4.6: Funciones racionales - Suma y resta

Objetivos de aprendizaje

• Sumar y restar funciones racionales.
• Simplifica expresiones racionales complejas.

Sumando y restando funciones racionales

Sumar y restar expresiones racionales es similar a sumar y restar fracciones. Recordemos que si los denominadores son iguales, podemos sumar o restar los numeradores y escribir el resultado sobre el denominador común. Cuando se trabaja con expresiones racionales, el denominador común será un polinomio. En general, dado polinomios\(P, Q\), y\(R\), donde\(Q≠0\), tenemos los siguientes:

\(\dfrac { P } { Q } \pm \dfrac { R } { Q } = \dfrac { P \pm R } { Q }\)

El conjunto de restricciones al dominio de una suma o diferencia de expresiones racionales consiste en las restricciones a los dominios de cada expresión.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

Restar:\(\dfrac { 4 x } { x ^ { 2 } - 64 } - \dfrac { 3 x + 8 } { x ^ { 2 } - 64 }\).

Solución

Los denominadores son los mismos. De ahí que podamos restar los numeradores y escribir el resultado sobre el denominador común. Tenga cuidado de distribuir lo negativo\(1\).

\(\begin{aligned} \dfrac { 4 x } { x ^ { 2 } - 64 } - \dfrac { 3 x + 8 } { x ^ { 2 } - 64 } & = \dfrac { 4 x - ( 3 x + 8 ) } { x ^ { 2 } - 64 } \quad\:\color{Cerulean}{Subtract\:the\:numerators.}\\ & = \dfrac { 4 x - 3 x - 8 } { x ^ { 2 } - 64 } \quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.}\\ & = \dfrac {\cancel{x-8} } { ( x + 8 )\cancel{ ( x - 8 )} }\quad\color{Cerulean}{Cancel.} \\ & = \dfrac { 1 } { x + 8 } \quad\quad\quad\:\:\:\quad\color{Cerulean}{Restrictions\: x\neq\pm 8} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\dfrac { 1 } { x + 8 }\), donde\(x \neq \pm 8\)

Para agregar expresiones racionales con denominadores diferentes, primero encuentra expresiones equivalentes con denominadores comunes. Haz esto tal como tienes con fracciones. Si los denominadores de fracciones son relativamente primos, entonces el mínimo denominador común (LCD) es su producto. Por ejemplo,

\(\dfrac { 1 } { x } + \dfrac { 1 } { y } \quad \color{Cerulean}{\Rightarrow} \quad \color{black}{ \mathrm { LCD } = x \cdot y = x y}\)

Multiplique cada fracción por la forma apropiada de\(1\) para obtener fracciones equivalentes con un denominador común.

\(\begin{aligned} \dfrac { 1 } { x } + \dfrac { 1 } { y } & = \dfrac { 1 \cdot \color{Cerulean}{y} } { x \cdot \color{Cerulean}{y} } + \dfrac { 1 \cdot \color{Cerulean}{x} } { y \cdot \color{Cerulean}{x} } \\ & = \dfrac { y } { x y } + \dfrac { x } { x y } \quad \color{Cerulean} { Equivalent\: fractions\: with\: a \:common\: denominator } \\ & = \dfrac { y + x } { x y } \end{aligned}\)

En general, dado polinomios\(P, Q, R\), y\(S\), donde\(Q≠0\) y\(S≠0\), tenemos los siguientes:

\(\dfrac { P } { Q } \pm \dfrac { R } { S } = \dfrac { P S \pm Q R } { Q S }\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\):

Dado\(f ( x ) = \dfrac { 5 x } { 3 x + 1 }\) y\(g ( x ) = \dfrac { 2 } { x + 1 }\), encontrar\(f+g\) y exponer las restricciones.

Solución

Aquí el LCD es el producto de los denominadores\((3x+1)(x+1)\). Multiplique por los factores apropiados para obtener expresiones racionales con un denominador común antes de sumar.

\(\begin{array} { l } =(f+g)(x)=f(x)+g(x)\\ { = \dfrac { 5 x } { 3 x + 1 } + \dfrac { 2 } { x + 1 } } \\ { = \dfrac { 5 x } { ( 3 x + 1 ) } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { ( x + 1 ) } { ( x + 1 ) }} \color{black}{+} \dfrac { 2 } { ( x + 1 ) } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { ( 3 x + 1 ) } { ( 3 x + 1 ) } }} \\ { = \dfrac { 5 x ( x + 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) } + \dfrac { 2 ( 3 x + 1 ) } { ( x + 1 ) ( 3 x + 1 ) } } \\ { = \dfrac { 5 x ( x + 1 ) + 2 ( 3 x + 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) } } \\ { = \dfrac { 5 x ^ { 2 } + 5 x + 6x + 2 } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) } } \\ = \dfrac{5x^{2} + 11x + 2}{(3x+1)(x+1)} \\ { = \dfrac { ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) } } \end{array}\)

El dominio de\(f\) consiste en todos los números reales excepto\(-\dfrac{1}{3}\), y el dominio de\(g\) consiste en todos los números reales excepto\(-1\). Por lo tanto, el dominio de\(f+g\) consiste en todos los números reales excepto\(-1\) y\(-\dfrac{1}{3}\).

Respuesta:

\(( f + g ) ( x ) = \dfrac { ( 5 x + 1 ) ( x + 2 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) }\), donde\(x \neq - 1 , - \dfrac { 1 } { 3 }\)

No siempre se da el caso de que la LCD sea producto de los denominadores dados. Por lo general, los denominadores no son relativamente primos; por lo tanto, determinar la LCD requiere un poco de pensamiento. Comience por factorizar todos los denominadores. El LCD es el producto de todos los factores con la mayor potencia.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\):

Dado\(f ( x ) = \dfrac { 3 x } { 3 x - 1 }\) y\(g ( x ) = \dfrac { 4 - 14 x } { 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 }\), encontrar\(f-g\) y exponer las restricciones al dominio.

Solución

Para determinar la LCD factorial el denominador de\(g\).

