1.4: Desigualdades compuestas

En esta sección se discute una técnica que se utiliza para resolver desigualdades compuestas, que es una frase que suele referirse a un par de desigualdades conectadas ya sea por la palabra “y” o la palabra “o”. Antes de comenzar con el trabajo avanzado de resolver estas desigualdades, primero dediquemos una o dos palabras (para fines de revisión) discutiendo la solución de las desigualdades lineales simples.

Desigualdades lineales simples

Al igual que en la resolución de ecuaciones, puede sumar o restar la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad.

Propiedad$\PageIndex{1}$

Dejar$a$ y$b$ ser números reales con$a<b$. Si$c$ hay algún número real, entonces

$$a+c<b+c$$

y

$$a-c<b-c$$

Esta utilidad es igualmente válida si reemplaza el símbolo “menos que” con$>, \leq$ o$\geq$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Resolver la desigualdad$x + 3 < 8$ para$x.$

Solución

Restar$3$ de ambos lados de la desigualdad y simplificar.

$$\begin{align*} x+3 &<8 \\ x+3-3 &<8-3 \\ x &<5 \end{align*}$$

Así, todos los números reales menos que$5$ son soluciones de la desigualdad. Es tradicional esbozar el conjunto de soluciones de desigualdades en una recta numérica.

Podemos describir el conjunto de soluciones usando set-builder y notación de intervalo. La solución es

$$(-\infty, 5)=\{x : x<5\}\nonumber$$

Un concepto importante es la idea de desigualdades equivalentes.

Desigualdades equivalentes.

Se dice que dos desigualdades son equivalentes si y sólo si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Tenga en cuenta que esta definición es similar a la definición de ecuaciones equivalentes. Es decir, dos desigualdades son equivalentes si todas las soluciones de la primera desigualdad son también soluciones de la segunda desigualdad, y viceversa.

Así, en Ejemplo$\PageIndex{1}$, restar tres de ambos lados de la desigualdad original produjo una desigualdad equivalente. Es decir, las desigualdades$x+3 < 8$ y$x < 5$ tienen el mismo conjunto de soluciones, es decir, todos los números reales que son menores a 5. No es casualidad que las herramientas en Propiedad$\PageIndex{1}$ produzcan desigualdades equivalentes. Siempre que se suma o resta la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad, la desigualdad resultante es equivalente a la original (tienen el mismo conjunto de soluciones).

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Resolver la desigualdad$x-5 \geq 4$ para$x.$

Solución

Agrega 5 a ambos lados de la desigualdad y simplifica.

$$\begin{align*} x-5 & \geq 4 \\ x-5+5 & \geq 4+5 \\ x & \geq 9 \end{align*}$$

Sombra la solución en una línea de números.

En la notación set-builder y interval, la solución es

$$[9, \infty)=\{x : x \geq 9\} \nonumber$$

También puedes multiplicar o dividir ambos lados por el mismo número positivo.

Propiedad$\PageIndex{2}$

Dejar$a$ y$b$ ser números reales con$a<b$. Si$c$ es un número positivo real, entonces

$$a c<b c$$

y

$$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$$

Nuevamente, esta utilidad es igualmente válida si reemplaza el símbolo “menos que” por$>, \leq, \text{or} \geq.$ Las herramientas en la Propiedad 4 siempre producen desigualdades equivalentes.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Resolver la desigualdad$3x \leq −18$ para$x.$

Solución

Dividir ambos lados de la desigualdad por$3$ y simplificar.

$$\begin{align*} 3 x & \leq-18 \\ \frac{3 x}{3} & \leq \frac{-18}{3} \\ x & \leq-6 \end{align*}$$

Esbozar la solución en una recta numérea.

En la notación set-builder y interval, la solución es

$$(-\infty,-6]=\{x : x \leq-6\} \nonumber$$

Hasta el momento, aparentemente no hay diferencia entre la técnica empleada para resolver desigualdades y la utilizada para resolver ecuaciones. Sin embargo, hay una excepción importante. Considerar por un momento la verdadera afirmación

$$-2<6 \label{eq6}$$

Si multiplicas ambos lados de Desigualdad\ ref {eq6} por todavía$3,$ tienes una declaración verdadera; es decir,

$$-6<18 \nonumber$$

Pero si multiplicas ambos lados de Desigualdad\ ref {eq6} por$−3,$ necesitas “revertir el símbolo de desigualdad” para mantener una declaración verdadera; es decir,

$$6>-18 \nonumber$$

Esta discusión lleva a la siguiente propiedad.

