5.5: Procesos de ramificación

Los procesos de ramificación proporcionan un modelo simple para estudiar la población de diversos tipos de individuos de una generación a la siguiente. Los individuos podrían ser fotones en un fotomultiplicador, partículas en una cámara de nubes, microorganismos, insectos o ramas en una estructura de datos.

\(X_{n}\)Sea el número de individuos en generación\(n\) de alguna población. Cada uno de estos\(X_{n}\) individuos, independientemente unos de otros, produce un número aleatorio de descendencia, y estos ospring conforman colectivamente generación\(n+1\). Más precisamente, un proceso de ramificación es una cadena de Markov en la que el estado\(X_{n}\) en el momento\(n\) modela el número de individuos en generación\(n\). Denotar a los individuos de generación\(n\) como\(\left\{1,2, \ldots, X_{n}\right\}\) y dejar\(Y_{k, n}\) ser el número de oprimavera de individuo\(k\). Las variables aleatorias\(Y_{k, n}\) se definen como IID sobre\(k\) y\(n\), con a\(\operatorname{PMF} p_{j}=\operatorname{Pr}\left\{Y_{k, n}=j\right\}\). El estado en el momento\(n+1\), es decir, el número de individuos en generación\(n+1\), es

\[X_{n+1}=\sum_{k=1}^{X_{n}} Y_{k, n}\label{5.41} \]

Asumir una distribución dada (quizás determinista) para el estado inicial\(X_{0}\). La probabilidad de transición,\(P_{i j}=\operatorname{Pr}\left\{X_{n+1}=j \mid X_{n}=i\right\}\), es solo la probabilidad de que\(Y_{1, n}+Y_{2, n}+\cdots+Y_{i, n}=j\). El estado cero (es decir, el estado en el que no hay individuos) es un estado de captura (i.e.,\(P_{00}=1\)) ya que en este caso no puede surgir futuro ospring.

Uno de los temas más importantes de un proceso de ramificación es la probabilidad de que la población muera eventualmente. Naturalmente, si\(p_{0}\) (la probabilidad de que un individuo no tenga descendencia) es cero, entonces cada generación debe ser al menos tan grande como la generación anterior, y la población no puede morir a menos que\(X_{0}=0\). Asumimos en lo que sigue eso\(p_{0}>0\) y\(X_{0}>0\). Recordemos que se\(\mathrm{F}_{i j}(n)\) definió como la probabilidad, dada\(X_{0}=i\), ese estado\(j\) se ingresa entre los tiempos 1 y\(n\). A partir de (5.8), esto satisface la relación iterativa

\[\mathrm{F}_{i j}(n)=P_{i j}+\sum_{k \neq j} P_{i k} \mathrm{~F}_{k j}(n-1), n>1 ; \quad \mathrm{F}_{i j}(1)=P_{i j}\label{5.42} \]

La probabilidad de que el proceso se agote por el tiempo\(n\) o antes, dada\(X_{0}=i\), es así\(\mathrm{F}_{i 0}(n)\). Para que la\(n^{t h}\) generación se agote, comenzando con una población inicial de\(i\) individuos, los descendientes de cada uno de esos\(i\) individuos deben morir. Dado que cada individuo genera descendientes de manera independiente, tenemos\(\mathrm{F}_{i 0}(n)=\left[\mathrm{F}_{10}(n)\right]^{i}\) para todos\(i\) y\(n\). Debido a esta relación, es suciente encontrar\(\mathrm{F}_{10}(n)\), que se puede determinar a partir de (5.42). Observe que\(P_{1 k}\) es justa\(p_{k}\), la probabilidad de que un individuo tenga\(k\) descendencia. Así,\ ref {5.42} se convierte

\[\left.\mathrm{F}_{10}(n)=p_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}\right\} p_{k}\left[\mathrm{~F}_{10}(n-1)\right]^{k}=\left.\sum_{k=0}^{\infty}\right\} p_{k}\left[\mathrm{~F}_{10}(n-1)\right]^{k}\label{5.43} \]

\(h(z)=\sum_{k} p_{k} z^{k}\)Sea la\(z\) transformación del número de la descendencia de un individuo. Entonces\ ref {5.43} se puede escribir como

\[\mathrm{F}_{10}(n)=h\left(\mathrm{~F}_{10}(n-1)\right)\label{5.44} \]

Esta iteración comienza con\(\mathrm{F}_{10}(1)=p_{0}\). La Figura 5.7 muestra una construcción gráfica para evaluar\(\mathrm{F}_{10}(n)\). Habiendo encontrado\(\mathrm{F}_{10}(n)\) como ordenada en la gráfica para un valor dado de\(n\), encontramos el mismo valor que una abscisa dibujando una línea horizontal sobre la línea recta de pendiente 1; luego dibujamos una línea vertical de regreso a la curva\(h(z)\) para encontrar\(h\left(\mathrm{~F}_{10}(n)\right)=\mathrm{F}_{10}(n+1)\).

