4.7: Resolver ecuaciones racionales

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Resolver ecuaciones racionales.
Resolver ecuaciones literales, o fórmulas, que involucran expresiones racionales.
Resolver aplicaciones que involucran el recíproco de incógnitas.

Resolviendo ecuaciones racionales

Una ecuación racional ³³ es una ecuación que contiene al menos una expresión racional. Las expresiones racionales suelen contener una variable en el denominador. Por ello, nos encargaremos de que el denominador no sea$0$ tomando nota de las restricciones y comprobando nuestras soluciones. Resolver ecuaciones racionales implica borrar fracciones multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo denominador común (LCD).

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Resolver:$\frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } = \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }$.

Solución

Primero tomamos nota de la restricción sobre$x, x≠0$. Luego multiplicamos ambos lados por la LCD, que en este caso es igual$2x^{2}$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } \right) & =\color{Cerulean}{ 2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } } \right)\quad\quad\color{Cerulean}{Multiply\:both\:sides\:by\:the\:LCD.} \\ \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { x } + \color{Cerulean}{2 x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 2 } { x ^ { 2 } } & = \color{Cerulean}{2 x ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Distribute.} \\ 2 x + 4 & = x + 9\quad\quad\quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Simplify\:and\:then\:solve.} \\ x & = 5 \end{aligned}$

Comprueba tu respuesta. Substituya$x=5$ en la ecuación original y vea si obtiene una declaración verdadera.

$\begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } } = \frac { x + 9 } { 2 x ^ { 2 } }\quad \color{Cerulean} { Original\:equation } } \\ { \frac { 1 } { \color{OliveGreen}{5} }\color{black}{ +} \frac { 2 } { \color{OliveGreen}{5} ^ { \color{black}{2} } } = \frac { \color{OliveGreen}{5}\color{black}{ +} 9 } { 2 ( \color{OliveGreen}{5}\color{black}{ )} ^ { 2 } }\quad \color{Cerulean} { Check \: x = 5.} } \\ { \frac { 1 } { 5 } + \frac { 2 } { 25 } = \frac { 14 } { 2 \cdot 25 } } \\ \frac{5}{25} + \frac{2}{25} = \frac{7}{25} \\ {\frac{7}{25}=\frac{7}{25}} \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{array}$

Respuesta:

La solución es$5$.

Después de multiplicar ambos lados del ejemplo anterior por la LCD, nos quedamos con una ecuación lineal para resolver. No siempre es así; a veces nos quedaremos con la ecuación cuadrática.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Resolver:$\frac { 3 ( x + 2 ) } { x - 4 } - \frac { x + 4 } { x - 2 } = \frac { x - 2 } { x - 4 }$.

Solución

En este ejemplo, hay dos restricciones,$x≠4$ y$x≠2$. Comience multiplicando ambos lados por la pantalla LCD,$(x−2)(x−4)$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{(x-2)(x-4)}\color{black}{\cdot} \left( \frac{3(x+2)}{x-4}-\frac{x+4}{x-2} \right) &= \color{Cerulean}{(x-2)(x-4)}\color{black}{\cdot} \left( \frac{x-2}{x-4} \right)\\ \color{Cerulean}{(x-2)\cancel{(x-4)}}\color{black}{\cdot} \frac{3(x+2)}{\cancel{x-4}} - \color{Cerulean}{\cancel{(x-2)}(x-4)}\color{black}{\cdot} \frac{x+4}{\cancel{x-2}} &= \color{Cerulean}{(x-2)\cancel{(x-4)}}\color{black}{\cdot} \frac{x-2}{\cancel{x-4}} \\ 3 ( x + 2 ) ( x - 2 ) - ( x + 4 ) ( x - 4 ) & = ( x - 2 ) ( x - 2 ) \\ 3 \left( x ^ { 2 } - 4 \right) - \left( x ^ { 2 } - 16 \right) & = x ^ { 2 } - 2 x - 2 x + 4 \\ 3 x ^ { 2 } - 12 - x ^ { 2 } + 16 & = x ^ { 2 } - 4 x + 4\\ 2x^{2} + 4 & = x^{2}-4x+4 \end{aligned}$

Después de distribuir y simplificar ambos lados de la ecuación, queda una ecuación cuadrática. Para resolver, reescriba la ecuación cuadrática en forma estándar, factor, y luego establezca cada factor igual a 0.

$\begin{array} { l } { 2 x ^ { 2 } + 4 = x ^ { 2 } - 4 x + 4 } \\ { x ^ { 2 } + 4 x = 0 } \\ { x ( x + 4 ) = 0 } \end{array}$

$\begin{aligned} x = 0 \text { or } x + 4 & = 0 \\ x & = - 4 \end{aligned}$

Comprueba si estos valores resuelven la ecuación original.

$\frac { 3 ( x + 2 ) } { x - 4 } - \frac { x + 4 } { x - 2 } = \frac { x - 2 } { x - 4 }$

Mesa$\PageIndex{1}$
Cheque$x=0$	Cheque$x=4$
\ (x=0\) ">$\begin{aligned} \frac { 3 ( \color{Cerulean}{0}\color{black}{ +} 2 ) } {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ -} 4 } - \frac {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ +} 4 } {\color{Cerulean}{ 0}\color{black}{ -} 2 } & = \frac { \color{Cerulean}{0}\color{black}{ -} 2 } { \color{Cerulean}{0}\color{black}{ -} 4 } \\ \frac { 6 } { - 4 } - \frac { 4 } { - 2 } & = \frac { - 2 } { - 4 } \\ - \frac { 3 } { 2 } + 2 & = \frac { 1 } { 2 } \\ - \frac { 3 } { 2 } + \frac { 4 } { 2 } & = \frac { 1 } { 2 } \\ \frac { 1 } { 2 } & = \frac { 1 } { 2 } \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$	\ (x=4\) ">$\begin{aligned} \frac { 3 ( \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ +} 2 ) } { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 4 } - \frac {\color{Cerulean}{ - 4}\color{black}{ +} 4 } {\color{Cerulean}{ - 4}\color{black}{ -} 2 } & = \frac { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 2 } { \color{Cerulean}{- 4}\color{black}{ -} 4 } \\ \frac { 3 ( - 2 ) } { - 8 } - \frac { 0 } { - 6 } & = \frac { - 6 } { - 8 } \\ \frac { - 6 } { - 8 } - 0 & = \frac { 3 } { 4 } \\ \frac { 3 } { 4 } & = \frac { 3 } { 4 } \color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Respuesta:

Las soluciones son$0$ y$−4$.

