6.4: Funciones cuadráticas y sus gráficas

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 109903

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Objetivos de aprendizaje

Grafica una parábola.
Encuentra las intercepciones y el vértice de una parábola.
Encuentra el$y$ valor máximo y mínimo.
Encuentra el vértice de una parábola completando el cuadrado.

La gráfica de una función cuadrática

Una función cuadrática es una función polinómica de grado$2$ que puede escribirse en la forma general,

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

Aquí$a, b$ y$c$ representan números reales donde$a ≠ 0$ .La función de cuadratura$f (x) = x^{2}$ es una función cuadrática cuya gráfica sigue.

Esta forma curva general se llama parábola ¹⁰ y es compartida por las gráficas de todas las funciones cuadráticas. Tenga en cuenta que la gráfica es de hecho una función ya que pasa la prueba de línea vertical. Además, el dominio de esta función consiste en el conjunto de todos los números reales$(−∞, ∞)$ y el rango consiste en el conjunto de números no negativos$[0, ∞)$.

Al graficar parábolas, queremos incluir ciertos puntos especiales en la gráfica. El$y$ -intercept es el punto donde la gráfica se cruza con el$y$ eje. Las$x$ -intercepciones son los puntos donde la gráfica cruza el$x$ eje -eje. El vértice ¹¹ es el punto que define el mínimo o máximo de la gráfica. Por último, la línea de simetría ¹² (también llamada eje de simetría ¹³) es la línea vertical a través del vértice, alrededor de la cual la parábola es simétrica.

Para cualquier parábola, encontraremos el vértice y$y$ -interceptar. Además, si existen las$x$ -intercepciones, entonces vamos a querer determinarlas también. Adivinar los$x$ -valores de estos puntos especiales no es práctico; por lo tanto, desarrollaremos técnicas que faciliten encontrarlos. Muchas de estas técnicas serán utilizadas ampliamente a medida que avancemos en nuestro estudio del álgebra.

Dada una función cuadrática$f (x) = ax^{2} + bx + c$, encuentra la$y$ -intercepción evaluando la función where$x = 0$. En general$f (0) = a(0)^{2} + b (0) + c = c$,, y tenemos

$\begin{array}{c}{\color{Cerulean}{y-intercept}} \\ {(0, c)}\end{array}$

A continuación, recordemos que las$x$ -intercepciones, si existen, se pueden encontrar configurando$f (x) = 0$. Haciendo esto, tenemos$a^{2} + bx + c = 0$, que tiene soluciones generales dadas por la fórmula cuadrática,$\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$\) .Por lo tanto, las$x$ -intercepciones tienen esta forma general:

$\color{Cerulean}{x-intercepts}$

$\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}, 0\right)$y$\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}, 0\right)$

Usando el hecho de que una parábola es simétrica, podemos determinar la línea vertical de simetría usando las$x$ -intercepciones. Para ello, encontramos el$x$ -valor a medio camino entre las$x$ -intercepciones tomando un promedio de la siguiente manera:

$\begin{aligned} x &=\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}+\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\right) \div 2 \\ &=\left(\frac{-b-\cancel{\sqrt{b^{2}-4 a c}}-b+\cancel{\sqrt{b^{2}-4 a c}}}{2 a}\right) \div\left(\frac{2}{1}\right) \\ &=\frac{-2 b}{2 a} \cdot \frac{1}{2} \\ &=-\frac{b}{2 a} \end{aligned}$

Por lo tanto, la línea de simetría es la línea vertical$x = −\frac{b}{2a}$. Podemos usar la línea de simetría para encontrar el vértice.

$\begin{array}{c}{\color{Cerulean} { Line\: of\: symmetry }} \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Vertex} \\ \quad\quad\quad{x=-\frac{b}{2 a} \quad\quad\quad\quad\left(-\frac{b}{2 a}, f\left(-\frac{b}{2 a}\right)\right)}\end{array}$

Generalmente tres puntos determinan una parábola. No obstante, en esta sección encontraremos cinco puntos para que podamos obtener una mejor aproximación de la forma general. Los pasos para graficar una parábola se describen en el siguiente ejemplo.

Ejemplo$\PageIndex{1}$:

Gráfica:$f(x)=-x^{2}-2 x+3$.

Solución

Paso 1: Determinar la$y$ -intercepción. Para ello, establece$x$ =0 y encuentra$f(0)$.

