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7.4: Expresiones racionales Complejas

Última actualización

30 oct 2022
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- 7.3: Sumando y restando expresiones racionales
- 7.5: Resolver ecuaciones racionales

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Objetivos de aprendizaje

Simplifica expresiones racionales complejas multiplicando el numerador por el recíproco del divisor.
Simplifica las expresiones racionales complejas multiplicando el numerador y el denominador por el mínimo denominador común (LCD).

Definiciones

Una fracción compleja es una fracción donde el numerador o denominador consiste en una o más fracciones. Por ejemplo,

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}$

Simplificar tal fracción requiere que encontremos una fracción equivalente con numerador entero y denominador. Una forma de hacerlo es dividiendo. Recordemos que dividir fracciones implica multiplicar por el recíproco del divisor.

$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{3}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{4}}}{2}}}\color{black}{\cdot}\color{Cerulean}{\frac{\stackrel{1}{\cancel{2}}}{1}}\color{black}{=\frac{3}{2}}\qquad\color{Cerulean}{Method\:1:\:using\:division}$

Un método alternativo para simplificar esta fracción compleja implica multiplicar tanto el numerador como el denominador por la LCD de todas las fracciones dadas. En este caso, la pantalla LCD = 4.

$\color{black}{\frac{\frac{3}{4} \cdot\color{Cerulean}{ 4}}{\frac{1}{2} \cdot \color{Cerulean}{4}}=\frac{3}{2}}\qquad\color{Cerulean}{Method\:2:\:using\:the\:LCD}$

Una expresión racional compleja se define como una expresión racional que contiene una o más expresiones racionales en el numerador o denominador o ambos. Por ejemplo,

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}}$

Simplificamos una expresión racional compleja al encontrar una fracción equivalente donde el numerador y el denominador son polinomios. Como se ha ilustrado anteriormente, existen dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas, y esbozaremos los pasos para ambos métodos. En aras de la claridad, supongamos que las expresiones variables utilizadas como denominadores son distintas de cero.

Método 1: Simplificar el uso de la división

Comenzamos nuestra discusión sobre la simplificación de expresiones racionales complejas usando la división. Antes de poder multiplicar por el recíproco del divisor, debemos simplificar el numerador y el denominador por separado. El objetivo es obtener primero fracciones algebraicas simples en el numerador y el denominador. Los pasos para simplificar una fracción algebraica compleja se ilustran en el siguiente ejemplo.

Ejemplo $\PageIndex{1}$

Simplificar:

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}}$

Solución:

Paso 1: Simplifica el numerador y denominador. El objetivo es obtener una sola fracción algebraica dividida por otra sola fracción algebraica. En este ejemplo, encuentra términos equivalentes con un denominador común tanto en el numerador como en el denominador antes de sumar y restar.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}} &=\frac{\frac{1}{2} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x}{x}}\color{black}{+\frac{1}{x} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{2}{2}}}{\frac{1}{4} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\color{black}{-\frac{1}{x^{2}} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{4}{4}}} \\ &=\frac{\frac{x}{2 x}+\frac{2}{2 x}}{\frac{x^{2}}{4 x^{2}}-\frac{4}{4 x^{2}}}\qquad\qquad\color{Cerulean}{Equivalent\:fractions\:with} \\& \qquad\qquad\qquad\qquad\quad\:\:\:\:\color{Cerulean}{common\:denominators} \\ &=\frac{\frac{x+2}{2 x}}{\frac{x^{2}-4}{4 x^{2}}}\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Add\:the\:fractions\:in\:the}\\&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{numerator\:and\:denominator.} \end{aligned}$

En este punto tenemos una sola fracción algebraica dividida por una sola fracción algebraica.

Paso 2: Multiplica el numerador por el recíproco del divisor.

$\frac{\frac{x+2}{2 x}}{\color{Cerulean}{\frac{x^{2}-4}{4 x^{2}}}}\color{black}{=\frac{x+2}{2 x} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{4 x^{2}}{x^{2}-4}}$

Paso 3: Factorizar todos los numeradores y denominadores completamente.

$=\frac{x+2}{2 x} \cdot \frac{4 x^{2}}{(x+2)(x-2)}$

Paso 4: Cancelar todos los factores comunes.