\(\begin{aligned} ( f - g ) ( x ) & = f ( x ) - g ( x ) \\ & = \dfrac { 3 x } { 3 x - 1 } - \dfrac { 4 - 14 x } { 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } \\ & = \dfrac { 3 x } { ( 3 x - 1 ) } - \dfrac { 4 - 14 x } { ( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) } \end{aligned}\)

En este caso la LCD\(=(3x−1)(x−1)\). Multiplicar\(f\) por\(1\) en forma de\(\dfrac { ( x - 1 ) } { ( x - 1 ) }\) para obtener fracciones algebraicas equivalentes con un denominador común y luego restar.

\(\begin{array} { l } { = \dfrac { 3 x } { ( 3 x - 1 ) } \cdot \dfrac { \color{Cerulean}{( x - 1 )} } { \color{Cerulean}{( x - 1 )} } \color{black}{-} \dfrac { 4 - 14 x } { ( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) } } \\ { = \dfrac { 3 x ( x - 1 ) - 4 + 14 x } { ( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) } } \\ { = \dfrac { 3 x ^ { 2 } + 11 x - 4 } { ( 3 x - 1 ) ( x - 1 ) } } \\ { = \dfrac { \cancel{( 3 x - 1 )} ( x + 4 ) } { \cancel{( 3x - 1 )} (x-1) } } \\ { = \dfrac { ( x + 4 ) } { ( x - 1 ) } } \end{array}\)

El dominio de\(f\) consiste en todos los números reales excepto\(\dfrac{1}{3}\), y el dominio de\(g\) consiste en todos los números reales excepto\(1\) y\(\dfrac{1}{3}\). Por lo tanto, el dominio de\(f − g\) consiste en todos los números reales excepto\(1\) y\(\dfrac{1}{3}\).

Respuesta:

\(( f - g ) ( x ) = \dfrac { x + 4 } { x - 1 }\), donde\(x \neq \dfrac { 1 } { 3 } , 1\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\):

Simplificar y exponer las restricciones:\(\dfrac { - 2 x } { x + 6 } - \dfrac { 3 x } { 6 - x } - \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { x ^ { 2 } - 36 }\).

Solución

Comience por aplicar la propiedad binomial opuesta\(6 - x = - ( x - 6 )\).

\(\begin{array} { l } { \dfrac { - 2 x } { x + 6 } - \dfrac { 3 x } { 6 - x } - \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { x ^ { 2 } - 36 } } \\ { = \dfrac { - 2 x } { ( x + 6 ) } - \dfrac { 3 x } {\color{Cerulean}{ - 1 \cdot ( x - 6 )} } \color{black}{-} \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } } \\ { = \dfrac { - 2 x } { ( x + 6 ) } + \dfrac { 3 x } { ( x - 6 ) } - \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } } \end{array}\)

A continuación, encuentre fracciones equivalentes con la LCD\(= (x+6)(x-6)\) y luego simplifique.

\(\begin{aligned} & = \dfrac { - 2 x } { ( x + 6 ) } \cdot \dfrac { ( \color{Cerulean}{x - 6}\color{black}{ )} } { (\color{Cerulean}{ x - 6}\color{black}{ )} } + \dfrac { 3 x } { ( x - 6 ) } \cdot \dfrac { (\color{Cerulean}{ x + 6}\color{black}{ )} } { ( \color{Cerulean}{x + 6} \color{black}{)} } - \dfrac { 18 ( x - 2 ) } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { - 2 x ( x - 6 ) + 3 x ( x + 6 ) - 18 ( x - 2 ) } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { - 2 x ^ { 2 } + 12 x + 3 x ^ { 2 } + 18 x - 18 x + 36 } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { x ^ { 2 } + 12 x + 36 } { ( x + 6 ) ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { \cancel{(x + 6 )} ( x + 6 ) } { \cancel{( x + 6 )} ( x - 6 ) } \\ & = \dfrac { x + 6 } { x - 6 } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\dfrac { x + 6 } { x - 6 }\), donde\(x \neq \pm 6\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Simplifique y establezca las restricciones:\(\dfrac { x + 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \dfrac { 2 } { x ^ { 2 } - 1 } - \dfrac { 4 } { ( x + 1 ) ( x - 1 ) ^ { 2 } }\)

Contestar

\(\dfrac { 1 } { x - 1 }\), donde\(x \neq \pm 1\)

www.youtube.com/v/ujdoyzxy83s

Las expresiones racionales a veces se expresan usando exponentes negativos. En este caso, aplicar las reglas para exponentes negativos antes de simplificar la expresión.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\):

Simplificar y exponer las restricciones:\(5 a ^ { - 2 } + ( 2 a + 5 ) ^ { - 1 }\).

Solución

Recordemos eso\(x ^ { - n } = \dfrac { 1 } { x ^ { n } }\). Comience por reescribir las expresiones racionales con exponentes negativos como fracciones.

\(5 a ^ { - 2 } + ( 2 a + 5 ) ^ { - 1 } = \dfrac { 5 } { a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { ( 2 a + 5 ) ^ { 1 } }\)

Después encuentra el LCD y agrega.

\(\begin{aligned} \dfrac { 5 } { a ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { ( 2 a + 5 ) ^ { 1 } } & = \dfrac { 5 } { a ^ { 2 } } \cdot \dfrac { \color{Cerulean}{( 2 a + 5 )} } {\color{Cerulean}{ ( 2 a + 5 )} } \color{black}{+} \dfrac { 1 } { ( 2 a + 5 ) } \cdot \dfrac {\color{Cerulean}{ a ^ { 2} } } { \color{Cerulean}{a ^ { 2} } } \\ & = \dfrac { 5 ( 2 a + 5 ) } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) } + \dfrac { a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) }\quad \color{Cerulean}{Equivalent\: expressions \:with\: a\: common\:denominator. } \\ & = \dfrac { 10 a + 25 + a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) } \quad\quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Add.}\\ & = \dfrac { a ^ { 2 } + 10 a + 25 } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) } \quad\quad\:\:\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ & = \dfrac { ( a + 5 ) ( a + 5 ) } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) } \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\dfrac { ( a + 5 ) ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( 2 a + 5 ) ^ { 2 } }\), donde\(a \neq - \dfrac { 5 } { 2 } , 0\)

Simplificación de expresiones racionales complejas

Una expresión racional compleja ³² se define como una expresión racional que contiene una o más expresiones racionales en el numerador o denominador o en ambos. Por ejemplo,

\(\dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } }\)

es una expresión racional compleja. Simplificamos una expresión racional compleja al encontrar una fracción equivalente donde el numerador y el denominador son polinomios. Existen dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas, y esbozaremos los pasos para ambos métodos. En aras de la claridad, supongamos que las expresiones variables utilizadas como denominadores son distintas de cero.