Hasta este punto, todas las soluciones posibles han resuelto la ecuación original. No obstante, tal vez no siempre sea así. Multiplicar ambos lados de una ecuación por factores variables puede dar lugar a soluciones extrañas ³⁴, que son soluciones que no resuelven la ecuación original. En el siguiente ejemplo se describe una lista completa de pasos para resolver una ecuación racional.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Resolver:$\frac { 2 x } { 3 x + 1 } = \frac { 1 } { x - 5 } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { 3 x ^ { 2 } - 14 x - 5 }$.

Solución

Paso 1: Factorizar todos los denominadores y determinar el LCD.

$\begin{array} { l } { \frac { 2 x } { 3 x + 1 } = \frac { 1 } { x - 5 } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { 3 x ^ { 2 } - 14 x - 5 } } \\ { \frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } = \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) } } \end{array}$

El LCD es$(3x+1)(x−5)$.

Paso 2: Identificar las restricciones. En este caso,$x≠−\frac{1}{3}$ y$x≠5$.

Paso 3: Multiplica ambos lados de la ecuación por el LCD. Distribuir cuidadosamente y luego simplificar.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{( 3 x + 1 ) ( x - 5 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } &=\color{Cerulean}{ ( 3 x + 1 ) ( x - 5 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) }\right)\\ \color{Cerulean}{\cancel{(3x+1)}(x-5)}\color{black}{ \cdot}\frac{2x}{\cancel{(3x+1)}} &= \color{Cerulean}{(3x+1)\cancel{(x-5)}}\color{black}{\cdot} \frac{1}{\cancel{(x-5)}} -\color{Cerulean}{\cancel{ (3x+1)}\cancel{(x-5)}}\color{black}{ \cdot} \frac{4(x-1)}{\cancel{(3x+1)}\cancel{(x-5)}} \\ 2x(x-5) &=(3x+1)-4(x-1) \end{aligned}$

Paso 4: Resolver la ecuación resultante. Aquí el resultado es una ecuación cuadrática. Vuelva a escribirlo en forma estándar, factor, y luego establezca cada factor igual a$0$.

$\begin{aligned} 2 x ( x - 5 ) & = ( 3 x + 1 ) - 4 ( x - 1 ) \\ 2 x ^ { 2 } - 10 x & = 3 x + 1 - 4 x + 4 \\ 2 x ^ { 2 } - 10 x & = - x + 5 \\ 2 x ^ { 2 } - 9 x - 5 & = 0 \\ ( 2 x + 1 ) ( x - 5 ) & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2 x + 1 & = 0 \quad\quad \text { or } &x - 5 &= 0 \\ 2 x & = - 1 & x &= 5 \\ x &= - \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}$

Paso 5: Verifique si hay soluciones extrañas. Siempre sustituya en la ecuación original, o el equivalente factorizado. En este caso, elija el equivalente factorizado para verificar:

$\frac { 2 x } { ( 3 x + 1 ) } = \frac { 1 } { ( x - 5 ) } - \frac { 4 ( x - 1 ) } { ( 3 x + 1 ) ( x - 5 ) }$

Mesa$\PageIndex{2}$
Cheque$x=-\frac{1}{2}$	Cheque$x=5$
\ (x=-\ frac {1} {2}\) ">$\begin{aligned} \frac { 2 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2 }} \right) } { \left( 3 \left(\color{Cerulean}{ - \frac { 1 } { 2 }} \right) \color{black}{+} 1 \right) } & = \frac { 1 } { \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) - 5 \right) } - \frac { 4 \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2 }} \right) \color{black}{-} 1 \right) } { \left( 3 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) \color{black}{+} 1 \right) \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) - 5 \right) } \\ \frac { - 1 } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) } & = \frac { 1 } { \left( - \frac { 11 } { 2 } \right) } - \frac { 4 \left( - \frac { 3 } { 2 } \right) } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( - \frac { 11 } { 2 } \right) } \\ 2 & = -\frac{2}{11} - \frac{-6}{\left(\frac{11}{4} \right)} \\ 2 & = - \frac { 2 } { 11 } + \frac { 24 } { 11 } \\ 2 & = \frac { 22 } { 11 } \\ 2 & = 2 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$	\ (x=5\) ">$\begin{aligned} \frac { 2 \left( \color{Cerulean}{ 5} \right) } { \left( 3 \left(\color{Cerulean}{ 5} \right) \color{black}{+} 1 \right) } & = \frac { 1 } { \left( \left( \color{Cerulean}{5 } \right) - 5 \right) } - \frac { 4 \left( \left( \color{Cerulean}{ 5} \right) \color{black}{-} 1 \right) } { \left( 3 \left( \color{Cerulean}{5 } \right) \color{black}{+} 1 \right) \left( \left( \color{Cerulean}{ 5 } \right) - 5 \right) } \\ \frac{10}{16} & = \frac{1}{0} - \frac{16}{0} \end{aligned}$
\ (x=-\ frac {1} {2}\) ">	\ (x=5\) ">$\color{Cerulean}{Undefined}$

Aquí$5$ hay una solución extraña y no está incluida en el conjunto de soluciones. Es importante señalar que$5$ es una restricción.

