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5.4: Multiplicar polinomios

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( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Objetivos de aprendizaje

  • Multiplicar un polinomio por un monomio.
  • Multiplicar un polinomio por un binomio.
  • Multiplica un polinomio por polinomio de cualquier tamaño.
  • Reconocer y calcular productos especiales.
  • Multiplicar funciones polinómicas.

Multiplicando por un Monomio

Recordemos la regla del producto para exponentes: sim yn son enteros positivos, entonces

xmxn=xm+n

Es decir, al multiplicar dos expresiones con la misma base, sumar los exponentes. Esta regla se aplica cuando se multiplica un monomio por un monomio. Para encontrar el producto de los monomios, multiplique los coeficientes y sume los exponentes de factores variables con la misma base. Por ejemplo,

3x5x2=35x1x2Commutativeproperty=15x1+2Productruleforexponents=15x3

Para multiplicar un polinomio por un monomio, aplicar la propiedad distributiva y luego simplificar cada término.

Ejemplo5.4.1

Multiplicar:

5x(4x2).

Solución:

En este caso, multiplicar el monomio,5x, por el binomio,4x2. Aplicar la propiedad distributiva y luego simplificar.

Captura de pantalla (365) .png
Figura5.4.1

Respuesta:

20x2+10x

Ejemplo5.4.2

Multiplicar:

2x2(3x25x+1).

Solución:

Aplicar la propiedad distributiva y luego simplificar.

Captura de pantalla (366) .png
Figura5.4.2

Respuesta:

6x410x3+2x2

Ejemplo5.4.3

Multiplicar:

3ab2(a2b3+2a3b6ab4).

Solución:

Respuesta:

En resumen, multiplicar un polinomio por un monomio implica la propiedad distributiva y la regla del producto para los exponentes. Multiplicar todos los términos del polinomio por el monomio. Para cada término, multiplicar los coeficientes y sumar exponentes de variables donde las bases son las mismas.

Ejercicio5.4.1

Multiplicar:

5x2y(2xy23xy+6x2y1).

Contestar

10x3y3+15x3y230x4y2+5x2y

Multiplicar por un Binomio

De la misma manera que usamos la propiedad distributiva para encontrar el producto de un monomio y un binomio, lo usaremos para encontrar el producto de dos binomios.

(a+b)(c+d)=(a+b)c+(a+b)d=ac+bc+ad+bd=ac+ad+bc+bd

Aquí aplicamos la propiedad distributiva varias veces para producir el resultado final. Este mismo resultado se obtiene en un solo paso si aplicamos la propiedad distributiva aa yb por separado de la siguiente manera:

Captura de pantalla (367) .png
Figura5.4.3

Esto a menudo se llama el método FOIL. Agregamos los productos de los primeros términos de cada binomioac, los términoso uterad, los términosibc nner y finalmente los últimos términosbd. Este dispositivo mnemotécnico solo funciona para productos de binomios; de ahí que lo mejor sea recordar que se aplica la propiedad distributiva.

Ejemplo5.4.4

Multiplicar:

(2x+3)(5x2).

Solución:

Distribuir2x y luego distribuir3.

Simplifica combinando términos similares.

=10x2+11x6

Respuesta:

10x2+11x6

Ejemplo5.4.5

Multiplicar:

(12x14)(12x+14).

Solución:

Distribuir12x y luego distribuir14.

(12x14)(12x+14)=12x12x+12x14+(14)12x+(14)14=14x2+18x18x116=14x2116

Respuesta:

14x2116

Ejemplo5.4.6

Multiplicar:

(3y21)(2y+1).

Solución:

Respuesta:

6y3+3y22y1

Después de aplicar la propiedad distributiva, combine cualquier término similar.

Ejemplo5.4.7

Multiplicar:

(x25)(3x22x+2).

Solución:

Después de multiplicar cada término del trinomio porx2 y5, simplificar.

Respuesta:

3x42x313x2+10x10

Ejemplo5.4.8

Multiplicar:

(2x1)3.

Solución:

Realizar un producto a la vez.

Captura de pantalla (368) .png
Figura5.4.4

Respuesta:

8x312x2+6x1

En este punto, vale la pena señalar un error común:

(2x1)3(2x)3(1)3

La confusión viene del producto a una regla de poder de exponentes, donde aplicamos el poder a todos los factores. Dado que hay dos términos dentro de los paréntesis, esa regla no aplica. Se debe tener cuidado para entender lo que es diferente en los siguientes dos ejemplos:

(xy)2=x2y2(x+y)2x2+y2x

Ejercicio5.4.2

Multiplicar:

(2x3)(7x25x+4).

