8.7: Ecuaciones racionales
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Ecuaciones Racionales
Cuando una expresión racional se establece igual a otra expresión racional, resulta una ecuación racional.
Algunos ejemplos de ecuaciones racionales son los siguientes (excepto el número 5):
\(\dfrac{3x}{4} = \dfrac{15}{2}\)
\(\dfrac{x+1}{x-2} = \dfrac{x-7}{x-3}\)
\(\dfrac{5a}{2} = 10\)
\(\dfrac{3}{x} + \dfrac{x-3}{x+1} = \dfrac{6}{5x}\)
\(\dfrac{x-6}{x+1}\)es una expresión racional, no una ecuación racional.
La lógica detrás del proceso
Parece más razonable que una ecuación sin ninguna fracción sería más fácil de resolver que una ecuación con fracciones. Nuestro objetivo, entonces, es convertir cualquier ecuación racional en una ecuación que no contenga fracciones. Esto se hace fácilmente.
Para desarrollar este método, consideremos la ecuación racional
\(\dfrac{1}{6} + \dfrac{x}{4} = \dfrac{17}{12}\)
La pantalla LCD es de 12. Sabemos que podemos multiplicar ambos lados de una ecuación por la misma cantidad distinta de cero, así vamos a multiplicar ambos lados por la LCD, 12.
\(12(\dfrac{1}{6} + \dfrac{x}{4}) = 12 \cdot \dfrac{17}{12}\)
Ahora distribuye 12 a cada término del lado izquierdo usando la propiedad distributiva.
\(12 \cdot \dfrac{1}{6} + 12 \cdot \dfrac{x}{4} = 12 \cdot \dfrac{17}{12}\)
Ahora divide para eliminar todos los denominadores.
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
2\ cdot 1 + 3\ cdot x &= 17\\
2 + 3x &= 17
\ end {array}\)
Ahora ya no hay más fracciones, y podemos resolver esta ecuación usando nuestras técnicas anteriores para obtener 5 como solución.
El Proceso
Hemos aclarado la ecuación de fracciones multiplicando ambos lados por la LCD. Este desarrollo genera la siguiente regla.
Para borrar una ecuación de fracciones, multiplique ambos lados de la ecuación por la LCD.
Al multiplicar ambos lados de la ecuación por la LCD, utilizamos la propiedad distributiva para distribuir la LCD a cada término. Esto significa que podemos simplificar la regla anterior.
Para borrar una ecuación de fracciones, multiplique cada término en ambos lados de la ecuación por la LCD.
El método completo para resolver una ecuación racional es
1. Determinar todos los valores que deben ser excluidos de la consideración encontrando los valores que producirán cero en el denominador (y así, división por cero). Estos valores excluidos no están en el dominio de la ecuación y se denominan valores que no son de dominio.
2. Despeja la ecuación de fracciones multiplicando cada término por la LCD.
3. Resolver esta ecuación no fraccionaria para la variable. Verifique si alguna de estas soluciones potenciales son valores excluidos.
4. Verifique la solución por sustitución.
Soluciones Extraños
Las soluciones potenciales que han sido excluidas porque hacen que una expresión sea indefinida (o producen una declaración falsa para una ecuación) se denominan soluciones extrañas. Se descartan las soluciones extrañas. Si no hay otras soluciones potenciales, la ecuación no tiene solución.
Conjunto de Muestras A
Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {3x} {4} &=\ dfrac {15} {2} &\ text {Dado que los denominadores son constantes, no hay valores excluidos.} \\
&&\ text {No se deben excluir valores. El LCD es 4. Multiplica cada término por 4}\\
4\ cdot\ dfrac {3x} {4} &= 4\ cdot\ dfrac {15} {2}\
\ cancel {4}\ cdot\ dfrac {3x} {\ cancel {4}} &= _ {\ cancel {4}} ^ {2}\ cdot\ dfrac {15} {\ cancel {2}}\
3x &= 2\ cdot 15\\
3x &= 30\\
x &= 10 & 10\ text {no es un valor excluido. Compruébalo como solución}.