Método 1: Simplificar el uso de la división

Comenzamos nuestra discusión sobre la simplificación de expresiones racionales complejas usando la división. Antes de poder multiplicar por el recíproco del denominador, debemos simplificar el numerador y el denominador por separado. El objetivo es obtener primero fracciones algebraicas simples en el numerador y el denominador. Los pasos para simplificar una fracción algebraica compleja se ilustran en el siguiente ejemplo.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\):

Simplificar:\(\dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } }\).

Solución

Paso 1: Simplifica el numerador y denominador para obtener una sola fracción algebraica dividida por otra sola fracción algebraica. En este ejemplo, encuentra términos equivalentes con un denominador común tanto en el numerador como en el denominador antes de sumar y restar.

\(\begin{aligned} \dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } } & = \dfrac { \dfrac { 4 } { 1 } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2} } } \color{black}{-} \dfrac { 12 } { x } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x } { x} }\color{black}{ +} \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 2 } { 1 } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x ^ { 2 } } { x ^ { 2} } }\color{black}{ -} \dfrac { 5 } { x } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x } { x } }\color{black}{ +} \dfrac{3}{x^{2}} } \\ & = \dfrac { \dfrac { 4 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } - \dfrac { 12 x } { x ^ { 2 } } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 2 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } - \dfrac { 5 x } { x ^ { 2 } } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } } \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Equivalent\: fractions\: with\:common\:denominators.}\\&= \dfrac{\dfrac{4x^{2}-12x+9}{x^{2}}}{\dfrac{2x^{2}-5x+3}{x^{2}}}\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Add\:the\:fractions\:in\:the\:numerator\:and\:denominator.} \end{aligned}\)

En este punto tenemos una sola fracción algebraica dividida por otra sola fracción algebraica.

Paso 2: Multiplica el numerador por el recíproco del denominador.

\(\dfrac { \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { x ^ { 2 } } } { \color{Cerulean}{\dfrac { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } { x ^ { 2 }} } } \color{black}{=} \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { x ^ { 2 } } \cdot \color{Cerulean}{\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 }}\)

Paso 3: Facturar todos los numeradores y denominadores completamente.

\(= \dfrac { ( 2 x - 3 ) ( 2 x - 3 ) } { x ^ { 2 } } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } } { ( 2 x - 3 ) ( x - 1 ) }\)

Paso 4: Cancelar todos los factores comunes.

\(= \dfrac { \cancel{( 2 x - 3 )} ( 2 x - 3 ) } { \cancel{x ^ { 2} } } \cdot \dfrac { \cancel{x ^ { 2} } } { \cancel{( 2 x - 3 )}(x-1) } \\ =\dfrac{2x-3}{x-1}\)

Respuesta:

\(\dfrac { 2 x - 3 } { x - 1 }\)

Ejemplo\(\PageIndex{7}\):

Simplificar:\(\dfrac { \dfrac { 2 x } { x - 1 } + \dfrac { 7 } { x + 3 } } { \dfrac { 2 x } { x - 1 } - \dfrac { 5 } { x - 3 } }\)

Solución

Obtener una sola fracción algebraica en el numerador y en el denominador.

\(\begin{aligned} \dfrac{\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{7}{x+3}}{\dfrac{2x}{x-1}-\dfrac{5}{x-3}} &= \dfrac{\dfrac{2x}{x-1}\cdot \dfrac{(\color{Cerulean}{x+3}\color{black}{)}}{(\color{Cerulean}{x+3}\color{black}{)}}+ \dfrac{7}{x+3}\cdot\dfrac{(\color{Cerulean}{x-1}\color{black}{)}}{(\color{Cerulean}{x-1}\color{black}{)}}}{\dfrac{2x}{x-1}\cdot\dfrac{(\color{Cerulean}{x-3}\color{black}{)}}{(\color{Cerulean}{x-3}\color{black}{)}}-\dfrac{5}{x-3}\cdot\dfrac{(\color{Cerulean}{x-1}\color{black}{)}}{(\color{Cerulean}{x-1}\color{black}{)}}} \\ & =\dfrac { \dfrac { 2 x ( x + 3 ) + 7 ( x - 1 ) } { ( x - 1 ) ( x + 3 ) } } { \dfrac { 2 x ( x - 3 ) - 5 ( x - 1 ) } { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } } \\ & = \dfrac { \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 6 x + 7 x - 7 } { ( x - 1 ) ( x + 3 ) } } { \dfrac { 2 x ^ { 2 } - 6 x -5 x +5 } { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } } \\& = \dfrac{\dfrac{2x^{2}+13x-7}{(x-1)(x+3)}}{\dfrac{2x^{2}-11x+5}{(x-1)(x-3)}} \end{aligned}\)

A continuación, multiplique el numerador por el recíproco del denominador, factor, y luego cancelar.

\(\begin{array} { l } { = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 13 x - 7 } { ( x - 1 ) ( x + 3 ) } \cdot \dfrac { ( x - 1 ) ( x - 3 ) } { 2 x ^ { 2 } - 11 x + 5 } } \\ { = \dfrac { \cancel{( 2 x -1)} ( x + 7 ) } {\cancel{(x-1)} ( x + 3 ) } \cdot \dfrac { \cancel{( x - 1 )} ( x - 3 ) } { \cancel{( 2 x - 1 )} ( x - 5 ) } } \\{= \dfrac{(x+7)(x-3)}{(x+3)(x-5)}} \end{array}\)

Respuesta:

\(\dfrac { ( x + 7 ) ( x - 3 ) } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) }\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Simplificar el uso de la división:\(\dfrac { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 1 } { y } + \dfrac { 1 } { x } }\).

