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8.5: Exponentes racionales

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Objetivos de aprendizaje

  • Escribir expresiones con exponentes racionales en forma radical.
  • Escribir expresiones radicales con exponentes racionales.
  • Realizar operaciones y simplificar expresiones con exponentes racionales.
  • Realizar operaciones sobre radicales con diferentes índices.

Definición de exponentes racionales

Hasta el momento, los exponentes se han limitado a enteros. En esta sección, definiremos qué significan los exponentes racionales (o fraccionarios) y cómo trabajar con ellos. Aplican todas las reglas para exponentes desarrolladas hasta este punto. En particular, recordar la regla del producto para exponentes. Dados los números racionales m y n, entonces

xmxn=xm+n

Por ejemplo, si tenemos un exponente de12, entonces la regla del producto para exponentes implica lo siguiente:

512512=512+12=51=5

Aquí512 está uno de dos factores iguales de 5; de ahí que sea una raíz cuadrada de 5, y podemos escribir

51/2=5

Además, podemos ver que213 es uno de tres factores iguales de 2.

213213213=213+13+13=233=21=2

Por lo tanto,213 es la raíz cubo de 2, y podemos escribir

21/3=32

Esto es cierto en general, dado cualquier número real distinto de cero a,

a1/n=na

En otras palabras, el denominador de un exponente fraccionario determina el índice de una raíz n ésima.

Ejemplo8.5.1

Reescribir como radical.

  1. 71/2
  2. 71/3

Solución:

a.71/2=7

b.71/3=37

Ejemplo8.5.2

Reescribe como radical y luego simplifica.

  1. 811/2
  2. 811/4

Solución:

  1. 811/2=81=9
  2. 811/4=481=434=3

Ejemplo8.5.3

Reescribe como radical y luego simplifica.

  1. (125x3)1/3
  2. (32y10)1/5

Solución:

a.

(125x3)1/3=3125x3=353x3=5x

b.

A continuación, considere exponentes fraccionarios donde el numerador es un entero distinto de 1. Por ejemplo, considere lo siguiente:

523523523=523+23+23=563=52

Esto demuestra que52/3 es uno de los tres factores iguales de52. En otras palabras,52/3 es la raíz cubo de52 y podemos escribir:

52/3=352

En general, dado cualquier número real a,

am/n=nam

Una expresión con un exponente racional equivale a un radical donde el denominador es el índice y el numerador es el exponente. Cualquier expresión radical puede escribirse con un exponente racional, al que llamamos forma exponencial.

RadicalformExponentialform5x2=x2/5

Ejemplo8.5.4

Reescribir como radical.

  1. 72/5
  2. 23/4

Solución:

  1. 72/5=572=549
  2. 23/4=423=48

Ejemplo8.5.5

Reescribe como radical y luego simplifica

  1. 82/3
  2. (32)3/5

Solución:

a.

82/3=382=364=343=4

b. A menudo podemos evitar enteros muy grandes trabajando con su factorización prima.

(32)3/5=5(32)3Replace32with25.=5(25)3Applythepowerruleforexponents.=521515÷5=3,so215=(23)5.=5(23)5Simplify.=23=8

Dada una expresión radical, se nos pedirá encontrar el equivalente en forma exponencial. Supongamos que todas las variables son positivas.

Ejemplo8.5.6

Reescribir usando exponentes racionales:

3x2

Solución:

Aquí el índice es 3 y la potencia es 2. Podemos escribir

3x2=x2/3

Respuesta:

x2/3

Ejemplo8.5.7

Reescribir usando exponentes racionales:

6y3

Solución:

Aquí el índice es 6 y la potencia es 3. Podemos escribir

6y3=y3/6=y1/2

Respuesta:

y1/2

Es importante señalar que los siguientes son equivalentes.

nam=(na)m

Es decir, no importa si aplicamos primero el poder o primero la raíz. Por ejemplo, podemos aplicar el poder antes de la raíz:

272/3=3272=3(33)2=336=32=9

O podemos aplicar la raíz n th antes de la potencia:

272/3=(327)2=(333)2=32=9

Los resultados son los mismos.

Ejemplo8.5.8

Reescribe como radical y luego simplifica:

(8)2/3

Solución:

Aquí el índice es 3 y la potencia es 2. Podemos escribir

(8)2/3=(38)2=(2)2=4

Respuesta:

4

Ejercicio8.5.1

Reescribe como radical y luego simplifica:

253/2

Contestar

125

Algunas calculadoras tienen un botón de intercalaciónˆ. Si es así, podemos calcular aproximaciones para radicales usándolo y exponentes racionales. Por ejemplo, para calcular2=21/2=2(1/2)1.414, escribiríamos

2(1÷2)=

Para calcular322=22/3=2(2/3)=≈1.587, escribiríamos

2(2÷3)=

Operaciones usando las reglas de los exponentes

En esta sección, revisamos todas las reglas de exponentes, las cuales se extienden para incluir exponentes racionales. Si se le dan algunos números racionales m y n, entonces tenemos

Regla del producto: xmxn=xm+n
Regla del cociente: xmxn=xmn,x0
Regla de potencia: (xm)n=xmn
Regla de potencia para un producto: (xy)n=xnyn
Regla de poder para un cociente: (xy)n=xnyn,y0
Exponentes negativos: xn=1xn
Cero exponente: x0=1,x0
Mesa8.5.1

Estas reglas nos permiten realizar operaciones con exponentes racionales.