Propiedad$\PageIndex{3}$

Dejar$a$ y$b$ ser números reales con$a < b$. Si$c$ hay algún número negativo real, entonces

$$a c>b c$$

y

$$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$$

Tenga en cuenta que “invierte el símbolo de desigualdad” cuando multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo. Nuevamente, esta utilidad es igualmente válida si reemplaza el símbolo “menos que” por$>, \leq,$ o$\geq$. Las herramientas en Propiedad$\PageIndex{3}$ siempre producen desigualdades equivalentes.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Resolver la desigualdad$−5x > 10$ para$x.$

Solución

Dividir ambos lados de la desigualdad por$−5$ e invertir el símbolo de desigualdad. Simplificar.

$$\begin{array}{r}{-5 x>10} \\ {\dfrac{-5 x}{-5}<\dfrac{10}{-5}} \\ {\quad x<-2}\end{array} \nonumber$$

Esbozar la solución en una recta numérea.

En la notación set-builder y interval, la solución es

$$(-\infty,-2)=\{x : x<-2\} \nonumber$$

Desigualdades compuestas

Ahora dirigimos nuestra atención al negocio de resolver desigualdades compuestas. En la sección anterior, estudiamos las sutilezas de “y” y “o” intersección y unión, y observamos algunas desigualdades compuestas simples. En esta sección, construimos sobre esos fundamentos y dirigimos nuestra atención a ejemplos más intrincados.

En este caso, la mejor manera de aprender es haciendo. Empecemos con un ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Resolver la siguiente desigualdad compuesta para$x.$

$$3-2 x<-1 \quad \text { or } \quad 3-2 x>1 \nonumber$$

Solución

Primero, resolver cada una de las desigualdades de forma independiente. Con la primera desigualdad,$−3$ sumar a ambos lados de la desigualdad, luego dividir$−2,$ invirtiendo el signo de desigualdad.

$$\begin{align*} 3-2 x &<-1 \\-2 x &<-4 \\ x &>2 \end{align*}$$

Sombra la solución en una línea de números.

La misma secuencia exacta de operaciones se puede utilizar para resolver la segunda desigualdad

$$\begin{align*} 3-2 x &>1 \\-2 x &>-2 \\ x &<1 \end{align*}$$

Si bien resuelves cada lado de la desigualdad de forma independiente, querrás organizar tu trabajo de la siguiente manera, apilando la solución de la línea numérica para la primera desigualdad por encima de la de la segunda desigualdad.

$$\begin{array}{rlllrll}{3-2 x}&{<}&{-1} & {\text { or }} & {\quad 3-2 x}&{>}&{1} \\ {-2 x}&{<}&{-4} & &{-2 x}&{>}&{-2} \\ {x}&{>}&{2} && {x}&{<}&{1}\end{array} \nonumber$$

Figura$\PageIndex{1}$. La solución de la desigualdad compuesta$3 − 2x < −1$ o$3 − 2x > 1$

La solución, en notación de intervalo y set-builder, es $$(-\infty, 1) \cup(2, \infty)=\{x : x<1 \text { or } x>2\} \nonumber$$

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Resolver la siguiente desigualdad compuesta para$x.$

$$-1<3-2 x<1 \label{eq12}$$

Solución

Recordemos que$a < x < b$ es idéntico al enunciado$x > a$ y$x < b.$ así, podemos escribir la desigualdad compuesta$−1 < 3 − 2x < 1$ en la forma

$$3-2 x>-1 \quad \text { and } \quad 3-2 x<1 \label{eq13}$$

Resuelve cada desigualdad de forma independiente, arreglando tu trabajo de la siguiente manera.

$$\begin{array}{rlllrll}{3-2 x}&{>}&{-1} & {\text { and }} & {\quad 3-2 x}&{<}&{1} \\ {-2 x}&{>}&{-4} & &{-2 x}&{<}&{-2} \\ {x}&{<}&{2} && {x}&{>}&{1}\end{array} \label{eq14}$$

