1.7: Orden de Operaciones

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Objetivos de aprendizaje

Identificar y trabajar con símbolos de agrupación.
Entender el orden de las operaciones.
Simplificar usando el orden de las operaciones.

Agrupación de símbolos

En un cómputo donde se involucra más de una operación, los símbolos de agrupación nos ayudan a decirnos qué operaciones realizar primero. Los símbolos de agrupación utilizados comúnmente en álgebra son

$\begin{array} {cl}{(\:\:)}&{\color{Cerulean}{Parentheses}}\\{[\:\:]}&{\color{Cerulean}{Brackets}}\\{\{\:\:\}}&{\color{Cerulean}{Braces}}\\{\frac{\:\:}{\:\:}}&{\color{Cerulean}{Fraction\:bar}} \end{array}$

Todos los símbolos de agrupación anteriores, así como el valor absoluto, tienen el mismo orden de precedencia. Realice primero operaciones dentro del símbolo de agrupación más interno o valor absoluto.

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Simplificar:

$5-(4-12)$.

Solución:

Realizar primero las operaciones dentro de los paréntesis. En este caso, primero restar$12$ de$4$.

$\begin{aligned} 5-(4-12)&=5-(-8) \\ &=5+8 \\ &=13 \end{aligned}$

Respuesta:

$13$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Simplificar:

$3\{−2[−(−3−1)]\}$.

Solución:

Respuesta:

$-24$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Simplificar:

$\frac{5-|4-(-3)|}{|-3|-(5-7)}$.

Solución:

$\begin{aligned} \frac{5-|4-(-3)|}{|-3|-(5-7)}&=\frac{5-|4+3|}{|-3|-(-2)} \\ &=\frac{5-|7|}{|-3|+2} \\ &=\frac{5-7}{3+2} \\ &=\frac{-2}{5} \\ &=-\frac{2}{5} \end{aligned}$

Respuesta:

$-\frac{2}{5}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Simplificar:

$−[−3(2+3)]$.

Contestar: $15$

Orden de Operaciones

Cuando se van a aplicar varias operaciones dentro de un cálculo, debemos seguir un orden específico para asegurar un solo resultado correcto.

Realizar todos los cálculos dentro de los paréntesis más internos o símbolos de agrupación.
Evaluar todos los exponentes.
Realizar operaciones de multiplicación y división de izquierda a derecha.
Finalmente, realice todas las operaciones restantes de suma y resta de izquierda a derecha.

Nota

Precaución: Tenga en cuenta que las operaciones de multiplicación y división deben ser trabajadas de izquierda a derecha.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Simplificar:

$5^{2}−4⋅3÷12$.

Solución:

Primero, evalúe$5^{2}$ y luego realice la multiplicación y división tal como aparecen de izquierda a derecha.

$\begin{aligned} 5^{2}-4\cdot 3\div 12 &=25-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{4\cdot 3}}} \color{black}{\div 12} \\ &=25-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 12}}} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{25}}}\color{black}{-1} \\ &=24 \end{aligned}$

Debido a que las operaciones de multiplicación y división deben trabajarse de izquierda a derecha, a veces es correcto realizar la división antes de la multiplicación.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Simplificar:

$2^{4}−12÷3⋅2+11$.

Solución:

Empezar por evaluar al exponente,$2^{4}=2⋅2⋅2⋅2=16$.

$\begin{aligned} 2^{4}-12\div 3\cdot 2+11&=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 3}}}\color{black}{\cdot 2+11} \\ &=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{4\cdot 2}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{16-8}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{8+11}}}\\ &=19 \end{aligned}$

Multiplicar primero conduce a un resultado incorrecto.

$\begin{aligned} 2^{4}-12\div 3\cdot 2+11&=16-12\div\color{black}{\underset{\color{red}{Incorrect}}{\color{red}{\underbrace{\color{black}{3\cdot 2}}}}}\color{black}{+11} \\ &=16-\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{12\div 6}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{16-2}}}\color{black}{+11} \\ &=\color{Cerulean}{\underbrace{\color{black}{14+11}}} \\ &=25\quad\color{red}{x} \end{aligned}$

Respuesta:

$19$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Simplificar:

$−3−5^{2}+(−7)^{2}$.