Contestar

14x331x2+23x12

Producto de polinomios

Al multiplicar polinomios, aplicamos la propiedad distributiva muchas veces. Multiplica todos los términos de cada polinomio y luego combina términos similares.

Ejemplo5.4.9

Multiplicar:

(2x2+x3)(x22x+5).

Solución:

Multiplicar cada término del primer trinomio por cada término del segundo trinomio y luego combinar términos similares.

Alinear términos similares en columnas, como tenemos aquí, ayuda en el proceso de simplificación

Respuesta:

2x43x3+5x2+11x15

Observe que al multiplicar un trinomio por un trinomio, obtenemos nueve términos antes de simplificarlo. De hecho, al multiplicar un polinomion -term por un polinomio m-term, obtendremosn×m términos. En el ejemplo anterior, se nos pidió multiplicar y encontramos que

(2x2+x3)(x22x+5)=2x43x3+5x2+11x15

Debido a que es fácil hacer un pequeño error de cálculo, es una buena práctica rastrear mentalmente los pasos para verificar que las operaciones se realizaron correctamente. Alternativamente, podemos verificar evaluando cualquier valor parax en ambas expresiones para verificar que los resultados son los mismos. Aquí elegimosx=2:

(2x2+x3)(x22x+5)=(2(2)2+(2)3)((2)22(2)+5)=(8+23)(44+5)=(7)(5)=35

Debido a que los resultados podrían ser coincidentemente los mismos, un cheque evaluando no necesariamente prueba que nos hemos multiplicado correctamente. Sin embargo, después de verificar algunos valores, podemos estar bastante seguros de que el producto es correcto.

Ejercicio5.4.3

Multiplicar:

(x22x3)2.

Contestar

x44x32x2+12x+9

Productos Especiales

En esta sección, el objetivo es reconocer ciertos productos especiales que ocurren a menudo en nuestro estudio del álgebra. Desarrollaremos tres fórmulas que serán muy útiles a medida que avancemos. Los tres deben ser memorizados. Comenzamos considerando los siguientes dos cálculos:

(a+b)2=(a+b)(a+b)(ab)2=(ab)(ab)=a2+ab+ba+b2=a2abba+b2=a2+ab+ab+b2=a2abab+b2=a2+2ab+b2=a22ab+b2

Esto nos lleva a dos fórmulas que describen trinomios cuadrados perfectos:

(a+b)2=a2+2ab+b2

(ab)2=a22ab+b2

Podemos usar estas fórmulas para cuadrar rápidamente un binomio.

Ejemplo5.4.10

Multiplicar:

(3x+5)2.

Solución:

Aquía=3x yb=5. Aplicar la fórmula:

(a+b)2=a2+2ab+b2(3x+5)2=(3x)2+2(3x)(5)+(5)2=9x2+30x+25

Respuesta:

9x2+30x+25

Este proceso debe llegar a ser lo suficientemente rutinario como para ser realizado mentalmente.

Ejemplo5.4.11

Multiplicar:

(x4)2.

Solución:

Aquía=x yb=4. Aplicar la fórmula apropiada de la siguiente manera:

(ab)2=a22ab+b2(x4)2=(x)22(x)(4)+(4)2=x28x+16

Respuesta:

x28x+16

Nuestro tercer producto especial sigue:

(a+b)(ab)=a2ab+bab2=a2ab+abb2=a2b2

Este producto se llama diferencia de cuadrados:

(a+b)(ab)=a2b2

Los binomios(a+b) y(ab) se denominan binomios conjugados. Por lo tanto, cuando se multiplican los binomios conjugados, el término medio elimina, y el producto es en sí mismo un binomio.

Ejemplo5.4.12

Multiplicar:

(7x+4)(7x4).

Solución:

Respuesta:

49x216

Ejercicio5.4.4

Multiplicar:

(5x+2)2.

Contestar

25x220x+4

Multiplicar funciones polinomiales

Usamos la notación de funciones para indicar la multiplicación de la siguiente manera:

Multiplicación de funciones: (fg)(x)=f(x)g(x)
Mesa5.4.1

Ejemplo5.4.13

Calcular:

(fg)(x), dadof(x)=5x2 yg(x)=x2+2x3.

Solución:

Multiplicar todos los términos del trinomio por la función monomialf(x).

(fg)(x)=f(x)g(x)=5x2(x2+2x3)=5x4+10x315x2

Respuesta:

(fg)(x)=5x4+10x315x2

Ejemplo5.4.14

Calcular:

(fg)(1), dadof(x)=x+3 yg(x)=4x23x+6.

Solución:

Primero, determinar(fg)(x).