$\begin{array}{l}{=\frac{4 x^{2} \cdot(x+2)}{2 x(x+2)(x-2)}} \\ {=\frac{\color{Cerulean}{\stackrel{2x}{\cancel{\color{black}{4 x^{2}}}}} \cdot\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{2 x}}\cancel{\color{black}{(x+2)}}}\color{black}{(x-2)}}} \\ {=\frac{2 x}{(x-2)}}\end{array}$

Respuesta:

$\frac{2x}{x-2}$

Ejemplo $\PageIndex{2}$

Simplificar:

Solución:

Respuesta:

$-\frac{1}{2}$

Ejemplo $\PageIndex{3}$

Simplificar:

$\frac{1-\frac{4}{x}-\frac{21}{x^{2}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}}$

Solución:

El LCD de las expresiones racionales tanto en el numerador como en el denominador es $x^{2}$ . Multiplicar por los factores apropiados para obtener términos equivalentes con esto como denominador y luego restar.

$\begin{aligned} \frac{1-\frac{4}{x}-\frac{21}{x^{2}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}} &=\frac{\frac{1}{1} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\color{black}{-\frac{4}{x} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{x}{x}}\color{black}{-\frac{21}{x^{2}}}}{\frac{1}{1} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\color{black}{-\frac{2}{x} \cdot}\color{Cerulean}{ \frac{x}{x}}\color{black}{-\frac{15}{x^{2}}}} \\ &=\frac{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{4 x}{x^{2}}-\frac{21}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}-\frac{2 x}{x^{2}}-\frac{15}{x^{2}}} \\ &=\frac{\frac{x^{2}-4x-21}{x^{2}}}{\frac{x^{2}-2x-15}{x^{2}}} \end{aligned}$

Ahora tenemos una sola expresión racional dividida por otra sola expresión racional. A continuación, multiplique el numerador por el recíproco del divisor y luego factorizar y cancelar.

Respuesta:

$\frac{x-7}{x-5}$

Ejemplo $\PageIndex{4}$

Simplificar:

$\frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}-1}$

Solución:

$\begin{aligned} \frac{1-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}-1} &=\frac{\frac{1}{1} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}\color{black}{-\frac{1}{x^{2}}}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{1} \cdot \color{Cerulean}{\frac{x}{x}}} \\ &=\frac{\frac{x^{2}-1}{x^{2}}}{\frac{1-x}{x}} \\ &=\frac{x^{2}-1}{x^{2}} \cdot \frac{x}{1-x}\\&=\frac{(x+1)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-1)}}}}{\color{Cerulean}{\stackrel{\cancel{\color{black}{x^{2}}}}{x}}}\color{black}{\cdot}\frac{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x}}}}{-1\cdot\color{Cerulean}{\cancel{ \color{black}{(x-1)}}}}\\&=\frac{x+1}{-1\cdot x}\\&=-\frac{x+1}{x} \end{aligned}$

Respuesta:

$-\frac{x+1}{x}$

Ejercicio $\PageIndex{1}$

Simplificar:

$\frac{\frac{1}{81}-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{9}+\frac{1}{x}}$

Contestar: $\frac{x-9}{9 x}$

Método 2: Simplificar el uso de la pantalla LCD

Un método alternativo para simplificar expresiones racionales complejas implica borrar las fracciones multiplicando la expresión por una forma especial de 1. En este método, multiplica el numerador y el denominador por el mínimo denominador común (LCD) de todas las fracciones dadas.

Ejemplo $\PageIndex{5}$

Simplificar:

$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}}$

Solución:

Paso 1: Determinar el LCD de todas las fracciones en el numerador y denominador. En este caso, los denominadores de las fracciones dadas son $2, x, 4$ , y $x^{2}$ . Por lo tanto, el LCD es $4x^{2}$ .

Paso 2: Multiplica el numerador y el denominador por el LCD. Este paso debería despejar las fracciones tanto en el numerador como en el denominador.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}} &=\frac{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{x}\right) \color{Cerulean}{\cdot 4 x^{2}}}{\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{x^{2}}\right) \color{Cerulean}{\cdot 4 x^{2}}} \qquad\quad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ &=\frac{\frac{1}{2} \color{Cerulean}{\cdot 4 x^{2}}\color{black}{+\frac{1}{x}}\color{Cerulean}{ \cdot 4 x^{2}}}{\frac{1}{4} \color{Cerulean}{\cdot 4 x^{2}}\color{black}{-\frac{1}{x^{2}}}\color{Cerulean}{ \cdot 4 x^{2}}}\qquad\quad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ &=\frac{2 x^{2}+4 x}{x^{2}-4} \end{aligned}$

Esto nos deja con una sola fracción algebraica con un polinomio en el numerador y en el denominador.