Respuesta:

La solución es$−12$.

Si este proceso produce una solución que pasa a ser una restricción, entonces despreciarla como solución.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Resolver:$\frac { 4 ( x - 3 ) } { 36 - x ^ { 2 } } = \frac { 1 } { 6 - x } + \frac { 2 x } { 6 + x }$.

Contestar

$−\frac{3}{2}$

www.youtube.com/V/MXLN5C53J1M

A veces todas las soluciones potenciales son extrañas, en cuyo caso decimos que no hay solución a la ecuación original. En los dos ejemplos siguientes, demostramos dos formas en las que la ecuación racional no puede tener soluciones.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Resolver:$1 + \frac { 5 x + 22 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { x + 4 } { x - 1 }$

Solución

Para identificar la LCD, primero factorizar los denominadores.

$\begin{array} { c } { 1 + \frac { 5 x + 22 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { x + 4 } { x - 1 } } \\ { 1 + \frac { 5 x + 22 } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) } = \frac { x + 4 } { ( x - 1 ) } } \end{array}$

Multiplique ambos lados por la pantalla LCD,$(x+4)(x−1)$, distribuyendo cuidadosamente.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{ ( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \left( 1 + \frac { 5 x + 22 } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) } \right) &= \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \frac { x + 4 } { ( x - 1 ) } \\ \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} 1 +\color{Cerulean}{ ( x + 4 ) ( x - 1 )}\color{black}{ \cdot} \frac { ( 5 x + 22 ) } { ( x + 4 ) ( x - 1 ) }& = \color{Cerulean}{( x + 4 ) ( x - 1 ) }\color{black}{\cdot} \frac { ( x + 4 ) } { ( x - 1 ) } \\ (x+4)(x-1) + (5x+22) &=(x+4)(x+4) \\ x ^ { 2 } - x + 4 x - 4 + 5 x + 22& = x ^ { 2 } + 4 x + 4x + 16 \\ x ^ { 2 } + 8 x + 18 &= x ^ { 2 } + 8 x + 16 \\ 18 &= 16 \:\: \color{red} { False } \end{aligned}$

La ecuación es una contradicción y por lo tanto no tiene solución.

Respuesta:

Sin solución,$Ø$

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Resolver:$\frac { 3 x } { 2 x - 3 } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) } { 4 x ^ { 2 } - 9 } = \frac { x } { 2 x + 3 }$.

Solución

Primero, factorizar los denominadores.

$\frac { 3 x } { ( 2 x - 3 ) } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) } { ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) } = \frac { x } { ( 2 x + 3 ) }$

Toma nota que las restricciones sobre el dominio son$x≠±\frac{3}{2}$. Para borrar las fracciones, multiplicar por la LCD,$(2x+3)(2x−3)$.

$\begin{aligned} \frac { 3 x \cdot \color{Cerulean}{( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } { \color{black}{( 2 x - 3 )} } - \frac { 3 ( 4 x + 3 ) \cdot \color{Cerulean}{( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } {\color{black}{ (} 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) } &= \frac { x \cdot \color{Cerulean}{ ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 )} } { \color{black}{(} 2 x + 3 ) } \\ 3 x ( 2 x + 3 ) - 3 ( 4 x + 3 ) &= x ( 2 x - 3 ) \\ 6 x ^ { 2 } + 9 x - 12 x - 9 &= 2 x ^ { 2 } - 3 x \\ 6 x ^ { 2 } - 3 x - 9 &= 2 x ^ { 2 } - 3 x \\ 4 x ^ { 2 } - 9 &= 0 \\ ( 2 x + 3 ) ( 2 x - 3 ) &= 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 2 x + 3 & = 0 \quad\quad \text { or }& 2 x - 3& = 0 \\ 2 x & = - 3 &2 x& = 3 \\ x &= - \frac { 3 } { 2 } & x& = \frac { 3 } { 2 } \end{aligned}$

Ambos valores son restricciones de la ecuación original; de ahí que ambos sean extraños.

Respuesta:

Sin solución,$Ø$

Es importante señalar que esta técnica para borrar fracciones algebraicas sólo funciona para ecuaciones. No trates de borrar fracciones algebraicas al simplificar expresiones. Como recordatorio, a continuación se proporciona un ejemplo de cada uno.

Mesa$\PageIndex{3}$
Expresión	Ecuación
$\frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 }$	$\frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } =0$

Las expresiones deben simplificarse y las ecuaciones deben resolverse. Si multiplicamos la expresión por la LCD$x (2x + 1)$,, obtenemos otra expresión que no es equivalente.

Mesa$\PageIndex{4}$
Incorrecto	Corregir
$\begin{array} { l } { \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } } \\ { \neq \color{red}{x ( 2 x + 1 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } \right) } \\ { = 2 x + 1 + x ^ { 2 } } \color{red}{✗} \end{array}$	$\begin{aligned} \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } & = 0 \\ \color{Cerulean}{x(2x+1)} \color{black}{\cdot} ( \frac { 1 } { x } + \frac { x } { 2 x + 1 } ) & = \color{Cerulean}{x ( 2 x + 1 )} \color{black}{\cdot}0 \\ 2 x + 1 + x ^ { 2 } & = 0 \\ x ^ { 2 } + 2 x + 1 & = 0 \color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$

Las ecuaciones racionales a veces se expresan usando exponentes negativos.

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Resolver:$6+x^{−1}=x^{−2}$.

Solución^:

Comience por eliminar los exponentes negativos.