$\begin{aligned} f(x) &=-x^{2}-2 x+3 \\ f(0) &=-(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}+3 \\ &=3 \end{aligned}$

El$y$ -intercepto es$(0,3)$.

Paso 2: Determine las$x$ -intercepciones si las hubiera. Para ello, establecer$f(x)=0$ y resolver para$x$.

$\begin{aligned} f(x)&=-x^{2}-2 x+3 \quad\:\color{Cerulean}{ Set\: f(x)=0. }\\ 0&=-x^{2}-2 x+3 \quad\:\color{Cerulean} { Multiply\: both\: sides\: by\: -1.} \\ 0&=x^{2}+2 x-3 \quad\:\:\:\:\color{Cerulean} { Factor. } \\ 0&=(x+3)(x-1) \:\:\:\color{Cerulean} { Set\: each\: factor\: equal\: to\: zero. }\end{aligned}$

$\begin{array}{rl}{x+3=0} & {\text { or } x-1=0} \\ {x=-3} & \quad\quad\quad{x=1}\end{array}$

Aquí donde$f (x) = 0$, obtenemos dos soluciones. De ahí, hay dos$x$ -intercepciones,$(−3, 0)$ y$(1, 0)$.

Paso 3: Determinar el vértice. Una forma de hacerlo es primero usar$x = −\frac{b}{2a}$ para encontrar el$x$ -valor del vértice y luego sustituir este valor en la función para encontrar el$y$ valor -correspondiente. En este ejemplo,$a = −1$ y$b = −2$.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2}{-2} \\ &=-1 \end{aligned}$

Sustituya$−1$ en la función original para encontrar el$y$ valor -correspondiente.

$\begin{aligned} f(x) &=-x^{2}-2 x+3 \\ f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)} &=-(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}+3 \\ &=-1+2+3 \\ &=4 \end{aligned}$

El vértice es$(-1,4)$.

Paso 4: Determinar puntos extra para que tengamos al menos cinco puntos para trazar. Asegurar un buen muestreo a ambos lados de la línea de simetría. En este ejemplo bastará otro punto. Elija$x = −2$ y encuentre el$y$ -valor correspondiente.

Mesa$\PageIndex{1}$
$x$	$y$		Punto
\ (x\) ">$-2$	\ (y\) ">$3$	$f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}=-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}+3=-4+4+3=3$	$(-2,3)$

Nuestro quinto punto es$(−2, 3)$.

Paso 5: Trazar los puntos y bosquejar la gráfica. Para recapitular, los puntos que hemos encontrado son

$y$-interceptar:$(0,3)$

$x$-intercepta:$(-3,0)$ y$(1,0)$

Vértice:$(-1,4)$

Punto extra:$(-2,3)$

Respuesta:

La parábola se abre hacia abajo. En general, utilice el coeficiente principal para determinar si la parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Si el coeficiente inicial es negativo, como en el ejemplo anterior, entonces la parábola se abre hacia abajo. Si el coeficiente principal es positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba.

Todas las funciones cuadráticas de la forma$f(x)=a x^{2}+b x+c$ tienen gráficas parabólicas con$y$ -intercepción$(0, c)$. Sin embargo, no todas las parábolas tienen$x$ -intercepciones.

Ejemplo$\PageIndex{2}$:

Gráfica:$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$.

Solución

Debido a que el coeficiente principal$2$ es positivo, observamos que la parábola se abre hacia arriba. Aquí$c = 5$ y la$y$ -intercepción es$(0, 5)$. Para encontrar las$x$ -intercepciones, establecer$f (x) = 0$.

$\begin{aligned}f(x)=2 x^{2}+4 x+5 \\ 0=2 x^{2}+4 x+5\end{aligned}$

En este caso,$a = 2, b = 4$, y$c = 5$. Utilizar el discriminante para determinar el número y tipo de soluciones.

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(4)^{2}-4(2)(5) \\ &=16-40 \\ &=-24 \end{aligned}$

Dado que el discriminante es negativo, concluimos que no hay soluciones reales. Porque no hay soluciones reales, no hay$x$ -intercepciones. A continuación, determinamos el$x$ -valor del vértice.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}} \\ &=\frac{-4}{4} \\ &=-1 \end{aligned}$

Dado que el$x$ -valor del vértice es$−1$, sustituya$−1$ en la ecuación original para encontrar el$y$ -valor correspondiente.

