3.5: Encontrar ecuaciones lineales

Objetivos de aprendizaje

• Dada una gráfica, identificar la pendiente y\(y\) -interceptar.
• Encuentra la ecuación de la línea usando la pendiente e\(y\) -intercepción.
• Encuentra la ecuación de la línea usando la forma de punto-pendiente.

Búsqueda de ecuaciones mediante la forma de pendiente-intercepción

Dada la ecuación algebraica de una línea, somos capaces de graficarla de varias maneras. En esta sección, se nos dará una descripción geométrica de una línea y se nos pedirá encontrar la ecuación algebraica. Encontrar la ecuación de una línea se puede lograr de varias maneras, la primera de las cuales hace uso de la forma pendiente-intercepción,\(y=mx+b\). Si conocemos la pendiente,\(m\), y la\(y\) -intercepción,\((0, b)\), podemos construir la ecuación.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la ecuación de una línea con pendiente\(m=−\frac{5}{8}\) e\(y\) -intercepción\((0, 1)\).

Solución:

El\(y\) -intercepto dado implica eso\(b=1\). Sustituir la pendiente\(m\) y el\(y\) -valor de la\(y\) -intercepción\(b\) en la ecuación\(y=mx+b\).

\(\begin{aligned} y=&\color{OliveGreen}{m}\:\:\color{black}{x+}\:\color{Cerulean}{b} \\ &\:\color{Cerulean}{\downarrow}\qquad\:\color{Cerulean}{\downarrow} \\ y=&\color{OliveGreen}{-\frac{5}{8}}\color{black}{x+}\color{Cerulean}{1} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=-\frac{5}{8}x+1\)

Encontrar una ecuación lineal es muy sencillo si se dan la pendiente y la\(y\) intercepción. Este ciertamente no es siempre el caso; sin embargo, el ejemplo demuestra que la ecuación algebraica de una línea depende de estas dos piezas de información. Si se da la gráfica, entonces a menudo podemos leerla para determinar la\(y\) -intercepción y la pendiente.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra la ecuación de la línea dada la gráfica:

Figura\(\PageIndex{1}\)

Solución:

Al leer la gráfica, podemos ver que la\(y\) -intercepción es\((0, 4)\), y así

\(b=4\)

Además, de los puntos\((0, 4)\) a\((4, 2)\), podemos ver que la subida es de\(−2\) unidades y la carrera es de\(4\) unidades.

\(m=\frac{rise}{run}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\)

Ahora sustituya\(m\) y\(b\) en forma de pendiente-intercepción:

\(\begin{aligned} y&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{x+}\color{OliveGreen}{b} \\ y&=\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}}\color{black}{x+}\color{OliveGreen}{4} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=-\frac{1}{2}x+4\)

A menudo, la\(y\) -intercepción y la pendiente no se darán o no son fácilmente discernibles a partir de la gráfica. Por esta razón, desarrollaremos algunas técnicas algebraicas que nos permitan calcular estas cantidades.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la ecuación de la línea con pendiente\(m=−\frac{2}{3}\) que pasa a través\((−6, 3)\).

Solución:

Comience sustituyendo la pendiente dada en forma de pendiente-intercepción.

\(\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+b} \\ y&=\color{OliveGreen}{-\frac{2}{3}}\color{black}{x+b} \end{aligned}\)

Para que el par\((−6, 3)\) ordenado sea una solución, debe resolver la ecuación. Por lo tanto, podemos usarlo para encontrar\(b\). Sustituir los\(y\) valores apropiados\(x\) - y -de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} y&=-\frac{2}{3}x\:+\:b \\ &\:\color{Cerulean}{\downarrow}\:\:\:\qquad\:\color{Cerulean}{\downarrow} \\ (3)&=-\frac{2}{3}(-6)+b \end{aligned}\)

Después de sustituir los valores apropiados, resolver por la única variable restante,\(b\).