Contestar

\(\dfrac { x - y } { x y }\)

www.youtube.com/v/4dqcl_hbinq

A veces expresiones racionales complejas se expresan usando exponentes negativos.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\):

Simplificar:\(\dfrac { 2 y ^ { - 1 } - x ^ { - 1 } } { x ^ { - 2 } - 4 y ^ { - 2 } }\).

Solución

Comenzamos por reescribir la expresión sin exponentes negativos.

\(\dfrac { 2 y ^ { - 1 } - x ^ { - 1 } } { x ^ { - 2 } - 4 y ^ { - 2 } } = \dfrac { \dfrac { 2 } { y } - \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } - \dfrac { 4 } { y ^ { 2 } } }\)

Obtener fracciones algebraicas simples en el numerador y denominador y luego multiplicar por el recíproco del denominador.

\(\begin{aligned} \dfrac { \dfrac { 2 } { y } - \dfrac { 1 } { x } } { x ^ { 2 } - \dfrac { 4 } { y ^ { 2 } } } & = \dfrac { \dfrac { 2 x - y } { x y } } { \dfrac { y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } } \\ & = \dfrac { 2 x - y } { x y } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { y ^ { 2 } - 4 x ^ { 2 } } \\ & = \dfrac { 2 x - y } { x y } \cdot \dfrac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } } { ( y - 2 x ) ( y + 2 x ) } \end{aligned}\)

Aplicar la propiedad binomial opuesta\(( y - 2 x ) = - ( 2 x - y )\) y luego cancelar.

\(\begin{array} { l } { = \dfrac { \cancel{( 2 x - y )} } { x y } \cdot \dfrac { \stackrel{x\:\:\:y}{\cancel{x ^ { 2} } \:\cancel{y ^ {2} }} } { - \cancel{( 2 x - y )} ( y + 2 x ) } } \\ { = - \dfrac { x y } { y + 2 x } } \end{array}\)

Respuesta:\(- \dfrac { x y } { y + 2 x }\)

Método 2: Simplificar el uso de la pantalla LCD

Un método alternativo para simplificar expresiones racionales complejas implica borrar las fracciones multiplicando la expresión por una forma especial de\(1\). En este método, multiplica el numerador y el denominador por el mínimo denominador común (LCD) de todas las fracciones dadas.

Ejemplo\(\PageIndex{9}\):

Simplificar:\(\dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } }\).

Solución

Paso 1: Determinar el LCD de todas las fracciones en el numerador y denominador. En este caso, los denominadores de las fracciones dadas son\(1, x\), y\(x^{2}\). Por lo tanto, el LCD es\(x^{2}\).

Paso 2: Multiplica el numerador y el denominador por el LCD. Este paso debería despejar las fracciones tanto en el numerador como en el denominador.

\(\begin{aligned} \dfrac { 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } } { 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } } & = \dfrac { \left( 4 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } \right) \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} } } { \left( 2 - \dfrac { 5 } { x } + \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } \right) \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} } } \quad\quad\:\:\quad\quad\color{Cerulean}{Multiply\:numerator\:and\:denominator.} \\ & = \dfrac { 4 \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ -} \dfrac { 12 } { x } \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ +} \dfrac { 9 } { x ^ { 2 } } \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} } } { 2 \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ -} \dfrac { 5 } { x } \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ +} \dfrac { 3 } { x ^ { 2 } } \cdot \color{Cerulean}{x ^ { 2} } }\quad\quad\color{Cerulean}{Distribute\:and\:then\:cancel.} \\ & = \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } \end{aligned}\)

Esto nos deja con una sola fracción algebraica con un polinomio en el numerador y en el denominador.

Paso 3: Facturar completamente el numerador y el denominador.

\(\begin{aligned} & = \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 12 x + 9 } { 2 x ^ { 2 } - 5 x + 3 } \\ & = \dfrac { ( 2 x - 3 ) ( 2 x - 3 ) } { ( x - 1 ) ( 2 x - 3 ) } \end{aligned}\)

Paso 4: Cancelar todos los factores comunes.

\(\begin{aligned} & = \dfrac { ( 2 x - 3 )\cancel{ ( 2 x - 3 )} } { ( x - 1 ) \cancel{( 2 x - 3 )} } \\ & = \dfrac { 2 x - 3 } { x - 1 } \end{aligned}\)

Nota

Este fue el mismo problema presentado en el Ejemplo 6 y los resultados aquí son los mismos. Vale la pena tomarse el tiempo para comparar los pasos involucrados usando ambos métodos en un mismo problema.

Respuesta:\(\dfrac{2x-3}{x-1}\)

Es importante señalar que multiplicar el numerador y denominador por el mismo factor distinto de cero equivale a multiplicar por 1 y no cambia el problema.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Simplifique el uso de la pantalla LCD:\(\dfrac { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 1 } { y } + \dfrac { 1 } { x } }\).

Contestar

\(\dfrac { x - y } { x y }\)

www.youtube.com/v/fp7z1yehgle

Claves para llevar

• Sumar y restar expresiones racionales es similar a sumar y restar fracciones. Se requiere un denominador común. Si los denominadores son los mismos, entonces podemos sumar o restar los numeradores y escribir el resultado sobre el denominador común.
• El conjunto de restricciones al dominio de una suma o diferencia de funciones racionales consiste en las restricciones a los dominios de cada función.
• Las expresiones racionales complejas se pueden simplificar en expresiones equivalentes con un numerador polinómico y un denominador polinomio. Se reducen a términos más bajos si el numerador y el denominador son polinomios que no comparten otros factores comunes que no sean\(1\).
• Un método para simplificar una expresión racional compleja requiere que primero escribamos el numerador y el denominador como una sola fracción algebraica. Después multiplica el numerador por el recíproco del denominador y simplifica el resultado.
• Otro método para simplificar una expresión racional compleja requiere que la multipliquemos por una forma especial de\(1\). Multiplique el numerador y denominador por el LCD de todos los denominadores como medio para borrar las fracciones. Después de hacer esto, simplificar la expresión racional restante.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Declarar las restricciones y simplificar.