$\begin{aligned} f(x) &=2 x^{2}+4 x+5 \\ f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)} &=2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}+5 \\ &=2-4+5 \\ &=3 \end{aligned}$

El vértice es$(−1, 3)$. Hasta el momento, sólo tenemos dos puntos. Para determinar tres más, elija algunos$x$ -valores a cada lado de la línea de simetría,$x = −1$. Aquí elegimos$x$ -valores$−3, −2$, y$1$.

Mesa$\PageIndex{2}$
$x$	$y$		Puntos
\ (x\) ">$-3$	\ (y\) ">$11$	$f(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}+5=18-12+5=11$	$(-3,11)$
\ (x\) ">$-2$	\ (y\) ">$5$	$f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}+5=8-8+5=5$	$(-2,5)$
\ (x\) ">$1$	\ (y\) ">$11$	$f(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}+5=2+4+5=11$	$(1,11)$

Para resumir, tenemos

$y$-interceptar:$(0,5)$

$x$-intercepta: Ninguno

Vértice:$(-1,3)$

Puntos extra:$(-3,11), (-2,5), (1,11)$

Trazar los puntos y bosquejar la gráfica.

Respuesta:

Ejemplo$\PageIndex{3}$:

Gráfica:$f(x)=x^{2}-2 x-1$.

Solución

Ya que$a = 1$, la parábola se abre hacia arriba. Además$c = −1$, así lo es la$y$ -intercepción$(0, −1)$. Para encontrar las$x$ -intercepciones, establecer$f (x) = 0$.

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-2 x-1 \\ 0 &=x^{2}-2 x-1 \end{aligned}$

En este caso, resolver usando la fórmula cuadrática con$a = 1, b = −2$, y$c = −1$.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{2(1\pm\sqrt{2})}{2} \\ &=1 \pm \sqrt{2} \end{aligned}$

Aquí obtenemos dos soluciones reales para$x$, y así hay dos$x$ -intercepciones:

$\begin{array}{c}{(1-\sqrt{2}, 0) \text { and }(1+\sqrt{2}, 0)} \quad\color{Cerulean}{Exact\:values} \\ \quad\quad\quad\quad{(-0.41,0) \quad\quad(2.41,0)}\quad\quad\color{Cerulean}{Approximate\:values}\end{array}$

Aproximar las$x$ -intercepciones usando una calculadora nos ayudará a trazar los puntos. No obstante, presentaremos las$x$ intercepciones exactas en la gráfica. A continuación, encuentra el vértice.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2}{2} \\ &=1 \end{aligned}$

Dado que el$x$ -valor del vértice es$1$, sustituya en la ecuación original para encontrar el$y$ -valor correspondiente.

$\begin{aligned} y &=x^{2}-2 x-1 \\ &=(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}-1 \\ &=1-2-1 \\ &=-2 \end{aligned}$

El vértice es$(1,-2)$. Necesitamos un punto más.

Mesa$\PageIndex{3}$
$x$	$y$		Punto
\ (x\) ">$2$	\ (y\) ">$-1$	$f(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}=(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}-1=4-4-1=-1$	$(2,-1)$

Para resumir, tenemos

$y$-intercepta:$(0,1)$

$x$-intercepta:$(1-\sqrt{2}, 0)$ y$(1+\sqrt{2}, 0)$

Vértice:$(1,-2)$

Punto extra:$(2,-1)$

Trazar los puntos y bosquejar la gráfica.

Respuesta:

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Gráfica:$g(x)=-4 x^{2}+12 x-9$.

Contestar: Figura$\PageIndex{7}$

www.youtube.com/V/TQIDXNHN7IK

Encontrar el Máximo o Mínimo

A menudo es útil encontrar los valores máximos y/o mínimos de funciones que modelan aplicaciones de la vida real. Para encontrar estos valores importantes dados una función cuadrática, usamos el vértice. Si el coeficiente inicial$a$ es positivo, entonces la parábola se abre hacia arriba y habrá un$y$ valor mínimo. Si el coeficiente inicial$a$ es negativo, entonces la parábola se abre hacia abajo y habrá un$y$ valor máximo.

Ejemplo$\PageIndex{4}$:

Determinar el máximo o mínimo:$y=-4 x^{2}+24 x-35$.

Solución

Ya que$a = −4$, sabemos que la parábola se abre hacia abajo y habrá un$y$ valor máximo. Para encontrarlo, primero encuentra el$x$ -valor del vértice.