\(\begin{aligned} 3&=-\frac{2}{3}(-6)+b\\3&=-2(-2)+b\\3&=4+b\\-1&=b \end{aligned}\)

Una vez que tenemos\(b\), entonces podemos completar la ecuación:

\(\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+}\color{Cerulean}{b} \\ y&=\color{OliveGreen}{-\frac{2}{3}}\color{black}{x}\color{Cerulean}{-1} \end{aligned}\)

Como comprobación, verifique que\((−6, 3)\) resuelva esta ecuación lineal de la siguiente manera:

Respuesta:

\(y=-\frac{2}{3}x-1\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la ecuación de la línea dada la gráfica:

Figura\(\PageIndex{2}\)

Solución:

Utilice la gráfica para determinar la pendiente. De los puntos\((−5, 2)\) a\((−1, 0)\), podemos ver que la subida entre los puntos es de\(−2\) unidades y la carrera es de\(4\) unidades. Por lo tanto, calculamos la pendiente de la siguiente manera:

\(m=\frac{rise}{run}=\frac{-2}{4}=-\frac{1}{2}\)

Sustituya la pendiente en forma de pendiente-intercepción.

\(\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+b} \\ y&=\color{OliveGreen}{-\frac{1}{2}}\color{black}{x+b} \end{aligned}\)

Ahora sustituya las coordenadas de uno de los puntos dados para encontrar b. No importa cuál elija. Aquí elige\((−1, 0)\):

\(\begin{aligned}\color{OliveGreen}{y}&=-\frac{1}{2}\color{Cerulean}{x}\color{black}{+b} \\ \color{OliveGreen}{0}&=-\frac{1}{2}(\color{Cerulean}{-1}\color{black}{)+b} \\ 0&=\frac{1}{2}+b\\-\frac{1}{2}&=b \end{aligned}\)

A continuación, ponlo todo junto.

\(\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+}\color{Cerulean}{b} \\ y&=\color{OliveGreen}{-\frac{1}{2}}\color{black}{x}\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\)

Como ejercicio, sustituir las coordenadas del punto\((−5, 2)\) para ver que\(b\) va a resultar ser el mismo valor. De hecho, puede sustituir cualquier solución de par ordenada de la línea para encontrar\(b\). A continuación, esbozamos una técnica algebraica para encontrar la ecuación de una línea no vertical que pasa por dos puntos dados.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por\((−4, −2)\) y\((1, 3)\).

Solución:

Al encontrar una ecuación lineal usando la forma pendiente-intercepción\(y=mx+b\), el objetivo es encontrar\(m\) y luego\(b\).

Paso 1: Encuentra la pendiente\(m\). En este caso, dados dos puntos, utilice la fórmula de pendiente.

\(\begin{aligned} m&=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ &=\frac{3-(-2)}{1-(-4)} \\ &=\frac{3+2}{1+4} \\ &=\frac{5}{5} \\ &=1 \end{aligned}\)

Sustituir\(m=1\) en forma de pendiente-intercepción.

\(\begin{aligned} y&=\color{OliveGreen}{m}\color{black}{x+b} \\ y&=\color{OliveGreen}{1}\color{black}{x+b} \end{aligned}\)

Paso 2: Encuentra\(b\). Para ello, sustituya las coordenadas de cualquier solución de par ordenado dada. Uso\((1, 3)\):

\(\begin{aligned} y&=1x+b \\ \color{OliveGreen}{3}&=1(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)+b} \\ 3&=1+b \\ 2&=b \end{aligned}\)

Paso 3: Termine de construir la ecuación sustituyendo en el valor para\(b\). En este caso, utilizamos\(b=2\).

\(\begin{aligned} y&=1x+\color{Cerulean}{b} \\ y&=1x+\color{Cerulean}{2}\end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=x+2\)

Estos tres pasos describen el proceso para encontrar la ecuación de cualquier línea no vertical en forma de pendiente-intercepción. Este es un método completamente algebraico, pero siempre tenga en cuenta la geometría detrás de la técnica.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Tenga en cuenta que la línea tiene una\(y\) -intercepción en\((0,2)\), con pendiente\(m=1\).

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por\((−1, 3)\) y\((5, 1)\).

Solución:

Primero, encuentra\(m\), la pendiente. Dados dos puntos, utilice la fórmula de pendiente de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} m&=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ &=\frac{1-(3)}{5-(-1)} \\&=\frac{1-3}{5+1} \\&=\frac{-2}{6}\\&=-\frac{1}{3} \end{aligned}\)

Sustituir\(m=−\frac{1}{3}\) en forma de pendiente-intercepción.

\(\begin{aligned} y&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{x+b} \\ y&=\color{Cerulean}{-\frac{1}{3}}\color{black}{x+b} \end{aligned}\)

A continuación, encuentra\(b\). Sustituir las coordenadas del punto\((−1, 3)\).