Ejemplo8.5.9

Simplificar:

223216

Solución:

223216=223+16Applytheproductrulexmxn=xm+n.=246+16Findequivalentfractionswithacommondenominatorandthenadd.=256

Respuesta:

256

Ejemplo8.5.10

Simplificar:

x1/2x1/3

Solución:

x1/2x1/3=x1213Applythequotientrulexmxn=xmn.=x3626Findequivalentfractionswithacommondenominatorandthensubtract.=x16

Respuesta:

x16

Ejemplo8.5.11

Simplificar:

(y3/4)2/3

Solución:

(y3/4)2/3=y3423Applythepowerrule(xm)n=xmn.=y612Multiplytheexponentsandreduce.=y12

Respuesta:

y12

Ejemplo8.5.12

Simplificar:

(16a4b8)3/4

Solución:

(16a4b8)3/4=(24a4b8)3/4Rewrite16as24.=(24)3/4(a4)3/4(b8)3/4Applythepowerruleforaproduct(xy)n=xnyn.=2434a434b834Applythepowerruletoeachfactor.=23a3b6Simplify.=8a3b6

Respuesta:

8a3b6

Ejemplo8.5.13

Simplificar:

Solución:

Respuesta:

1125

Ejercicio8.5.2

Simplificar:

(8a3/4b3)2/3a1/3

Contestar

4a1/6b2

Expresiones radicales con diferentes índices

Para aplicar la regla del producto o cociente para los radicales, los índices de los radicales involucrados deben ser los mismos. Si los índices son diferentes, entonces primero reescribe los radicales en forma exponencial y luego aplica las reglas para los exponentes.

Ejemplo8.5.14

Multiplicar:

232

Solución:

En este ejemplo, el índice de cada factor radical es diferente. De ahí que no se aplique la regla del producto para radicales. Comience por convertir los radicales en una forma equivalente usando exponentes racionales. Después aplique la regla del producto para exponentes.

232=212213Equivalentsusingrationalexponents.=212+13Applytheproductruleforexponents.=23+26=256=625

Respuesta:

625

Ejemplo8.5.15

Dividir:

3452

Solución:

En este ejemplo, el índice del radical en el numerador es diferente del índice del radical en el denominador. De ahí que no se aplique la regla del cociente para los radicales. Comience convirtiendo los radicales en una forma equivalente usando exponentes racionales y luego aplique la regla de cociente para exponentes.

3452=32252=233215Equivalentsusingrationalexponents.=22315Applythequotientruleforexponents.=210315=2715=1527

Respuesta:

1527

Ejemplo8.5.16

Simplificar:

34

Solución:

Aquí el radicando de la raíz cuadrada es una raíz cubo. Después de reescribir esta expresión usando exponentes racionales, veremos que se aplica la regla de potencia para exponentes.

34=322=(22/3)1/2Equivalentsusingrationalexponents.=23212Applythepowerruleforexponents.=213=32

Respuesta:

32

Claves para llevar

  • Al convertir exponentes fraccionarios en radicales, usa el numerador como potencia y el denominador como índice del radical.
  • Todas las reglas de los exponentes se aplican a expresiones con exponentes racionales.

Ejercicio8.5.3 Rational Exponents

Expresar usando exponentes racionales.

  1. 6
  2. 10
  3. 311
  4. 42
  5. 352
  6. 423
  7. 5x
  8. 6x
  9. 6x7
  10. 5x4
Contestar

1. 61/2

3. 111/3

5. 52/3

7. x1/5

9. x7/6

Ejercicio8.5.4 Rational Exponents

Expreso en forma radical.

  1. 21/2
  2. 51/3
  3. 72/3
  4. 23/5
  5. x3/4
  6. x5/6
  7. x1/2
  8. x3/4
  9. (1x)1/3
  10. (1x)3/5
Contestar

1. 2

3. 372

5. 4x3

7. 1x

9. 3x

Ejercicio8.5.5 Rational Exponents

Escribe como radical y luego simplifica.

  1. 251/2
  2. 361/2
  3. 1211/2
  4. 1441/2
  5. (14)12
  6. (49)12
  7. (4)12
  8. (9)12
  9. (14)12
  10. (116)1/2
  11. 81/3
  12. 1251/3
  13. (127)13
  14. (8125)1/3
  15. (27)13
  16. (64)1/3
  17. 161/4
  18. 6251/4
  19. 811/4
  20. 161/4
  21. 100,0001/5
  22. (32)1/5
  23. (132)15
  24. (1243)1/5
  25. 93/2
  26. 43/2
  27. 85/3
  28. 272/3
  29. 163/2
  30. 322/5
  31. (116)3/4
  32. (181)3/4
  33. (27)2/3
  34. (27)4/3
  35. (32)3/5
  36. (32)4/5
Contestar

1. 5

3. 11

5. 12

7. 12

9. 2

11. 2

13. 13

15. −3

17. 2

19. 13

21. 10

23. 12

25. 27

27. 32

29. 64

31. 18

33. 9

35. −8

Ejercicio8.5.6 Rational Exponents

Usa una calculadora para aproximar una respuesta redondeada a la centésima más cercana.