Paso 3: Factorizar completamente el numerador y el denominador.

$\begin{array}{l}{=\frac{2 x^{2}+4 x}{x^{2}-4}} \\ {=\frac{2 x(x+2)}{(x+2)(x-2)}}\end{array}$

Paso 4: Cancelar todos los factores comunes.

$\begin{array}{l}{=\frac{2 x\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x+2)}}}\color{black}{(x-2)}}} \\ {=\frac{2 x}{x-2}}\end{array}$

Respuesta:

$\frac{2x}{x-2}$

Nota

Este fue el mismo problema con el que iniciamos esta sección, y los resultados aquí son los mismos. Vale la pena tomarse el tiempo para comparar los pasos involucrados usando ambos métodos en un mismo problema.

Ejemplo $\PageIndex{6}$

Simplificar:

$\frac{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}}{3-\frac{14}{x}-\frac{5}{x^{2}}}$

Solución:

Considerando todos los denominadores, encontramos que el LCD es $x^{2}$ . Por lo tanto, multiplica el numerador y el denominador por $x^{2}$ :

En este punto, tenemos una expresión racional que puede simplificarse factorizando y luego cancelando los factores comunes.

$\begin{array}{l}{=\frac{(x+3)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}{(3 x+1)\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{(x-5)}}}}} \qquad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ {=\frac{x+3}{3 x+1}}\end{array}$

Respuesta:

$\frac{x+3}{3x+1}$

Es importante señalar que multiplicar el numerador y denominador por el mismo factor distinto de cero equivale a multiplicar por 1 y no cambia el problema. Porque $\frac{x^{2}}{x^{2}}=1$ , podemos multiplicar el numerador y el denominador por $x^{2}$ en el ejemplo anterior y obtener una expresión equivalente.

Ejemplo $\PageIndex{7}$

Simplificar:

$\frac{\frac{1}{x+1}+\frac{3}{x-3}}{\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x+1}}$

Solución:

El LCM de todos los denominadores es $(x+1)(x−3)$ . Comienza multiplicando el numerador y denominador por estos factores.

$\begin{aligned} \frac{\frac{1}{x+1}+\frac{3}{x-3}}{\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x+1}} &=\frac{\left(\frac{1}{x+1}+\frac{3}{x-3}\right) \color{Cerulean}{\cdot(x+1)(x-3)}}{\left(\frac{2}{x-3}-\frac{1}{x+1}\right) \color{Cerulean}{\cdot(x+1)(x-3)}}\qquad\color{Cerulean}{Distribute.} \\ &=\frac{\frac{1\color{Cerulean}{\cancel{(x+1)}(x-3)}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x+1}}}}+\frac{3\color{Cerulean}{(x+1)\cancel{(x-3)}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x-3}}}}}{\frac{2\color{Cerulean}{(x+1)\cancel{(x-3)}}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x-3}}}}-\frac{1\color{Cerulean}{\cancel{(x+1)}(x-3)}}{\color{Cerulean}{\cancel{\color{black}{x+1}}}}} \qquad\quad\:\:\color{Cerulean}{Cancel.} \\&=\frac{(x-3)+3(x+1)}{2(x+1)-1(x-3)}\qquad\qquad\qquad\color{Cerulean}{Simplify.} \\&=\frac{x-3+3x+3}{2x+2-x+3}\\&=\frac{4x}{x+5} \end{aligned}$

Respuesta:

$\frac{4x}{x+5}$

Ejercicio $\PageIndex{2}$

Simplificar:

$\frac{\frac{1}{y}-\frac{1}{4}}{\frac{1}{16}-\frac{1}{y^{2}}}$

Contestar: $-\frac{4 y}{y+4}$

Claves para llevar

Las expresiones racionales complejas se pueden simplificar en expresiones equivalentes con un numerador polinómico y un denominador polinomio.
Un método para simplificar una expresión racional compleja requiere que primero escribamos el numerador y el denominador como una sola fracción algebraica. Luego multiplique el numerador por el recíproco del divisor y simplifique el resultado.
Otro método para simplificar una expresión racional compleja requiere que la multipliquemos por una forma especial de 1. Multiplique el numerador y denominador por el LCM de todos los denominadores como medio para borrar las fracciones. Después de hacer esto, simplificar la expresión racional restante.
Una fracción algebraica se reduce a términos más bajos si el numerador y el denominador son polinomios que no comparten otros factores comunes que no sean 1.

