8.2: Expresiones racionales
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Expresiones racionales
En aritmética, se observa que una fracción es un cociente de dos números enteros. La expresión\(\dfrac{a}{b}\), donde\(a\) y\(b\) son cualesquiera dos números enteros y\(b≠0\), se llama fracción. El número superior,\(a\), se llama numerador, y el número inferior\(b\),, se llama denominador.
Fracción Algebraica Simple
Definimos una fracción algebraica simple de manera similar. En lugar de restringirnos sólo a números, utilizamos polinomios para el numerador y denominador. Otro término para una fracción algebraica simple es una expresión racional. Una expresión racional es una expresión de la forma\(\dfrac{P}{Q}\), donde\(P\) y\(Q\) son ambos polinomios y\(Q\) nunca representa el polinomio cero.
Una expresión racional es una expresión algebraica que se puede escribir como el cociente de dos polinomios.
Los ejemplos 1—4 son expresiones racionales:
\(\dfrac{x+9}{x-7}\)es una expresión racional:\(P\) es\(x + 9\) y\(Q\) es\(x-7\).
\(\dfrac{x^3 + 5x^2 - 12x + 1}{x^4 - 10}\)es una expresión racional. \(P\)es\(x^3 + 5x^2 - 12x + 1\) y\(Q\) es\(x^4 - 10\)
\(\dfrac{3}{8}\)es una expresión racional:\(P\) es\(3\) y\(Q\) es\(8\).
\(4x - 5\)es una expresión racional ya que se\(4x - 5\) puede escribir como\(\dfrac{4x-5}{1}\):\(P\) es\(4x - 5\) y\(Q\) es\(1\).
\(\dfrac{\sqrt{5x^2-8}}{2x-1}\)no es una expresión racional ya que no\(\sqrt{5x^2-8}\) es un polinomio.
En la expresión racional\(\dfrac{P}{Q}\),\(P\) se llama numerador y\(Q\) se llama denominador.
Dominio de una expresión racional
Dado que la división por cero no está definida, debemos tener cuidado de anotar los valores para los que es válida la expresión racional. La colección de valores para la que se define la expresión racional se denomina dominio de la expresión racional. (Recordemos nuestro estudio del dominio de una ecuación en la Sección 4.8.)
Encontrar el dominio de una expresión racional
Para encontrar el dominio de una expresión racional debemos preguntarnos: “¿Qué valores, si los hay, de la variable harán que el denominador sea cero?” Para encontrar estos valores, establecemos el denominador igual a cero y resolvemos. Si se obtienen valores de producción cero, no se incluyen en el dominio. Todos los demás números reales están incluidos en el dominio (a menos que algunos hayan sido excluidos por razones situacionales particulares).
Propiedad de factor cero
A veces para encontrar el dominio de una expresión racional, es necesario factorial el denominador y usar la propiedad de factor cero de los números reales.
Si dos números reales\(a\) y\(b\) se multiplican juntos y el producto resultante es\(0\), entonces al menos uno de los factores debe ser cero, es decir, cualquiera\(a = 0, b = 0\), o ambos\(a = 0\) y\(b = 0\).
Los siguientes ejemplos ilustran el uso de la propiedad de factor cero.
¿Qué valor producirá cero en la expresión\(4x\)? Por la propiedad de factor cero, si\(4x=0\), entonces\(x=0\).
¿Qué valor producirá cero en la expresión\(8(x-6)\)? Por la propiedad de factor cero, si\(8(x-6) = 0\), entonces:
\ (\ comenzar {alineado}
x-6&=0\\
x&=0
\ end {alineado}\)
Así,\(8(x-6) = 0\) cuando\(x = 6\).
¿Qué valor (es) producirá cero en la expresión\((x-3)(x+5)\)? Por la propiedad de factor cero, si\((x-3)(x+5) = 0\), entonces:
\ (\ begin {alineado}
x-3&=0&\ text {o} &x+5&=0\\
x&=3&&&x&=-5
\ end {alineado}\)
Así,\((x-3)(x+5) = 0\) cuando\(x = 3\) o\(x = -5\).
¿Qué valor (es) producirá cero en la expresión\(x^2 + 6x + 8\)? Debemos factorizar\(x^2 + 6x + 8\) para ponerlo en la forma de propiedad de factor cero.
