4.5: Funciones racionales - Multiplicación y División
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
Objetivos de aprendizaje
- Identificar restricciones al dominio de una función racional.
- Simplifica las funciones racionales.
- Multiplicar y dividir las funciones racionales.
Identificación de restricciones y simplificación de funciones racionales
Las funciones racionales 25 tienen la forma
r(x)=p(x)q(x),
dondep(x) yq(x) son polinomios yq(x)≠0. El dominio de una función racional 26 consiste en todos los números realesx excepto aquellos en los que el denominadorq(x)=0. Las restricciones 27 son los números reales para los que no se define la expresión. A menudo expresamos el dominio de una función racional en términos de sus restricciones. Por ejemplo, considere la función
f(x)=x2−4x+3x2−5x+6
que se puede escribir en forma factorizada
f(x)=(x−1)(x−3)(x−2)(x−3)
Debido a que las expresiones racionales son indefinidas cuando el denominador es0, deseamos encontrar los valores parax que lo hagan0. Para ello, aplique la propiedad zero product. Establezca cada factor en el denominador igual a0 y resuelva.
(x−2)(x−3)=0x−2=0 or x−3=0x=3x=3
Por lo tanto, la función original se define para cualquier número real excepto2 y3. Podemos expresar su dominio usando la notación de la siguiente manera:
Set−buildernotationIntervalnotation{x|x≠2,3}(−∞,2)∪(2,3)∪(3,∞)
Las restricciones al dominio de una función racional están determinadas por el denominador. Una vez determinadas las restricciones podemos cancelar factores y obtener una función equivalente de la siguiente manera:

Es importante señalar que no1 es una restricción al dominio porque la expresión se define como0 cuando el numerador es0. De hecho,x=1 es una raíz. Esta función se representa a continuación:

Observe que hay una asíntota vertical en la restricciónx=2 y la gráfica se deja indefinida en la restricciónx=3 como lo indica el punto abierto, o agujero, en la gráfica. Graficar las funciones racionales en general está más allá del alcance de este libro de texto. Sin embargo, es útil en este punto saber que las restricciones son una parte importante de la gráfica de funciones racionales.
Ejemplo4.5.1:
Declarar las restricciones y simplificar:g(x)=24x76x5
Solución
En este ejemplo, la función está indefinida dondex está0.
g(0)=24(0)76(0)5=00undefined
Por lo tanto, el dominio consiste en todos los números realesx, dondex≠0. Con esta comprensión, podemos simplificar reduciendo la expresión racional a los términos más bajos. Cancelar factores comunes.
g(x)=4x224x76x8=4x2
Contestar
g(x)=4x2, dondex≠0
Ejemplo4.5.2:
Indicar las restricciones y simplificar:f(x)=2x2+5x−34x2−1.
Solución
Primero, factorizar el numerador y el denominador.
f(x)=2x2+5x−34x2−1=(2x−1)(x+3)(2x+1)(2x−1)
Cualquierx -valor que haga que el denominador sea cero es una restricción. Para encontrar las restricciones, primero establezca el denominador igual a cero y luego resuelva
(2x+1)(2x−1)=0
2x+1=0 or 2x−1=02x=−12x=1x=−12x=12
Por lo tanto,x≠±12. Con este entendimiento, podemos cancelar cualquier factor común.
f(x)=(2x−1)(x+3)(2x+1)(2x−1)=x+32x+1
Respuesta:
f(x)=x+32x+1, dondex≠±12
Definimos lo contrario de un polinomioP para ser−P. Encontrar lo contrario de un polinomio requiere la aplicación de la propiedad distributiva. Por ejemplo, lo contrario del polinomio(x−3) se escribe como
−(x−3)=−1⋅(x−3)=−x+3=3−x
Esto nos lleva a la propiedad binomial opuesta 28,−(a−b)=(b−a). Se debe tener cuidado de no confundir esto con el hecho de que(a+b)=(b+a). Este es el caso porque la adición es conmutativa. En general,
−(a−b)=(b−a)orb−aa−b=−1(a−b)=(a+b)orb+aa+b=1
Además, es importante recordar que
−ab=−ab=a−b
En otras palabras, se muestra una fracción negativa colocando el signo negativo ya sea en el numerador, frente a la barra de fracciones, o en el denominador. Generalmente, se evitan los denominadores negativos.