$\begin{aligned} 6 + x ^ { - 1 } & = x ^ { - 2 } \\ 6 + \frac { 1 } { x } & = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \end{aligned}$

Aquí podemos ver la restricción,$x≠0$. A continuación, multiplicar ambos lados por la pantalla LCD,$x^{2}$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{x ^ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \left( 6 + \frac { 1 } { x } \right) & =\color{Cerulean}{ x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \right) \\ \color{Cerulean}{x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} 6 + \color{Cerulean}{x ^ { 2} } \color{black}{\cdot} \frac { 1 } { x } & =\color{Cerulean}{ x ^ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { x ^ { 2 } } \\ 6 x ^ { 2 } + x & = 1 \\ 6 x ^ { 2 } + x - 1 & = 0 \\ ( 3 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) & = 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} 3 x - 1 &= 0 \quad\quad \text { or } & 2 x + 1 &= 0 \\ 3 x &= 1 & 2 x & = - 1 \\ x &= \frac { 1 } { 3 } &x &= - \frac { 1 } { 2 } \end{aligned}$

Respuesta:

$−\frac{1}{2}, \frac{1}{3}$

Una proporción ³⁵ es una declaración de igualdad de dos proporciones.

$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

Esta proporción a menudo se lee “$a$es$b$ como$c$ es a”$d$. Dado cualquier número real distinto de cero$a, b, c$, y$d$ que satisfaga una proporción, multiplique ambos lados por el producto de los denominadores para obtener lo siguiente:

$\begin{aligned} \frac { a } { b } & = \frac { c } { d } \\ \color{Cerulean}{b d}\color{black}{ \cdot} \frac { a } { b } & = \color{Cerulean}{b d}\color{black}{ \cdot} \frac { c } { d } \\ a d & = b c \end{aligned}$

Esto muestra que los productos cruzados son iguales, y comúnmente se conoce como multiplicación cruzada ³⁶.

Si$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ entonces$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$

Multiplicar cruz para resolver proporciones donde se desconocen términos.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Resolver:$\frac { 5 n - 1 } { 5 } = \frac { 3 n } { 2 }$.

Solución

Al multiplicar en cruz, asegúrese de agrupar$5n−1$.

$( 5 n - 1 ) \cdot 2 = 5 \cdot 3 n$

Aplicar la propiedad distributiva en el siguiente paso.

$\begin{aligned} ( 5 n - 1 ) \cdot 2 & = 5 \cdot 3 n \\ 10 n - 2 & = 15 n \quad \color{Cerulean} { Distribute. } \\ - 2 & = 5 n \quad\:\:\color{Cerulean}{Solve.} \\ \frac { - 2 } { 5 } & = n \end{aligned}$

Respuesta:

$n=−\frac{2}{5}$

La multiplicación cruzada se puede utilizar como método alternativo para resolver ecuaciones racionales. La idea es simplificar cada lado de la ecuación a una sola fracción algebraica y luego cruzar multiplicar.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Resolver:$\frac { 1 } { 2 } - \frac { 4 } { x } = - \frac { x } { 8 }$.

Solución

Obtener una sola fracción algebraica del lado izquierdo restando las fracciones equivalentes con un denominador común.

$\begin{aligned} \frac { 1 } { 2 } \cdot \color{Cerulean}{\frac { x } { x }}\color{black}{ -} \frac { 4 } { x } \cdot \color{Cerulean}{\frac { 2 } { 2 }} & \color{black}{=} - \frac { x } { 8 } \\ \frac { x } { 2 x } - \frac { 8 } { 2 x } & = - \frac { x } { 8 } \\ \frac { x - 8 } { 2 x } & = - \frac { x } { 8 } \end{aligned}$

Tenga en cuenta que$x≠0$, cruzar multiplicar, y luego resolver para$x$.

$\begin{aligned} \frac { x - 8 } { 2 x } & = \frac { - x } { 8 } \\ 8 ( x - 8 ) & = - x \cdot 2 x \\ 8 x - 64 & = - 2 x ^ { 2 } \\ 2 x ^ { 2 } + 8 x - 64 & = 0 \\ 2 \left( x ^ { 2 } + 4 x - 32 \right) & = 0 \\ 2 ( x - 4 ) ( x + 8 ) & = 0 \end{aligned}$

A continuación, establezca cada factor variable igual a cero.

$\begin{aligned} x - 4 & = 0 \quad\quad\text { or } &x + 8 &= 0 \\ x & = 4 \quad &x &= - 8 \end{aligned}$

El cheque se deja al lector.

Respuesta:

$−8, 4$

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Resolver:$\frac { 2 ( 2 x - 5 ) } { x - 1 } = - \frac { x - 4 } { 2 x - 5 }$.

Contestar

Respuesta:$2, 3$

www.youtube.com/V/KyzJWK_DXHC

Resolver ecuaciones literales y aplicaciones que involucran reciprocales

Las ecuaciones literales, o fórmulas, suelen ser ecuaciones racionales. De ahí que las técnicas descritas en esta sección puedan ser utilizadas para resolver variables particulares. Supongamos que todas las expresiones variables en el denominador son distintas de cero.

Ejemplo$\PageIndex{9}$:

El recíproco de la resistencia combinada$R$ de dos resistencias$R_{1}$ y$R_{2}$ en paralelo viene dado por la fórmula$\frac{1}{R}=\frac{1}{R_{1}}+\frac{1}{R_{2}}$. Resolver para$R$ en términos de$R_{1}$ y$R_{2}$.

Solución

El objetivo es aislar$R$ en un lado de la ecuación. Comience multiplicando ambos lados de la ecuación por la LCD,$RR_{1}R_{2}$.