\(\begin{aligned} y&=-\frac{1}{3}x+b \\ \color{OliveGreen}{3}&=-\frac{1}{3}(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)+b} \\ 3&=\frac{1}{3}+b \\3-\frac{1}{3}&=b \\ \color{black}{\frac{3\color{Cerulean}{\cdot 3}}{1\color{Cerulean}{\cdot 3}}-\frac{1}{3}}&=b \\ \frac{8}{3}&=b \end{aligned}\)

Por último, sustituya\(b=\frac{8}{3}\) en la ecuación.

\(\begin{aligned} y&=-\frac{1}{3}x+\color{Cerulean}{b} \\ y&=-\frac{1}{3}x+\color{Cerulean}{\frac{8}{3}} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por\((−3, 4)\) y\((6, −2)\).

Responder

\(y=-\frac{2}{3}x+2\)

Búsqueda de Ecuaciones Usando un Punto y la Talud

Dado cualquier punto de una línea y su pendiente, podemos encontrar la ecuación de esa línea. Comience aplicando la fórmula de pendiente con un punto dado\((x_{1}, y_{1})\) y un punto variable\((x, y)\).

\(\begin{aligned} m&=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ \frac{m}{1}&=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} &\color{Cerulean}{Cross\:multiply.} \\ m(x-x_{1})&=y-y_{1} &\color{Cerulean}{Apply\:the\:symmetric\:property.} \\ y-y_{1}&=m(x-x_{1}) \end{aligned}\)

La ecuación\(y−y_{1}= m(x−x_{1})\) se llama la forma punto-pendiente de una línea. Cualquier ecuación lineal no vertical se puede escribir de esta forma. Es útil para encontrar la ecuación de una línea dada la pendiente y cualquier solución de par ordenado.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Encuentra la ecuación de la línea con pendiente\(m=\frac{1}{2}\) que pasa a través\((4, −1)\).

Solución:

Utilice la forma de punto-pendiente, donde\(m=\frac{1}{2}\) y\((x_{1}, y_{1})=(4,−1)\).

En este punto, debemos optar por presentar la ecuación de nuestra línea ya sea en forma estándar o en forma pendiente-intercepción.

\(\begin{array}{c|c} {\underline{Standard\:form}}&{\underline{Slope-intercept\:form}}\\{y+1=\frac{1}{2}x-2}&{y+1=\frac{1}{2}x=2}\\{y+1\color{Cerulean}{-1}\color{black}{=\frac{1}{2}x-2}\color{Cerulean}{-1}}&{y+1\color{Cerulean}{-1}\color{black}{=\frac{1}{2}x-2}\color{Cerulean}{-1}}\\{y\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}x}\color{black}{=\frac{1}{2}x-3}\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}x}}&{y=\frac{1}{2}x-3}\\{-\frac{1}{2}x+y=-3}&{} \end{array}\)

En este libro de texto, presentaremos nuestras líneas en forma de pendiente-interceptación. Esto facilita la graficación futura.

Respuesta:

\(y=\frac{1}{2}x−3\)

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Encuentra la ecuación de la línea que pasa a través\((−5, 3)\) con pendiente\(m=−\frac{2}{5}\).

Solución:

Sustituir\((−5, 3)\) y\(m=−\frac{2}{5}\) en forma de punto-pendiente.

\(\begin{aligned} y-y_{1}&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{(x-x_{1})} \\ y-(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}&=\color{Cerulean}{-\frac{2}{5}}\color{black}{(x-(}\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{))}&\color{Cerulean}{Solve\:for\:y.}\\y-3&=-\frac{2}{5}(x+5)&\color{Cerulean}{Distribute\:-\frac{2}{5}.}\\y-3&=-\frac{2}{5}x-2\\y-3\color{Cerulean}{+3}&=-\frac{2}{5}x-2\color{Cerulean}{+3}\\y&=-\frac{2}{5}x+1 \end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=-\frac{2}{5}x+1\)

Siempre es importante entender lo que está ocurriendo geométricamente. Compara la respuesta del último ejemplo con la gráfica correspondiente a continuación.

