1.6: Polinomios y sus operaciones

Objetivos de aprendizaje

• Identificar un polinomio y determinar su grado.
• Sumar y restar polinomios.
• Multiplicar y dividir polinomios.

Definiciones

Un polinomio ¹¹² es una expresión algebraica especial con términos que consisten en coeficientes numéricos reales y factores variables con exponentes de números enteros. A continuación se presentan algunos ejemplos de polinomios:

Mesa$\PageIndex{1}$

$3 x ^ { 2 }$

$7 x y + 5$

$\frac { 3 } { 2 } x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x + 1$

$6 x ^ { 2 } y - 4 x y ^ { 3 } + 7$

El grado de un término ¹¹³ en un polinomio se define como el exponente de la variable, o si hay más de una variable en el término, el grado es la suma de sus exponentes. Recordemos eso$x^{0} = 1$; cualquier término constante puede escribirse como producto de$x^{0}$ y en sí mismo. De ahí que el grado de un término constante sea$0$.

Mesa$\PageIndex{2}$

Término	Titulación
$3 x ^ { 2 }$	$2$
$6 x ^ { 2 } y$	$2+1=3$
$7 a ^ { 2 } b ^ { 3 }$	$2+3=5$
$8$	$0$, ya que$8 = 8x^{0}$
$2x$	$1$, ya que$2x=2x^{1}$

El grado de un polinomio ¹¹⁴ es el grado más grande de todos sus términos.

Mesa$\PageIndex{3}$

Polinomio	Titulación
$4 x ^ { 5 } - 3 x ^ { 3 } + 2 x - 1$	$5$
$6 x ^ { 2 } y - 5 x y ^ { 3 } + 7$	$4$, porque$5xy^{3}$ tiene grado$4$.
$\frac { 1 } { 2 } x + \frac { 5 } { 4 }$	$1$, porque$\frac{1}{2}x = \frac{1}{2}x^{1}$

De particular interés son los polinomios con una variable ¹¹⁵, donde cada término es de la forma$a_{n}x^{n}$. Aquí$a_{n}$ hay cualquier número real y$n$ es cualquier número entero. Tales polinomios tienen la forma estándar:

$a _ { n } x ^ { n } + a _ { n - 1 } x ^ { n - 1 } + \cdots + a _ { 1 } x + a _ { 0 }$

Normalmente, organizamos términos de polinomios en orden descendente en función del grado de cada término. El coeficiente principal ¹¹⁶ es el coeficiente de la variable con mayor potencia, en este caso,$a_{n}$.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Escribir en forma estándar:$3 x - 4 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 - 2 x ^ { 4 }$.

Solución

Dado que los términos se definen para ser separados por adición, escribimos lo siguiente:

$\begin{array} { l } { 3 x - 4 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 - 2 x ^ { 4 } } \\ { = 3 x + ( - 4 ) x ^ { 2 } + 5 x ^ { 3 } + 7 + ( - 2 ) x ^ { 4 } } \end{array}$

De esta forma, podemos ver que la resta en el original corresponde a coeficientes negativos. Debido a que la suma es conmutativa, podemos escribir los términos en orden descendente con base en el grado de la siguiente manera:

$\begin{array} { l } { = ( - 2 ) x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } + ( - 4 ) x ^ { 2 } + 3 x + 7 } \\ { = - 2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 3 x + 7 } \end{array}$

Respuesta:

$- 2 x ^ { 4 } + 5 x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } + 3 x + 7$

Clasificamos polinomios por el número de términos y el grado:

Mesa$\PageIndex{4}$

Expresión	Clasificación	Titulación
$5x^{7}$	Monomio ^117 (un término)	$7$
$8x^{6}-1$	Binomial ^118 (dos términos)	$6$
$-3x^{2} +x-1$	Trinomio ^119 (tres términos)	$2$
$5 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + 3 x - 6$	Polinomio (muchos términos)	$3$

Podemos clasificar adicionalmente polinomios con una variable por su grado:

Mesa$\PageIndex{5}$

Polinomio	Nombre
$5$	Constante ^120 (grado$0$)
$2x+1$	Lineal ^121 (grados$1$)
$3 x ^ { 2 } + 5 x - 3$	Cuadrática ^122 (grados$2$)
$x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1$	Cúbico ^123 (grados$3$)
$7 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } - 7 x + 8$	Polinomio de cuarto grado

En este texto, llamamos a cualquier polinomio de grado$n ≥ 4$ un polinomio de$n$ grado th-grado. Es decir, si el grado lo es$4$, llamamos al polinomio un polinomio de cuarto grado. Si el grado es$5$, lo llamamos polinomio de quinto grado, y así sucesivamente.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Anotar si el siguiente polinomio es lineal o cuadrático y dar el coeficiente principal:$25 + 4 x - x ^ { 2 }$.

Solución

El poder más alto es$2$; por lo tanto, es un polinomio cuadrático. Reescribiendo en forma estándar tenemos

$- x ^ { 2 } + 4 x + 25$

Aquí$- x ^ { 2 } = - 1 x ^ { 2 }$ y así el coeficiente principal es$−1$.

Respuesta:

Cuadrático; coeficiente principal:$−1$

Sumando y restando polinomios

Comenzamos simplificando las expresiones algebraicas que parecen$+ (a + b)$ o$− (a + b)$. Aquí, los coeficientes están realmente implícitos para ser$+1$ y$−1$ respectivamente y por lo tanto se aplica la propiedad distributiva. Multiplique cada término entre paréntesis por estos factores de la siguiente manera:

$\begin{array} { l } { + ( a + b ) = + 1 ( a + b ) = ( + 1 ) a + ( + 1 ) b = a + b } \\ { - ( a + b ) = - 1 ( a + b ) = ( - 1 ) a + ( - 1 ) b = - a - b } \end{array}$

Usa esta idea como un medio para eliminar paréntesis al sumar y restar polinomios.

