11: Funciones con valor vectorial
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En el capítulo anterior, aprendimos sobre vectores y fuimos introducidos al poder de los vectores dentro de las matemáticas. En este capítulo, vamos a construir sobre esta base para definir funciones cuya entrada es un número real y cuya salida es un vector. Veremos cómo graficar estas funciones y aplicar técnicas de cálculo para analizar su comportamiento. Lo más importante es que veremos por qué nos interesa hacer esto: veremos hermosas aplicaciones para el estudio de objetos en movimiento.
- 11.1: Funciones Vector-Valoradas
- Estamos muy familiarizados con las funciones de valor real, es decir, funciones cuya salida es un número real. Esta sección introduce funciones vectorizadas, funciones cuya salida es un vector.
- 11.2: Cálculo y Funciones Vectoriales
- La sección anterior nos introdujo a un nuevo objeto matemático, la función vector-valorada. Ahora aplicamos conceptos de cálculo a estas funciones. Comenzamos con el límite, luego trabajamos nuestro camino a través de derivados a integrales.
- 11.3: El cálculo del movimiento
- Un uso común de las funciones con valores vectoriales es describir el movimiento de un objeto en el plano o en el espacio. Una función de posición\(\vec r(t)\) da la posición de un objeto en el tiempo t. Esta sección explora cómo se utilizan derivados e integrales para estudiar el movimiento descrito por dicha función.
- 11.4: Unidad Tangente y Vectores Normales
- Dada una función de vector suave r (t), definimos que cualquier vector paralelo a r (t0) es tangente a la gráfica de r (t) en t=t0. A menudo es útil considerar solo la dirección de r′ (t) y no su magnitud. Por lo tanto, nos interesa el vector unitario en la dirección de r (t). Esto lleva a una definición del vector tangente unitario.
- 11.5: El parámetro de longitud de arco y curvatura
- Aproximación por múltiples segmentos lineales Una curva en el plano se puede aproximar conectando un número finito de puntos en la curva usando segmentos de línea para crear una trayectoria poligonal. Dado que es sencillo calcular la longitud de cada segmento lineal, la longitud total de la aproximación se puede encontrar sumando las longitudes de cada segmento lineal.