$\begin{aligned} x &=-\frac{b}{2 a} \quad\:\:\:\quad\color{Cerulean}{x-value\:of\:the\:vertex.} \\ &=-\frac{\color{OliveGreen}{24}}{\color{black}{2}(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)}} \quad\color{Cerulean}{Substitute\:a=-4\:and\:b-24.} \\ &=-\frac{24}{-8} \quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.}\\ &=3 \end{aligned}$

El$x$ -valor del vértice es$3$. Sustituya este valor en la ecuación original para encontrar el$y$ valor -correspondiente.

$\begin{aligned} y &=-4 x^{2}+24 x-35\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Substitute\:x=3.} \\ &=-4(3)^{2}+24(3)-35\quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=-36+72-35 \\ &=1 \end{aligned}$

El vértice es$(3, 1)$. Por lo tanto, el$y$ valor máximo es$1$, que ocurre donde$x = 3$, como se ilustra a continuación:

Nota: No se requiere la gráfica para responder a esta pregunta.

Respuesta:

El máximo es$1$.

Ejemplo$\PageIndex{5}$:

Determinar el máximo o mínimo:$y=4 x^{2}-32 x+62$.

Solución

Ya que$a = 4$, la parábola se abre hacia arriba y hay un$y$ valor mínimo. Comience por encontrar el$x$ -valor del vértice.

$\begin{aligned} x &=-\frac{b}{2 a} \\ &=-\frac{\color{OliveGreen}{-32}}{\color{black}{2}(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}} \quad\color{Cerulean}{Substitute\:a=4\:and\:b=-32.}\\ &=-\frac{-32}{8}\:\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=4 \end{aligned}$

Sustituya$x = 4$ en la ecuación original para encontrar el$y$ valor -correspondiente.

$\begin{aligned} y &=4 x^{2}-32 x+62 \\ &=4(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}^{2}-32(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}+62 \\ &=64-128+62 \\ &=-2 \end{aligned}$

El vértice es$(4, −2)$. Por lo tanto, el$y$ valor mínimo de$−2$ ocurre donde$x = 4$, como se ilustra a continuación:

Respuesta:

El mínimo es$-2$.

Ejemplo$\PageIndex{6}$:

La altura en pies de un proyectil viene dada por la función$h(t)=-16 t^{2}+72 t$, donde$t$ representa el tiempo en segundos después del lanzamiento. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el proyectil?

Solución

Aquí$a = −16$, y la parábola se abre hacia abajo. Por lo tanto, el$y$ -valor del vértice determina la altura máxima. Comience por encontrar el momento en que se produce el vértice.

$t=-\frac{b}{2 a}=-\frac{72}{2(-16)}=\frac{72}{32}=\frac{9}{4}$

La altura máxima ocurrirá en$\frac{9}{4}$ segundos (o$2 \frac{1}{4}$ segundos). Sustituya este tiempo en la función para determinar la altura máxima alcanzada.

$\begin{aligned} h\color{black}{\left(\color{OliveGreen}{\frac{9}{4}}\right)} &=-16\color{black}{\left(\color{OliveGreen}{\frac{9}{4}}\right)^{2}}+72\color{black}{\left(\color{OliveGreen}{\frac{9}{4}}\right)} \\ &=-16\left(\frac{81}{16}\right)+72\left(\frac{9}{4}\right) \\ &=-81+162 \\ &=81 \end{aligned}$

Respuesta:

La altura máxima del proyectil es$81$ pies.

Encontrar el vértice completando el cuadrado

En esta sección, demostramos un enfoque alternativo para encontrar el vértice. Cualquier función cuadrática se$f (x) = ax^{2} + bx + c$ puede reescribir en forma de vértice ¹⁴,

$f(x)=a(x-h)^{2}+k$

En esta forma, el vértice es$(h, k)$. Para ver que este es el caso, considere graficar$f (x) = (x − 2)^{2} + 3$ usando las transformaciones.

$\begin{array}{l}{y=x^{2}}\quad\quad\quad\quad\:\quad\color{Cerulean}{Basic\:squaring\:function} \\ {y=(x-2)^{2}}\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Horizontal\:shift\:right\:2\:units} \\ {y=(x-2)^{2}+3}\quad\color{Cerulean}{Vertical\:shift\:up\:3\:units}\end{array}$

Usa estas traducciones para bosquejar la gráfica,

Aquí podemos ver que el vértice es$(2, 3)$.