1. \(\dfrac { 3 x } { 3 x + 4 } + \dfrac { 2 } { 3 x + 4 }\)
2. \(\dfrac { 3 x } { 2 x - 1 } - \dfrac { 2 x + 1 } { 2 x - 1 }\)
3. \(\dfrac { x - 2 } { 2 x ^ { 2 } - 11 x - 6 } + \dfrac { x + 3 } { 2 x ^ { 2 } - 11 x - 6 }\)
4. \(\dfrac { 4 x - 1 } { 3 x ^ { 2 } + 2 x - 5 } - \dfrac { x - 6 } { 3 x ^ { 2 } + 2 x - 5 }\)
5. \(\dfrac { 1 } { x } - 2 x\)
6. \(\dfrac { 4 } { x ^ { 3 } } - \dfrac { 1 } { x }\)
7. \(\dfrac { 1 } { x - 1 } + 5\)
8. \(\dfrac { 1 } { x + 7 } - 1\)
9. \(\dfrac { 1 } { x - 2 } - \dfrac { 1 } { 3 x + 4 }\)
10. \(\dfrac { 2 } { 5 x - 2 } + \dfrac { x } { x + 3 }\)
11. \(\dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } + \dfrac { 1 } { x - 2 }\)
12. \(\dfrac { 2 x } { x } + \dfrac { 2 } { x - 2 }\)
13. \(\dfrac { 3 x - 7 } { x ( x - 7 ) } + \dfrac { 1 } { 7 - x }\)
14. \(\dfrac { 2 } { 8 - x } + \dfrac { 3 x ^ { 2 } - 1 } { x ^ { 2 } ( x - 8 ) }\)
15. \(\dfrac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 25 } - \dfrac { 2 } { x ^ { 2 } - 10 x + 25 }\)
16. \(\dfrac { x + 1 } { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 3 } - \dfrac { x } { 4 x ^ { 2 } - 1 }\)
17. \(\dfrac { x } { x ^ { 2 } + 4 x } - \dfrac { 2 } { x ^ { 2 } + 8 x + 16 }\)
18. \(\dfrac { 2 x - 1 } { 4 x ^ { 2 } + 8 x - 5 } - \dfrac { 3 } { 4 x ^ { 2 } + 20 x + 25 }\)
19. \(\dfrac { 5 - x } { 7 x + x ^ { 2 } } - \dfrac { x + 2 } { 49 - x ^ { 2 } }\)
20. \(\dfrac { 2 x } { 4 x ^ { 2 } + x } - \dfrac { x + 1 } { 8 x ^ { 2 } + 6 x + 1 }\)
21. \(\dfrac { x - 1 } { 2 x ^ { 2 } - 7 x - 4 } + \dfrac { 2 x - 1 } { x ^ { 2 } - 5 x + 4 }\)
22. \(\dfrac { 2 ( x + 3 ) } { 3 x ^ { 2 } - 5 x - 2 } + \dfrac { 4 - x } { 3 x ^ { 2 } + 10 x + 3 }\)
23. \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 4 + 2 x ^ { 2 } } - \dfrac { 2 } { x ^ { 4 } + 2 x ^ { 2 } }\)
24. \(\dfrac { 3 x } { 4 x ^ { 4 } + 6 x ^ { 3 } } - \dfrac { 2 x ^ { 2 } } { 6 x ^ { 3 } + 9 x ^ { 2 } }\)
25. \(\dfrac { 3 x ^ { 2 } - 12 } { x ^ { 4 } - 8 x ^ { 2 } + 16 } - \dfrac { x ^ { 2 } + 2 } { 4 - x ^ { 2 } }\)
26. \(\dfrac { x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 1 } + \dfrac { 6 x ^ { 2 } - 24 } { 2 x ^ { 4 } - 7 x ^ { 2 } - 4 }\)

Contestar

1. \(\dfrac { 3 x + 2 } { 3 x + 4 } ; x \neq - \dfrac { 4 } { 3 }\)

3. \(\dfrac { 1 } { x - 6 } ; x \neq - \dfrac { 1 } { 2 } , 6\)

5. \(\dfrac { 1 - 2 x ^ { 2 } } { x } ; x \neq 0\)

7. \(\dfrac { 5 x - 4 } { x - 1 } ; x \neq 1\)

9. \(\dfrac { 2 ( x + 3 ) } { ( x - 2 ) ( 3 x + 4 ) } ; x \neq - \dfrac { 4 } { 3 } , 2\)

11. \(\dfrac { ( x - 1 ) ( x + 2 ) } { x ^ { 2 } ( x - 2 ) } ; x \neq 0,2\)

13. \(\dfrac { 2 x - 7 } { x ( x - 7 ) } ; x \neq 0,7\)

15. \(\dfrac { x ^ { 2 } - 8 x - 5 } { ( x + 5 ) ( x - 5 ) ^ { 2 } } ; x \neq \pm 5\)

17. \(\dfrac { x + 2 } { ( x + 4 ) ^ { 2 } } ; x \neq 0 , - 4\)

19. \(\dfrac { 7 ( 5 - 2 x ) } { x ( 7 + x ) ( 7 - x ) } ; x \neq - 7,0,7\)

21. \(\dfrac { x ( 5 x - 2 ) } { ( x - 4 ) ( x - 1 ) ( 2 x + 1 ) } ; x \neq - \dfrac { 1 } { 2 } , 1,4\)

23. \(\dfrac { x ^ { 2 } - 2 } { 2 x ^ { 2 } } ; x \neq 0\)

25. \(\dfrac { x ^ { 2 } + 5 } { ( x + 2 ) ( x - 2 ) } ; x \neq \pm 2\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Dado\(f\) y\(g\), simplificar\(f+g\) y diferencia\(f-g\). Además, indica el dominio usando notación de intervalos.