(fg)(x)=f(x)g(x)=(x+3)(4x23x+6)=4x3+3x26x+12x29x+18=4x3+15x215x+18

Tenemos

\ ((f\ cdot g) (x) = -4x^ {3} +15x^ {2} -15x+18

A continuación, sustituya1 la variablex.

(fg)(1)=4(1)3+15(1)215(1)+18=4(1)+151+15+18=4+15+15+18=52

Respuesta:

(fg)(1)=52

Porque(fg)(1)=f(1)g(1), alternativamente podríamos calcularf(1) yg(1) por separado y luego multiplicar los resultados (probar esto como un ejercicio). Sin embargo, si nos pidieran evaluar múltiples valores para la función(fg)(x), lo mejor sería determinar primero la forma general, como tenemos en el ejemplo anterior.

Claves para llevar

  • Para multiplicar un polinomio por un monomio, aplicar la propiedad distributiva y luego simplificar cada uno de los términos resultantes.
  • Para multiplicar polinomios, multiplica cada término en el primer polinomio con cada término en el segundo polinomio. Después combina términos similares.
  • El producto de un polinomio den término y un polinomio dem término da como resultado un polinomio dem×n término antes de combinar términos similares.
  • Verifique los resultados evaluando valores en la expresión original y en su respuesta para verificar que los resultados son los mismos.
  • Utilice las fórmulas para productos especiales para multiplicar rápidamente binomios que ocurren a menudo en álgebra.

Ejercicio5.4.5 Product of a Monomial and a Polynomial

Multiplicar.

  1. 5x(3x2y)
  2. (2x3y2)(3xy4)
  3. 12(4x3)
  4. 34(23x6)
  5. 3x(5x2)
  6. 4x(2x1)
  7. x2(3x+2)
  8. 6x2(5x+3)
  9. 2ab(4a2b)
  10. 5a2b(a2b2)
  11. 6x2y3(3x3y+xy2)
  12. 3ab3(5ab3+6a2b)
  13. 12x2y(4xy10)
  14. 3x4y2(3x8y3)
  15. 2x2(5x3)(3x4)
  16. 4ab(a2b3c)(a4b2c4)
  17. 2(5x23x+4)
  18. 45(25x250xy+5y2)
  19. 3x(5x22x+3)
  20. x(x2+x1)
  21. x2(3x25x7)
  22. x3(4x27x+9)
  23. 14x4(8x32x2+12x5)
  24. 13x3(32x523x3+92x1)
  25. a2b(a23ab+b2)
  26. 6a2bc3(2a3b+c2)
  27. 23xy2(9x3y27xy+3xy3)
  28. 3x2y2(12x210xy6y2)
  29. Encuentra el producto de3x y2x23x+5.
  30. Encuentra el producto de8y yy22y+12.
  31. Encuentra el producto de4x yx43x3+2x27x+8.
  32. Encuentra el producto de3xy2 y2x2y+4xyxy2.
Contestar

1. 15x3y

3. 2x32

5. 15x26x

7. 3x3+2x2

9. 8a2b4ab2

11. 18x5y4+6x3y5

13. 2x3y2+5x2y

15. 30x9

17. 10x2+6x8

19. 15x36x2+9x

21. 3x45x37x2

23. 2x712x6+18x554x4

25. a4b3a3b2+a2b3

27. 6x4y318x2y3+2x2y5

29. 6x39x2+15x

31. 4x5+12x48x3+28x232x

Ejercicio5.4.6 Product of a Binomial and a Polynomial

Multiplicar.

  1. (3x2)(x+4)
  2. (x+2)(x3)
  3. (x1)(x+1)
  4. (3x1)(3x+1)
  5. (2x5)(x+3)
  6. (5x2)(3x+4)
  7. (3x+1)(x1)
  8. (x+5)(x+1)
  9. (y23)(y+23)
  10. (12x+13)(32x23)
  11. (34x+15)(14x+25)
  12. (15x+310)(35x52)
  13. (y22)(y+2)
  14. (y31)(y2+2)
  15. (a2b2)(a2+b2)
  16. (a23b)2
  17. (x5)(2x2+3x+4)
  18. (3x1)(x24x+7)
  19. (2x3)(4x2+6x+9)
  20. (5x+1)(25x25x+1)
  21. (x12)(3x2+4x1)
  22. (13x14)(3x2+9x3)
  23. (x+3)3
  24. (x2)3
  25. (3x1)3
  26. (2x+y)3
  27. (5x2)(2x34x2+3x2)
  28. (x22)(x32x2+x+1)
Contestar

1. 3x2+10x8

3. x21

5. 2x2+x15

7. 3x2+4x1

9. y249

11. 316x2+720x+225

13. y3+2y22y4

15. a4b4

17. 2x37x211x20

19. 8x327

21. 3x3+52x23x+12

23. x3+9x2+27x+27

25. 27x327x2+9x1

27. 10x424x3+23x216x+4

Ejercicio5.4.7 Product of Polynomials

Multiplicar.