$\begin{array}{c}{f(x)=a(x-h)^{2}+k}\\ \color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\quad\downarrow\:\:\:\quad\downarrow} \\ {f(x)=(x-2)^{2}\:+3}\end{array}$

Cuando la ecuación está en esta forma, podemos leer el vértice directamente de ella.

Ejemplo$\PageIndex{7}$:

Determinar el vértice:$f(x)=2(x+3)^{2}-2$.

Solución

Reescriba la ecuación de la siguiente manera antes de determinar$h$ y$k$.

$\begin{array}{c}{f(x)=\:\:\:a\:(\:x\:-\:h\:)^{2}\:\:+\:\:k} \\ \color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\:\downarrow\quad\quad\:\:\downarrow} \\{f(x)=2[x-(-3)]^{2}+(-2)}\end{array}$

Aquí$h=-3$ y$k=-2$.

Respuesta:

El vértice es$(-3,-2)$.

A menudo la ecuación no se da en forma de vértice. Para obtener este formulario, complete el cuadrado.

Ejemplo$\PageIndex{8}$:

Reescribe en forma de vértice y determina el vértice:$f(x)=x^{2}+4 x+9$.

Solución

Comience por dejar espacio para el término constante que completa la plaza.

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}+4 x+9 \\ &=x^{2}+4 x+\_\_\_+9-\_\_\_\end{aligned}$

La idea es sumar y restar el valor que completa el cuadrado,$\left(\frac{b}{2}\right)^{2}$, y luego factorial. En este caso, sumar y restar$\left(\frac{4}{2}\right)^{2}=(2)^{2}=4$.

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}+4 x+9\quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Add\:and\:subtract\:4.} \\ &=x^{2}+4 x\color{Cerulean}{+4}\color{black}{+}9\color{Cerulean}{-4}\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=\left(x^{2}+4 x+4\right)+5 \\ &=(x+3)(x+2)+5 \\ &=(x+2)^{2}+5 \end{aligned}$

Sumar y restar el mismo valor dentro de una expresión no lo cambia. Hacerlo equivale a sumar$0$. Una vez que la ecuación está en esta forma, podemos determinar fácilmente el vértice.

$\begin{array}{c}{f(x)=a(x-h)^{2}\:\:+\:\:k}\\\color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\downarrow\quad\:\:\:\:\:\downarrow} \\ {f(x)=(x-(-2))^{2}+5}\end{array}$

Aquí$h=-2$ y$k=5$.

Respuesta:

El vértice es$(-2,5)$.

Si hay un coeficiente principal distinto de$1$, entonces primero debemos facturar el coeficiente principal a partir de los dos primeros términos del trinomio.

Ejemplo$\PageIndex{9}$:

Reescribe en forma de vértice y determina el vértice:$f(x)=2 x^{2}-4 x+8$.

Solución

Ya que$a = 2$, factifique esto de los dos primeros términos para completar el cuadrado. Deja espacio dentro de los paréntesis para sumar y restar el valor que completa el cuadrado.

$\begin{aligned} f(x) &=2 x^{2}-4 x+8 \\ &=2\left(x^{2}-2 x\right)+8 \end{aligned}$

Ahora$−2$ utilízalo para determinar el valor que completa el cuadrado. En este caso,$\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=1$. Sumar y restar$1$ y factificar de la siguiente manera:

$\begin{aligned} f(x) &=2 x^{2}-4 x+8 \\ &=2\left(x^{2}-2 x+\_\_\_-\_\_\_\right)+8 \quad\color{Cerulean}{Add\:and\:subtract\:1.} \\ &=2\color{black}{\left(x^{2}-2 x\color{Cerulean}{+1-1}\right)}+8\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=2[(x-1)(x-1)-1]+8 \\ &=2\left[(x-1)^{2}-1\right]+8 \quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Distribute\:the\:2.} \\ &=2(x-1)^{2}-2+8 \\ &=2(x-1)^{2}+6 \end{aligned}$

De esta forma, podemos determinar fácilmente el vértice.

$\begin{array}{c}{f(x)=a(x-h)^{2}+k}\\\color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\downarrow\quad\:\:\:\downarrow} \\ {f(x)=2(x-1)^{2}+6}\end{array}$

Aquí$h=1$ y$k=6$.

Respuesta:

El vértice es$(1,6)$.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Reescribe en forma de vértice y determina el vértice:$f(x)=-2 x^{2}-12 x+3$.