Sombra la solución de cada desigualdad en líneas reales separadas, una encima de la otra

Figura$\PageIndex{2}$. La solución de la desigualdad compuesta$−1 < 3 − 2x < 1.$

La solución, tanto en notación de intervalo como de constructor de conjuntos, es

$$(1,2)=\{x : 1<x<2\} \nonumber$$

Tenga en cuenta que utilizamos la forma compacta de la desigualdad compuesta en nuestra respuesta. También podríamos haber usado

$$(1,2)=\{x : x>1 \text { and } x<2\} \nonumber$$

Ambas formas de notación set-builder son igualmente válidas. Puedes usar cualquiera de ellos, pero debes entender ambos.

Enfoque alternativo. Podrías haber notado que al resolver la segunda desigualdad en\ ref {eq14}, te encontraste repitiendo las operaciones idénticas utilizadas para resolver la primera desigualdad. Es decir, restaste$3$ de ambos lados de la desigualdad, luego dividiste ambos lados de la desigualdad al$−2,$ revertir el signo de desigualdad.

Esta repetición es molesta y sugiere un posible atajo en esta situación particular. En lugar de dividir la desigualdad compuesta\ ref {eq12} en dos partes (como en\ ref {eq13}), mantengamos la desigualdad unida, como en

$$-1<3-2 x<1 \label{eq16}$$

Ahora bien, aquí están las reglas para trabajar con este formulario.

Propiedad$\PageIndex{4}$

Cuando se trabaja con una desigualdad compuesta teniendo la forma

$$a<x<b$$

puede sumar (o restar) la misma cantidad a (de) las tres partes de la desigualdad, como en

$$a+c<x+c<b+c$$

o

$$a-c<x-c<b-c$$

También puede multiplicar las tres partes por el mismo número positivo$c > 0,$ que en

$$c a<c x<c b$$

Sin embargo, si multiplicas las tres partes por el mismo número negativo$c < 0,$ entonces no olvides revertir los signos de desigualdad, como en

$$c a>c x>c b$$

Las reglas para la división son idénticas a las reglas de multiplicación. Si$c > 0$ (positivo), entonces

$$\frac{a}{c}<\frac{x}{c}<\frac{b}{c}$$

Si$c < 0$ (negativo), entonces invierta los signos de desigualdad cuando se divide.

$$\frac{a}{c}>\frac{x}{c}>\frac{b}{c}$$

Cada una de las herramientas en Propiedad$\PageIndex{4}$ siempre produce desigualdades equivalentes.

Entonces, volvamos a la desigualdad compuesta\ ref {eq16} y restemos$3$ de los tres miembros de la desigualdad.

$$\begin{array}{c}{-1<3-2 x<1} \\ {-1-3<3-2 x-3<1-3} \\ {-4<-2 x<-2}\end{array} \nonumber$$

A continuación, divida a los tres miembros$−2,$ invirtiendo los signos de desigualdad a medida que lo haces.

$$\begin{array}{c}{-4<-2 x<-2} \\ {\dfrac{-4}{-2}>\dfrac{-2 x}{-2}>\dfrac{-2}{-2}} \\ {2>x>1}\end{array} \nonumber$$

Es convencional cambiar el orden de esta última desigualdad. Al leer la desigualdad de derecha a izquierda, obtenemos

$$1<x<2 \nonumber$$

que describe los números reales que son mayores que 1 y menores que$2.$ La solución se dibuja en la siguiente línea real.

Figura$\PageIndex{3}$. La solución de la desigualdad compuesta$−1 < 3 − 2x < 1$.