Figura\(\PageIndex{4}\)

La comprensión geométrica es importante porque a menudo se le darán gráficas a partir de las cuales necesitará determinar un punto en la línea y la pendiente.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Encuentra una ecuación de la gráfica dada:

Figura\(\PageIndex{5}\)

Solución:

Entre los puntos\((1, 1)\) a\((3, 0)\), podemos ver que la subida es\(−1\) unidad y la carrera es\(2\) unidades. La pendiente de la línea es\(m=\frac{rise}{run}=\frac{−1}{2}=−\frac{1}{2}\). Usa esto y el punto\((3, 0)\) para encontrar la ecuación de la siguiente manera:

\(\begin{aligned} y-y_{1}&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{(x-x_{1})} \\ y-\color{OliveGreen}{0}&=\color{Cerulean}{-\frac{1}{2}}\color{black}{(x-}\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)} \\ y&=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por\((−1, 1)\) y\((7, −1)\).

Solución:

Comience calculando la pendiente usando la fórmula de pendiente.

\(\begin{aligned} m&=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ &=\frac{-1-1}{7-(-1)} \\ &=\frac{-2}{7+1} \\ &=\frac{-2}{8} \\ &=-\frac{1}{4} \end{aligned}\)

A continuación, sustituya en forma de punto-pendiente usando uno de los puntos dados; no importa qué punto se use. El uso\(m=−\frac{1}{4}\) y el punto\((−1, 1)\).

\(\begin{aligned} y-y_{1}&=\color{Cerulean}{m}\color{black}{(x-x_{1})} \\ y\color{OliveGreen}{-1}&=\color{Cerulean}{-\frac{1}{4}}\color{black}{(x-(}\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{))} \\ y-1&=-\frac{1}{4}(x+1) \\ y-1&=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4} \\ y&=-\frac{1}{4}x-\frac{1}{4}+1 \\ y&=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(y=-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Encuentra la ecuación de la línea que pasa por\((4, −5)\) y\((−4, 1)\).

Responder

\(y=-\frac{3}{4}x-2\)

Claves para llevar

• Dada la gráfica de una línea, se puede determinar la ecuación de dos maneras, utilizando la forma pendiente-intercepción\(y=mx+b\), o forma de punto-pendiente,\(y−y_{1}= m(x−x_{1})\).
• La pendiente y un punto en la línea es todo lo que se necesita para escribir la ecuación de una línea.
• Todas las líneas no verticales están completamente determinadas por su\(y\) -intercepción y pendiente.
• Si se puede determinar la pendiente y la\(y\) intercepción, entonces es mejor usar la forma pendiente-intercepción para escribir la ecuación.
• Si se puede determinar la pendiente y un punto en la línea, entonces es mejor usar la forma de pendiente de punto para escribir la ecuación.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) Slope-Intercept Form

Determinar la pendiente y\(y\) -interceptar.

1. \(5x−3y=18\)
2. \(−6x+2y=12\)
3. \(x−y=5\)
4. \(−x+y=0\)
5. \(4x−5y=15\)
6. \(−7x+2y=3\)
7. \(y=3\)
8. \(y=−\frac{3}{4}\)
9. \(\frac{1}{5}x−\frac{1}{3}y=−1\)
10. \(\frac{5}{16}x+\frac{3}{8}y=9\)
11. \(−\frac{2}{3}x+\frac{5}{2}y=\frac{5}{4}\)
12. \(\frac{1}{2}x−\frac{3}{4}y=−\frac{1}{2}\)

Responder

1. \(m = \frac{5}{3}\);\((0, −6)\)

3. \(m = 1\);\((0, −5)\)

5. \(m = \frac{4}{5}\);\((0, −3)\)

7. \(m = 0\);\((0, 3)\)

9. \(m = \frac{3}{5}\);\((0, 3)\)

11. \(m = \frac{4}{15}\);\((0, \frac{1}{2})\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Finding Equations in Slope-Intercept Form

Dada la pendiente y\(y\) -intercepción, determinar la ecuación de la línea.

1. \(m = \frac{1}{2}\);\((0, 5)\)
2. \(m = 4\);\((0, −1)\)
3. \(m = −\frac{2}{3}\);\((0, −4)\)
4. \(m = −3\);\((0, 9)\)
5. \(m = 0\);\((0, −1)\)
6. \(m = 5\);\((0, 0)\)

Responder

1. \(y=\frac{1}{2}x+5\)

3. \(y=−\frac{2}{3}x−4\)

5. \(y=−1\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Finding Equations in Slope-Intercept Form

Dada la gráfica, encuentra la ecuación en forma de pendiente-intercepción.