\(x^2 + 6x + 8 = (x+2)(x+4)\)
Ahora,\((x+2)(x+4) = 0\) cuando
\ (\ begin {alineado}
x+2&=0&\ text {o} &x+4&=0\\
x&=-2&&&x&=-4
\ end {alineado}\)
Así,\(x^2 + 6x + 8 = 0\) cuando\(x = -2\) o\(x = -4\).
¿Qué valor (es) producirá cero en la expresión\(6x^2 - 19x - 7\)? Debemos factorizar\(6x^2 - 19x - 7\) para ponerlo en la forma de propiedad de factor cero.
\(6x^2 - 19x - 7 = (3x+1)(2x-7)\)
Ahora,\((3x+1)(2x-7) = 0\) cuando
\ (\ begin {alineado}
3x+1&=0&\ text {o} &2x-7&=0\\
3x&=-1&&&2x&=7
\ end {alineado}\)
Por lo tanto,\(6x^2 - 19x - 7 = 0\) cuando\(x = \dfrac{-1}{3}\) o\(\dfrac{7}{2}\)
Conjunto de Muestras A
Encuentra el dominio de las siguientes expresiones.
\(\dfrac{5}{x-1}\)
El dominio es la colección de todos los números reales excepto\(1\). No se incluye uno, por si\(x = 1\), división por cero resultados.
\(\dfrac{3a}{2a-8}\)
Si establecemos\(2a-8\) igual a cero, nos encontramos con eso\(a = 4\).
\ (\ begin {alineado}
2a - 8 &=0\\
2a &= 8\\
a &=4
\ end {alineado}\)
Por lo tanto, 4 debe ser excluido del dominio ya que producirá división por cero. El dominio es la colección de todos los números reales excepto 4.
\(\dfrac{5x-1}{(x+2)(x-6)}\).
Ajuste\((x+2)(x−6)=0\), nos encontramos con eso\(x=−2\) y\(x=6\). Ambos valores producen división por cero y deben ser excluidos del dominio. El dominio es la colección de todos los números reales excepto\(–2\) y\(6\).
\(\dfrac{9}{(x^2-2x-15}\).
Ajuste\(x^2 - 2x - 15 = 0\), obtenemos:
\ (\ begin {alineado}
(x+3) (x-5) &=0\\
x&=-3, 5
\ end {alineado}\)
Así,\(x=−3\) y\(x=5\) producir división por cero y deben ser excluidos del dominio. El dominio es la colección de todos los números reales excepto\(–3\) y\(5\).
\(\dfrac{2x^2 + x - 7}{x(x-1)(x-3)(x+10)}\)
Ajuste\(x(x−1)(x−3)(x+10)=0\), obtenemos\(x=0,1,3,−10\). Estos números deben ser excluidos del dominio. El dominio es la colección de todos los números reales excepto\(0, 1, 3, –10\).
\(\dfrac{8b+7}{(2b+1)(3b-2)}\).
Ajuste\((2b+1)(3b-2) = 0\), obtenemos\(b = -\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}\). El dominio es la colección de todos los números reales excepto\(-\dfrac{1}{2}\) y\(\dfrac{2}{3}\).
\(\dfrac{4x-5}{x^2+1}\).
No\(x\) se excluye ningún valor de ya que para cualquier elección de\(x\), el denominador nunca es cero. El dominio es la colección de todos los números reales.
\(\dfrac{x-9}{6}\)
No\(x\) se excluye ningún valor de ya que para cualquier elección de\(x\), el denominador nunca es cero. El dominio es la colección de todos los números reales.
Conjunto de práctica A
Encuentra el dominio de cada una de las siguientes expresiones racionales.
\(\dfrac{2}{x-7}\)
- Contestar
-
\(7\)
\(\dfrac{5x}{x(x+4)}\)
- Contestar
-
\(0, −4\)
\(\dfrac{2x+1}{(x+2)(1-x)}\)
- Contestar
-
\(−2, 1\)
\(\dfrac{5a+2}{a^2+6a+8}\)
- Contestar
-
\(−2, −4\)
\(\dfrac{12y}{3y^2-2y-8}\)
- Contestar
-
\((-\dfrac{4}{3}, 2)\)
\(\dfrac{2m-5}{m^2 + 3}\)
- Contestar
-
Todos los números reales comprenden el dominio.