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Agregar:$9 x ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } - 5 \right)$.

Solución

La propiedad nos$+ (a + b) = a + b$ permite eliminar los paréntesis, después de lo cual luego podemos combinar términos similares.

$\begin{aligned} 9 x ^ { 2 } + \left( x ^ { 2 } - 5 \right) & = 9 x ^ { 2 } + x ^ { 2 } - 5 \\ & = 10 x ^ { 2 } - 5 \end{aligned}$

Respuesta:

$10x^{2} − 5$

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Agregar:$\left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 9 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 6 x y - 7 \right)$.

Solución

Recuerda que las partes variables tienen que ser exactamente las mismas antes de poder sumar los coeficientes.

$\begin{array} { l } { \left( 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 9 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 6 x y - 7 \right) } \\ { = \color{Cerulean}{\underline{ 3 x ^ { 2 } y ^ { 2 }}} \color{Black}{-} \color{OliveGreen}{\underline{\underline {4 x y}}} \color{Black}{+ \underline{\underline{\underline{9}}}} + \color{Cerulean}{\underline{2 x ^ { 2 } y ^ { 2 }}} \color{Black}{-} \color{OliveGreen}{\underline{\underline {6 x y}}} \color{Black} {- \underline{\underline{\underline{7}}}}} \\ { = 5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 10 x y + 2 } \end{array}$

Respuesta:

$5 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 10 x y + 2$

Al restar polinomios, los paréntesis se vuelven muy importantes.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Restar:$4 x ^ { 2 } - \left( 3 x ^ { 2 } + 5 x \right)$.

Solución

La propiedad nos$− (a + b) = −a − b$ permite eliminar los paréntesis después de restar cada término.

$\begin{aligned} 4 x ^ { 2 } - \left( 3 x ^ { 2 } + 5 x \right) & = 4 x ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } - 5 x \\ & = x ^ { 2 } - 5 x \end{aligned}$

Respuesta:

$x^{2} − 5x$

Restar una cantidad equivale a multiplicarla por$−1$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

Restar:$\left( 3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } \right) - \left( 2 x ^ { 2 } - x y + 3 y ^ { 2 } \right)$.

Solución

Distribuya el$−1$, elimine los paréntesis y luego combine términos similares. Multiplicar los términos de un polinomio por$−1$ los cambios de todos los signos.

Figura$\PageIndex{1}$

$\begin{array} { l } { = 3 x ^ { 2 } - 2 x y + y ^ { 2 } - 2 x ^ { 2 } + x y - 3 y ^ { 2 } } \\ { = x ^ { 2 } - x y - 2 y ^ { 2 } } \end{array}$

Respuesta:

$x^{2} − xy − 2y^{2}$

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Restar:$\left( 7 a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \right) - \left( a ^ { 2 } - 2 a b + 5 b ^ { 2 } \right)$.

Responder

$6 a ^ { 2 } - 4 b ^ { 2 }$

www.youtube.com/v/idtreb_pq3a

Multiplicar polinomios

Utilice la regla del producto para exponentes$x ^ { m } \cdot x ^ { n } = x ^ { m + n }$,, para multiplicar un monomio por un polinomio. Es decir, al multiplicar dos expresiones con la misma base, sumar los exponentes. Para encontrar el producto de los monomios, multiplique los coeficientes y sume los exponentes de factores variables con la misma base. Por ejemplo,

$\begin{aligned} 7 x ^ { 4 } \cdot 8 x ^ { 3 } & = 7 \cdot 8 \cdot x ^ { 4 } \cdot x ^ { 3 } \color{Cerulean} { Commutative \:property } \\ & = 56 x ^ { 4 + 3 } \quad\quad \color {Cerulean} { Product \:rule \:for \:exponents } \\ & = 56 x ^ { 7 } \end{aligned}$

Para multiplicar un polinomio por un monomio, aplicar la propiedad distributiva, y luego simplificar cada término.

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

Multiplicar:$5 x y ^ { 2 } \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - x y + 1 \right)$.

Solución

Aplicar la propiedad distributiva y luego simplificar.

Figura$\PageIndex{2}$

$\begin{array} { l } { = \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }} \color{Black}{\cdot} 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }}\color{Black}{ \cdot} x y + \color{Cerulean}{5 x y ^ { 2 }} \color{Black}{ \cdot 1 }} \\ { = 10 x ^ { 3 } y ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 5 x y ^ { 2 } } \end{array}$

Respuesta:

$10 x ^ { 3 } y ^ { 4 } - 5 x ^ { 2 } y ^ { 3 } + 5 x y ^ { 2 }$

En resumen, multiplicar un polinomio por un monomio implica la propiedad distributiva y la regla del producto para los exponentes. Multiplicar todos los términos del polinomio por el monomio. Para cada término, multiplicar los coeficientes y sumar exponentes de variables donde las bases son las mismas.

De la misma manera que usamos la propiedad distributiva para distribuir un monomio, la usamos para distribuir un binomio.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ ( c + d )} & = \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ \cdot} c + \color{Cerulean}{( a + b )}\color{Black}{ \cdot} d \\ & = a c + b c + a d + b d \\ & = a c + a d + b c + b d \end{aligned}$

Aquí aplicamos la propiedad distributiva varias veces para producir el resultado final. Este mismo resultado se obtiene en un solo paso si aplicamos la propiedad distributiva a$a$ y$b$ por separado de la siguiente manera:

Figura$\PageIndex{3}$

Esto a menudo se llama el método FOIL. Multiplique los términos primero, externo, interno y luego último.