Ejemplo4.5.3:
Indicar las restricciones y simplificar:25−x2x2−10x+25.
Solución
Comience por factorizar el numerador y el denominador.
25−x2x2−10x+25=(5−x)(5+x)(x−5)(x−5)=−1⋅(x−5)(5+x)(x−5)(x−5)Oppositebinomialproperty.=−1⋅(x−5)(5+x)(x−5)(x−5)Cancel.=−x+5x−5
Respuesta:
−x+5x−5, dondex≠5
Es importante recordar que solo podemos cancelar factores de un producto. Un error común es cancelar términos. Por ejemplo,
x2+7x−30x2−7x+12incorrect!x+10x−4incorrect!2x−1x−1incorrect!
Ejercicio4.5.1
Indicar las restricciones y simplificar:x−2x24x4−x2.
- Contestar
-
−1x(2x+1), dondex≠0,±12
www.youtube.com/V/ek2qw7ogxby
En algunos ejemplos, haremos una suposición amplia de que el denominador es distinto de cero. Cuando hacemos esa suposición, no necesitamos determinar las restricciones.
Ejemplo4.5.4:
Simplificar:x3−2x2y+4xy2−8y3x4−16y4. (Supongamos que todos los denominadores son diferentes de cero.)
Solución
Factorizar el numerador por agrupación. Factorizar el denominador usando la fórmula para una diferencia de cuadrados.
x3+4xy2−2x2y−8y3x4−16y4=x(x2+4y2)−2y(x2+4y2)(x2+4y2)(x2−4y2)=(x2+4y2)(x−2y)(x2+4y2)(x+2y)(x−2y)
A continuación, cancelar factores comunes.
=1(x2+4y2)1(x−2y)(x2+4y2)(x+2y)(x−2y)=1x+2y
Nota
Cuando todo el numerador o denominador cancela un factor de1 siempre permanece.
Respuesta:
1x+2y
Ejemplo4.5.5:
Dadof(x)=x2−2x+5, simplificarf(x)−f(3)x−3.
Solución
Empezar por calcularf(3).
f(3)=(3)2−2(3)+5=9−6+5=3+5=8
A continuación, sustituya en el cociente que se va a simplificar.
f(x)−f(3)x−3=x2−2x+5−8x−3=x2−2x−3x−3=(x+1)(x−3)(x−3)=x+1
Respuesta:
x+1, dondex≠3
Una cantidad importante en matemáticas de nivel superior es el cociente de diferencia 29:
f(x+h)−f(x)h, dondeh≠0
Esta cantidad representa la pendiente de la línea que conecta dos puntos en la gráfica de una función. La línea que pasa por los dos puntos se denomina línea secante 30.

Calcular el cociente de diferencia para muchas funciones diferentes es una habilidad importante para aprender en álgebra intermedia. Nos encontraremos con esta cantidad a menudo a medida que avanzamos en este libro de texto. Al calcular el cociente de diferencia asumimos que el denominador es distinto de cero.
Ejemplo4.5.6:
Dadog(x)=−2x2+1, simplificarg(x+h)−g(x)h.
Solución
g(x+h)−g(x)h=(−2(x+h)2+1)−(−2x2+1)h=−2(x2+2xh+h2)+1+2x2−1h=−2x2−4xh−2h2+1+2x2−1h=−4xh−2h2h=−4x−2h
Respuesta:
−4x−2h
Ejercicio4.5.2
Dadof(x)=x2−x−1, simplificarf(x+h)−f(x)h.
- Contestar
-
2x−1+h
www.youtube.com/v/xyofirdnwws
Multiplicar y dividir funciones racionales
Al multiplicar fracciones, podemos multiplicar los numeradores y denominadores juntos y luego reducir. La multiplicación de expresiones racionales se realiza de manera similar. En general, dado polinomiosP,Q,R, yS, dondeQ≠0 yS≠0, tenemos
PQ⋅RS=PRQS
Las restricciones al dominio de un producto consisten en las restricciones de cada función.
Ejemplo4.5.7:
Dadof(x)=9x2−25x−5 yg(x)=x2−2x−153x+5, encontrar(f⋅g)(x) y determinar las restricciones al dominio.
Solución
En este caso, el dominio def consiste en todos los números reales excepto5, y el dominio deg consiste en todos los números reales excepto−53. Por lo tanto, el dominio del producto consiste en todos los números reales excepto5 y−53. Multiplica las funciones y luego simplifica el resultado.