Contestar

$f(x)=-2(x+3)^{2}+21$; vértice:$(-3,21)$

www.youtube.com/v/cmwmn6oz2di

Claves para llevar

La gráfica de cualquier función cuadrática$f (x) = ax^{2} + bx + c$$a, b$, donde, y$c$ son números reales y$a ≠ 0$, se llama parábola.
Al graficar una parábola siempre encuentra el vértice y la$y$ -intercepción. Si las$x$ -intercepciones existen, encontrarlas también. Además, asegúrese de encontrar soluciones de pares ordenados a ambos lados de la línea de simetría,$x = −\frac{ b}{2a}$.
Utilice el coeficiente inicial,$a$, para determinar si una parábola se abre hacia arriba o hacia abajo. Si$a$ es positivo, entonces se abre hacia arriba. Si$a$ es negativo, entonces se abre hacia abajo.
El vértice de cualquier parábola tiene un$x$ -valor igual a$−\frac{b}{2a}$. Después de encontrar el$x$ -valor del vértice, sustituirlo por la ecuación original para encontrar el$y$ -valor correspondiente. Este$y$ -valor es un máximo si la parábola se abre hacia abajo, y es un mínimo si la parábola se abre hacia arriba.
El dominio de una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo consiste en todos los números reales. El rango está limitado por el$y$ -valor del vértice.
Un enfoque alternativo para encontrar el vértice es reescribir la función cuadrática en la forma$f(x)=a(x-h)^{2}+k$. Cuando está en esta forma, el vértice es$(h, k)$ y se puede leer directamente de la ecuación. Para obtener esta forma, toma$f (x) = ax^{2} + bx + c$ y completa la plaza.

Ejercicio$\PageIndex{3}$

¿La parábola se abre hacia arriba o hacia abajo? Explique.

$y=x^{2}-9 x+20$
$y=x^{2}-12 x+32$
$y=-2 x^{2}+5 x+12$
$y=-6 x^{2}+13 x-6$
$y=64-x^{2}$
$y=-3 x+9 x^{2}$

Contestar

1. Al alza

3. A la baja

5. A la baja

Ejercicio$\PageIndex{4}$

Determinar las$x$ - y$y$ -intercepciones.

$y=x^{2}+4 x-12$
$y=x^{2}-13 x+12$
$y=2 x^{2}+5 x-3$
$y=3 x^{2}-4 x-4$
$y=-5 x^{2}-3 x+2$
$y=-6 x^{2}+11 x-4$
$y=4 x^{2}-27$
$y=9 x^{2}-50$
$y=x^{2}-x+1$
$y=x^{2}-6 x+4$

Contestar

1. $x$-intercepta:$(-6,0),(2,0)$;$y$ -interceptar:$(0,-12)$

3. $x$-intercepta:$(-3,0),\left(\frac{1}{2}, 0\right)$;$y$ -interceptar:$(0,-3)$

5. $x$-intercepta:$(-1,0),\left(\frac{2}{5}, 0\right)$;$y$ -interceptar:$(0,2)$

7. $x$-intercepta:$\left(-\frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0\right),\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0\right)$;$y$ -interceptar:$(0,-27)$

9. $x$-intercepta: ninguno;$y$ -interceptar:$(0,1)$

Ejercicio$\PageIndex{5}$

Encuentra el vértice y la línea de simetría.

$y=-x^{2}+10 x-34$
$y=-x^{2}-6 x+1$
$y=-4 x^{2}+12 x-7$
$y=-9 x^{2}+6 x+2$
$y=4 x^{2}-1$
$y=x^{2}-16$

Contestar

1. Vértice:$(5,-9)$; línea de simetría:$x=5$

3. Vértice:$\left(\frac{3}{2}, 2\right)$; línea de simetría:$x=\frac{3}{2}$

5. Vértice:$(0,-1)$; línea de simetría:$x=0$

Ejercicio$\PageIndex{6}$

Gráfica. Encuentra el vértice y la$y$ -intercepción. Además, encuentra los$x$ -interceptos si existen.