Ejemplo$\PageIndex{8}$:

Multiplicar:$( 6 x - 1 ) ( 3 x - 5 )$.

Solución

Distribuir$6x$$−1$ y luego combinar términos similares.

$\begin{aligned} ( 6 x - 1 ) ( 3 x - 5 ) & = \color{Cerulean}{6 x}\color{Black}{ \cdot} 3 x - \color{Cerulean}{6 x}\color{Black}{ \cdot} 5 + ( \color{OliveGreen}{- 1}\color{Black}{ )} \cdot 3 x - ( \color{OliveGreen}{- 1}\color{Black}{ )} \cdot 5 \\ & = 18 x ^ { 2 } - 30 x - 3 x + 5 \\ & = 18 x ^ { 2 } - 33 x + 5 \end{aligned}$

Respuesta:

$18 x ^ { 2 } - 33 x + 5$

Considera los siguientes dos cálculos:

Mesa$\PageIndex{6}$

$\begin{aligned} ( a + b ) ^ { 2 } & = ( a + b ) ( a + b ) \\ & = a ^ { 2 } + a b + b a + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + a b + a b + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } \end{aligned}$

$\begin{aligned} ( a - b ) ^ { 2 } & = ( a - b ) ( a - b ) \\ & = a ^ { 2 } - a b - b a + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - a b - a b + b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } \end{aligned}$

Esto nos lleva a dos fórmulas que describen trinomios cuadrados perfectos ¹²⁴:

$\begin{array} { l } { ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } } \\ { ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } } \end{array}$

Podemos usar estas fórmulas para cuadrar rápidamente un binomio.

Ejemplo$\PageIndex{9}$:

Multiplicar:$(3x+5)^{2}$

Solución

Aquí$a=3x$ y$b=5$. Aplicar la fórmula:

Figura$\PageIndex{4}$

Respuesta:

$9 x ^ { 2 } + 30 x + 25$

Este proceso debe llegar a ser lo suficientemente rutinario como para ser realizado mentalmente. Nuestro tercer producto especial sigue:

$\begin{aligned} ( a + b ) ( a - b ) & = a ^ { 2 } - a b + b a - b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } \color{red}{- a b + a b}\color{Black}{ -} b ^ { 2 } \\ & = a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \end{aligned}$

Este producto se llama diferencia de cuadrados ¹²⁵:

$( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }$

Los binomios$(a + b)$ y$(a − b)$ se denominan binomios conjugados ¹²⁶. Al multiplicar binomios conjugados los términos medios son opuestos y su suma es cero; el producto es en sí mismo un binomio.

Ejemplo$\PageIndex{10}$:

Multiplicar:$(3xy + 1) (3xy − 1)$.

Solución

$\begin{aligned} ( 3 x y + 1 ) ( 3 x y - 1 ) & = ( 3 x y ) ^ { 2 } - 3 x y + 3 x y - 1 ^ { 2 } \\ & = 9 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 1 \end{aligned}$

Respuesta:

$9x^{2}y^{2} − 1$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Multiplicar:$\left( x ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 5 y ^ { 2 } \right)$.

Responder

$\left( x ^ { 4 } - 25 y ^ { 4 } \right)$

www.youtube.com/v/p7r3fdpp6_s

Ejemplo$\PageIndex{11}$:

Multiplicar:$(5x − 2)^{3}$.

Solución

Aquí realizamos un producto a la vez.

Figura$\PageIndex{5}$

Respuesta:

$125x^{2} − 150x^{2} + 60x − 8$

Polinomios Dividiendo

Usa la regla del cociente para exponentes$\frac { x ^ { m } } { x ^ { n } } = x ^ { m - n }$,, para dividir un polinomio por un monomio. Es decir, al dividir dos expresiones con la misma base, restar los exponentes. En esta sección, asumiremos que todas las variables en el denominador son distintas de cero.

Ejemplo$\PageIndex{12}$:

Dividir:$\frac { 24 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } { 8 x ^ { 3 } y ^ { 2 } }$.

Solución

Divida los coeficientes y aplique la regla del cociente restando los exponentes de las bases similares.

$\begin{aligned} \frac { 24 x ^ { 7 } y ^ { 5 } } { 8 x ^ { 3 } y ^ { 2 } } & = \frac { 24 } { 8 } x ^ { 7 - 3 } y ^ { 5 - 2 } \\ & = 3 x ^ { 4 } y ^ { 3 } \end{aligned}$

Respuesta:

$3 x ^ { 4 } y ^ { 3 }$

Al dividir un polinomio por un monomio, podemos tratar el monomio como un denominador común y romper la fracción usando la siguiente propiedad:

$\frac { a + b } { c } = \frac { a } { c } + \frac { b } { c }$

Aplicar esta propiedad resultará en términos que pueden ser tratados como cocientes de monomios.

Ejemplo$\PageIndex{13}$:

Dividir:$\frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } }$.

Solución

Romper la fracción dividiendo cada término en el numerador por el monomio en el denominador, y luego simplificar cada término.