(f⋅g)(x)=f(x)⋅g(x)=9x2−25x−5⋅x2−2x−153x+5=(3x+5)(3x−5)x−5⋅(x−5)(x+3)3x+5Factor.=(3x+5)(3x−5)(x−5)(x+3)(x−5)(3x+5)Cancel.=(3x−5)(x+3)
Respuesta:
(f⋅g)(x)=(3x−5)(x+3), dondex≠5,−53
Para dividir dos fracciones, multiplicamos por el recíproco del divisor. La división de expresiones racionales se realiza de manera similar. En general, dado polinomiosP,Q,R, yS, dondeQ≠0,R≠0, yS≠0, tenemos
PQ÷RS=PQ⋅SR=PSQR
Las restricciones al dominio de un cociente consistirán en las restricciones de cada función así como las restricciones al recíproco del divisor.
Ejemplo4.5.8:
Dadof(x)=2x2+13x−7x2−4x−21 yg(x)=2x2+5x−349−x2, encontrar(f/g)(x) y determinar las restricciones.
Solución
(f/g)(x)=f(x)÷g(x)=2x2+13x−7x2−4x−21÷2x2+5x−349−x2=2x2+13x−7x2−4x−21⋅49−x22x2+5x−3Multiplybythereciprocal=(2x−1)(x+7)(x+3)(x−7)⋅(7+x)(7−x)(2x−1)(x+3)Factor.=(2x−1)(x+7)(7+x)(−1)(x−7)(x+3)(x−7)(2x−1)(x+3)Cancel.=−(x+7)2(x+3)2
En este caso, el dominio def consiste en todos los números reales excepto−3 y7, y el dominio deg consiste en todos los números reales excepto7 y−7. Además, el recíproco deg(x) tiene una restricción de−3 y12. Por lo tanto, el dominio de este cociente consiste en todos los números reales excepto−3,12, y±7.
Respuesta:
(f/g)(x)=−(x+7)2(x+3)2, dondex≠−3,12,±7
Recordemos que las operaciones de multiplicación y división deben realizarse de izquierda a derecha.
Ejemplo4.5.9:
Simplificar:4x2−16x2+3x÷2x+1x2+2x+1⋅27x42x2+x−1 (Supongamos que todos los denominadores son distintos de cero.)
Solución
Empezar sustituyendo el factor que se va a dividir por la multiplicación de su recíproco.
4x2−16x2+3x÷2x+1x2+2x+1⋅27x42x2+x−1=4x2−16x2+3x⋅x2+2x+12x+1⋅27x42x2+x−1=(2x+1)(2x−1)3x(2x+1)⋅(x+1)(x+1)(2x+1)⋅27x3(2x−1)(x+1)=(2x+1)(2x−1)(x+1)(x+1)⋅927x3x43x(2x+1)(2x+1)(2x−1)(x+1)=9x3(x+1)(2x+1)
Respuesta:
9x3(x+1)(2x+1)
Ejercicio4.5.3
Dadof(x)=2x+53x2+14x−5 yg(x)=6x2+13x−5x+5, calcular(f/g)(x) y determinar las restricciones.
- Contestar
-
(f/g)(x)=1(3x−1)2, dondex≠−5,−52,13
www.youtube.com/V/UCPL1zqivwe
Si una función de costoC representa el costo de producirx unidades, entonces el costo promedio 31¯C es el costo dividido por el número de unidades producidas.
¯C(x)=C(x)x
Ejemplo4.5.10:
Un fabricante ha determinado que el costo en dólares de producir suéteres viene dado por\ 9C (x) = 0.01 x ^ {2} - 3 x + 1200\), dondex representa el número de suéteres producidos diariamente. Determinar el costo promedio de producción100,200, y300 suéteres por día.
Solución
Configure una función que represente el costo promedio.
¯C(x)=C(x)x=0.01x2−3x+1200x
A continuación, calcular¯C(100),¯C(200), y¯C(300).
¯C(100)=0.01(100)2−3(100)+1200(100)=100−300+1200100=1000100=10.00¯C(200)=0.01(200)2−3(200)+1200(200)=400−600+1200200=1000200=5.00¯C(300)=0.01(300)2−3(300)+1200(300)=900−900+1200300=1200300=4.00
Respuesta:
El costo promedio de producir100 suéteres por día es$10.00 por jersey. Si se producen 200 suéteres, el costo promedio por suéter es$5.00. Si300 se producen, el costo promedio por jersey es$4.00.