$\begin{aligned} \color{Cerulean}{R R _ { 1 } R _ { 2 }}\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R } &= \color{Cerulean}{R R _ { 1 } R _ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R _ { 1 } } +\color{Cerulean}{ R R _ { 1 } R _ { 2} }\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { R _ { 2 } } \\ R _ { 1 } R _ { 2 } & = R R _ { 2 } + R R _ { 1 } \\ R _ { 1 } R _ { 2 } &= R \left( R _ { 2 } + R _ { 1 } \right) \\ \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } } { R _ { 2 } + R _ { 1 } } & = R \end{aligned}$

Respuesta:

$R = \frac { R _ { 1 } R _ { 2 } } { R _ { 1 } + R _ { 2 } }$

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Resolver para$y : x = \frac { 2 y + 5 } { y - 3 }$

Contestar

$y = \frac { 3 x + 5 } { x - 2 }$

www.youtube.com/v/yssxyxgzbva

Recordemos que el recíproco de un número distinto de cero$n$ es$\frac{1}{n}$. Por ejemplo, el recíproco de$5$ es$\frac{1}{5}$ y$5⋅\frac{1}{5}=1$. En esta sección, las aplicaciones a menudo involucrarán la palabra clave “recíproco”. Cuando este es el caso, veremos que la configuración algebraica da como resultado una ecuación racional.

Ejemplo$\PageIndex{10}$:

Un entero positivo es$3$ menor que otro. Si el recíproco del entero más pequeño se resta del doble del recíproco del mayor, entonces el resultado es$\frac{1}{20}$. Encuentra los dos enteros.

Solución

Let$n$ representar el entero positivo más grande.

Let$n − 3$ representa el entero positivo más pequeño.

Establecer una ecuación algebraica.

Resuelve esta expresión racional multiplicando ambos lados por la LCD. El LCD es$20n(n−3)$.

$\begin{aligned} \frac { 2 } { n } - \frac { 1 } { n - 3 } &= \frac { 1 } { 20 } \\ \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 2 } { n } - \frac { 1 } { n - 3 } \right) &= \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 20 } \right) \\ \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 2 } { n } - \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \frac { 1 } { n - 3 } &= \color{Cerulean}{20 n ( n - 3 )}\color{black}{ \cdot} \left( \frac { 1 } { 20 } \right) \\ 40(n-3) - 20n &= n(n-3) \\40n - 120 -20n &=n^{2}-3n\\20n-120&=n^{2}-3n \\0 &= n^{2}-23n+120\\0&=(n-8)(n-15) \end{aligned}$

$\begin{aligned} n - 8 & = 0 \quad\quad\text { or } & n - 15 &= 0 \\ n & = 8 \quad& n &= 15 \end{aligned}$

Aquí tenemos dos posibilidades viables para el entero más grande$n$. Por ello, vamos a tener dos soluciones a este problema.

Si$n=8$, entonces$n−3=8−3=5$.

Si$n=15$, entonces$n−3=15−3=12$.

A modo de comprobación, realizar las operaciones indicadas en el problema.

$2 \left( \frac { 1 } { n } \right) - \frac { 1 } { n - 3 } = \frac { 1 } { 20 }$

Comprobar$8$ y$5$	Comprobar$15$ y$12$
\ (8\) y$5$ “>$\begin{aligned} 2 \left( \frac { 1 } { \color{Cerulean}{8} } \right)\color{black}{ -} \frac { 1 } { \color{Cerulean}{5} } & \color{black}{=} \frac { 1 } { 4 } - \frac { 1 } { 5 } \\ & = \frac { 5 } { 20 } - \frac { 4 } { 20 } \\ & = \frac { 1 } { 20 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$	\ (15\) y$12$ “>$\begin{aligned} 2 \left( \frac { 1 } { \color{Cerulean}{15} } \right) \color{black}{-} \frac { 1 } { \color{Cerulean}{12} } & \color{black}{=} \frac { 2 } { 15 } - \frac { 1 } { 12 } \\ & = \frac { 8 } { 60 } - \frac { 5 } { 60 } \\ & = \frac { 3 } { 60 } = \frac { 1 } { 20 } \:\:\color{Cerulean}{✓}\end{aligned}$

Respuesta:

Dos conjuntos de enteros positivos resuelven este problema:$\{ 5,8 \}$ y$\{ 12,15 \}$.

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Cuando el recíproco del mayor de dos enteros pares consecutivos se resta de$4$ veces el recíproco del menor, el resultado es$\frac{5}{6}$. Encuentra los enteros.

Contestar

$4, 6$

www.youtube.com/v/z1t5vin8yci

Claves para llevar

Comience a resolver ecuaciones racionales multiplicando ambos lados por la LCD. La ecuación equivalente resultante se puede resolver utilizando las técnicas aprendidas hasta este punto.
Multiplicar ambos lados de una ecuación racional por una expresión variable introduce la posibilidad de soluciones extrañas. Por lo tanto, debemos verificar las soluciones contra el conjunto de restricciones. Si una solución es una restricción, entonces no forma parte del dominio y es extraña.
Al multiplicar ambos lados de una ecuación por una expresión, distribuir cuidadosamente y multiplicar cada término por esa expresión.
Si todas las soluciones resultantes son extrañas, entonces la ecuación original no tiene soluciones.