1.

Figura\(\PageIndex{6}\)

2.

Figura\(\PageIndex{7}\)

3.

Figura\(\PageIndex{8}\)

4.

Figura\(\PageIndex{9}\)

5.

Figura\(\PageIndex{10}\)

6.

Figura\(\PageIndex{11}\)

Responder

1. \(y=−x+3\)

3. \(y=−1\)

5. \(y=\frac{1}{2}x\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Finding Equations in Slope-Intercept Form

Encuentra la ecuación, dada la pendiente y un punto.

1. \(m = \frac{2}{3}\);\((−9, 2)\)
2. \(m = −\frac{1}{5}\);\((5, −5)\)
3. \(m = 0\);\((−4, 3)\)
4. \(m = 3\);\((−2, 1)\)
5. \(m = −5\);\((−2, 8)\)
6. \(m = −4\);\((\frac{1}{2}, −\frac{3}{2})\)
7. \(m = −\frac{1}{2}\);\((3, 2)\)
8. \(m = \frac{3}{4}\);\((\frac{1}{3}, \frac{5}{4})\)
9. \(m = 0\);\((3, 0)\)
10. \(m\)indefinido;\((3, 0)\)

Responder

1. \(y=\frac{2}{3}x+8\)

3. \(y=3\)

5. \(y=−5x−2\)

7. \(y=−\frac{1}{2}x+\frac{7}{2}\)

9. \(y=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Finding Equations in Slope-Intercept Form

Dados dos puntos, encuentra la ecuación de la línea.

1. \((−6, 6), (2, 2)\)
2. \((−10, −3), (5, 0)\)
3. \((0, \frac{1}{2}), (\frac{1}{2}, −1)\)
4. \((\frac{1}{3}, \frac{1}{3}), (\frac{2}{3}, 1)\)
5. \((3, −4), (−6, −7)\)
6. \((−5, 2), (3, 2)\)
7. \((−6, 4), (−6, −3)\)
8. \((−4, −4), (−1, −1)\)
9. \((3, −3), (−5, 5)\)
10. \((0, 8), (−4, 0)\)

Responder

1. \(y=−\frac{1}{2}x+3\)

3. \(y=−3x+\frac{1}{2}\)

5. \(y=\frac{1}{3}x−5\)

7. \(x=−6\)

9. \(y=−x\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) Equations Using Point-Slope Form

Encuentra la ecuación, dada la pendiente y un punto.

1. \(m = \frac{1}{2}\);\((4, 3)\)
2. \(m = −\frac{1}{3}\);\((9, −2)\)
3. \(m = 6\);\((1, −5)\)
4. \(m = −10\);\((1, −20)\)
5. \(m = −3\);\((2, 3)\)
6. \(m = \frac{2}{3}\);\((−3, −5)\)
7. \(m = −\frac{3}{4}\);\((−8, 3)\)
8. \(m = 5\);\((\frac{1}{5}, −3)\)
9. \(m = −3\);\((−\frac{1}{9}, 2)\)
10. \(m = 0\);\((4, −6)\)
11. \(m = 0\);\((−5, 10)\)
12. \(m = \frac{5}{8}\);\((4, 3)\)
13. \(m = −\frac{3}{5}\);\((−2, −1)\)
14. \(m = \frac{1}{4}\);\((12, −2)\)
15. \(m = 1\);\((0, 0)\)
16. \(m = −\frac{3}{4}\);\((0, 0)\)

Responder

1. \(y=\frac{1}{2}x+1\)

3. \(y=6x−11\)

5. \(y=−3x+9\)

7. \(y=−\frac{3}{4}x−3\)

9. \(y=−3x+\frac{5}{3}\)

11. \(y=10\)

13. \(y=−\frac{3}{5}x−\frac{1}{15}\)

15. \(y=x\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\) Equations Using Point-Slope Form

Dada la gráfica, use la fórmula de punto-pendiente para encontrar la ecuación.

1.

Figura\(\PageIndex{12}\)

2.

Figura\(\PageIndex{13}\)

3.

Figura\(\PageIndex{14}\)

4.

Figura\(\PageIndex{15}\)

5.

Figura\(\PageIndex{16}\)

6.