$\begin{aligned} \frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } & = - \frac { 5 x ^ { 4 } } { 5 x ^ { 2 } } + \frac { 25 x ^ { 3 } } { 5 x ^ { 2 } } - \frac { 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } \\ & = - \frac { 5 } { 5 } x ^ { 4 - 2 } + \frac { 25 } { 5 } x ^ { 3 - 2 } - \frac { 15 } { 5 } x ^ { 2 - 2 } \\ & = - 1 x ^ { 2 } + 5 x ^ { 1 } - 3 x ^ { 0 } \\ & = - x ^ { 2 } + 5 x - 3 \cdot 1 \end{aligned}$

Respuesta:

$- x ^ { 2 } + 5 x - 3$

Podemos verificar nuestra división multiplicando nuestra respuesta, el cociente, por el monomio en el denominador, el divisor, para ver si obtenemos el numerador original, el dividendo.

Mesa$\PageIndex{7}$

${\frac{Dividend}{Divisor}=Quotient}$	$\frac { - 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } } { 5 x ^ { 2 } } = - x ^ { 2 } + 5 x-3$
o	o
$Dividend = Divisor\cdot Quotient$	$- 5 x ^ { 4 } + 25 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } = 5 x ^ { 2 } ( - x ^ { 2 } + 5x-3)$

La misma técnica esbozada para dividir por un monomio no funciona para polinomios con dos o más términos en el denominador. En esta sección, esbozaremos un proceso llamado polinomio división larga ¹²⁷, que se basa en el algoritmo de división para números reales. En aras de la claridad, asumiremos que todas las expresiones en el denominador son distintas de cero.

Ejemplo$\PageIndex{14}$:

Dividir$\frac { x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 } { x - 2 }$:

Solución

Aquí$x−2$ está el divisor y$x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4$ está el dividendo. Para determinar el primer término del cociente, dividir el término principal del dividendo por el término principal del divisor.

Figura$\PageIndex{6}$

Multiplique el primer término del cociente por el divisor, recordando distribuir, y alinee como términos con el dividendo.

Figura$\PageIndex{7}$

Restar la cantidad resultante del dividendo. Tenga cuidado de restar ambos términos.

Figura$\PageIndex{8}$

Derriba los términos restantes y repita el proceso.

Figura$\PageIndex{9}$

Observe que se elimina el término principal y que el resultado tiene un grado que es uno menos. El proceso completo se ilustra a continuación:

Figura$\PageIndex{10}$

La división polinómica larga termina cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. Aquí, el resto lo es$0$. Por lo tanto, el binomio divide el polinomio de manera uniforme y la respuesta es el cociente que se muestra arriba de la barra de división.

$\frac { x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 } { x - 2 } = x ^ { 2 } + 5 x + 2$

Para verificar la respuesta, multiplica el divisor por el cociente para ver si obtienes el dividendo como se ilustra a continuación:

$x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 8 x - 4 = ( x - 2 ) \left( x ^ { 2 } + 5 x + 2 \right)$

Esto se deja al lector como ejercicio.

Respuesta:

$x ^ { 2 } + 5 x + 2$

A continuación, demostramos el caso donde hay un resto distinto de cero.

Figura$\PageIndex{11}$

Al igual que con los números reales, la respuesta final agrega al cociente la fracción donde el resto es el numerador y el divisor es el denominador. En general, al dividir tenemos:

$\frac{Dividend}{Divisor}=\color{Cerulean}{Quotient}\color{Black}{+}\frac{\color{OliveGreen}{Remainder}}{\color{Black}{Divisor}}$

Si multiplicamos ambos lados por el divisor que obtenemos,

$Dividend=\color{Cerulean}{Quotient}\color{Black}{\times}Divisor +\color{OliveGreen}{Remainder}$

Ejemplo$\PageIndex{15}$:

Dividir:$\frac { 6 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } { 2 x - 1 }$.

Solución

Dado que el denominador es un binomio, comience por establecer la división polinómica larga.

Figura$\PageIndex{12}$

Para comenzar, determinar qué tiempos monomiales$2x−1$ da como resultado un término principal.$6x^{2}$ Este es el cociente de los términos principales dados:$(6x^{2})÷(2x)=3x$. $3x$Multiplique por el divisor$2x−1$, y alinee el resultado con términos similares del dividendo.

Figura$\PageIndex{13}$

Restar el resultado del dividendo y derribar el plazo constante$+3$.

Figura$\PageIndex{14}$

Restar elimina el término principal. Multiplica$2x−1$ por$−1$ y alinea el resultado.

Figura$\PageIndex{15}$

Restar de nuevo y notar que nos queda un resto.

Figura$\PageIndex{16}$

El término constante$2$ tiene grado$0$ y así termina la división. Por lo tanto,

$\frac { 6 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } { 2 x - 1 } = \color{Cerulean}{3 x - 1}\color{Black}{ +} \frac { \color{OliveGreen}{2} } {\color{Black}{ 2 x - 1} }$

Para comprobar que este resultado es correcto, multiplicamos de la siguiente manera:

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{ {quotient }}\color{Black}{ \times} divisor + \color{OliveGreen} {remainder} & \color{Black}{=} \color{Cerulean}{( 3 x - 1 )}\color{Black}{ (} 2 x - 1 ) + \color{OliveGreen}{2} \\ & = 6 x ^ { 2 } - 3 x - 2 x + 1 + 2 \\ & = 6 x ^ { 2 } - 5 x + 2 = dividend\:\: \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Respuesta:

$3 x - 1 + \frac { 2 } { 2 x - 1 }$

Ocasionalmente, algunos de los poderes de las variables parecen faltar dentro de un polinomio. Esto puede llevar a errores al alinear términos similares. Por lo tanto, al aprender por primera vez a dividir polinomios usando división larga, rellene los términos faltantes con coeficientes cero, llamados marcadores de posición ¹²⁸.