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {3x} {4} &=\ dfrac {15} {2}\
\\ dfrac {3 (10)} {4} &=\ dfrac {15} {2} &\ text {¿Es esto correcto? }\\
\ dfrac {30} {4} &=\ dfrac {15} {2} &\ text {¿Es esto correcto? }\\
\ dfrac {15} {2} &=\ dfrac {15} {2} &\ text {Sí, esto es correcto}
\ end {array}\)
\ (\ begin {aligned}
\ dfrac {4} {x-1} &=\ dfrac {2} {x+6} & 1\ text {y} -6\ text {son valores que no son de dominio. Excluirlos de la solución}\\
&&\ text {La LCD es} (x-1) (x+6)\ text {Multiplica cada término por la LCD}\\
(x-1) (x+6)\ cdot\ dfrac {4} {x-1} &= (x-1) (x+6)\ cdot\ dfrac {2} {x+6}\
\ cancel {(x-1)} (x+6)\ cdot\ dfrac {4} {\ cancel {x-1}} &= (x-1)\ cancelar {(x+6)}\ cdot\ dfrac {2} {\ cancel {x+6}}\\
4 (x+6) &= 2 (x-1) &\ text {Resuelve esta ecuación no fraccionaria}\\
4x + 24 &= 2x - 2\\
2x &= -26\\
x &= -13 & -13\ text {no es un valor excluido. Comprobarlo como solución}
\ end {alineado}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {4} {x-1} &=\ dfrac {2} {x+6}\
\ dfrac {4} {-13-1} &=\ dfrac {2} {-13 + 6} &\ text {¿Es esto correcto?} \\
\ dfrac {4} {-14} &=\ dfrac {2} {-7} &\ text {¿Es esto correcto?} \\
\ dfrac {2} {-7} &=\ dfrac {2} {-13 + 6} &\ text {Sí, esto es correcto}\\
\ end {array}\)
\(-13\)es la solución.
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {4a} {a-4} &= 2 +\ dfrac {16} {a-4}. & 4\ text {es un valor que no es de dominio. Excluirlo de consideración}\\
&&\ text {La pantalla LCD es} a-4\ text {. Multiplica cada término por} a-4\\
(a-4)\ cdot\ dfrac {4a} {a-4} &= 2 (a-4) + (a-4)\ cdot\ dfrac {16} {a-4}\
\ cancel {(a-4)}\ cdot\ dfrac {4a} {\ cancel {a-4}} &= 2 (a-4) +\ cancel {(a-4) 4)}\ cdot\ dfrac {16} {\ cancel {a-4}}\\
4a &= 2 (a-4) + 16 &\ text {Resuelve esto ecuación no fraccionaria}\\
4a &= 2a - 8 + 16\\
4a &= 2a + 8\\
2a &= 8\\
a &= 4
\ end {array}\)
Este valor,\(a = 4\), ha sido excluido de consideración. No se debe considerar como una solución. Es extraneo. Como no hay otras soluciones potenciales a considerar, concluimos que esta ecuación no tiene solución.
Conjunto de práctica A
Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.
\(\dfrac{2x}{5} = \dfrac{x-14}{6}\)
- Contestar
-
\(x=−10\)
\(\dfrac{3a}{a-1} = \dfrac{3a + 8}\)
- Contestar
-
\(a=−2\)
\(\dfrac{3}{y-3} + 2 = \dfrac{y}{y-3}\)
- Contestar
-
\(y = 3\)es ajeno, por lo que no hay solución.
Conjunto de Muestras B
Resuelve las siguientes ecuaciones racionales.
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {3} {x} +\ dfrac {4x} {x-1} &=\ dfrac {4x^2 + 2 + 5} {x^2 - x} &\ text {Factor todos los denominadores para encontrar cualquier valor excluido y el LCD}\\
&&\ text {Los valores sin dominio son} 0\ text {y} 1. \ text {Excluirlos de consideración.}\\
\ dfrac {3} {x} +\ dfrac {4x} {x-1} &=\ dfrac {4x^2 + x + 5} {x (x-1)} &\ text {La LCD es} x (x-1)\ text {. Multiplica cada término por} x (x-1)\ text {y simplifica}
\ end {array}\)
\(\cancel{x}(x-1) \cdot \dfrac{3}{\cancel{x}} + x(\cancel{x-1}) \cdot \dfrac{4x}{\cancel{x-1}} = \cancel{x(x-1)} \cdot \dfrac{4x^2 + x + 5}{\cancel{x(x-1)}}\).