Ejercicio $\PageIndex{3}$ Complex Rational Expressions

Simplificar. (Supongamos que todos los denominadores son distintos de cero.)

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{4}}$
$\frac{\frac{7}{8}}{\frac{5}{4}}$
$\frac{\frac{10}{3}}{\frac{20}{9}}$
$-\frac{\frac{4}{21}}{\frac{8}{7}}$
$\frac{\frac{2}{3}}{\frac{5}{6}}$
$\frac{\frac{7}{4}}{\frac{14}{3}}$
$\frac{1-\frac{3}{2}}{\frac{5}{4}-\frac{1}{3}}$
$\frac{\frac{1}{2}-5}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$
$\frac{1+\frac{3}{2}}{1-\frac{1}{4}}$
$\frac{2-\frac{1}{2}}{1+\frac{3}{4}}$
$\frac{\frac{5 x^{2}}{x+1}}{\frac{25 x}{x+1}}$
$\frac{\frac{7+x}{7 x}}{\frac{x+7}{14 x^{2}}}$
$\frac{\frac{3 y}{x}}{\frac{y^{2}}{x-1}}$
$\frac{\frac{5 a^{2}}{b-1}}{\frac{15 a^{3}}{(b-1)^{2}}}$
$\frac{1+\frac{1}{x}}{2-\frac{1}{x}}$
$\frac{\frac{2}{x}+1}{3-\frac{1}{x}}$
$\frac{\frac{2}{3 y}-4}{6-\frac{1}{y}}$
$\frac{\frac{5}{y-12}}{\frac{10-y}{y^{2}}}$
$\frac{\frac{1}{5}-\frac{1}{x}}{\frac{1}{25}-\frac{1}{x^{2}}}$
$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{5}}{\frac{1}{25}-\frac{1}{x^{2}}}$
$\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{3}}{\frac{1}{9}-\frac{1}{x^{2}}}$
$\frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{16}}$
$\frac{16-\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x}-4}$
$\frac{2-\frac{1}{y}}{1-\frac{1}{4 y^{2}}}$
$\frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}{\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}$
$\frac{\frac{1}{2 x}-\frac{4}{3}}{\frac{1}{4 x^{2}}-\frac{16}{9}}$
$\frac{\frac{2}{25}-\frac{1}{2 x^{2}}}{\frac{1}{5}-\frac{1}{2 x}}$
$\frac{\frac{4}{25}-\frac{1}{4 x^{2}}}{\frac{1}{5}+\frac{1}{4x}}$
$\frac{\frac{1}{y}-\frac{1}{x}}{4-\frac{2}{x y}}$
$\frac{\frac{1}{a b}+2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$
$\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}{x y}$
$\frac{\frac{3}{x}}{\frac{1}{3}-\frac{1}{x}}$
$\frac{1-\frac{4}{x}-\frac{21}{x^{2}}}{1-\frac{2}{x}-\frac{15}{x^{2}}}$
$\frac{1-\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}}}{1-\frac{16}{x^{2}}}$
$\frac{3-\frac{1}{2 x}-\frac{1}{2 x^{2}}}{2-\frac{2}{x}+\frac{1}{2 x^{2}}}$
$\frac{\frac{1}{2}-\frac{5}{x}+\frac{12}{x^{2}}}{\frac{1}{2}-\frac{6}{x}+\frac{18}{x^{2}}}$
$\frac{\frac{1}{x}-\frac{4}{3 x^{2}}}{3-\frac{8}{x}+\frac{16}{3 x^{2}}}$
$\frac{1+\frac{3}{10 x}-\frac{1}{10 x^{2}}}{\frac{3}{5}-\frac{1}{10 x}-\frac{1}{5 x^{2}}}$
$\frac{x-1}{1+\frac{4}{x}}-\frac{5}{x^{2}}$
$2-\frac{5}{2 x}-\frac{3 x}{24 x+3}$
$\frac{\frac{1}{x-3}+\frac{2}{x}}{\frac{1}{x}-\frac{3}{x-3}}$
$\frac{\frac{14}{x}-5+\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}}+\frac{13}{x}-10}$
$\frac{\frac{1}{x+5}+\frac{4}{x-2}}{\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x+5}}$
$\frac{\frac{3}{x-1}-\frac{2}{x+3}}{\frac{2}{x+3}+\frac{1}{x-3}}$
$\frac{\frac{x}{x+1}-\frac{2}{x+3}}{\frac{x}{3 x+4}+\frac{1}{x+1}}$
$\frac{\frac{x}{x-9}+\frac{2}{x+1}}{\frac{x}{7 x-9}-\frac{1}{x+1}}$
$\frac{\frac{x}{3 x+2}-\frac{1}{x+2}}{\frac{x}{x+2}-\frac{2}{x+2}}$
$\frac{\frac{x}{x-4}+\frac{1}{x+2}}{\frac{x}{3 x+4}+\frac{1}{x+2}}$
$\frac{\frac{a}{3-8 b^{3}}}{\frac{2}{\frac{7}{a}-\frac{2}{b}}}$
$\frac{\frac{27 a}{3+b^{3}}}{\frac{\frac{a}{b}}{3 a+b}}$
$\frac{\frac{1}{b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{a}}$
$\frac{\frac{1}{b^{3}}-\frac{1}{a^{3}}}{\frac{1}{a}-\frac{1}{b}}$
$\frac{\frac{x^{2}+y^{2}}{\frac{x}{y}+2}}{\frac{x^{2}-y^{2}}{\frac{2}{x y}}}$
$\frac{x}{\frac{y+4+4 y x}{x y+3+2 y x}}$
$1+\frac{1}{1+\frac{1}{2}}$
$2-\frac{1}{1+\frac{1}{3}}$
$\frac{1}{1+\frac{1}{1+x}}$
$\frac{x+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}+1}$
$\frac{1-\frac{1}{x}}{x-\frac{1}{x}}$
$\frac{\frac{1}{x}-x}{x-\frac{1}{x^{2}}}$