Solución:

Tenga cuidado de identificar correctamente la base al cuadrar.

$\begin{aligned} -3-5^{2}+(-7)^{2}&=-3-25+49 \\ &=-28+49 \\ &=21 \end{aligned}$

Respuesta:

$21$

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Simplificar:

$5−3[2^{3}−5+7(−3)]$.

Solución:

Es tentador restar primero$5 − 3$, pero esto conducirá a un resultado incorrecto. El orden de las operaciones requiere que primero simplifiquemos entre paréntesis.

$\begin{aligned} 5-3[2^{3}-5+7(-3)]&=5-3[8-5-21] \\ &=5-3[-18] \\ &=5+54 \\ &=59 \end{aligned}$

Restar$5 − 3$ primero conduce a un resultado incorrecto.

$\begin{aligned} 5-3[2^{3}-5+7(-3)]&=\underset{\color{red}{Incorrect}}{\color{red}{\underbrace{\color{black}{5-3}}}}\color{black}{[8-5-21]} \\&=2[-18] \\ &=-36\quad\color{red}{x} \end{aligned}$

Respuesta:

$59$

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Simplificar:

$−3^{2}−[5−(4^{2}−10)]$.

Solución:

Realice primero las operaciones dentro de los paréntesis más internos.

Respuesta:

$-8$

Ejemplo$\PageIndex{9}$

Simplificar:

$\left(−\frac{2}{3}\right)^{2}÷\left[\frac{5}{3}−\left(−\frac{1}{2}\right)^{3}\right]$.

Solución:

$\begin{aligned} \left(−\frac{2}{3}\right)^{2}÷\left[\frac{5}{3}−\left(−\frac{1}{2}\right)^{3}\right]&=\left(-\frac{2}{3} \right)^{2}\div \left[\frac{5}{3}-\left(-\frac{1}{8}\right)\right] \\&=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\left[\frac{5}{3}+\frac{1}{8}\right] \\ &=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\left[\frac{40}{24}+\frac{3}{24}\right] \\ &=\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}\div\frac{43}{24} \\ &=\frac{4}{\color{Cerulean}{\underset{3}{\cancel{\color{black}{9}}}}}\color{black}{\cdot\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{8}{\cancel{\color{black}{24}}}}}{43}} \\ &=\frac{32}{129} \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac{32}{129}$

Es menos probable que cometamos un error si trabajamos una operación a la vez. Algunos problemas pueden implicar un valor absoluto, en cuyo caso le asignamos el mismo orden de precedencia que los paréntesis.

Ejemplo$\PageIndex{10}$

Simplificar:

$2−4|−4−3|+(−2)^{4}$.

Solución:

Comenzamos evaluando el valor absoluto y luego el exponente$(−2)^{4}=(−2)(−2)(−2)(−2)=+16$.

Respuesta:

$-10$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Simplificar:

$10÷5⋅2|(−4)+|−3||+(−3)^{2}$.

Contestar: $13$

Claves para llevar

Los símbolos de agrupación indican qué operaciones realizar primero. Generalmente agrupamos las operaciones matemáticas con paréntesis, corchetes, llaves y la barra de fracción. También agrupamos las operaciones dentro de valores absolutos. Todas las agrupaciones tienen el mismo orden de precedencia: las operaciones dentro de la agrupación más interna se realizan primero.
Al aplicar operaciones dentro de un cálculo, siga el orden de las operaciones para asegurar un único resultado correcto.
- Abordar primero los paréntesis o agrupamientos más internos.
- Simplifica todos los exponentes.
- Realizar operaciones de multiplicación y división de izquierda a derecha.
- Finalmente, realizar operaciones de suma y resta de izquierda a derecha.
Es importante destacar el hecho de que las operaciones de multiplicación y división deben aplicarse tal como aparecen de izquierda a derecha. Es un error común realizar siempre la multiplicación antes de la división, lo que, como hemos visto, en algunos casos produce resultados incorrectos.

