1.7: Orden de Operaciones
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Objetivos de aprendizaje
- Identificar y trabajar con símbolos de agrupación.
- Entender el orden de las operaciones.
- Simplificar usando el orden de las operaciones.
Agrupación de símbolos
En un cómputo donde se involucra más de una operación, los símbolos de agrupación nos ayudan a decirnos qué operaciones realizar primero. Los símbolos de agrupación utilizados comúnmente en álgebra son
()Parentheses[]Brackets{}BracesFractionbar
Todos los símbolos de agrupación anteriores, así como el valor absoluto, tienen el mismo orden de precedencia. Realice primero operaciones dentro del símbolo de agrupación más interno o valor absoluto.
Ejemplo1.7.1
Simplificar:
5−(4−12).
Solución:
Realizar primero las operaciones dentro de los paréntesis. En este caso, primero restar12 de4.
5−(4−12)=5−(−8)=5+8=13
Respuesta:
13
Ejemplo1.7.2
Simplificar:
3{−2[−(−3−1)]}.
Solución:
Respuesta:
−24
Ejemplo1.7.3
Simplificar:
5−|4−(−3)||−3|−(5−7).
Solución:
5−|4−(−3)||−3|−(5−7)=5−|4+3||−3|−(−2)=5−|7||−3|+2=5−73+2=−25=−25
Respuesta:
−25
Ejercicio1.7.1
Simplificar:
−[−3(2+3)].
- Contestar
-
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Orden de Operaciones
Cuando se van a aplicar varias operaciones dentro de un cálculo, debemos seguir un orden específico para asegurar un solo resultado correcto.
- Realizar todos los cálculos dentro de los paréntesis más internos o símbolos de agrupación.
- Evaluar todos los exponentes.
- Realizar operaciones de multiplicación y división de izquierda a derecha.
- Finalmente, realice todas las operaciones restantes de suma y resta de izquierda a derecha.
Nota
Precaución: Tenga en cuenta que las operaciones de multiplicación y división deben ser trabajadas de izquierda a derecha.
Ejemplo1.7.4
Simplificar:
52−4⋅3÷12.
Solución:
Primero, evalúe52 y luego realice la multiplicación y división tal como aparecen de izquierda a derecha.
52−4⋅3÷12=25−4⋅3⏟÷12=25−12÷12⏟=25⏟−1=24
Debido a que las operaciones de multiplicación y división deben trabajarse de izquierda a derecha, a veces es correcto realizar la división antes de la multiplicación.
Ejemplo1.7.5
Simplificar:
24−12÷3⋅2+11.
Solución:
Empezar por evaluar al exponente,24=2⋅2⋅2⋅2=16.
24−12÷3⋅2+11=16−12÷3⏟⋅2+11=16−4⋅2⏟+11=16−8⏟+11=8+11⏟=19
Multiplicar primero conduce a un resultado incorrecto.
24−12÷3⋅2+11=16−12÷3⋅2⏟Incorrect+11=16−12÷6⏟+11=16−2⏟+11=14+11⏟=25x
Respuesta:
19
Ejemplo1.7.6
Simplificar:
−3−52+(−7)2.
Solución:
Tenga cuidado de identificar correctamente la base al cuadrar.
−3−52+(−7)2=−3−25+49=−28+49=21
Respuesta:
21
Ejemplo1.7.7
Simplificar:
5−3[23−5+7(−3)].
Solución:
Es tentador restar primero5−3, pero esto conducirá a un resultado incorrecto. El orden de las operaciones requiere que primero simplifiquemos entre paréntesis.
5−3[23−5+7(−3)]=5−3[8−5−21]=5−3[−18]=5+54=59
Restar5−3 primero conduce a un resultado incorrecto.
5−3[23−5+7(−3)]=5−3⏟Incorrect[8−5−21]=2[−18]=−36x
Respuesta:
59
Ejemplo1.7.8
Simplificar:
−32−[5−(42−10)].
Solución:
Realice primero las operaciones dentro de los paréntesis más internos.
Respuesta:
−8
Ejemplo1.7.9
Simplificar:
(−23)2÷[53−(−12)3].
Solución:
(−23)2÷[53−(−12)3]=(−23)2÷[53−(−18)]=(−23)2÷[53+18]=(−23)2÷[4024+324]=(−23)2÷4324=493⋅82443=32129
Respuesta:
32129
Es menos probable que cometamos un error si trabajamos una operación a la vez. Algunos problemas pueden implicar un valor absoluto, en cuyo caso le asignamos el mismo orden de precedencia que los paréntesis.
Ejemplo1.7.10
Simplificar:
2−4|−4−3|+(−2)4.
Solución:
Comenzamos evaluando el valor absoluto y luego el exponente(−2)4=(−2)(−2)(−2)(−2)=+16.
Respuesta:
−10
Ejercicio1.7.2
Simplificar:
10÷5⋅2|(−4)+|−3||+(−3)2.
- Contestar
-
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Claves para llevar
- Los símbolos de agrupación indican qué operaciones realizar primero. Generalmente agrupamos las operaciones matemáticas con paréntesis, corchetes, llaves y la barra de fracción. También agrupamos las operaciones dentro de valores absolutos. Todas las agrupaciones tienen el mismo orden de precedencia: las operaciones dentro de la agrupación más interna se realizan primero.
- Al aplicar operaciones dentro de un cálculo, siga el orden de las operaciones para asegurar un único resultado correcto.
- Abordar primero los paréntesis o agrupamientos más internos.
- Simplifica todos los exponentes.
- Realizar operaciones de multiplicación y división de izquierda a derecha.
- Finalmente, realizar operaciones de suma y resta de izquierda a derecha.