Ejemplo$\PageIndex{16}$:

Dividir:$\frac { 27 x ^ { 3 } + 64 } { 3 x + 4 }$.

Solución

Observe que el binomio en el numerador no tiene términos con grado$2$ o$1$. La división se simplifica si reescribimos la expresión con marcadores de posición:

$27 x ^ { 3 } + 64 = 27 x ^ { 3 } + \color{OliveGreen}{0 x ^ { 2 }}\color{Black}{ +}\color{OliveGreen}{ 0 x}\color{Black}{ +} 64$

Configurar división larga polinomial:

Figura$\PageIndex{17}$

Comenzamos con 27x3÷3x=9x2 y trabajamos el resto del algoritmo de división.

Figura$\PageIndex{18}$

Respuesta:

$9 x ^ { 2 } - 12 x + 16$

Ejemplo$\PageIndex{17}$:

Dividir:$\frac { 3 x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 23 x - 7 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }$.

Solución

Figura$\PageIndex{19}$

Iniciar el proceso dividiendo los términos principales para determinar el término principal del cociente$3x^{4}÷x^{2}=\color{Cerulean}{3x^{2}}$. Tenga cuidado de distribuir y alinear los términos similares. Continuar el proceso hasta que el resto tenga un grado menor que$2$.

Figura$\PageIndex{20}$

El resto es$x−2$. Escribe la respuesta con el resto:

$\frac { 3 x ^ { 4 } - 2 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 23 x - 7 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 } = 3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 + \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }$

Respuesta:

$3 x ^ { 2 } + 4 x - 1 + \frac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 2 x + 5 }$

La división polinomial larga toma tiempo y práctica para dominar. Trabaje muchos problemas y recuerde que puede verificar sus respuestas multiplicando el cociente por el divisor (y agregando el resto si está presente) para obtener el dividendo.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Dividir:$\frac { 6 x ^ { 4 } - 13 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } - 14 x + 6 } { 3 x - 2 }$.

Responder

$2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } + x - 4 - \frac { 2 } { 3 x - 2 }$

www.youtube.com/V/K9nRvMREKAQ

Claves para llevar

• Los polinomios son expresiones algebraicas especiales donde los términos son productos de números reales y variables con exponentes de números enteros.
• El grado de un polinomio con una variable es el mayor exponente de la variable que se encuentra en cualquier término. Además, los términos de un polinomio suelen estar ordenados en orden descendente en función del grado de cada término.
• Al agregar polinomios, elimine los paréntesis asociados y luego combine términos similares. Al restar polinomios, distribuya el$−1$, elimine los paréntesis y luego combine términos similares.
• Para multiplicar polinomios aplique la propiedad distributiva; multiplique cada término en el primer polinomio con cada término en el segundo polinomio. Después combina términos similares.
• Al dividir por un monomio, dividir todos los términos en el numerador por el monomio y luego simplificar cada término.
• Al dividir un polinomio por otro polinomio, aplique el algoritmo de división.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Escribir los polinomios dados en forma estándar.

1. $1 − x − x^{2}$
2. $y − 5 + y^{2}$
3. $y − 3y^{2} + 5 − y^{3}$
4. $8 − 12a^{2} + a^{3} − a$
5. $2 − x^{2} + 6x − 5x^{3} + x^{4}$
6. $a^{3} − 5 + a^{2} + 2a^{4} − a^{5} + 6a$

Responder

1. $- x ^ { 2 } - x + 1$

3. $- y ^ { 3 } - 3 y ^ { 2 } + y + 5$

5. $x ^ { 4 } - 5 x ^ { 3 } - x ^ { 2 } + 6 x + 2$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Clasificar el polinomio dado como monomio, binomio o trinomio y declarar el grado.

1. $x^{2} − x + 2$
2. $5 − 10x^{3}$
3. $x^{2}y^{2} + 5xy − 6$
4. $−2x^{3}y^{2}$
5. $x^{4} − 1$
6. $5$

Responder

1. 7. Trinomio; grado$2$

3. Trinomio; grado$4$

5. Binomial; grado$4$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Indique si el polinomio es lineal o cuadrático y dé el coeficiente principal.

1. $1 − 9x^{2}$
2. $10x^{2}$
3. $2x − 3$
4. $100x$
5. $5x^{2} + 3x − 1$
6. $x − 1$
7. $x − 6 − 2x^{2}$
8. $1 − 5x$