Ejercicio$\PageIndex{3}$ Order of Operations

Simplificar.

$−7−3⋅5$
$3+2⋅3$
$−3(2)−6^{2}$
$2(−3)^{2}+5(−4)$
$\frac{6}{3}*2$
$6/(3*2)$
$−\frac{1}{2}−\frac{3}{5}⋅\frac{2}{3}$
$\frac{5}{8}÷\frac{1}{2}−\frac{5}{6}$
$3.2^{2}−6.9÷2.3$
$8.2−3÷1.2⋅2.1$
$2+3(−2)−7$
$8÷2−3⋅2$
$3+6^{2}÷12$
$5−4^{2}÷(−8)$
$−9−3⋅2÷3(−2)$
$−2−3^{2}+(−2)^{2}$
$12÷6⋅2−2^{2}$
$4⋅3÷12⋅2−(−2)^{2}$
$(−5)^{2}−2(5)^{2}÷10$
$−3(4−7)+2$
$(−2+7)^{2}−10^{2}$
$10−7(3+2)+7^{2}$
$−7−3(4−2⋅8)$
$5−3 [6−(2+7)]$
$1+2 [(−2)^{3}−(−3)^{2}]$
$−3 [2(7−5)÷4⋅(−2)+(−3)^{3}]$
$−7^{2}−[−20−(−3)^{2}]−(−10)$
$4.7−3.2(4−1.2^{3})$
$−5.4(6.1−3.1÷0.1)−8.2^{2}$
$−7.3^{2}+(−9.3)^{2}−37.8÷1.8$
$2−7(3^{2}−3+4⋅3)$
$(\frac{1}{2})^{2}−(−\frac{2}{3})^{2}$
$(\frac{1}{2})^{3}+(−2)^{3}$
$(−\frac{1}{3})^{2}−(−\frac{2}{3})^{3}$
$\frac{1}{3}−\frac{1}{2}⋅\frac{1}{5}$
$\frac{5}{8}÷\frac{3}{2}⋅\frac{14}{15}$
$5⋅\frac{2}{15}−(\frac{1}{2})^{3}$
$\frac{5}{17}(\frac{3}{5}−\frac{4}{35})$
$\frac{3}{16}÷(\frac{5}{12}−\frac{1}{2}+\frac{2}{3})⋅4$
$(\frac{2}{3})^{2}−(\frac{1}{2})^{2}$
$\frac{1}{2} [\frac{3}{4}⋅(−4)^{2}−2]^{2}$
$6⋅[(\frac{2}{3})^{2}−(\frac{1}{2})^{2}]÷(−2)^{2}$
$(−5)^{2}+\frac{3}{2}−\frac{4}{2}+2⋅7$
$(−3.2−3.3)(8.7−4.7)(−4.7+3.9+2.1)$
$2−[3−(5−7)^{2}]3(6−32)$
$\frac{2+3⋅6−4⋅32}{2−32}$
$(2+7)⋅2−\frac{23}{10}+\frac{9}{2}+3^{3}$
$\frac{(−1−3)^{2}−1}{5−3⋅(−7+22)−5}$
$(7+4*(−2)) / (−3+(−2)^{2})$
$4+3*((−3)^{3}+5^{2}) / 6−2^{2}$