  1. (x2x+1)(x2+2x+1)
  2. (3x22x1)(2x2+3x4)
  3. (2x23x+5)(x2+5x1)
  4. (a+b+c)(abc)
  5. (a+2bc)2
  6. (x+y+z)2
  7. (x3)4
  8. (x+y)4
  9. Encuentra el volumen de un sólido rectangular con lados de mediciónx,x+2, yx+4 unidades.
  10. Encuentra el volumen de un cubo donde cada lado midex5 unidades.
Contestar

1. x4+x3+x+1

3. 2x4+7x312x2+28x5

5. a2+4ab2ac+4b24bc+c2

7. x412x3+54x2108x+81

9. x3+6x2+8x

Ejercicio5.4.8 Special Products

Multiplicar.

  1. (x+2)2
  2. (x3)2
  3. (2x+5)2
  4. (3x7)2
  5. (x+2)2
  6. (9x+1)2
  7. (a+6)2
  8. (2a3b)2
  9. (23x+34)2
  10. (12x35)2
  11. (x2+2)2
  12. (x2+y2)2
  13. (x+4)(x4)
  14. (2x+1)(2x1)
  15. (5x+3)(5x3)
  16. (15x13)(15x+13)
  17. (32x+25)(32x25)
  18. (2x3y)(2x+3y)
  19. (4xy)(4x+y)
  20. (a3b3)(a3+b3)
  21. Se realiza una caja recortando las esquinas y plegando los bordes de una pieza cuadrada de cartón. Se da una plantilla para una caja de cartón con una altura de2 pulgadas. Encuentra una fórmula para el volumen, si la pieza inicial de cartón es un cuadrado con lados que midenx pulgadas.
    Captura de pantalla (369) .png
    Figura5.4.5
  22. Se da una plantilla para una caja de cartón con una altura dex pulgadas. Encuentra una fórmula para el volumen, si la pieza inicial de cartón es un cuadrado con lados que miden12 pulgadas.
    Captura de pantalla (370) .png
    Figura5.4.6
Contestar

1. x2+4x+4

3. 4x2+20x+25

5. x24x+4

7. a2+12a+36

9. 49x2+x+916

11. x4+4x2+4

13. x216

15. 25x29

17. 94x2425

19. 16x2y2

21. V=2x216x+32pulgadas cúbicas

Ejercicio5.4.9 Multiplying Polynomial Functions

Para cada problema, calcule(fg)(x), dadas las funciones.

  1. f(x)=8xyg(x)=3x5
  2. f(x)=x2yg(x)=5x+1
  3. f(x)=x7yg(x)=6x1
  4. f(x)=5x+3yg(x)=x2+2x3
  5. f(x)=x2+6x3yg(x)=2x23x+5
  6. f(x)=3x2x+1yg(x)=x2+2x1
Contestar

1. (fg)(x)=24x240x

3. (fg)(x)=6x243x+7

5. (fg)(x)=2x4+9x319x2+39x15

Ejercicio5.4.10 Multiplying Polynomial Functions

Dadof(x)=2x3 yg(x)=3x1, encuentre lo siguiente

  1. (fg)(x)
  2. (gf)(x)
  3. (fg)(0)
  4. (fg)(1)
  5. (fg)(1)
  6. (fg)(12)
Contestar

1. (fg)(x)=6x211x+3

3. (fg)(0)=3

5. (fg)(1)=2

Ejercicio5.4.11 Multiplying Polynomial Functions

Dadof(x)=5x1 yg(x)=2x24x+5, encuentra lo siguiente.

  1. (fg)(x)
  2. (gf)(x)
  3. (fg)(0)
  4. (fg)(1)
  5. (fg)(1)
  6. (fg)(12)
  7. (ff)(x)
  8. (gg)(x)
Contestar

1. (fg)(x)=10x322x2+29x5

3. (fg)(0)=5

5. (fg)(1)=12

7. (ff)(x)=25x210x+1

Ejercicio5.4.12 Discussion Board Topics

  1. Explique por qué(x+y)2x2+y2.
  2. Explicar cómo multiplicar rápidamente un binomio con su conjugado. Dé un ejemplo.
  3. ¿Cuáles son las ventajas y desventajas de usar el dispositivo mnemotécnico FOIL?
Responder

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar


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