$f(x)=x^{2}-2 x-8$
$f(x)=x^{2}-4 x-5$
$f(x)=-x^{2}+4 x+12$
$f(x)=-x^{2}-2 x+15$
$f(x)=x^{2}-10 x$
$f(x)=x^{2}+8 x$
$f(x)=x^{2}-9$
$f(x)=x^{2}-25$
$f(x)=1-x^{2}$
$f(x)=4-x^{2}$
$f(x)=x^{2}-2 x+1$
$f(x)=x^{2}+4 x+4$
$f(x)=-4 x^{2}+12 x-9$
$f(x)=-4 x^{2}-4 x+3$
$f(x)=x^{2}-2$
$f(x)=x^{2}-3$
$f(x)=-4 x^{2}+4 x-3$
$f(x)=4 x^{2}+4 x+3$
$f(x)=x^{2}-2 x-2$
$f(x)=x^{2}-6 x+6$
$f(x)=-2 x^{2}+6 x-3$
$f(x)=-4 x^{2}+4 x+1$
$f(x)=x^{2}+3 x+4$
$f(x)=-x^{2}+3 x-4$
$f(x)=-2 x^{2}+3$
$f(x)=-2 x^{2}-1$
$f(x)=2 x^{2}+4 x-3$
$f(x)=3 x^{2}+2 x-2$

Contestar

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

Ejercicio$\PageIndex{7}$

Determinar el$y$ valor máximo o mínimo.

$y=-x^{2}-6 x+1$
$y=-x^{2}-4 x+8$
$y=25 x^{2}-10 x+5$
$y=16 x^{2}-24 x+7$
$y=-x^{2}$
$y=1-9 x^{2}$
$y=20 x-10 x^{2}$
$y=12 x+4 x^{2}$
$y=3 x^{2}-4 x-2$
$y=6 x^{2}-8 x+5$
$y=x^{2}-5 x+1$
$y=1-x-x^{2}$

Contestar

1. Máximo:$y = 10$

3. Mínimo:$y = \frac{4}{5}$

5. Máximo:$y = 0$

7. Máximo:$y = 10$

9. Mínimo:$y = −\frac{10}{3}$

11. Mínimo:$y = −\frac{21}{4}$

Ejercicio$\PageIndex{8}$

Dadas las siguientes funciones cuadráticas, determinar el dominio y el rango.

$f(x)=3 x^{2}+30 x+50$
$f(x)=5 x^{2}-10 x+1$
$g(x)=-2 x^{2}+4 x+1$
$g(x)=-7 x^{2}-14 x-9$
$f(x)=x^{2}+x-1$
$f(x)=-x^{2}+3 x-2$
La altura en pies que alcanza un beisbol arrojado hacia arriba a una velocidad de$48$ pies por segundo desde el suelo viene dada por la función$h(t) = −16t^{2} + 48t$, donde$t$ representa el tiempo en segundos después de que se lanza la pelota. ¿Cuál es la altura máxima del beisbol y cuánto tiempo se tarda en alcanzar esa altura?
La altura en pies de un proyectil lanzado hacia arriba desde un montículo viene dada por la función$h(t) = −16t^{2} + 96t + 4$, donde$t$ representa segundos después del lanzamiento. ¿Cuál es la altura máxima?
El beneficio en dólares generado por la producción y venta de lámparas$x$ personalizadas viene dado por la función$P(x) = −10x^{2} + 800x − 12,000$. ¿Cuál es el beneficio máximo?
El beneficio en dólares generado por la producción y venta de un artículo en particular se modela por la fórmula$P(x) = 100x − 0.0025x^{2}$, donde$x$ representa el número de unidades producidas y vendidas. ¿Qué número de unidades se deben producir y vender para maximizar los ingresos?
El número promedio de aciertos a un sitio Web de una estación de radio está modelado por la fórmula$f(x) = 450t^{2} − 3,600t + 8,000$, donde$t$ representa el número de horas desde la$8:00$ mañana ¿A qué hora del día es mínimo el número de visitas al sitio Web?
El valor en dólares de un auto nuevo es modelado por la fórmula$V(t) = 125t^{2} − 3,000t + 22,000$, donde$t$ representa el número de años desde que fue comprado. Determinar el valor mínimo del automóvil.
El costo de producción diario en dólares de una empresa de fabricación textil que produce uniformes personalizados se modela por la fórmula$C(x) = 0.02x^{2} − 20x + 10,000$, donde$x$ representa el número de uniformes producidos.
1. ¿Cuántos uniformes se deben producir para minimizar los costos diarios de producción?
2. ¿Cuál es el costo mínimo de producción diario?
El área en pies cuadrados de cierta pluma rectangular viene dada por la fórmula$A = 14w − w^{2}$, donde$w$ representa el ancho en pies. Determinar el ancho que produce el área máxima.