Contestar

1. $\frac{2}{5}$

3. $\frac{3}{2}$

5. $\frac{4}{5}$

7. $−\frac{6}{11}$

9. $\frac{10}{3}$

11. $\frac{x}{5}$

13. $\frac{3(x-1)}{y x}$

15. $\frac{x+1}{2 x-1}$

17. $−\frac{2}{3}$

19. $\frac{5x}{x+5}$

21. $−\frac{3x}{x+3}$

23. $−\frac{4x+1}{x}$

25. $\frac{xy}{x−y}$

27. $\frac{2 x+5}{5 x}$

29. $\frac{x−y}{4xy−2}$

31. $\frac{x+y}{y^{2} x^{2}}$

33. $\frac{x−7}{x−5}$

35. $\frac{3x+1}{2x−1}$

37. $\frac{1}{3x−4}$

39. $\frac{x(x-1)}{x+4}-\frac{5}{x^{2}}$

41. $\frac{3 x-6}{-2 x-3}$

43. $\frac{5x+18}{x+12}$

45. $\frac{(x−1)(3x+4)}{(x+2)(x+3)}$

47. $\frac{x+1}{3x+2}$

49. $\frac{7 b-2 a}{2 b\left(3-8 b^{3}\right)}$

51. $\frac{a^{2}-b a+b^{2}}{b^{2} a^{2}}$

53. $\frac{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x(x+2 y)\left(x^{2}-y^{2}\right)}$

55. $\frac{5}{3}$

57. $\frac{x+1}{x+2}$

59. $\frac{1}{x+1}$

Ejercicio $\PageIndex{4}$ Discussion Board Topics

Elija un problema de este conjunto de ejercicios y háblelo claramente en papel, explicando cada paso en palabras. Escanea tu página y publícalo en el tablero de discusión.
Explique por qué necesitamos simplificar el numerador y denominador a una sola fracción algebraica antes de multiplicar por el recíproco del divisor.
En esta sección se han presentado dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas. ¿Cuál de los dos métodos sientes que es más eficiente y por qué?

Contestar

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar

Definiciones

Método 1: Simplificar el uso de la división

Método 2: Simplificar el uso de la pantalla LCD

Claves para llevar

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