\(\dfrac{k^2 - 4}{5}\)
- Contestar
-
Todos los números reales comprenden el dominio.
La propiedad de igualdad de las fracciones
Por nuestra experiencia con la aritmética, podemos recordar la propiedad de igualdad de las fracciones. \(a, b, c, d\)Dejen ser números reales tales que\(b≠0\) y\(d≠0\).
Si\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\), entonces\(ad = bc\).
Si\(ad = bc\), entonces\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\)
Dos fracciones son iguales cuando sus productos cruzados son iguales.
Vemos esta propiedad en los siguientes ejemplos:
\(\dfrac{2}{3} = \dfrac{8}{12}\), ya que\(2 \cdot 12\ = 3 \cdot 8\).
\(\dfrac{5y}{2} = \dfrac{15y^2}{6y}\), desde\(5y \cdot 6y = 2 \cdot 15y^2\) y\(30y^2 = 30y^2\).
Dado que\(9a \cdot 4 = 18a \cdot 2\),\(\dfrac{9a}{18a} = \dfrac{2}{4}\)
La propiedad negativa de las fracciones
Una propiedad útil de las fracciones es la propiedad negativa de las fracciones.
El signo negativo de una fracción se puede colocar:
- frente a la fracción\(-\dfrac{a}{b}\),
- en el numerador de la fracción\(\dfrac{-a}{b}\),
- en el denominador de la fracción\(\dfrac{a}{-b}\),
Las tres fracciones tendrán el mismo valor, es decir,
\(-\dfrac{a}{b} = \dfrac{-a}{b} = \dfrac{a}{-b}\)
La propiedad negativa de las fracciones se ilustra por las fracciones
\(-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{4} = \dfrac{3}{-4}\)
Para ver esto, considere\(-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{4}\). ¿Es esto correcto?
Por la propiedad de igualdad de fracciones,\(-(3 \cdot 4) = -13\) y\(-3 \cdot 4 = -12\). Así,\(-\dfrac{3}{4} = \dfrac{-3}{4}\). Convénzate de que las otras dos fracciones son iguales también.
Esta misma propiedad es válida para expresiones racionales y signos negativos. Esta propiedad suele ser bastante útil para simplificar una expresión racional (como deberemos hacer en secciones posteriores).
Si bien el numerador o denominador de una fracción o de una fracción misma es precedido inmediatamente por un signo negativo, suele ser más conveniente colocar el signo negativo en el numerador para operaciones posteriores.
Conjunto de Muestras B
\(\dfrac{x}{-4}\)se escribe mejor como\(\dfrac{-x}{4}\)
\(-\dfrac{y}{9}\)se escribe mejor como\(\dfrac{-y}{9}\)
\(-\dfrac{x-4}{2x-5}\)podría escribirse como\(\dfrac{-(x-4)}{2x-5}\), que luego cedería\(\dfrac{-x+4}{2x-5}\)
\(\dfrac{-5}{-10-x}\). Facturar nuestro\(-1\) desde el denominador.
\(\dfrac{-5}{-(10+x)}\)Un negativo dividido por un negativo es un positivo
\(\dfrac{5}{10+x}\)
\(-\dfrac{3}{7-x}\). Reescribe esto.
\(\dfrac{-3}{7-x}\)Factor fuera\(-1\) del denominador.
\(\dfrac{-3}{-(-7+x)}\)Un negativo dividido por un negativo es positivo.
\(\dfrac{3}{-7+x}\)Reescribir.
\(\dfrac{3}{x-7}\)
Esta expresión parece menos engorrosa que la original (menos signos menos).
Set de práctica B
Rellena el término que falta.
\(-\dfrac{5}{y-2} = \dfrac{?}{y-2}\)
- Contestar
-
\(−5\)
\(-\dfrac{a+2}{-a+3} = \dfrac{?}{a-3}\)
- Contestar
-
\(a+2\)
\(-\dfrac{8}{5-y} = \dfrac{?}{y-5}\)
- Contestar
-
\(8\)
Ejercicios
Para los siguientes problemas, encuentra el dominio de cada una de las expresiones racionales.