1. \(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x } , g ( x ) = \dfrac { 5 } { x ^ { 2 } }\)
2. \(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x + 2 } , g ( x ) = \dfrac { 2 } { x - 1 }\)
3. \(f ( x ) = \dfrac { x - 2 } { x + 2 } , g ( x ) = \dfrac { x + 2 } { x - 2 }\)
4. \(f ( x ) = \dfrac { x } { 2 x - 1 } , g ( x ) = \dfrac { 2 x } { 2 x + 1 }\)
5. \(f ( x ) = \dfrac { 6 } { 3 x ^ { 2 } + x } , g ( x ) = \dfrac { 18 } { 9 x ^ { 2 } + 6 x + 1 }\)
6. \(f ( x ) = \dfrac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 8 x + 16 } , g ( x ) = \dfrac { x - 2 } { x ^ { 2 } - 4 x }\)
7. \(f ( x ) = \dfrac { x } { x ^ { 2 } - 25 } , g ( x ) = \dfrac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 4 x - 5 }\)
8. \(f ( x ) = \dfrac { 2 x - 3 } { x ^ { 2 } - 4 } , g ( x ) = \dfrac { x } { 2 x ^ { 2 } + 3 x - 2 }\)
9. \(f ( x ) = \dfrac { 1 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } , g ( x ) = - \dfrac { 1 } { 4 x ^ { 2 } - 3 x - 1 }\)
10. \(f ( x ) = \dfrac { 6 } { 6 x ^ { 2 } + 13 x - 5 } , g ( x ) = - \dfrac { 2 } { 2 x ^ { 2 } + x - 10 }\)

Contestar

1. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { x + 5 } { x ^ { 2 } } ; ( f - g ) ( x ) = \dfrac { x - 5 } { x ^ { 2 } }\); Dominio:\(( - \infty , 0 ) \cup ( 0 , \infty )\)

3. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { 2 \left( x ^ { 2 } + 4 \right) } { ( x + 2 ) ( x - 2 ) } ; ( f - g ) ( x ) = - \dfrac { 8 x } { ( x + 2 ) ( x - 2 ) }\); Dominio:\(( - \infty , - 2 ) \cup ( - 2,2 ) \cup ( 2 , \infty )\)

5. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { 6 ( 6 x + 1 ) } { x ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } } ; ( f - g ) ( x ) = \dfrac { 6 } { x ( 3 x + 1 ) ^ { 2 } }\); Dominio:\(\left( - \infty , - \dfrac { 1 } { 3 } \right) \cup \left( - \dfrac { 1 } { 3 } , 0 \right) \cup ( 0 , \infty )\)

7. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { 2 x ^ { 2 } + 5 x - 5 } { ( x + 1 ) ( x + 5 ) ( x - 5 ) } ; ( f - g ) ( x ) = - \dfrac { 3 x - 5 } { ( x + 1 ) ( x + 5 ) ( x - 5 ) }\); Dominio:\(( - \infty , - 5 ) \cup ( - 5 , - 1 ) \cup ( - 1,5 ) \cup ( 5 , \infty )\)

9. \(( f + g ) ( x ) = \dfrac { 1 } { ( 3 x + 2 ) ( 4 x + 1 ) } ; ( f - g ) ( x ) = - \dfrac { 7 x + 3 } { ( x - 1 ) ( 3 x + 2 ) ( 4 x + 1 ) }\); Dominio:\(\left( - \infty , - \dfrac { 2 } { 3 } \right) \cup \left( - \dfrac { 2 } { 3 } , \dfrac { 1 } { 4 } \right) \cup \left( \dfrac { 1 } { 4 } , 1 \right) \cup ( 1 , \infty )\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Declarar las restricciones y simplificar.

1. \(1 + \dfrac { 3 } { x } - \dfrac { 5 x - 1 } { x ^ { 2 } }\)
2. \(4 + \dfrac { 2 } { x } - \dfrac { 6 x - 1 } { x ^ { 2 } }\)
3. \(\dfrac { 2 x } { x - 8 } - \dfrac { 1 } { 3 x + 1 } - \dfrac { 2 x + 9 } { 3 x ^ { 2 } - 23 x - 8 }\)
4. \(\dfrac { 4 x } { x - 2 } - \dfrac { 10 } { 3 x + 1 } - \dfrac { 19 x + 18 } { 3 x ^ { 2 } - 5 x - 2 }\)
5. \(\dfrac { 1 } { x - 1 } + \dfrac { 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } - 1 }\)
6. \(\dfrac { 1 } { x - 2 } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } - 4 } + \dfrac { 1 } { ( x - 2 ) ^ { 2 } }\)
7. \(\dfrac { 2 x + 1 } { x - 1 } - \dfrac { 3 x } { 2 x ^ { 2 } - 3 x + 1 } + \dfrac { x + 1 } { x - 2 x ^ { 2 } }\)
8. \(\dfrac { 5 x ^ { 2 } } { 2 x ^ { 2 } + 2 x } - \dfrac { x ^ { 2 } - 4 x } { x ^ { 2 } - 2 x } + \dfrac { 4 + 2 x ^ { 2 } } { 4 + 2 x - 2 x ^ { 2 } }\)
9. \(\dfrac { x + 2 } { 2x ( 3 x - 2 ) } + \dfrac { 4 x } { ( x - 2 ) ( 3 x - 2 ) } - \dfrac { 3 x + 2 } { 2 x ( x - 2 ) }\)
10. \(\dfrac { 10 x } { x ( x - 5 ) } - \dfrac { 2 x ^ { 2 } } { ( 2 x - 5 ) ( x - 5 ) } - \dfrac { 5 x } { x ( 2 x - 5 ) }\)

Contestar

1. \(\dfrac { ( x - 1 ) ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } ; x \neq 0\)

3. \(\dfrac { 2 x - 1 } { x - 8 } ; x \neq - \dfrac { 1 } { 3 } , 8\)

5. \(\dfrac { x ^ { 2 } + 1 } { ( x - 1 ) ^ { 2 } ( x + 1 ) } ; x \neq \pm 1\)

7. \(\dfrac { 2 x + 1 } { x } ; x \neq 0 , \dfrac { 1 } { 2 } , 1\)

9. \(0 ; x \neq 0 , \dfrac { 2 } { 3 } , 2\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Simplificar las expresiones algebraicas dadas. Supongamos que todas las expresiones variables en el denominador son distintas de cero.