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Resolver

$\frac { 3 } { x } + 2 = \frac { 1 } { 3 x }$
$5 - \frac { 1 } { 2 x } = - \frac { 1 } { x }$
$\frac { 7 } { x ^ { 2 } } + \frac { 3 } { 2 x } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
$\frac { 4 } { 3 x ^ { 2 } } + \frac { 1 } { 2 x } = \frac { 1 } { 3 x ^ { 2 } }$
$\frac { 1 } { 6 } + \frac { 2 } { 3 x } = \frac { 7 } { 2 x ^ { 2 } }$
$\frac { 1 } { 12 } - \frac { 1 } { 3 x } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$
$2 + \frac { 3 } { x } + \frac { 7 } { x ( x - 3 ) } = 0$
$\frac { 20 } { x } - \frac { x + 44 } { x ( x + 2 ) } = 3$
$\frac { 2 x } { 2 x - 3 } + \frac { 4 } { x } = \frac { x - 18 } { x ( 2 x - 3 ) }$
$\frac { 2 x } { x - 5 } + \frac { 2 ( 4 x + 7 ) } { x ( x - 5 ) } = - \frac { 1 } { x }$
$\frac { 4 } { 4 x - 1 } - \frac { 1 } { x - 1 } = \frac { 2 } { 4 x - 1 }$
$\frac { 5 } { 2 x - 3 } - \frac { 1 } { x + 3 } = \frac { 2 } { 2 x - 3 }$
$\frac { 4 x } { x - 3 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 2 x - 3 } = - \frac { 1 } { x + 1 }$
$\frac { 2 x } { x - 2 } - \frac { 15 } { x + 4 } = \frac { 24 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 }$
$\frac { x } { x - 8 } - \frac { 8 } { x - 1 } = \frac { 56 } { x ^ { 2 } - 9 x + 8 }$
$\frac { 2 x } { x - 1 } + \frac { 9 } { 3 x - 1 } + \frac { 11 } { 3 x ^ { 2 } - 4 x + 1 } = 0$
$\frac { 3 x } { x - 2 } - \frac { 14 } { 2 x ^ { 2 } - x - 6 } = \frac { 2 } { 2 x + 3 }$
$\frac { x } { x - 4 } - \frac { 4 } { x - 5 } = - \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 9 x + 20 }$
$\frac { 2 x } { 5 + x } - \frac { 1 } { 5 - x } = \frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 25 }$
$\frac { 2 x } { 2 x + 3 } - \frac { 1 } { 2 x - 3 } = \frac { 6 } { 9 - 4 x ^ { 2 } }$
$1 + \frac { 1 } { x + 1 } = \frac { 8 } { x - 1 } - \frac { 16 } { x ^ { 2 } - 1 }$
$1 - \frac { 1 } { 3 x + 5 } = \frac { 2 x } { 3 x - 5 } - \frac { 2 ( 6 x + 5 ) } { 9 x ^ { 2 } - 25 }$
$\frac { x } { x - 2 } - \frac { 3 } { x + 8 } = \frac { x + 2 } { x + 8 } + \frac { 5 ( x + 3 ) } { x ^ { 2 } + 6 x - 16 }$
$\frac { 2 x } { x - 10 } + \frac { 1 } { x - 3 } = \frac { x + 3 } { x - 10 } + \frac { x ^ { 2 } - 5 x + 5 } { x ^ { 2 } - 13 x + 30 }$
$\frac { 5 } { x ^ { 2 } + 9 x + 18 } + \frac { x + 3 } { x ^ { 2 } + 7 x + 6 } = \frac { 5 } { x ^ { 2 } + 4 x + 3 }$
$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + 4 x - 60 } + \frac { x - 6 } { x ^ { 2 } + 16 x + 60 } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 36 }$
$\frac { 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 21 } + \frac { 2 ( x + 3 ) } { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } = \frac { x + 7 } { x ^ { 2 } + 2 x - 3 }$
$\frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 11 x + 28 } + \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } - 8 x + 7 }$
$\frac { 5 } { x ^ { 2 } + 5 x + 4 } + \frac { x + 1 } { x ^ { 2 } + 3 x - 4 } = \frac { 5 } { x ^ { 2 } - 1 }$
$\frac { 1 } { x ^ { 2 } - 2 x - 63 } + \frac { x - 9 } { x ^ { 2 } + 10 x + 21 } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } - 6 x - 27 }$
$\frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { 2 ( x - 2 ) } { x ^ { 2 } - 4 x - 12 } = \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 8 x + 12 }$
$\frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 5 x + 4 } + \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } = \frac { x - 1 } { x ^ { 2 } - 2 x - 8 }$

Contestar

1. $−\frac{4}{3}$

3. $−4$

5. $−7, 3$

7. $−\frac{1}{2} , 2$

9. $−2, −\frac{3}{2}$

11. $−\frac{1}{2}$

13. $−\frac{1}{4}$

15. $Ø$

17. $−2, \frac{5}{6}$

19. $\frac{1}{2}$

21. $6$

23. $Ø$

25. $−8, 2$

27. $5$

29. $−6, 4$

31. $10$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Resuelve las siguientes ecuaciones que involucran exponentes negativos.

$2 x ^ { - 1 } = 2 x ^ { - 2 } - x ^ { - 1 }$
$3 + x ( x + 1 ) ^ { - 1 } = 2 ( x + 1 ) ^ { - 1 }$
$x ^ { - 2 } - 64 = 0$
$1 - 4 x ^ { - 2 } = 0$
$x - ( x + 2 ) ^ { - 1 } = - 2$
$2 x - 9 ( 2 x - 1 ) ^ { - 1 } = 1$
$2 x ^ { - 2 } + ( x - 12 ) ^ { - 1 } = 0$
$- 2 x ^ { - 2 } + 3 ( x + 4 ) ^ { - 1 } = 0$

Contestar

1. $\frac{2}{3}$

3. $\pm \frac { 1 } { 8 }$

5. $- 3 , - 1$

7. $- 6,4$

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Resuelve multiplicando cruzadamente.

$\frac { 5 } { n } = - \frac { 3 } { n - 2 }$
$\frac { 2 n - 1 } { 2 n } = - \frac { 1 } { 2 }$
$- 3 = \frac { 5 n + 2 } { 3 n }$
$\frac { n + 1 } { 2 n - 1 } = \frac { 1 } { 3 }$
$\frac { x + 2 } { x - 5 } = \frac { x + 4 } { x - 2 }$
$\frac { x + 1 } { x + 5 } = \frac { x - 5 } { x }$
$\frac { 2 x + 1 } { 6 x - 1 } = \frac { x + 5 } { 3 x - 2 }$
$\frac { 6 ( 2 x + 3 ) } { 4 x - 1 } = \frac { 3 x } { x + 2 }$
$\frac { 3 ( x + 1 ) } { 1 - x } = \frac { x + 3 } { x + 1 }$
$\frac { 8 ( x - 2 ) } { x + 1 } = \frac { 5 - x } { x - 2 }$
$\frac { x + 3 } { x + 7 } = \frac { x + 3 } { 3 ( 5 - x ) }$
$\frac { x + 1 } { x + 4 } = \frac { - 8 ( x + 4 ) } { x + 7 }$

Contestar

1. $\frac{5}{4}$

3. $-\frac{1}{7}$

5. $-16$

7. $\frac{1}{10}$

9. $-2,0$

11. $-3,2$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Simplificar o resolver, lo que sea apropiado.