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
3 (x-1) + 4x\ cdot x &= 4x^2 + x + 5 &\ text {Resuelve esta ecuación no fraccionaria para obtener las soluciones potenciales}\\
3x - 3 + 4x^2 &= 4x^2 + x + 5\\
3x - 3 &= x + 5\\
2x &= 8\\
x &= 4 & 4\ text {no es un valor excluido. Compruébalo como solución}
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {3} {x} +\ dfrac {4x} {x-1} &=\ dfrac {4x^2 + x + 5} {x^2 - x}\
\ dfrac {3} {4} +\ dfrac {4\ cdot 4} {4-1} &=\ dfrac {4\ cdot 4dot ^2 + 4 + 5} {16 - 4} &\ text {¿Es esto correcto? }\\
\ dfrac {3} {4} +\ dfrac {16} {3} &=\ dfrac {64 + 4 + 5} {12} &\ text {¿Es esto correcto? }\\
\ dfrac {9} {12} +\ dfrac {64} {12} &=\ dfrac {73} {12} &\ text {¿Es esto correcto? }\\
\ dfrac {73} {12} &=\ dfrac {73} {12} &\ text {Sí, esto es correcto}
\ end {array}\)
\(4\)es la solución.
La propiedad de factor cero se puede utilizar para resolver ciertos tipos de ecuaciones racionales. Estudiamos la propiedad de factor cero en la Sección 5.1, y tal vez recuerdes que establece que si\(a\) y\(b\) son números reales y eso\(a \cdot b=0\), entonces uno o ambos\(a=0\) o\(b=0\) .La propiedad de factor cero es útil para resolver la siguiente ecuación racional.
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ dfrac {3} {a^2} -\ dfrac {2} {a} &= 1 &\ text {Cero es un valor excluido.}\\
&&\ text {La LCD es} a^2\ text {Multiplica cada término por} a^2\ text {y simplifica}\
\\ cancel {a^2}\ cdot\ dfrac ac {3} {\ cancel {a^2}} -\ cancel {a^2}\ cdot\ dfrac {2} {\ cancel {a}} &= 1\ cdot a^2\\
3-2a &= a^2 &\ text {Resuelve esta ecuación cuadrática no fraccionaria. Ponlo igual a cero}\\
0 &= a^2 + 2a - 3\\
0 &= (a+3) (a-1)\\
a&= - 3, a = 1 &\ text {Verifíquelas como soluciones}
\ end {array}\)
Comprobar:
\ (\ begin {array} {vaciado a la izquierda}
\ text {If} a = -3: &\ dfrac {3} {(-3) ^2} -\ dfrac {2} {-3} &= 1 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
&\ dfrac {3} {9} +\ dfrac {2} {3} &= 1 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
&\ dfrac {1} {3} +\ dfrac {2} {3} &= 1 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
& 1 &= 1 &\ text {Sí, esto es correcto}\\
& a &= -3 &\ text {Comprueba y es una solución}\\
\ text {Si} a = 1: &\ dfrac {3} {(1) ^2} -\ dfrac {2} {1} &= 1 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
&\ dfrac {3} {1} -\ dfrac {2} {1} &= 1 &\ text {¿Es esto correcto? }\\
& 1 &= 1 &\ text {Sí, esto es correcto.}\\
& a &= 1 &\ text {Comprueba y es una solución}
\ end {array}\)
\(-3\)y\(1\) son las soluciones.
Set de práctica B
Resolver la ecuación\(\dfrac{a+3}{a-2} = \dfrac{a+1}{a-1}\)
- Contestar
-
\(a = \dfrac{1}{3}\)
Resolver la ecuación\(\dfrac{1}{x-1} - \dfrac{1}{x+1} = \dfrac{2x}{x^2 - 1}\)
- Contestar
-
Esta ecuación no tiene solución. \(x=1\)es extraneo.
Sección 7.6 Ejercicios
Para los siguientes problemas, resolver las ecuaciones racionales.