Responder

1. Cuadrático,$−9$

3. Lineal,$2$

5. Cuadrático,$5$

7. Cuadrático,$−2$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

1. $\left( 5 x ^ { 2 } - 3 x - 2 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } - 6 x + 7 \right)$
2. $\left( x ^ { 2 } + 7 x - 12 \right) + \left( 2 x ^ { 2 } - x + 3 \right)$
3. $\left( x ^ { 2 } + 5 x + 10 \right) + \left( x ^ { 2 } - 10 \right)$
4. $\left( x ^ { 2 } - 1 \right) + ( 4 x + 2 )$
5. $\left( 10 x ^ { 2 } + 3 x - 2 \right) - \left( x ^ { 2 } - 6 x + 1 \right)$
6. $\left( x ^ { 2 } - 3 x - 8 \right) - \left( 2 x ^ { 2 } - 3 x - 8 \right)$
7. $\left( \frac { 2 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } x - 1 \right) - \left( \frac { 1 } { 6 } x ^ { 2 } + \frac { 5 } { 2 } x - \frac { 1 } { 2 } \right)$
8. $\left( \frac { 4 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } x + \frac { 10 } { 6 } \right) - \left( \frac { 3 } { 10 } x ^ { 2 } - \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 3 } { 5 } \right)$
9. $\left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 7 x y - 5 \right) - \left( 2 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 x y - 4 \right)$
10. $\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } + 6 x y + y ^ { 2 } \right)$
11. $\left( a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 5 a b - 2 \right) + ( 7 a b - 2 ) - \left( 4 - a ^ { 2 } b ^ { 2 } \right)$
12. $\left( a ^ { 2 } + 9 a b - 6 b ^ { 2 } \right) - \left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) + 7 a b$
13. $\left( 10 x ^ { 2 } y - 8 x y + 5 x y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } y - 4 x y \right) + \left( x y ^ { 2 } + 4 x y \right)$
14. $\left( 2 m ^ { 2 } n - 6 m n + 9 m n ^ { 2 } \right) - \left( m ^ { 2 } n + 10 m n \right) - m ^ { 2 } n$
15. $\left( 8 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 5 x y + 2 \right) - \left( x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 \right) + ( 2 x y - 3 )$
16. $\left( x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) - \left( 5 x ^ { 2 } - 2 x y - y ^ { 2 } \right) - \left( x ^ { 2 } - 7 x y \right)$
17. $\left( \frac { 1 } { 6 } a ^ { 2 } - 2 a b + \frac { 3 } { 4 } b ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 5 } { 3 } a ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } b ^ { 2 } \right) + \frac { 11 } { 8 } a b$
18. $\left( \frac { 5 } { 2 } x ^ { 2 } - 2 y ^ { 2 } \right) - \left( \frac { 7 } { 5 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x y + \frac { 7 } { 3 } y ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 2 } x y$
19. $\left( x ^ { 2 n } + 5 x ^ { n } - 2 \right) + \left( 2 x ^ { 2 n } - 3 x ^ { n } - 1 \right)$
20. $\left( 7 x ^ { 2 n } - x ^ { n } + 5 \right) - \left( 6 x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 8 \right)$
21. Restar$4y − 3$ de$y^{2} + 7y − 10$.
22. Restar$x^{2} + 3x − 2$ de$2x^{2} + 4x − 1$.
23. Un cilindro circular derecho tiene una altura que es igual al radio de la base,$h = r$. Encuentre una fórmula para el área de superficie en términos de$h$.
24. Un sólido rectangular tiene una anchura que es el doble de la altura y una longitud que es$3$ multiplicada por la altura. Encuentre una fórmula para el área de superficie en términos de la altura.

Responder

1. $7 x ^ { 2 } - 9 x + 5$

3. $2 x ^ { 2 } + 5 x$

5. $9 x ^ { 2 } + 9 x - 3$

7. $\frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } - \frac { 7 } { 4 } x - \frac { 1 } { 2 }$

9. $- x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y - 1$

11. $2 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 12 a b - 8$

13. $9 x ^ { 2 } y + 6 x y ^ { 2 }$

15. $7 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 3 x y - 6$

17. $- \frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } a b - \frac { 1 } { 20 } b ^ { 2 }$

19. $- \frac { 3 } { 2 } a ^ { 2 } - \frac { 5 } { 8 } a b - \frac { 1 } { 20 } b ^ { 2 }$

21. $y ^ { 2 } + 3 y - 7$

23. $S A = 4 \pi h ^ { 2 }$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Multiplicar