Tenga en cuenta que esto es idéntico a la solución establecida en la línea real en la Figura$\PageIndex{2}$. Tenga en cuenta también que este segundo método alternativo es más eficiente, particularmente si haces un poco de trabajo en tu cabeza. Consideremos la siguiente secuencia donde restamos tres de los tres miembros, luego dividimos a los tres miembros$−2,$ invirtiendo los signos de desigualdad, luego finalmente leemos la desigualdad en la dirección opuesta.

$$\begin{array}{c}{-1<3-2 x<1} \\ {-4<-2 x<-2} \\ {\quad 2>x>1} \\ {\quad 1<x<2}\end{array} \nonumber$$

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Resolver la siguiente desigualdad compuesta para$x.$

$$-1<x-\frac{x+1}{2} \leq 2 \nonumber$$

Solución

Primero, multipliquemos los tres miembros por$2,$ para borrar las fracciones.

$$2(-1)<2\left(x-\frac{x+1}{2}\right) \leq 2(2) \nonumber$$

$$-2<2(x)-2\left(\frac{x+1}{2}\right) \leq 4 \nonumber$$

Cancelar. Tenga en cuenta el uso de paréntesis, que es crucial cuando se trata de un signo menos.

$$-2<2 x-\cancel{2}\left(\frac{x+1}{\cancel{2}}\right) \leq 4 \nonumber$$

$$-2<2 x-(x+1) \leq 4 \nonumber$$

Distribuye el signo menos y simplifica.

$$\begin{align*} -2 &< &&2x-x-1 &&\leq 4 \\ -2 &< &&x-1&& \leq 4\end{align*}$$

Agregar$1$ a los tres miembros.

$$-1<x \leq 5 \nonumber$$

Esta solución describe los números reales que son mayores$-1$ y menores$5.$ que$5,$ incluyendo Es decir, los números reales que caen entre$-1$ e$5,$ incluyendo$5,$ sombreados en la línea real en la Figura$\PageIndex{4}$.

Figura$\PageIndex{4}$. El conjunto de soluciones de$−1 < x − (x + 1)/2 \leq 2$.

La respuesta, descrita tanto en la notación de intervalo como en la notación set-builder, sigue

$$(-1,5]=\{x :-1<x \leq 5\} \nonumber$$

Veamos otro ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Resolver la siguiente desigualdad compuesta para$x.$

$$x \leq 2 x-3 \leq 5 \nonumber$$

Solución

Supongamos que tratamos de aislar$x$ como hicimos en Ejemplo$\PageIndex{7}$. Quizás trataríamos de$−x$ sumar a los tres integrantes.

$$\begin{align*} x &\leq &&2x-3 &&\leq 5 \\ x-x &\leq &&2x-3-x &&\leq 5-x \\ 0 &\leq &&x-3 &&\leq 5-x \end{align*}$$

Bueno, eso no ayudó mucho, solo transfiriendo el problema con$x$ al otro extremo de la desigualdad. Intentos similares no ayudarán a aislar$x.$ Entonces, ¿qué hacemos?

La solución es dividir la desigualdad (con la palabra “y”, por supuesto).

$$x \leq 2 x-3 \quad \text { and } \quad 2 x-3 \leq 5 \nonumber$$

Podemos resolver la primera desigualdad restando$2x$ de ambos lados de la desigualdad, luego multiplicando ambos lados al$−1,$ revertir la desigualdad en el proceso

$$\begin{align*} x & \leq 2 x-3 \\-x & \leq-3 \\ x & \geq 3 \end{align*}$$

Para resolver la segunda desigualdad, agregue$3$ a ambos lados, luego divida ambos lados por$2$:

$$\begin{align*} 2 x-3 & \leq 5 \\ 2 x & \leq 8 \\ x & \leq 4 \end{align*}$$

Por supuesto, probablemente querrás organizar tu trabajo de la siguiente manera

$$\begin{array}{rllrl} x & \leq 2 x-3 & \text{and} &2 x-3 & \leq 5 \\ -x & \leq-3 && 2 x & \leq 8 \\ x & \geq 3 & & x & \leq 4\end{array} \nonumber$$

Por lo tanto, necesitamos sombrear en una recta numérica todos los números reales que sean mayores o iguales$3$ e inferiores o iguales$4,$ como se muestra en la Figura$\PageIndex{5}$.

Figura$\PageIndex{5}$ Al sombrear la solución de$x \leq 2 x-3 \leq 5$, “rellenamos” los puntos finales.

La solución, descrita tanto en notación de intervalo como de constructor de conjuntos, es

$$[3,4]=\{x : 3 \leq x \leq 4\} \nonumber$$