\(\dfrac{32}{x} = \dfrac{16}{3}\)
- Contestar
-
\(x = 6\)
\(\dfrac{54}{y} = \dfrac{27}{4}\)
\(\dfrac{8}{y} = \dfrac{2}{3}\)
- Contestar
-
\(y=12\)
\(\dfrac{x}{28} = \dfrac{3}{7}\)
\(\dfrac{x + 1}{4} = \dfrac{x-3}{2}\)
- Contestar
-
\(x = 7\)
\(\dfrac{a + 3}{6} = \dfrac{a - 1}{4}\)
\(\dfrac{y-3}{6} = \dfrac{y + 1}{4}\)
- Contestar
-
\(y=−9\)
\(\dfrac{x-7}{8} = \dfrac{x+5}{6}\)
\(\dfrac{a + 6}{9} - \dfrac{a-1}{6} = 0\)
- Contestar
-
\(a=15\)
\(\dfrac{y + 11}{4} = \dfrac{y + 8}{10}\)
\(\dfrac{b + 1}{2} + 6 = \dfrac{b- 4}{3}\)
- Contestar
-
\(b=−47\)
\(\dfrac{m+3}{2} + 1 = \dfrac{m-4}{5}\)
\(\dfrac{a - 6}{2} + 4 = -1\)
- Contestar
-
\(a=−4\)
\(\dfrac{b + 11}{3} + 8 = 6\)
\(\dfrac{y - 1}{y + 2} = \dfrac{y + 3}{y - 2}\)
- Contestar
-
\(y = -\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{x + 2}{x - 6} = \dfrac{x - 1}{x + 2}\)
\(\dfrac{3m + 1}{2m} = \dfrac{4}{3}\)
- Contestar
-
\(m=−3\)
\(\dfrac{2k + 7}{3k} = \dfrac{5}{4}\)
\(\dfrac{4}{x + 2} = 1\)
- Contestar
-
\(x=2\)
\(\dfrac{-6}{x - 3} = 1\)
\(\dfrac{a}{3} + \dfrac{10 + a}{4} = 6\)
- Contestar
-
\(a=6\)
\(\dfrac{k + 17}{5} - \dfrac{k}{2} = 2k\)
\(\dfrac{2b + 1}{3b - 5} = \dfrac{1}{4}\)
- Contestar
-
\(b = -\dfrac{9}{5}\)
\(\dfrac{-3a + 4}{2a - 7} = \dfrac{-7}{9}\)
\(\dfrac{x}{x + 3} - \dfrac{x}{x-2} = \dfrac{10}{x^2 + x - 6}\)
- Contestar
-
\(x=−2\)
\(\dfrac{3y}{y-1} + \dfrac{2y}{y-6} = \dfrac{5y^2 - 15y + 20}{y^2 - 7y + 6}\)
\(\dfrac{4a}{a+2} - \dfrac{3a}{a-1} = \dfrac{a^2 - 8a - 4}{a^2 + a - 2}\)
- Contestar
-
\(a=2\)
\(\dfrac{3a - 7}{a-3} = \dfrac{4a - 10}{a - 3}\)
\(\dfrac{2x - 5}{x - 6} = \dfrac{x+1}{x-6}\)
- Contestar
-
Sin solución; 6 es un valor excluido.
\(\dfrac{3}{x + 4} + \dfrac{5}{x + 4} = \dfrac{3}{x - 1}\)
\(\dfrac{2}{y + 2} + \dfrac{8}{y + 2} = \dfrac{9}{y + 3}\)
- Contestar
-
\(y=−12\)
\(\dfrac{4}{a^2 + 2a} = \dfrac{3}{a^2 + a - 2}\)
\(\dfrac{2}{b(b+2)} = \dfrac{3}{b^2 + 6b + 8}\)
- Contestar
-
\(b=8\)
\(\dfrac{x}{x-1} + \dfrac{3x}{x-4} = \dfrac{4x^2 - 8x + 1}{x^2 - 5x + 4}\)
\(\dfrac{4x}{x+2} - \dfrac{x}{x+1} = \dfrac{3x^2 + 4x + 4}{x^2 + 3x + 2}\)
- Contestar
-
no hay solución
\(\dfrac{2}{a-5} - \dfrac{4a - 2}{a^2 - 6a + 5} = \dfrac{-3}{a-1}\)
\(\dfrac{-1}{x+4} - \dfrac{2}{x+1} = \dfrac{4x + 19}{x^2 + 5x + 4}\)
- Contestar
-
Sin solución;\(−4\) es un valor excluido.