Contestar

1. Dominio:$(−∞, ∞)$; rango:$[−25, ∞)$

3. Dominio:$(−∞, ∞)$; rango:$(−∞, 3]$

5. Dominio:$(−∞, ∞)$; rango:$[−\frac{5}{4}, ∞)$

7. La altura máxima de$36$ los pies ocurre después de$1.5$ segundos.

9. $$4,000$

11. $12:00$p.m.

13. (1)$500$ uniformes (2) $$5,000$

Ejercicio$\PageIndex{9}$

Determinar el vértice.

$y=-(x-5)^{2}+3$
$y=-2(x-1)^{2}+7$
$y=5(x+1)^{2}+6$
$y=3(x+4)^{2}+10$
$y=-5(x+8)^{2}-1$
$y=(x+2)^{2}-5$

Contestar

1. $(5, 3)$

3. $(−1, 6)$

5. $(−8, −1)$

Ejercicio$\PageIndex{10}$

Reescribe en forma de vértice$y=a(x-h)^{2}+k$ y determina el vértice.

$y=x^{2}-14 x+24$
$y=x^{2}-12 x+40$
$y=x^{2}+4 x-12$
$y=x^{2}+6 x-1$
$y=2 x^{2}-12 x-3$
$y=3 x^{2}-6 x+5$
$y=-x^{2}+16 x+17$
$y=-x^{2}+10 x$

Contestar

1. $y=(x-7)^{2}-25$; vértice:$(7, -25)$

3. $y=(x+2)^{2}-16$; vértice:$(-2, -16)$

5. $y=2(x-3)^{2}-21$; vértice:$(3, -21)$

7. $y=-(x-8)^{2}+81$; vértice:$(8, 81)$

Ejercicio$\PageIndex{11}$

Gráfica. Encuentra el vértice y la$y$ -intercepción. Además, encuentra los$x$ -interceptos si existen.

$f(x)=x^{2}-1$
$f(x)=x^{2}+1$
$f(x)=(x-1)^{2}$
$f(x)=(x+1)^{2}$
$f(x)=(x-4)^{2}-9$
$f(x)=(x-1)^{2}-4$
$f(x)=-2(x+1)^{2}+8$
$f(x)=-3(x+2)^{2}+12$
$f(x)=-5(x-1)^{2}$
$f(x)=-(x+2)^{2}$
$f(x)=-4(x-1)^{2}-2$
$f(x)=9(x+1)^{2}+2$
$f(x)=(x+5)^{2}-15$
$f(x)=2(x-5)^{2}-3$
$f(x)=-2(x-4)^{2}+22$
$f(x)=2(x+3)^{2}-13$

Contestar

11.

13.

15.

Ejercicio$\PageIndex{12}$

Anota tu plan para graficar una parábola en un examen. ¿Qué buscarás y cómo presentarás tu respuesta? Comparte tu plan en el panel de discusión.
¿Por qué cualquier parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo es una función? Explique a un compañero de clase cómo determinar el dominio y el rango.
Investigue y discuta formas de encontrar una función cuadrática que tenga una gráfica que pase por tres puntos dados cualquiera. Comparte una lista de pasos así como un ejemplo de cómo hacerlo.

Contestar

1. La respuesta puede variar

3. La respuesta puede variar

Notas al pie

¹⁰ La gráfica en forma de U de cualquier función cuadrática definida por$f (x) = ax^{2} + bx + c$, dónde$a, b$, y$c$ son números reales y$a ≠ 0$.

¹¹ El punto que define el mínimo o máximo de una parábola.

¹² La línea vertical a través del vértice,$x = −\frac{b}{2a}$, alrededor de la cual la parábola es simétrica.

¹³ Término utilizado al hacer referencia a la línea de simetría.

¹⁴ Una función cuadrática escrita en la forma$f(x)=a(x-h)^{2}+k$.

\(x\)	\(y\)		Puntos
\ (x\) ">\(-3\)	\ (y\) ">\(11\)	\(f(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}+5=18-12+5=11\)	\((-3,11)\)
\ (x\) ">\(-2\)	\ (y\) ">\(5\)	\(f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}+5=8-8+5=5\)	\((-2,5)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(11\)	\(f(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}+5=2+4+5=11\)	\((1,11)\)