1. \(x ^ { - 2 } + y ^ { - 2 }\)
2. \(x ^ { - 2 } + ( 2 y ) ^ { - 2 }\)
3. \(2 x ^ { - 1 } + y ^ { - 2 }\)
4. \(x ^ { - 2 } - 4 y ^ { - 1 }\)
5. \(16 x ^ { - 2 } + y ^ { 2 }\)
6. \(x y ^ { - 1 } - y x ^ { - 1 }\)
7. \(3 ( x + y ) ^ { - 1 } + x ^ { - 2 }\)
8. \(2 ( x - y ) ^ { - 2 } - ( x - y ) ^ { - 1 }\)
9. \(a ^ { - 2 } - ( a + b ) ^ { - 1 }\)
10. \(( a - b ) ^ { - 1 } - ( a + b ) ^ { - 1 }\)
11. \(x ^ { - n } + y ^ { - n }\)
12. \(x y ^ { - n } + y x ^ { - n }\)

Contestar

1. \(\dfrac { y ^ { 2 } + x ^ { 2 } } { x ^ { 2 } y ^ { 2 } }\)

3. \(\dfrac { x + 2 y ^ { 2 } } { x y ^ { 2 } }\)

5. \(\dfrac { x ^ { 2 } y ^ { 2 } + 16 } { x ^ { 2 } }\)

7. \(\dfrac { 3 x ^ { 2 } + x + y } { x ^ { 2 } ( x + y ) }\)

9. \(\dfrac { a + b - a ^ { 2 } } { a ^ { 2 } ( a + b ) }\)

11. \(\dfrac { x ^ { n } + y ^ { n } } { x ^ { n } y ^ { n } }\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Simplificar. Supongamos que todas las expresiones variables en los denominadores son distintas de cero.

1. \(\dfrac { \dfrac { 75 x ^ { 2 } } { ( x - 3 ) ^ { 2 } } } { \dfrac { 25 x ^ { 3 } } { x - 3 } }\)
2. \(\dfrac { \dfrac { x + 5 } { 36 x ^ { 3 } } } { \dfrac { ( x + 5 ) ^ { 3 } } { 9 x ^ { 2 } } }\)
3. \(\dfrac { \dfrac { x ^ { 2 } - 36 } { 32 x ^ { 5 } } } { \dfrac { x - 6 } { 4 x ^ { 3 } } }\)
4. \(\dfrac { \dfrac { x - 8 } { 56 x ^ { 2 } } } { \dfrac { x ^ { 2 } - 64 } { 7 x ^ { 3 } } }\)
5. \(\dfrac { \dfrac { 5 x + 1 } { 2 x ^ { 2 } + x - 10 } } { \dfrac { 25 x ^ { 2 } + 10 x + 1 } { 4 x ^ { 2 } - 25 } }\)
6. \(\dfrac { \dfrac { 4 x ^ { 2 } - 27 x - 7 } { 4 x ^ { 2 } - 1 } } { \dfrac { x - 7 } { 6 x ^ { 2 } - x - 1 } }\)
7. \(\dfrac { \dfrac { x ^ { 2 } - 4 x - 5 } { 2 x ^ { 2 } + 3 x + 1 } } { \dfrac { x ^ { 2 } - 10 x + 25 } { 2 x ^ { 2 } + 7 x + 3 } }\)
8. \(\dfrac { \dfrac { 5 x ^ { 2 } + 9 x - 2 } { x ^ { 2 } + 4 x + 4 } } { \dfrac { 10 x ^ { 2 } + 3 x - 1 } { 4 x ^ { 2 } + 7 x - 2 } }\)
9. \(\dfrac { x ^ { 2 } } { \dfrac { 1 } { 5 } - \dfrac { 3 } { x } }\)
10. \(\dfrac { \dfrac { 4 } { x } - 3 } { 2 x ^ { 2 } }\)
11. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 3 } - \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 1 } { 9 } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
12. \(\dfrac { \dfrac { 2 } { 5 } + \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 4 } { 25 } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
13. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - 36 } { 6 - \dfrac { 1 } { y } }\)
14. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 5 } - \dfrac { 1 } { y } } { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { 25 } }\)
15. \(\dfrac { 1 - \dfrac { 6 } { x } + \dfrac { 8 } { x ^ { 2 } } } { 3 - \dfrac { 5 } { x } - \dfrac { 2 } { x ^ { 2 } } }\)
16. \(\dfrac { 2 + \dfrac { 13 } { x } - \dfrac { 7 } { x ^ { 2 } } } { 3 + \dfrac { 1 } { x } - \dfrac { 10 } { x ^ { 2 } } }\)
17. \(\dfrac { 9 - \dfrac { 12 } { x } + \dfrac { 4 } { x ^ { 2 } } } { 9 - \dfrac { 4 } { x ^ { 2 } } }\)
18. \(\dfrac { 4 - \dfrac { 25 } { x ^ { 2 } } } { 4 - \dfrac { 8 } { x } - \dfrac { 5 } { x ^ { 2 } } }\)
19. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { x } + \dfrac { 5 } { 3 x - 1 } } { \dfrac { 2 } { 3 x - 1 } - \dfrac { 1 } { x } }\)
20. \(\dfrac { \dfrac { 2 } { x - 5 } - \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 1 } { x } - \dfrac { 3 } { x - 5 } }\)
21. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { x + 1 } + \dfrac { 2 } { x - 2 } } { \dfrac { 2 } { x - 3 } - \dfrac { 1 } { x - 2 } }\)
22. \(\dfrac { \dfrac { 4 } { x + 5 } - \dfrac { 1 } { x - 3 } } { \dfrac { 3 } { x - 3 } + \dfrac { 1 } { 2 x - 1 } }\)
23. \(\dfrac { \dfrac { x - 1 } { 3 x - 1 } - \dfrac { 1 } { x + 1 } } { \dfrac { x - 1 } { x + 1 } - \dfrac { 2 } { x + 1 } }\)
24. \(\dfrac { \dfrac { x + 1 } { 3 x + 5 } - \dfrac { 1 } { x + 3 } } { \dfrac { 2 } { x + 3 } - \dfrac { x + 1 } { x + 3 } }\)
25. \(\dfrac { \dfrac { 2 x + 3 } { 2 x - 3 } + \dfrac { 2 x - 3 } { 2 x + 3 } } { \dfrac { 2 x + 3 } { 2 x - 3 } - \dfrac { 2 x - 3 } { 2 x + 3 } }\)
26. \(\dfrac { \dfrac { x - 1 } { x + 1 } - \dfrac { x + 1 } { x - 1 } } { \dfrac { x + 1 } { x - 1 } - \dfrac { x - 1 } { x + 1 } }\)
27. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 2 x + 5 } - \dfrac { 1 } { 2 x - 5 } + \dfrac { 4 x } { 4 x ^ { 2 } - 25 } } { \dfrac { 1 } { 2 x + 5 } + \dfrac { 1 } { 2 x - 5 } + \dfrac { 4 x } { 4 x ^ { 2 } - 25 } }\)
28. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 3 x - 1 } + \dfrac { 1 } { 3 x + 1 } } { \dfrac { 3 x } { 3 x - 1 } - \dfrac { 1 } { 3 x + 1 } - \dfrac { 6 x } { 9 x ^ { 2 } - 1 } }\)
29. \(\dfrac { 1 } { 1 + \dfrac { 1 } { 1 + \dfrac { 1 } { x } } }\)
30. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { x } } { 1 - \dfrac { 1 } { 1 + \dfrac { 1 } { x } } }\)
31. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { y } - \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
32. \(\dfrac { \dfrac { 2 } { y } + \dfrac { 1 } { x } } { \dfrac { 4 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
33. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { 25 y ^ { 2 } } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 1 } { x } - \dfrac { 1 } { 5 y } }\)
34. \(\dfrac { 16 y ^ { 2 } - \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } } { \dfrac { 1 } { x } - 4 y }\)
35. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { b } + \dfrac { 1 } { a } } { \dfrac { 1 } { b ^ { 3 } } + \dfrac { 1 } { a ^ { 3 } } }\)
36. \(\dfrac { \dfrac { 1 } { a } - \dfrac { 1 } { b } } { \dfrac { 1 } { b ^ { 3 } } - \dfrac { 1 } { a ^ { 3 } } }\)
37. \(\dfrac { \dfrac { x } { y } - \dfrac { y } { x } } { \dfrac { 1 } { y ^ { 2 } } - \dfrac { 2 } { x y } + \dfrac { 1 } { x ^ { 2 } } }\)
38. \(\dfrac { \dfrac { 2 } { y } - \dfrac { 5 } { x } } { 4 x - \dfrac { 25 y ^ { 2 } } { x } }\)
39. \(\dfrac { x ^ { - 1 } + y ^ { - 1 } } { y ^ { - 2 } - x ^ { - 2 } }\)
40. \(\dfrac { y ^ { - 2 } - 25 x ^ { - 2 } } { 5 x ^ { - 1 } - y ^ { - 1 } }\)
41. \(\dfrac { 1 - x ^ { - 1 } } { x - x ^ { - 1 } }\)
42. \(\dfrac { 16 - x ^ { - 2 } } { x ^ { - 1 } - 4 }\)
43. \(\dfrac { 1 - 4 x ^ { - 1 } - 21 x ^ { - 2 } } { 1 - 2 x ^ { - 1 } - 15 x ^ { - 2 } }\)
44. \(\dfrac { x ^ { - 1 } - 4 \left( 3 x ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } } { 3 - 8 x ^ { - 1 } + 16 \left( 3 x ^ { 2 } \right) ^ { - 1 } }\)
45. \(\dfrac { ( x - 3 ) ^ { - 1 } + 2 x ^ { - 1 } } { x ^ { - 1 } - 3 ( x - 3 ) ^ { - 1 } }\)
46. \(\dfrac { ( 4 x - 5 ) ^ { - 1 } + x ^ { - 2 } } { x ^ { - 2 } + ( 3 x - 10 ) ^ { - 1 } }\)
47. Dado\(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x }\), simplificar\(\dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a }\).
48. Dado\(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x - 1 }\), simplificar\(\dfrac { f ( b ) - f ( a ) } { b - a }\).
49. Dado\(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x }\), simplificar el cociente de diferencia\(\dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }\).
50. Dado\(f ( x ) = \dfrac { 1 } { x } + 1\), simplificar el cociente de diferencia\(\dfrac { f ( x + h ) - f ( x ) } { h }\).