\(\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x} = 1\)
\(\dfrac{6}{y^2} - \dfrac{5}{y} = 1\)
- Contestar
-
\(y=−6, 1\)
\(\dfrac{12}{a^2} - \dfrac{4}{a} = 1\)
\(\dfrac{20}{x^2} - \dfrac{1}{x} = 1\)
- Contestar
-
\(x=4, −5\)
\(\dfrac{12}{y} + \dfrac{12}{y^2} = -3\)
\(\dfrac{16}{b^2} + \dfrac{12}{b} = 4\)
- Contestar
-
\(y=4,−1\)
\(\dfrac{1}{x^2} = 1\)
\(\dfrac{16}{y^2} = 1\)
- Contestar
-
\(y=4,−4\)
\(\dfrac{25}{a^2} = 1\)
\(\dfrac{36}{y^2} = 1\)
- Contestar
-
\(y=6,−6\)
\(\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{3}{x} = 2\)
\(\dfrac{2}{a^2} - \dfrac{5}{a} = 3\)
- Contestar
-
\(a = \dfrac{1}{3}, -2\)
\(\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{7}{x} = -6\)
\(\dfrac{4}{a^2} + \dfrac{9}{a} = 9\)
- Contestar
-
\(a = -\dfrac{1}{3}, \dfrac{4}{3}\)
\(\dfrac{2}{x} = \dfrac{3}{x+2} + 1\)
\(\dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{x+4} - \dfrac{3}{2}\)
- Contestar
-
\(x = -\dfrac{4}{3}, -2\)
\(\dfrac{4}{m} - \dfrac{5}{m-3} = 7\)
\(\dfrac{6}{a + 1} - \dfrac{2}{a-2} = 5\)
- Contestar
-
\(a = \dfrac{4}{5}, 1\)
Para los siguientes problemas, resolver cada ecuación literal para la letra designada.
\(V = \dfrac{GMm}{D}\)para\(D\)
\(PV = nrt\)para\(n\).
- Contestar
-
\(n = \dfrac{PV}{rt}\)
\(E = mc^2\)para\(m\)
\(P = 2(1 + w)\)para\(w\).
- Contestar
-
\(W = \dfrac{P - 2}{2}\)
\(A = \dfrac{1}{2}h(b + B)\)para\(B\).
\(A = P(1 + rt)\)para\(r\).
- Contestar
-
\(r = \dfrac{A - P}{Pt}\)
\(z = \dfrac{x-\hat{x}}{s}\)para\(\hat{x}\)
\(F=\dfrac{S_{x}^{2}}{S_{y}^{2}} \text { for } S_{y}^{2}\)
- Contestar
-
\(S_{y}^{2}=\dfrac{S_{x}^{2}}{F}\)
\(\dfrac{1}{R} = \dfrac{1}{E} + \dfrac{1}{F}\)para\(F\).
\(K = \dfrac{1}{2}h(s_1 + s_2)\)para\(s_2\).
- Contestar
-
\(S_{2}=\dfrac{2 K}{h}-S_{1} \text { or } \dfrac{2 K-h S_{1}}{h}\)
\(Q = \dfrac{2mn}{s + t}\)para\(s\).
\(V = \dfrac{1}{6}\pi(3a^2 + h^2)\)para\(h^2\).
- Contestar
-
\(h_{2}=\dfrac{6 V-3 \pi a^{2}}{\pi}\)
\(I = \dfrac{E}{R + r}\)para\(R\).
Ejercicios para revisión
Escribe\((4x^3y^{-4})^{-2}\) para que solo aparezcan exponentes positivos.
- Contestar
-
\(\dfrac{y^8}{16x^6}\)
Factor\(x^4 - 16\)
Suministrar la palabra faltante. Una pendiente de una línea es una medida del _____ de la línea.
- Contestar
-
empinamiento
Encuentra el producto\(\dfrac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-x-12} \cdot \dfrac{x^{2}+6 x+9}{x^{2}+x-2} \cdot \dfrac{x^{2}-6 x+8}{x^{2}+x-6}\)
Encuentra la suma. \(\dfrac{2x}{x+1} + \dfrac{1}{x-3}\)
- Contestar
-
\(\dfrac{2x^2 - 5x + 1}{(x+1)(x-3)}\)