1. $- 8 x ^ { 2 } \cdot 2 x$
2. $- 10 x ^ { 2 } y \cdot 5 x ^ { 3 } y ^ { 2 }$
3. $2 x ( 5 x - 1 )$
4. $- 4 x ( 3 x - 5 )$
5. $7 x ^ { 2 } ( 2 x - 6 )$
6. $- 3 x ^ { 2 } \left( x ^ { 2 } - x + 3 \right)$
7. $- 5 y ^ { 4 } \left( y ^ { 2 } - 2 y + 3 \right)$
8. $\frac { 5 } { 2 } a ^ { 3 } \left( 24 a ^ { 2 } - 6 a + 4 \right)$
9. $2 x y \left( x ^ { 2 } - 7 x y + y ^ { 2 } \right)$
10. $- 2 a ^ { 2 } b \left( a ^ { 2 } - 3 a b + 5 b ^ { 2 } \right)$
11. $x ^ { n } \left( x ^ { 2 } + x + 1 \right)$
12. $x ^ { n } \left( x ^ { 2 n } - x ^ { n } - 1 \right)$
13. $( x + 4 ) ( x - 5 )$
14. $( x - 7 ) ( x - 6 )$
15. $( 2 x - 3 ) ( 3 x - 1 )$
16. $( 9 x + 1 ) ( 3 x + 2 )$
17. $\left( 3 x ^ { 2 } - y ^ { 2 } \right) \left( x ^ { 2 } - 5 y ^ { 2 } \right)$
18. $\left( 5 y ^ { 2 } - x ^ { 2 } \right) \left( 2 y ^ { 2 } - 3 x ^ { 2 } \right)$
19. $( 3 x + 5 ) ( 3 x - 5 )$
20. $( x + 6 ) ( x - 6 )$
21. $\left( a ^ { 2 } - b ^ { 2 } \right) \left( a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \right)$
22. $( a b + 7 ) ( a b - 7 )$
23. $\left( 4 x - 5 y ^ { 2 } \right) \left( 3 x ^ { 2 } - y \right)$
24. $( x y + 5 ) ( x - y )$
25. $( x - 5 ) \left( x ^ { 2 } - 3 x + 8 \right)$
26. $( 2 x - 7 ) \left( 3 x ^ { 2 } - x + 1 \right)$
27. $\left( x ^ { 2 } + 7 x - 1 \right) \left( 2 x ^ { 2 } - 3 x - 1 \right)$
28. $\left( 4 x ^ { 2 } - x + 6 \right) \left( 5 x ^ { 2 } - 4 x - 3 \right)$
29. $( x + 8 ) ^ { 2 }$
30. $( x - 3 ) ^ { 2 }$
31. $( 2 x - 5 ) ^ { 2 }$
32. $( 3 x + 1 ) ^ { 2 }$
33. $( a - 3 b ) ^ { 2 }$
34. $( 7 a - b ) ^ { 2 }$
35. $\left( x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } \right) ^ { 2 }$
36. $\left( x ^ { 2 } - 6 y \right) ^ { 2 }$
37. $\left( a ^ { 2 } - a + 5 \right) ^ { 2 }$
38. $\left( x ^ { 2 } - 3 x - 1 \right) ^ { 2 }$
39. $( x - 3 ) ^ { 3 }$
40. $( x + 2 ) ^ { 3 }$
41. $( 3x + 1 ) ^ { 3 }$
42. $( 2x - 3 ) ^ { 3 }$
43. $( x + 2 ) ^ { 4 }$
44. $( x - 3 ) ^ { 4 }$
45. $( 2x - 1 ) ^ { 4 }$
46. $( 3x - 1 ) ^ { 4 }$
47. $\left( x ^ { 2 n } + 5 \right) \left( x ^ { 2 n } - 5 \right)$
48. $\left( x ^ { n } - 1 \right) \left( x ^ { 2 n } + 4 x ^ { n } - 3 \right)$
49. $\left( x ^ { 2 n } - 1 \right) ^ { 2 }$
50. $\left( x ^ { 3 n } + 1 \right) ^ { 2 }$
51. Encuentra el producto de$3x-2$ y$x^{2}-5x-2$.
52. Encuentra el producto de$x^{2}+4$ y$x^{3}-1$.
53. Cada lado de un cuadrado mide$3x^{3}$ unidades. Determinar el área en términos de$x$.
54. Cada borde de un cubo mide$2x^{2}$ unidades. Determinar el volumen en términos de$x$.

Responder

1. $-16x^{3}$

3. $10 x ^ { 2 } - 2 x$

5. $14 x ^ { 3 } - 42 x ^ { 2 }$

7. $- 5 y ^ { 6 } + 10 y ^ { 5 } - 15 y ^ { 4 }$

9. $2 x ^ { 3 } y - 14 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 2 x y ^ { 3 }$

11. $x ^ { n + 2 } + x ^ { n + 1 } + x ^ { n }$

13. $x ^ { 2 } - x - 20$

15. $6 x ^ { 2 } - 11 x + 3$

17. $3 x ^ { 4 } - 16 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 5 y ^ { 4 }$

19. $9 x ^ { 2 } - 25$

21. $a ^ { 4 } - b ^ { 4 }$

23. $12 x ^ { 3 } - 15 x ^ { 2 } y ^ { 2 } - 4 x y + 5 y ^ { 3 }$

25. $x ^ { 3 } - 8 x ^ { 2 } + 23 x - 40$

27. $2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } - 24 x ^ { 2 } - 4 x + 1$

29. $x ^ { 2 } + 16 x + 64$

31. $4 x ^ { 2 } - 20 x + 25$

33. $a ^ { 2 } - 6 a b + 9 b ^ { 2 }$

35. $x ^ { 4 } + 4 x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 4 y ^ { 4 }$

37. $a ^ { 4 } - 2 a ^ { 3 } + 11 a - 10 a + 25$

39. $x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } + 27 x - 27$

41. $27 x ^ { 3 } + 27 x ^ { 2 } + 9 x + 1$

43. $x ^ { 4 } + 8 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } + 32 x + 16$

45. $16 x ^ { 4 } - 32 x ^ { 3 } + 24 x ^ { 2 } - 8 x + 1$

47. $x ^ { 4 n } - 25$

49. $x ^ { 4 n } - 2 x ^ { 2 n } + 1$

51. $3 x ^ { 3 } - 17 x ^ { 2 } + 4 x + 4$

53. $9 x ^ { 6 }$unidades cuadradas

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Dividir.