Figura\(\PageIndex{17}\)

Responder

1. \(y=−2x+5\)

3. \(y=\frac{2}{3}x+\frac{17}{3}\)

5. \(y=−\frac{3}{5}x−\frac{2}{5}\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\) Equations Using Point-Slope Form

Utilice la fórmula de punto-pendiente para encontrar la ecuación de la línea que pasa por los dos puntos.

1. \((−4, 0), (0, 5)\)
2. \((−1, 2), (0, 3)\)
3. \((−3, −2), (3, 2)\)
4. \((3, −1), (2, −3)\)
5. \((−2, 4), (2, −4)\)
6. \((−5, −2), (5, 2)\)
7. \((−3, −1), (3, 3)\)
8. \((1, 5), (0, 5)\)
9. \((1, 2), (2, 4)\)
10. \((6, 3), (2, −3)\)
11. \((10, −3), (5, −4)\)
12. \((−3, 3), (−1, 12)\)
13. \((\frac{4}{5}, −\frac{1}{3}), (−\frac{1}{5}, \frac{2}{3})\)
14. \((\frac{5}{3}, \frac{1}{3}), (−\frac{10}{3}, −\frac{5}{3})\)
15. \((3, −\frac{1}{4}), (4, −\frac{1}{2})\)
16. \((0, 0), (−5, 1)\)
17. \((2, −4), (0, 0)\)
18. \((3, 5), (3, −2)\)
19. \((−4, 7), (−1, 7)\)
20. \((−8, 0), (6, 0)\)

Responder

1. \(y=\frac{5}{4}x+5\)

3. \(y=\frac{2}{3}x\)

5. \(y=−2x\)

7. \(y=\frac{2}{3}x+1\)

9. \(y=2x\)

11. \(y=\frac{1}{5}x−5\)

13. \(y=−x+\frac{7}{15}\)

15. \(y=−\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}\)

17. \(y=−2x\)

19. \(y=7\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\) Applications

1. Joe ha estado haciendo un seguimiento de sus facturas de teléfonos celulares durante los últimos dos meses. La factura del primer mes fue de $\(38.00\) por\(100\) minutos de uso. La factura del segundo mes fue de $\(45.50\) por\(150\) minutos de uso. Encuentre una ecuación lineal que dé la factura mensual total en función de los minutos de uso.
2. Una empresa en su primer año de negocios produjo manuales de\(150\) capacitación por un costo total de $\(2,350\). Al año siguiente, la compañía produjo\(50\) más manuales a un costo de $\(1,450\). Utilice esta información para encontrar una ecuación lineal que dé el costo total de producir manuales de capacitación a partir del número de manuales producidos.
3. Un granjero de maíz en California pudo producir\(154\) bushels de maíz por acre 2 años después de iniciar su operación. Actualmente, después de 7 años de operación, ha aumentado su rendimiento a\(164\) bushels por acre. Utilice esta información para escribir una ecuación lineal que dé el rendimiento total por acre basado en el número de años de operación, y utilícela para predecir el rendimiento para el próximo año.
4. Un Webmaster ha notado que el número de usuarios registrados ha ido en constante aumento desde que comenzó una campaña publicitaria. Antes de comenzar a anunciarse, tenía usuarios\(1,200\) registrados, y después de 3 meses de publicidad ahora tiene usuarios\(1,590\) registrados. Utilice estos datos para escribir una ecuación lineal que dé el número total de usuarios registrados, dado el número de meses después de comenzar a publicitar. Utilice la ecuación para predecir el número de usuarios a los 7 meses de la campaña publicitaria.
5. Un auto comprado nuevo costó $\(22,000\) y se vendió 10 años después por $\(7,000\). Escribir una ecuación lineal que dé el valor del automóvil en términos de su antigüedad en años.
6. Un reloj antiguo fue comprado en 1985 por $\(1,500\) y vendido en subasta en 1997 por $\(5,700\). Determinar una ecuación lineal que modele el valor del reloj en términos de años desde 1985.

Responder

1. costo\(=0.15x+23\)

3. rendimiento\(=2x+150\);\(166\) bushels

5. valor\(=−1,500x+22,000\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\) Discussion Board Topics

1. Discutir los méritos e inconvenientes de la forma de pendiente puntual y la forma de\(y\) intercepción.
2. Investigar y discutir la depreciación lineal. En un modelo de depreciación lineal, ¿qué representan la pendiente y la\(y\) intercepción?

Responder

1. Las respuestas pueden variar