Figura 5.7: Construcción gráfica para encontrar la probabilidad de que una población fallezca. Aquí\(\mathrm{F}_{10}(n)\) está la probabilidad de que una población que comienza con un miembro en la generación es la probabilidad de que una población que comienza con un miembro en generación\(F_{10}(\infty)\) sea la probabilidad de que la población alguna vez se muera.

Para las dos subfiguras mostradas, se puede ver que\(\mathrm{F}_{10}(\infty)\) es igual a la raíz más pequeña de la ecuación\(h(z)-z=0\). A continuación mostramos que estas dos figuras son representativas de todas las posibilidades. Ya que\(h(z)\) es una\(z\) transformación, eso lo sabemos\(h(1)=1\), así que esa\(z = 1\) es una raíz de\(h(z)-z=0\). También,\(h^{\prime}(1)=\overline{Y}\), donde\(\overline{Y}=\sum_{k} k p_{k}\) está el número esperado de descendencia de un individuo. Si\(\overline{Y}>1\), como en la Figura 5.7a, entonces\(h(z)-z\) es negativo para\(z\) un poco menor que 1. También, para\(z=0, h(z)-z=h(0)=p_{0}>0\). Ya que\(h^{\prime \prime}(z) \geq 0\), hay exactamente una raíz de\(h(z)-z=0\) for\(0<z<1\), y esa raíz es igual a\(\mathrm{F}_{10}(\infty)\). Por el mismo tipo de análisis, se puede observar que si\(\overline{Y} \leq 1\), como en la Figura 5.7b, entonces no hay raíz de\(h(z)-z=0\) for\(z<1\), y\(\mathrm{F}_{10}(\infty)=1\).

Como vimos anteriormente,\(\mathrm{F}_{i 0}(\infty)=\left[\mathrm{F}_{10}(\infty)\right]^{i}\), de manera que para cualquier tamaño de población inicial, existe una probabilidad estrictamente entre 0 y 1 de que las generaciones sucesivas finalmente se desaparezcan\(\overline{Y}>1\), y probabilidad 1 por la que las generaciones sucesivas finalmente mueren\(\overline{Y} \leq 1\). Dado que el estado 0 es accesible desde todos\(i\), pero\(\mathrm{F}_{0 i}(\infty)=0\), se deduce de Lemma 5.1.3 que todos los estados que no sean el estado 0 son transitorios.

A continuación evaluamos el número esperado de individuos en una generación determinada. Condicional on\(X_{n-1}=i\),\ ref {5.41} muestra que el valor esperado de\(X_{n}\) es\(i \overline{Y}\). Tomando la expectativa\(X_{n-1}\), tenemos

\[\mathrm{E}\left[X_{n}\right]=\overline{Y} \mathrm{E}\left[X_{n-1}\right]\label{5.45} \]

Iterando esta ecuación, obtenemos

\[\mathrm{E}\left[X_{n}\right]=\overline{Y}^{n} \mathrm{E}\left[X_{0}\right]\label{5.46} \]

Así, si\(\overline{Y}>1\), el número esperado de individuos en una generación aumenta exponencialmente con\(n\), y\(\overline{Y}\) da la tasa de crecimiento. Los procesos físicos no crecen exponencialmente para siempre, por lo que los procesos de ramificación son modelos apropiados de tales procesos físicos solo sobre algún rango finito de población. Aún más importante, el modelo aquí asume que el número de crías de un solo miembro es independiente de la población total, lo cual es altamente cuestionable en muchas áreas de crecimiento poblacional. La ventaja de un modelo sobre-simplificado como este es que explica lo que sucedería bajo estas condiciones idealizadas, proporcionando así una visión de cómo se debe cambiar el modelo para escenarios más realistas.

Es importante darse cuenta de que, para los procesos de ramificación, el número medio de individuos no es una buena medida del número real de individuos. Para\(\overline{Y}=1\) y\(X_{0}=1\), el número esperado de individuos en cada generación es 1, pero la probabilidad que se\(X_{n}=0\) acerca a 1 con n creciente; esto significa que a medida que n se agranda, la\(n^{t h}\) generación contiene un gran número de individuos con una probabilidad muy pequeña y no contiene individuos con una probabilidad muy grande. Porque\(\overline{Y}>1\), acabamos de ver que existe una probabilidad positiva de que la población se agote, pero el número esperado está creciendo exponencialmente.

Un resultado sorprendente, que se deriva de la teoría de las martingales en el Capítulo 7, es que si\(X_{0}=1\) y\(\overline{Y}>1\), entonces la secuencia de variables aleatorias\(X_{n} / \overline{Y}^{n}\) tiene un límite con probabilidad 1. Este límite es una variable aleatoria; tiene el valor 0 con probabilidad\(\mathrm{F}_{10}(\infty)\), y tiene valores mayores con alguna distribución dada. Intuitivamente, para grandes\(n, X_{n}\) es 0 o muy grande. Si es muy grande, tiende a crecer de manera ordenada, aumentando en un múltiplo de\(\overline{Y}\) en cada generación posterior.