\PageIndex{1}\).
Considera la estructura en la Figura\(\PageIndex{2}\). Determinar la longitud de onda guía\(\lambda_{g}\),, y la longitud de onda en el aislador\(\lambda_{1}\),, a una frecuencia de\(1\text{ GHz}\). SiO\(_{2}\) y Si son los dieléctricos, con permitividades\(\varepsilon_{1} = 4\varepsilon_{0}\) y\(\varepsilon_{2} = 13\varepsilon_{0}\) (las conductividades son cero). Las profundidades\(d_{2}\) y\(d_{1}\) de los dos dieléctricos son\(d_{2} = 250\:\mu\text{m}\) y\(d_{1} = 0.1\:\mu\text{m}\).
Solución
\[\begin{align}\lambda_{1}&=\frac{3\times10^{8}}{10^{9}\sqrt{4}}=0.15\text{ m}=15\text{ cm}\nonumber \\ \label{eq:10}\epsilon_{e}&=\frac{\varepsilon_{1}\varepsilon_{2}(d_{1}+d_{2})}{\varepsilon_{1}d_{2}+\varepsilon_{2}d_{1}}=12.99\varepsilon_{0},\quad\lambda_{g}=\frac{3\times10^{8}}{10^{9}\sqrt{12.99}}=0.0832\text{ m}=8.32\text{ cm}\end{align} \]
4.10.1 Modos en la línea MIS (MOS)
La descripción previa de las propiedades de un condensador Maxwell—Wagner conduce a una discusión de los posibles modos en la línea MIS (MOS). Para que el problema sea manejable, la línea de transmisión mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) se aproximará como teniendo la sección transversal mostrada en la Figura\(\PageIndex{4}\) (a).
Modo cuasi-TEM dieléctrico
El primer modo posible es el modo dieléctrico cuasi-TEM, para lo cual es aplicable el modelo de circuito equivalente seccional de la Figura\(\PageIndex{4}\) (b). En esta modalidad\(\sigma_{2} ≪ \omega\varepsilon_{2}\). Esto implica a partir de la discusión anterior que\(\varepsilon_{e}' = \varepsilon_{e,\infty}'\) y\(\mu_{e}' = \mu_{0}\). Así, los parámetros por unidad de longitud son
\[\label{eq:11}L=\mu_{0}\frac{d_{1}}{W},\quad C_{1}=\varepsilon_{1}\frac{W}{d_{1}},\quad C_{2}=\varepsilon_{2}\frac{W}{d_{2}}m\quad G_{2}=\sigma_{2}\frac{W}{d_{2}} \]
Estos tienen las unidades SI\(\text{H/m}\) para\(L\),\(\text{F/m}\) para\(C_{1}\)\(C_{2}\),\(\text{F/m}\) para y\(\text{S/m}\) para\(G_{2}\).
Modo de efecto piel
El segundo modo posible es el modo de efecto piel, para lo cual es aplicable el modelo de circuito equivalente seccional de la Figura\(\PageIndex{4}\) (c). Aquí,\(\sigma_{2} ≪ \omega\varepsilon_{2}\) es tal que la profundidad de la piel\(\delta_{s} = 1/\sqrt{\pi f\mu_{0}\sigma_{2}}\) en el semiconductor es mucho menor que\(d_{2}\) y
\[\varepsilon_{e}'=\varepsilon_{e,0}',\quad\mu_{e}'=\frac{\mu_{0}}{d}\left(d_{1}+\frac{\delta_{s}}{2}\right) \nonumber \]
Así
\[\begin{align}\label{eq:12}L_{1}&=\mu_{0}\frac{d_{1}}{W},\quad&C_{1}&=\varepsilon_{1}\frac{W}{d_{1}}\\ \label{eq:13}L_{2}&=\mu_{0}\frac{1}{W}\left(\frac{\delta_{s}}{2}\right) &R_{2}&=2\pi f\mu_{0}\frac{1}{W}\left(\frac{\delta_{s}}{2}\right)\end{align} \]
Estos tienen las unidades SI\(\text{H/m}\) para\(L_{1}\) y\(L_{2}\),\(\text{F/m}\) para\(C_{1}\), y\(\Omega\text{/m}\) para\(R_{2}\).
Modo de onda lenta
El tercer modo posible de propagación es el modo de onda lenta [15, 16], para lo cual es aplicable el modelo de circuito equivalente seccional de la Figura\(\PageIndex{4}\) (d). Este modo se produce cuando no\(f\) es tan grande y la resistividad es moderada para que la profundidad de la piel\(\delta_{s}\),, sea mayor que (o del orden de)\(d_{2}\). Así\(\varepsilon_{e}' =\varepsilon_{e,0}'\), pero\(\mu_{e}' =\mu_{0}\). Por lo tanto
\[\label{eq:14}v_{p}=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{e}'\mu_{e}'}}=\frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\varepsilon_{0}}}\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_{1}}}\sqrt{\frac{d_{1}}{d}} \]
(con unidades SI de\(\text{m/s}\)) y\(\lambda_{g} =\lambda_{1}\sqrt{d_{1}/d}\), donde\(\lambda_{1}\) esta la longitud de onda en el aislador.