$\frac { 1 } { x } + \frac { 2 } { x - 3 } = - \frac { 2 } { 3 }$
$\frac { 1 } { x - 3 } - \frac { 3 } { 4 } = \frac { 1 } { x }$
$\frac { x - 2 } { 3 x - 1 } - \frac { 2 - x } { x }$
$\frac { 5 } { 2 } + \frac { x } { 2 x - 1 } - \frac { 1 } { 2 x }$
$\frac { x - 1 } { 3 x } + \frac { 2 } { x + 1 } - \frac { 5 } { 6 }$
$\frac { x - 1 } { 3 x } + \frac { 2 } { x + 1 } = \frac { 5 } { 6 }$
$\frac { 2 x + 1 } { 2 x - 3 } + 2 = \frac { 1 } { 2 x }$
$5 - \frac { 3 x + 1 } { 2 x } + \frac { 1 } { x + 1 }$

Contestar

1. Resolver;$- 3 , \frac { 3 } { 2 }$

3. Simplificar;$\frac { ( 4 x - 1 ) ( x - 2 ) } { x ( 3 x - 1 ) }$

5. Simplificar;$- \frac { ( x - 2 ) ( 3 x - 1 ) } { 6 x ( x + 1 ) }$

7. Resolver;$\frac{1}{2}$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Encuentra las raíces de la función dada.

$f ( x ) = \frac { 2 x - 1 } { x - 1 }$
$f ( x ) = \frac { 3 x + 1 } { x + 2 }$
$g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 81 } { x ^ { 2 } - 5 x }$
$g ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - x - 20 } { x ^ { 2 } - 9 }$
$f ( x ) = \frac { 4 x ^ { 2 } - 9 } { 2 x - 3 }$
$f ( x ) = \frac { 3 x ^ { 2 } - 2 x - 1 } { x ^ { 2 } - 1 }$
Dado$f ( x ) = \frac { 1 } { x } + 5$, encuentra$x$ cuándo$f(x)=2$.
Dado$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 4 }$, encuentra$x$ cuándo$f ( x ) = \frac { 1 } { 2 }$.
Dado$f ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } + 2$, encuentra$x$ cuándo$f(x)=1$.
Dado$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } + 5$, encuentra$x$ cuándo$f(x)=3$.

Contestar

1. $\frac{1}{2}$

3. $\pm 9$

5. $-\frac{3}{2}$

7. $x=-\frac{1}{3}$

9. $x=-4$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Encuentra las$x$ - y$y$ -intercepciones.

$f ( x ) = \frac { 1 } { x + 1 } + 4$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } - 6$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 3 } + 2$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x + 1 } - 1$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x } - 3$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x + 5 }$

Contestar

1. Intercepción x:$(−\frac{5}{4} , 0)$; intercepción y:$(0, 5)$

3. Intercepción x:$(\frac{5}{2} , 0)$; intercepción y:$(0, \frac{5}{3})$

5. Intercepción x:$(\frac{1}{3} , 0)$; intercepción y: ninguna

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Encuentra los puntos donde coinciden las funciones dadas. (Pista: Encuentra los puntos donde$f ( x ) = g ( x )$.)

$f ( x ) = \frac { 1 } { x } , g ( x ) = x$
$f ( x ) = - \frac { 1 } { x } , g ( x ) = - x$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x - 2 } + 3 , g ( x ) = x + 1$
$f ( x ) = \frac { 1 } { x + 3 } - 1 , g ( x ) = x + 2$

Contestar

1. $(−1, −1)$y$(1, 1)$

3. $(1, 2)$y$(3, 4)$

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Recordemos que si$| X | = p$, entonces$X = - p$ o$X=p$. Utilice esto para resolver las siguientes ecuaciones de valores absolutos.

$\left| \frac { 1 } { x + 1 } \right| = 2$
$\left| \frac { 2 x } { x + 2 } \right| = 1$
$\left| \frac { 3 x - 2 } { x - 3 } \right| = 4$
$\left| \frac { 5 x - 3 } { 2 x + 1 } \right| = 3$
$\left| \frac { x ^ { 2 } } { 5 x + 6 } \right| = 1$
$\left| \frac { x ^ { 2 } - 48 } { x } \right| = 2$

Contestar

1. $−\frac{3}{2} , −\frac{1}{2}$

3. $2, 10$

5. $−3, −2, −1, 6$

Ejercicio$\PageIndex{13}$

Resolver para la variable dada.

Resolver para$P : w = \frac { P - 2 l } { 2 }$
Resolver para$A : t = \frac { A - P } { P r }$
Resolver para$t : \frac { 1 } { t _ { 1 } } + \frac { 1 } { t _ { 2 } } = \frac { 1 } { t }$
Resolver para$n : P = 1 + \frac { r } { n }$
Resolver para$y : m = \frac { y - y _ { 0 } } { x - x _ { 0 } }$
Resolver para$m _ { 1 } : F = G \frac { m _ { 1 } m _ { 2 } } { r ^ { 2 } }$
Resolver para$y : x = \frac { 2 y - 1 } { y - 1 }$
Resolver para$y : x = \frac { 3 y + 2 } { y + 3 }$
Resolver para$y : x = \frac { 2 y } { 2 y + 5 }$
Resolver para$y : x = \frac { 5 y + 1 } { 3 y }$
Resolver para$x : \frac { a } { x } + \frac { c } { b } = \frac { a } { c }$
Resolver para$y : \frac { a } { y } - \frac { 1 } { a } = b$

Contestar

1. $P = 2 l + 2 w$

3. $t = \frac { t _ { 1 } t _ { 2 } } { t _ { 1 } + t _ { 2 } }$

5. $y = m \left( x - x _ { 0 } \right) + y _ { 0 }$

7. $y = \frac { x - 1 } { x - 2 }$

9. $y = - \frac { 5 x } { 2 x - 2 }$

11. $x = \frac { a b c } { a b - c ^ { 2 } }$

Ejercicio$\PageIndex{14}$

Utilice álgebra para resolver las siguientes aplicaciones.