1. $\frac { 125 x ^ { 5 } y ^ { 2 } } { 25 x ^ { 4 } y ^ { 2 } }$
2. $\frac { 256 x ^ { 2 } y ^ { 3 } z ^ { 5 } } { 64 x ^ { 2 } y z ^ { 2 } }$
3. $\frac { 20 x ^ { 3 } - 12 x ^ { 2 } + 4 x } { 4 x }$
4. $\frac { 15 x ^ { 4 } - 75 x ^ { 3 } + 18 x ^ { 2 } } { 3 x ^ { 2 } }$
5. $\frac { 12 a ^ { 2 } b + 28 a b ^ { 2 } - 4 a b } { 4 a b }$
6. $\frac { - 2 a ^ { 4 } b ^ { 3 } + 16 a ^ { 2 } b ^ { 2 } + 8 a b ^ { 3 } } { 2 a b ^ { 2 } }$
7. $\frac { x ^ { 3 } + x ^ { 2 } - 3 x + 9 } { x + 3 }$
8. $\frac { x ^ { 3 } - 4 x ^ { 2 } - 9 x + 20 } { x - 5 }$
9. $\frac { 6 x ^ { 3 } - 11 x ^ { 2 } + 7 x - 6 } { 2 x - 3 }$
10. $\frac { 9 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - x + 1 } { 3 x - 1 }$
11. $\frac { 16 x ^ { 3 } + 8 x ^ { 2 } - 39 x + 17 } { 4 x - 3 }$
12. $\frac { 12 x ^ { 3 } - 56 x ^ { 2 } + 55 x + 30 } { 2 x - 5 }$
13. $\frac { 6 x ^ { 4 } + 13 x ^ { 3 } - 9 x ^ { 2 } - x + 6 } { 3 x + 2 }$
14. $\frac { 25 x ^ { 4 } - 10 x ^ { 3 } + 11 x ^ { 2 } - 7 x + 1 } { 5 x - 1 }$
15. $\frac { 20 x ^ { 4 } + 12 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } + 10 x + 5 } { 2 x + 1 }$
16. $\frac { 25 x ^ { 4 } - 45 x ^ { 3 } - 26 x ^ { 2 } + 36 x - 11 } { 5 x - 2 }$
17. $\frac { 3 x ^ { 4 } + x ^ { 2 } - 1 } { x - 2 }$
18. $\frac { x ^ { 4 } + x - 3 } { x + 3 }$
19. $\frac { x ^ { 3 } - 10 } { x - 2 }$
20. $\frac { x ^ { 3 } + 15 } { x + 3 }$
21. $\frac { y ^ { 5 } + 1 } { y + 1 }$
22. $\frac { y ^ { 6 } + 1 } { y + 1 }$
23. $\frac { x ^ { 4 } - 4 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } - 7 x - 1 } { x ^ { 2 } - x + 2 }$
24. $\frac { 6 x ^ { 4 } + x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } + 2 x + 4 } { 3 x ^ { 2 } - x + 1 }$
25. $\frac { 2 x ^ { 3 } - 7 x ^ { 2 } + 8 x - 3 } { x ^ { 2 } - 2 x + 1 }$
26. $\frac { 2 x ^ { 4 } + 3 x ^ { 3 } - 6 x ^ { 2 } - 4 x + 3 } { x ^ { 2 } + x - 3 }$
27. $\frac { x ^ { 4 } + 4 x ^ { 3 } - 2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$
28. $\frac { x ^ { 4 } + x - 1 } { x ^ { 2 } + 1 }$
29. $\frac { x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } - y ^ { 3 } } { x + y }$
30. $\frac { 2 x ^ { 3 } - 3 x ^ { 2 } y + 4 x y ^ { 2 } - 3 y ^ { 3 } } { x - y }$
31. $\frac { 8 a ^ { 3 } - b ^ { 3 } } { 2 a - b }$
32. $\frac { a ^ { 3 } + 27 b ^ { 3 } } { a + 3 b }$
33. Encuentra el cociente de$10 x ^ { 2 } - 11 x + 3$ y$2x-1$.
34. Encuentra el cociente de$12 x ^ { 2 } + x - 11$ y$3x-2$.

Responder

1. $5x$

3. $5 x ^ { 2 } - 3 x + 1$

5. $3 a + 7 b - 1$

7. $x ^ { 2 } - 2 x + 3$

9. $3 x ^ { 2 } - x + 2$

11. $4 x ^ { 2 } + 5 x - 6 - \frac { 1 } { 4 x - 3 }$

13. $2 x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } - 5 x + 3$

15. $10 x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + 4 x + 3 + \frac { 2 } { 2 x + 1 }$

17. $3 x ^ { 3 } + 6 x ^ { 2 } + 13 x + 26 + \frac { 51 } { x - 2 }$

19. $x ^ { 2 } + 2 x + 4 - \frac { 2 } { x - 2 }$

21. $y ^ { 4 } - y ^ { 3 } + y ^ { 2 } - y + 1$

23. $x ^ { 2 } - 3 x + 1 - \frac { 3 } { x ^ { 2 } - x + 2 }$

25. $2 x - 3$

27. $x ^ { 2 } + 4 x - 1$

29. $x ^ { 2 } + 5 x y - y ^ { 2 }$

31. $4 a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 }$

33. $5x-3$

Notas al pie

¹¹² Expresión algebraica que consiste en términos con coeficientes de número real y variables con exponentes de número entero.

¹¹³ El exponente de la variable. Si hay más de una variable en el término, el grado del término es la suma de sus exponentes.

¹¹⁴ El grado más grande de todos sus términos.

¹¹⁵ Un polinomio donde cada término tiene la forma$a_{n}x^{n}$, donde$a_{n}$ está cualquier número real y$n$ es cualquier número entero.

¹¹⁶ El coeficiente del término con mayor grado.

¹¹⁷ Polinomio con un término.

¹¹⁸ Polinomio con dos términos.

¹¹⁹ Polinomio con tres términos.

¹²⁰ A polinomio con grado$0$.

¹²¹ Un polinomio con grado$1$.

¹²² Un polinomio con grado$2$.

¹²³ Un polinomio con grado$3$.

¹²⁴ Los trinomios obtenidos al cuadrar los binomios$(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ y$(a − b)^{2} = a^{2} − 2ab + b^{2}$.

¹²⁵ El producto especial obtenido multiplicando binomios conjugados$( a + b ) ( a - b ) = a ^ { 2 } - b ^ { 2 }$.

¹²⁶ Los binomios$(a + b)$ y$(a − b)$.

¹²⁷ El proceso de dividir dos polinomios usando el algoritmo de división.

¹²⁸ Términos con coeficientes cero utilizados para rellenar todos los exponentes faltantes dentro de un polinomio.