Contestar

1. $−22$

3. $−42$

5. $4$

7. $−\frac{9}{10}$

9. $7.24$

11. $−11$

13. $6$

15. $−5$

17. $0$

19. $20$

21. $−75$

23. $29$

25. $−33$

27. $−10$

29. $67.22$

31. $−124$

33. $−\frac{63}{8}$

35. $\frac{7}{30}$

37. $\frac{13}{24}$

39. $\frac{9}{7}$

41. $50$

43. $−17$

45. $−\frac{1}{3}$

47. $\frac{5}{59}$

49. $−1$

Ejercicio$\PageIndex{4}$ Order of Operations

Mary compró$14$ botellas de agua a $$0.75$ por botella,$4$ libras de dulces surtidos a $$3.50$ por libra y$16$ paquetes de palomitas de maíz para microondas que cuestan $$0.50$ cada una para su fiesta. ¿Cuál era su factura total?
Joe compró cuatro$8$ -pies$2$ -by-$4$ tablas por $$24.00$. ¿Cuánto gastó por pie lineal?
Margaret compró dos cajas de refresco en la tienda de descuentos local por $$23.52$. Si cada estuche contenía$24$ botellas, ¿cuánto gastaba por botella?
Billy gana $$12.00$ por hora y “tiempo y medio” por cada hora que trabaja más de$40$ horas a la semana. ¿Cuál es su paga por$47$ horas de trabajo esta semana?
Audry compró$4$ bolsas de canicas cada una conteniendo canicas$15$ surtidas. Si desea dividirlos equitativamente entre sus$3$ hijos, ¿cuántos recibirá cada niño?
Mark y Janet viajaron a casa desde la universidad para las vacaciones de Acción de Gracias. Compartieron la conducción, pero Mark condujo el doble de distancia que Janet. Si Janet condujo$135$ millas, entonces ¿cuántas millas fue todo el viaje?

Contestar

1. $$32.50$

3. $$0.49$

5. $20$canicas

Ejercicio$\PageIndex{5}$ Order of Operations with Absolute Values

Simplificar.

$3+2|−5|$
$9−4|−3|$
$−(−|2|+|−10|)$
$−(|−6|−|−8|)$
$|−(40−|−22|)|$
$||−5|−|10||$
$−(|−8|−5)^{2}$
$(|−1|−|−2|)^{2}$
$−4+2|2^{2}−3^{2}|$
$−10−|4−5^{2}|$
$−|(−5)^{2}+4^{2}÷8|$
$−(−3−[ 6−|−7|])$
$−2[7−(4+|−7|)]$
$3−7 |−2−3|+4^{3}$
$7−5|6^{2}−5^{2}|+(−7)^{2}$
$(−4)^{2}−|−5+(−2)^{3}|−3^{2}$
$\frac{2}{3}−|\frac{1}{2}−(−\frac{4}{3})^{2}|$
$−30|\frac{10}{3}−\frac{1}{2}÷\frac{1}{5}|$
$(−4)^{3}−(2−|−4|)÷|−3^{2}+7|$
$[10−3(6−|−8|)] ÷4−5^{2}$

Contestar

1. $13$

3. $−8$

5. $18$

7. $−9$

11. $6$

13. $−27$

15. $8$

17. $1$

19. $−\frac{11}{18}$

21. $−63$

Ejercicio$\PageIndex{6}$ Order of Operations with Absolute Values

Encuentra la distancia entre los números dados en una recta numérica.

$\frac{1}{2}$y$−\frac{1}{4}$
$−\frac{3}{4}$y$−\frac{2}{3}$
$−\frac{5}{8}$y$−\frac{3}{4}$
$−\frac{7}{5}$y$\frac{3}{7}$
$−0.5$y$8.3$
$10.7$y$−2.8$
$3\frac{1}{5}$y$−2\frac{1}{3}$
$5\frac{3}{4}$y$0$

Contestar

1. $\frac{3}{4}$unidad

3. $\frac{1}{8}$unidad

5. $8.8$unidades

7. $5\frac{8}{15}$unidades

Ejercicio$\PageIndex{7}$ Discussion Board Topics

Convierta varios ejemplos de esta sección en expresiones equivalentes usando símbolos basados en texto.
¿Qué es PEMDAS y qué le falta?
Discutir la importancia de una agrupación adecuada y dar algunos ejemplos.
Experimenta con el orden de las operaciones en una calculadora y comparte tus resultados.

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar

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