\(\dfrac{6}{x-4}\)
- Contestar
-
\(x \not = 4\)
\(\dfrac{-3}{x-8}\)
\(\dfrac{-11x}{x+1}\)
- Contestar
-
\(x≠−1\)
\(\dfrac{x+10}{x+4}\)
\(\dfrac{x-1}{x^2-4}\)
- Contestar
-
\(x≠−2, 2\)
\(\dfrac{x+7}{x^2-9}\)
\(\dfrac{-x+4}{x^2-36}\)
- Contestar
-
\(x≠−6, 6\)
\(\dfrac{-a+5}{a(a-5)}\)
\(\dfrac{2b}{b(b+6)}\)
- Contestar
-
\(b≠0, −6\)
\(\dfrac{3b+1}{b(b-4)(b+5)}\)
\(\dfrac{3x+4}{x(x-10)(x+1)}\)
- Contestar
-
\(x≠0, 10, −1\)
\(\dfrac{-2x}{x^2(4-x)}\)
\(\dfrac{6a}{a^3(a-5)(7-a)}\)
- Contestar
-
\(x≠0, 5, 7\)
\(\dfrac{-5}{a^2 + 6a + 8}\)
\(\dfrac{-8}{b^2 - 4b + 3}\)
- Contestar
-
\(b≠1, 3\)
\(\dfrac{x-1}{x^2 - 9x + 2}\)
\(\dfrac{y-9}{y^2-y-20}\)
- Contestar
-
\(y≠5, −4\)
\(\dfrac{y-6}{2y^2 - 3y - 2}\)
\(\dfrac{2x + 7}{6x^3 + x^2 - 2x}\)
- Contestar
-
\(x \not = 0, \dfrac{1}{2}, -\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{-x+4}{x^3 - 8x^2 + 12x}\)
Para los siguientes problemas, mostrar que las fracciones son equivalentes.
\(\dfrac{-3}{5}\)y\(-\dfrac{3}{5}\)
- Contestar
-
\((−3)5=−15, −(3 ⋅ 5)=−15\)
\(\dfrac{-2}{7}\)y\(-\dfrac{2}{7}\)
\(-\dfrac{1}{4}\)y\(\dfrac{-1}{4}\)
- Contestar
-
\(−(1 ⋅ 4)=−4, 4(−1)=−4\)
\(\dfrac{-2}{3}\)y\(-\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{-9}{10}\)y\(\dfrac{9}{-10}\)
- Contestar
-
\((−9)(−10)=90\)y\((9)(10)=90\)
Para los siguientes problemas, llene el término que falta.
\(-\dfrac{4}{x-1} = \dfrac{?}{x-1}\)
\(-\dfrac{2}{x+7} = \dfrac{?}{x+7}\)
- Contestar
-
\(−2\)
\(-\dfrac{3x+4}{2x-1} = \dfrac{?}{2x-1}\)
\(-\dfrac{2x+7}{5x-1} = \dfrac{?}{5x-1}\)
- Contestar
-
\(−2x−7\)
\(-\dfrac{x-2}{6x-1} = \dfrac{?}{6x-1}\)
\(-\dfrac{x-4}{2x-3} = \dfrac{?}{2x-3}\)
- Contestar
-
\(−x+4\)
\(-\dfrac{x+5}{-x-3} = \dfrac{?}{x+3}\)
\(-\dfrac{a+1}{-a-6} = \dfrac{?}{a+6}\)
- Contestar
-
\(a+1\)
\(\dfrac{x-7}{-x+2} = \dfrac{?}{x-2}\)
\(\dfrac{y+10}{-y-6} = \dfrac{?}{y+6}\)
- Contestar
-
\(−y−10\)
Ejercicios para revisión
Escribe\((\dfrac{15x^{-3}y^4}{5x^2y^{-7}})^2\) para que solo aparezcan exponentes positivos.
Resolver la desigualdad compuesta\(1≤6x−5<13\)
- Contestar
-
\(1≤x<3\)
Factor\(8x^2 - 18x - 5\).
Factor\(x^2 - 12x + 36\)
- Contestar
-
\((x-6)^2\)
Suministrar la palabra faltante. La frase “graficar una ecuación” se interpreta como que significa “ubicar geométricamente el ____ a una ecuación”.