  1. 23/4
  2. 32/3
  3. 51/5
  4. 71/7
  5. (9)3/2
  6. 93/2
  7. Explica por qué(4)(3/2) da un error en una calculadora y4(3/2) da una respuesta de −8.
  8. Marcy recibió un mensaje de texto de Mark preguntándole cuántos años tenía. En respuesta, Marcy envió un mensaje de texto “125(2/3)años”. Ayuda a Mark a determinar la edad de Marcy.
Contestar

1. 1.68

3. 1.38

5. No es un número real

7. En la primera expresión, la raíz cuadrada de un número negativo crea una condición de error en la calculadora. La raíz cuadrada de un número negativo no es real. En la segunda expresión, por el orden de las operaciones, el signo negativo se aplica a la respuesta después de que 4 se eleva a la potencia (3/2).

Ejercicio8.5.7 Rational Exponents

Realizar las operaciones y simplificar. Dejar las respuestas en forma exponencial.

  1. 22/324/3
  2. 33/231/2
  3. 51/251/3
  4. 21/623/4
  5. y1/4y2/5
  6. x1/2x1/4
  7. 573513
  8. 29/221/2
  9. 2a23a16
  10. 3b12b13
  11. (812)23
  12. (36)2/3
  13. (x23)12
  14. (y34)45
  15. (4x2y4)12
  16. (9x6y2)12
  17. (2x13y23)3
  18. (8x32y12)2
  19. (a34a12)43
  20. (b45b110)103
  21. (4x23y4)12
  22. (27x34y9)13
  23. y12y23y16
  24. x25x12x110
  25. xyx12y13
  26. x54yxy25
  27. 49a57b327a37b14
  28. \frac{16 a^{\frac{5}{6}} b^{\frac{5}{4}}}{8 a^{\frac{1}{2}} b^{\frac{2}{3}}}
  29. \left(\frac{9 x^{\frac{2}{3}}}{y^{6}}\right)^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}} y
  30. \left(\frac{125 x^{3}}{y^{\frac{3}{5}}}\right)^{\frac{2}{3}} x y^{\frac{1}{3}}
  31. \frac{\left(27 a^{\frac{1}{4}} b^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{2}{3}}}{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}}
  32. \frac{\left(25 a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{3}{2}}}{a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{3}}}
Contestar

1. 4

3. 5^{5/6}

5. y^{13/20}

7. 25

9. 2a^{1/2}

11. 2

13. x^{1/3}

15. \frac{2 x}{y^{2}}

17. \frac{8 x}{y^{2}}

19a^{1/3}

21. \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{y^{2}}

23. y

25. x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{2}{3}}

27. 7 a^{\frac{2}{7}} b^{\frac{5}{4}}

29. \frac{27 x^{\frac{3}{2}}}{y^{8}}

31. 9b^{1/2}

Ejercicio\PageIndex{8} Mixed Indices

Realizar las operaciones.

  1. \sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[5]{3}
  2. \sqrt{5}\cdot\sqrt[5]{25}
  3. \sqrt{x}\cdot\sqrt[3]{x}
  4. \sqrt{y}\cdot\sqrt[4]{y}
  5. \sqrt[3]{x^{2}} \cdot \sqrt[4]{x}
  6. \sqrt[5]{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}
  7. \frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt{10}}
  8. \frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt[3]{4}}
  9. \frac{\sqrt[3]{a^{2}}}{\sqrt{a}}
  10. \frac{\sqrt[5]{b^{4}}}{\sqrt[3]{b}}
  11. \frac{\sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt[5]{x^{3}}}
  12. \frac{\sqrt[4]{x^{3}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}
  13. \sqrt[5]{\sqrt{16}}
  14. \sqrt[3]{\sqrt{9}}
  15. \sqrt[3]{\sqrt[5]{2}}
  16. \sqrt[3]{\sqrt[5]{5}}
  17. \sqrt[3]{\sqrt{7}}
  18. \sqrt[3]{\sqrt{3}}
Contestar

1. \sqrt[15]{3^13}

3. x

5. \sqrt[12]{x^{11}}

7. \sqrt[6]{10}

9. \sqrt[6]{a}

11. \sqrt[15]{x}

13. \sqrt[5]{4}

15. \sqrt[15]{2}

17. \sqrt[6]{7}

Ejercicio\PageIndex{9} Discussion Board

  1. ¿A quién se le atribuye haber ideado la notación para exponentes racionales? ¿Cuáles son algunos de sus otros logros?
  2. Cuando se usa texto, lo mejor es comunicar n th raíces usando exponentes racionales. Dé un ejemplo.
Contestar

1. Las respuestas pueden variar


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