Claves para llevar
- Simplificar expresiones racionales es similar a simplificar fracciones. Primero, factorizar el numerador y el denominador y luego cancelar los factores comunes. Las expresiones racionales se simplifican si no hay factores comunes distintos de 1 en el numerador y el denominador.
- Las funciones racionales simplificadas son equivalentes para valores en el dominio de la función original. Asegúrese de indicar las restricciones a menos que el problema indique que se supone que los denominadores son distintos de cero.
- Después de multiplicar expresiones racionales, factorizar tanto el numerador como el denominador y luego cancelar los factores comunes. Tomar nota de las restricciones al dominio. Los valores que dan un valor de0 en el denominador para todas las expresiones son las restricciones.
- Para dividir expresiones racionales, multiplique el numerador por el recíproco del divisor.
- Las restricciones al dominio de un producto consisten en las restricciones al dominio de cada factor.
Ejercicio4.5.4
Simplifica la función y establece su dominio usando notación de intervalos.
- f(x)=25x95x5
- f(x)=64x816x3
- f(x)=x2−64x2+16x+64
- f(x)=x2+x−20x2−25
- g(x)=9−4x22x2−5x+3
- g(x)=x−3x29x2−6x+1
- g(x)=2x2−8x−422x2+5x−3
- g(x)=6x2+5x−43x2+x−4
- h(x)=x3+x2−x−1x2+2x+1
- h(x)=2x3−5x2−8x+202x2−9x+10
- Contestar
-
1. f(x)=5x4; Dominio:(−∞,0)∪(0,∞)
3. f(x)=x−8x+8; Dominio:(−∞,−8)∪(−8,∞)
5. g(x)=−2x+3x−1; Dominio:(−∞,1)∪(1,32)∪(32,∞)
7. g(x)=2(x−7)2x−1; Dominio:(−∞,−3)∪(−3,12)∪(12,∞)
9. h(x)=x−1; Dominio:(−∞,−1)∪(−1,∞)
Ejercicio4.5.5
Indicar las restricciones y simplificar las expresiones racionales dadas.
- 66x(2x−5)18x3(2x−5)2
- 26x4(5x+2)320x5(5x+2)
- x2+5x+6x2−5x−14
- x2−8x+12x2−2x−24
- 1−x25x2+x−6
- 4−9x23x2−8x+4
- 4x2+15x+99−x2
- 6x2+13x−525−4x2
- x2−5x+4x3−x2−16x+16
- x4+4x2x3+3x2+4x+12
- Contestar
-
1. 113x2(2x−5);x≠0,52
3. x+3x−7;x≠−2,7
5. −x+15x+6;x≠−65,1
7. −4x+33−x;x≠±3
9. 1x+4;x≠1,±4
Ejercicio4.5.6
Simplificar las expresiones racionales dadas. Supongamos que todas las expresiones variables en el denominador son distintas de cero.
- 50ab3(a+b)2200a2b3(a+b)3
- 36a5b7(a−b)29a3b(a−b)
- a2−b2a2+2ab+b2
- a2−2ab+b2a2−b2
- 6x2−xy6x2−7xy+y2
- y−x2x3−4x2y+2xy2
- x2y2−2xy3x2y2−xy3−2y4
- x4y−x2y3x3y+2x2y2+xy3
- x3−x2y+xy2−y3x4−y4
- y4−x4x3+x2y+xy2+y3
- a2−(b+c)2(a+b)2−c2
- (a+b)2−c2(a+c)2−b2
- x3+y3x2+2xy+y2
- x3y+x2y2+xy3x3−y3
- Contestar
-
1. 14a(a+b)
3. a−ba+b
5. xx−y
7. xx+y
9. 1x+y
11. a−b−ca+b−c
13. x2−xy+y2x+y
Ejercicio4.5.7
Dada la función, simplificar la expresión racional.
- Dadof(x)=x2−8, simplificarf(x)−f(5)x−5.
- Dadof(x)=x2+4x−1, simplificarf(x)−f(2)x−2.
- Dadog(x)=x2−3x+1, simplificarg(x)−g(−1)x+1.
- Dadog(x)=x2−2x, simplificarg(x)−g(−4)x+4.