El valor en dólares de una computadora tableta viene dado por la función$V ( t ) = 460 ( t + 1 ) ^ { - 1 }$, donde$t$ representa la edad de la tableta. Determinar la edad de la tableta si ahora vale la pena$$100$.
El valor en dólares de un automóvil viene dado por la función$V ( t ) = 24,000 ( 0.5 t + 1 ) ^ { - 1 }$, donde$t$ representa la antigüedad del automóvil. Determina la edad del auto si ahora vale la pena$$6,000$.

Contestar: 1. $3.6$años

Ejercicio$\PageIndex{15}$

Resuelve por las incógnitas.

Cuando$2$ se suma a$5$ veces el recíproco de un número, el resultado es$12$. Encuentra el número.
Cuando$1$ se resta de$4$ veces el recíproco de un número, el resultado es$11$. Encuentra el número.
La suma de los recíprocos de dos enteros impares consecutivos es$\frac{12}{35}$. Encuentra los enteros.
La suma de los recíprocos de dos enteros pares consecutivos es$\frac{9}{40}$. Encuentra los enteros.
Un entero es$4$ más que otro. Si$2$ veces el recíproco de lo mayor se resta de$3$ veces el recíproco de lo más pequeño, entonces el resultado es$\frac{1}{8}$. Encuentra los enteros.
Un entero es$2$ más de dos veces otro. Si$2$ veces el recíproco de lo mayor se resta de$3$ veces el recíproco de lo más pequeño, entonces el resultado es$\frac{5}{14}$. Encuentra los enteros.
Si$3$ veces el recíproco del mayor de dos enteros consecutivos se resta de$2$ veces el recíproco del menor, entonces el resultado es$\frac{1}{2}$. Encuentra los dos enteros.
Si$3$ veces el recíproco del menor de dos enteros consecutivos se resta de$7$ veces el recíproco del mayor, entonces el resultado es$\frac{1}{2}$. Encuentra los dos enteros.
Un entero positivo es$5$ menor que otro. Si el recíproco del entero más pequeño se resta de$3$ veces el recíproco del mayor, entonces el resultado es$\frac{1}{12}$. Encuentra los dos enteros.
Un entero positivo es$6$ menor que otro. Si el recíproco del entero más pequeño se resta de$10$ veces el recíproco del mayor, entonces el resultado es$\frac{3}{7}$. Encuentra los dos enteros.

Contestar

1. $\frac{1}{2}$

3. $5,7$

5. $\{ - 8 , - 4 \} \text { and } \{ 12,16 \}$

7. $\{ 1,2 \} \text { or } \{ - 4 , - 3 \}$

9. $\{ 4,9 \} \text { or } \{ 15,20 \}$

Ejercicio$\PageIndex{16}$

Explicar cómo podemos distinguir entre una expresión racional y una ecuación racional. ¿Cómo los tratamos de manera diferente? Dar un ejemplo de cada uno.
Investigar y discutir las razones por las que multiplicar ambos lados de una ecuación racional por la LCD a veces produce soluciones extrañas.

Contestar: 1. La respuesta puede variar

Notas al pie

³³ Una ecuación que contiene al menos una expresión racional.

³⁴ Una solución que no resuelve la ecuación original.

³⁵ Una declaración de igualdad de dos proporciones.

³⁶ Si$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ entonces$ad = bc$.

Cheque\(x=-\frac{1}{2}\)	Cheque\(x=5\)
\ (x=-\ frac {1} {2}\) ">\(\begin{aligned} \frac { 2 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2 }} \right) } { \left( 3 \left(\color{Cerulean}{ - \frac { 1 } { 2 }} \right) \color{black}{+} 1 \right) } & = \frac { 1 } { \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) - 5 \right) } - \frac { 4 \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2 }} \right) \color{black}{-} 1 \right) } { \left( 3 \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) \color{black}{+} 1 \right) \left( \left( \color{Cerulean}{- \frac { 1 } { 2} } \right) - 5 \right) } \\ \frac { - 1 } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) } & = \frac { 1 } { \left( - \frac { 11 } { 2 } \right) } - \frac { 4 \left( - \frac { 3 } { 2 } \right) } { \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) \left( - \frac { 11 } { 2 } \right) } \\ 2 & = -\frac{2}{11} - \frac{-6}{\left(\frac{11}{4} \right)} \\ 2 & = - \frac { 2 } { 11 } + \frac { 24 } { 11 } \\ 2 & = \frac { 22 } { 11 } \\ 2 & = 2 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}\)	\ (x=5\) ">\(\begin{aligned} \frac { 2 \left( \color{Cerulean}{ 5} \right) } { \left( 3 \left(\color{Cerulean}{ 5} \right) \color{black}{+} 1 \right) } & = \frac { 1 } { \left( \left( \color{Cerulean}{5 } \right) - 5 \right) } - \frac { 4 \left( \left( \color{Cerulean}{ 5} \right) \color{black}{-} 1 \right) } { \left( 3 \left( \color{Cerulean}{5 } \right) \color{black}{+} 1 \right) \left( \left( \color{Cerulean}{ 5 } \right) - 5 \right) } \\ \frac{10}{16} & = \frac{1}{0} - \frac{16}{0} \end{aligned}\)
\ (x=-\ frac {1} {2}\) ">	\ (x=5\) ">\(\color{Cerulean}{Undefined}\)