Contestar

1. \(\dfrac { 3 } { x ( x - 3 ) }\)

3. \(\dfrac { x + 6 } { 8 x ^ { 2 } }\)

5. \(\dfrac { 2 x - 5 } { ( x - 2 ) ( 5 x + 1 ) }\)

7. \(\dfrac { x + 3 } { x - 5 }\)

9. \(\dfrac { 5 x ^ { 3 } } { x - 15 }\)

11. \(\dfrac { 3 x } { x + 3 }\)

13. \(- \dfrac { 6 y + 1 } { y }\)

15. \(\dfrac { x - 4 } { 3 x + 1 }\)

17. \(\dfrac { 3 x - 2 } { 3 x + 2 }\)

19. \(- \dfrac { 8 x - 1 } { x - 1 }\)

21. \(\dfrac { 3 x ( x - 3 ) } { ( x + 1 ) ( x - 1 ) }\)

23. \(\dfrac { x } { 3 x - 1 }\)

25. \(\dfrac { 4 x ^ { 2 } + 9 } { 12 x }\)

27. \(\dfrac { 2 x - 5 } { 4 x }\)

29. \(\dfrac { x + 1 } { 2 x + 1 }\)

31. \(\dfrac { x y } { x + y }\)

33. \(- \dfrac { x + 5 y } { 5 x y }\)

35. \(\dfrac { a ^ { 2 } b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } - a b + b ^ { 2 } }\)

37. \(\dfrac { x y ( x + y ) } { x - y }\)

39. \(\dfrac { x y } { x - y }\)

41. \(\dfrac { 1 } { x + 1 }\)

43. \(\dfrac { x - 7 } { x - 5 }\)

45. \(- \dfrac { 3 ( x - 2 ) } { 2 x + 3 }\)

47. \(- \dfrac { 1 } { a b }\)

49. \(- \dfrac { 1 } { x ( x + h ) }\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

1. Explicar por qué el dominio de una suma de funciones racionales es el mismo que el dominio de la diferencia de esas funciones.
2. En esta sección se han presentado dos métodos para simplificar expresiones racionales complejas. ¿Cuál de los dos métodos sientes que es más eficiente y por qué?

Contestar

1. La respuesta puede variar

Notas al pie

³² Expresión racional que contiene una o más expresiones racionales en el numerador o denominador o en ambos.