- Dadof(x)=4x2+6x+1, simplificarf(x)−f(12)2x−1.
- Dadof(x)=9x2+1, simplificarf(x)−f(−13)3x+1.
- Contestar
-
1. x+5, dondex≠5
3. x−4, dondex¬−1
5. 2(x+2), dondex≠12
Ejercicio4.5.8
Para la función dada, simplificar el cociente de diferenciaf(x+h)−f(x)h, dondeh≠0.
- f(x)=5x−3
- f(x)=3−2x
- f(x)=x2−3
- f(x)=x2+8x
- f(x)=x2−x+5
- f(x)=4x2+3x−2
- f(x)=ax2+bx+c
- f(x)=ax2+bx
- f(x)=x3+1
- f(x)=x3−x+2
- Contestar
-
1. 5
3. 2x+h
5. 2x−1+h
7. 2ax+b+ah
9. 3x2+3xh+h2
Ejercicio4.5.9
Simplifique el productof⋅g y establezca su dominio usando la notación de intervalos.
- f(x)=52x4(x−2)2,g(x)=(x−2)312x5
- f(x)=46(2x−1)315x6,g(x)=25x323(2x−1)
- f(x)=10x3x2+4x+4,g(x)=x2−450x4
- f(x)=25−x246x5,g(x)=12x3x2+10x+25
- f(x)=5−3xx2−10x+25,g(x)=x2−6x+53x2−8x+5
- f(x)=1−4x26x2+3x,g(x)=12x24x2−4x+1
- Contestar
-
1. (f⋅g)(x)=13(x−2)3x; Dominio:(−∞,0)∪(0,2)∪(2,∞)
3. (f⋅g)(x)=x−25x(x+2); Dominio:(−∞,−2)∪(−2,0)∪(0,∞)
5. (f⋅g)(x)=−1x−5; Dominio:(−∞,1)∪(1,53)∪(53,5)∪(5,∞)
Ejercicio4.5.10
Simplifica el cocientef/g y establece su dominio usando notación de intervalos.
- f(x)=12x35(5x−1)3,g(x)=6x225(5x−1)4
- f(x)=7x2(x+9)(x−8)2,g(x)=49x3(x+9)(x−8)4
- f(x)=25x2−13x2−15x,g(x)=25x2+10x+1x3−5x2
- f(x)=x2−x−62x2+13x+15,g(x)=x2−6x+94x2+12x+9
- f(x)=x2−64x2,g(x)=2x2+19x+24
- f(x)=2x2+11x−6,g(x)=36−x2
- Contestar
-
1. (f/g)(x)=10x(5x−1); Dominio:(−∞,0)∪(0,15)∪(15,∞)
3. (f/g)(x)=x(5x−1)2(5x+1); Dominio:(−∞,0)∪(0,15)∪(15,∞)
5. (f/g)(x)=x−8x2(2x+3); Dominio:(−∞,−8)∪(−8,−32)∪(−32,0)∪(0,∞)
Ejercicio4.5.11
Multiplicar o dividir como se indica, indicar las restricciones y simplificar.
- 14(x+12)25x3⋅45x42(x+12)3
- 27x620(x−7)3⋅(x−7)554x7
- x2−6436x4⋅12x3x2+4x−32
- 50x5x2+6x−27⋅x2−81125x3
- 2x2+7x+53x2⋅15x3−30x22x2+x−10
- 3x2+14x−52x2+11x+5⋅4x2+4x+16x2+x−1
- x2+4x−215x2+10x÷x2−6x+9x2+9x+14
- x2−499x2−24x+16÷2x2−13x−76x2−5x−4
- 5x2+x−64x2−7x−15÷1−x24x2+9x+5
- 6x2−8x−84−9x2÷3x2−4x−49x2+12x+4
- x2+4x−12x2−2x−15÷2x2−13x+186x2−31x+5
- 8x2+x−925x2−1÷2x2−x−110x2−3x−1
- Contestar
-
1. 63xx+12;x≠−12,0
3. x−83x(x−4);x≠−8,0,4
5. 5(x+1);x≠−52,0,2
7. (x+7)25x(x−3);x≠−7,−2,0,3
9. −5x+6x−3;x≠−54,−1,1,3
11. (x+6)(6x−1)(x+3)(2x−9);x≠−3,16,2,92,5
Ejercicio4.5.12
Realizar las operaciones y simplificar. Supongamos que todas las expresiones variables en el denominador son distintas de cero.