- Es importante destacar el hecho de que las operaciones de multiplicación y división deben aplicarse tal como aparecen de izquierda a derecha. Es un error común realizar siempre la multiplicación antes de la división, lo que, como hemos visto, en algunos casos produce resultados incorrectos.
Ejercicio1.7.3 Order of Operations
Simplificar.
- −7−3⋅5
- 3+2⋅3
- −3(2)−62
- 2(−3)2+5(−4)
- 63∗2
- 6/(3∗2)
- −12−35⋅23
- 58÷12−56
- 3.22−6.9÷2.3
- 8.2−3÷1.2⋅2.1
- 2+3(−2)−7
- 8÷2−3⋅2
- 3+62÷12
- 5−42÷(−8)
- −9−3⋅2÷3(−2)
- −2−32+(−2)2
- 12÷6⋅2−22
- 4⋅3÷12⋅2−(−2)2
- (−5)2−2(5)2÷10
- −3(4−7)+2
- (−2+7)2−102
- 10−7(3+2)+72
- −7−3(4−2⋅8)
- 5−3[6−(2+7)]
- 1+2[(−2)3−(−3)2]
- −3[2(7−5)÷4⋅(−2)+(−3)3]
- −72−[−20−(−3)2]−(−10)
- 4.7−3.2(4−1.23)
- −5.4(6.1−3.1÷0.1)−8.22
- −7.32+(−9.3)2−37.8÷1.8
- 2−7(32−3+4⋅3)
- (12)2−(−23)2
- (12)3+(−2)3
- (−13)2−(−23)3
- 13−12⋅15
- 58÷32⋅1415
- 5⋅215−(12)3
- 517(35−435)
- 316÷(512−12+23)⋅4
- (23)2−(12)2
- 12[34⋅(−4)2−2]2
- 6⋅[(23)2−(12)2]÷(−2)2
- (−5)2+32−42+2⋅7
- (−3.2−3.3)(8.7−4.7)(−4.7+3.9+2.1)
- 2−[3−(5−7)2]3(6−32)
- 2+3⋅6−4⋅322−32
- (2+7)⋅2−2310+92+33
- (−1−3)2−15−3⋅(−7+22)−5
- (7+4∗(−2))/(−3+(−2)2)
- 4+3∗((−3)3+52)/6−22
- Contestar
-
1. −22
3. −42
5. 4
7. −910
9. 7.24
11. −11
13. 6
15. −5
17. 0
19. 20
21. −75
23. 29
25. −33
27. −10
29. 67.22
31. −124
33. −638
35. 730
37. 1324
39. 97
41. 50
43. −17
45. −13
47. 559
49. −1
Ejercicio1.7.4 Order of Operations
- Mary compró14 botellas de agua a $0.75 por botella,4 libras de dulces surtidos a $3.50 por libra y16 paquetes de palomitas de maíz para microondas que cuestan $0.50 cada una para su fiesta. ¿Cuál era su factura total?
- Joe compró cuatro8 -pies2 -by-4 tablas por $24.00. ¿Cuánto gastó por pie lineal?
- Margaret compró dos cajas de refresco en la tienda de descuentos local por $23.52. Si cada estuche contenía24 botellas, ¿cuánto gastaba por botella?
- Billy gana $12.00 por hora y “tiempo y medio” por cada hora que trabaja más de40 horas a la semana. ¿Cuál es su paga por47 horas de trabajo esta semana?
- Audry compró4 bolsas de canicas cada una conteniendo canicas15 surtidas. Si desea dividirlos equitativamente entre sus3 hijos, ¿cuántos recibirá cada niño?
- Mark y Janet viajaron a casa desde la universidad para las vacaciones de Acción de Gracias. Compartieron la conducción, pero Mark condujo el doble de distancia que Janet. Si Janet condujo135 millas, entonces ¿cuántas millas fue todo el viaje?
- Contestar
-
1. $32.50
3. $0.49
5. 20canicas
Ejercicio1.7.5 Order of Operations with Absolute Values
Simplificar.
- 3+2|−5|
- 9−4|−3|
- −(−|2|+|−10|)
- −(|−6|−|−8|)
- |−(40−|−22|)|
- ||−5|−|10||
- −(|−8|−5)2
- (|−1|−|−2|)2
- −4+2|22−32|
- −10−|4−52|
- −|(−5)2+42÷8|
- −(−3−[6−|−7|])
- −2[7−(4+|−7|)]
- 3−7|−2−3|+43
- 7−5|62−52|+(−7)2
- (−4)2−|−5+(−2)3|−32
- 23−|12−(−43)2|
- −30|103−12÷15|
- (−4)3−(2−|−4|)÷|−32+7|
- [10−3(6−|−8|)]÷4−52
- Contestar
-
1. 13
3. −8
5. 18
7. −9
11. 6
13. −27
15. 8
17. 1
19. −1118
21. −63
Ejercicio1.7.6 Order of Operations with Absolute Values
Encuentra la distancia entre los números dados en una recta numérica.
- 12y−14
- −34y−23
- −58y−34
- −75y37
- −0.5y8.3
- 10.7y−2.8
- 315y−213
- 534y0
- Contestar
-
1. 34unidad
3. 18unidad
5. 8.8unidades
7. 5815unidades
Ejercicio1.7.7 Discussion Board Topics
- Convierta varios ejemplos de esta sección en expresiones equivalentes usando símbolos basados en texto.
- ¿Qué es PEMDAS y qué le falta?
- Discutir la importancia de una agrupación adecuada y dar algunos ejemplos.
- Experimenta con el orden de las operaciones en una calculadora y comparte tus resultados.
- Contestar
-
1. Las respuestas pueden variar
3. Las respuestas pueden variar