- 112ab⋅50a2(a−b)2a2−b2⋅6ba(a−b)
- b2−a2(a−b)2⋅12a(a−b)36a2b⋅9ab(a−b)a+b
- x3+y35xy⋅x2−y2x2−2xy+y2⋅25x2y(y+x)2
- 3xy2(2y+x)2⋅2x2+5xy+2y29x2⋅x3+8y36xy2+3y3
- 2x+5x−3⋅x2−95x4÷2x2+15x+2525x5
- 5x2−15x9x2−4⋅3x−220x3÷x−33x2−x−2
- x2+5x−50x2+5x−14÷x2−25x2−49⋅x−2x2+3x−70
- x2−x−564x2−4x−3÷2x2+11x−2125−9x2⋅4x2−12x+93x2−19x−40
- 20x2−8x−16x2+13x+6÷1−100x23x2−x−2⋅10x−12x2−3x+1
- 12x2−13x+1x2+18x+81÷(144x2−1)⋅x2+14x+4512x2−11x−1
- Un fabricante ha determinado que el costo en dólares de producir bicicletas viene dado porC(x)=0.5x2−x+6200, dondex representa el número de bicicletas producidas semanalmente. Determinar el costo promedio de producción50,100, y150 bicicletas por semana.
- El costo en dólares de producir accesorios de iluminación personalizados viene dado por la funciónC(x)=x2−20x+1200, dondex representa el número de accesorios producidos en una semana. Determinar el costo promedio por unidad si20,40, y50 las unidades se producen en una semana.
- Un fabricante ha determinado que el costo en dólares de producir scooters eléctricos viene dado por la funciónC(x)=3x(x−100)+32,000, dondex representa el número de scooters producidos en un mes. Determinar el costo promedio por scooter si50 se producen en un mes.
- El costo en dólares de producir una pieza moldeada inyectada personalizada viene dada porC(n)=1,900+0.01n, donden representa el número de piezas producidas. Calcule el costo promedio de cada pieza si se piden piezas2,500 personalizadas.
- El costo en dólares de una limpieza ambiental viene dado por la funciónC(p)=25,000p1−p, dondep representa el porcentaje del área a limpiar(0≤p<1). Utilice la función para determinar el costo de limpieza50% de una zona afectada y el costo de limpieza80% del área.
- El valor de un auto nuevo viene dado por la funciónV(t)=16,500(t+1)−1 dondet representa la antigüedad del automóvil en años. Determinar el valor del automóvil cuando tenga6 años de antigüedad.
- Contestar
-
1. 25a+b
3. 5x(x2−xy+y2)x−y
5. 5x(x+3)x+5
7. 1x+5
9. −12x+3
11. Si se producen50 bicicletas, el costo promedio por bicicleta es$148. Si100 se producen, el costo promedio es$111. Si se producen150 bicicletas, el costo promedio es$115.33.
13. Si se producen50 scooters, el costo promedio de cada uno es$490.
15. Un50% de limpieza costará$25,000. Un80% de limpieza costará$100,000.
Ejercicio4.5.13
- Describir las restricciones a la expresión racional1x2−y2. Explique.
- Describir las restricciones a la expresión racional1x2+y2. Explique.
- Explicar por quéx=5 es una restricción a1x+5÷x−5x.
- Explicar a un estudiante principiante de álgebra por qué no podemos cancelarx en la expresión racionalx+2x.
- Investigar y discutir la importancia del cociente de diferencia. ¿Qué representa y en qué tema aparece?
- Contestar
-
1. La respuesta puede variar
3. La respuesta puede variar
5. La respuesta puede variar
Notas al pie
25 Funciones de la formar(x)=p(x)q(x), dondep(x) yq(x) son polinomios yq(x)≠0.
26 El conjunto de números reales para los que se define la función racional.
27 El conjunto de números reales para los que no se define una función racional.
28 Si se le da un binomioa−b, entonces lo contrario es−(a−b)=b−a.
29 La cantidad matemáticaf(x+h)−f(x)h, dondeh≠0, que representa la pendiente de una línea secante a través de una funciónf.
30 Línea que cruza dos puntos en la gráfica de una función.
31 El costo total dividido por el número de unidades producidas, que puede ser representado por¯C(x)=C(x)x, dondeC(x) es una función de costo.