1.9: Ecuaciones racionales

1.9 Ecuaciones racionales También
podemos utilizar las habilidades que hemos cubierto en secciones anteriores para resolver ecuaciones que involucran expresiones racionales. Hay tres métodos principales de solución que se explorarán en esta sección: multiplicar por ambos lados para despejar un denominador, multiplicar cruzadamente y hacer denominadores comunes. Cada una de estas técnicas es en realidad el mismo proceso, pero abordado desde una perspectiva ligeramente diferente.
Despejando un denominador

A menudo, si el denominador es una sola variable, puede ser fácil y striaghtforward multiplicar en ambos lados por el denominador para cancelarlo.

Ejemplo
Resolver para\(x\)
\ [
x+\ frac {4} {x} =7
\]
Si multiplicamos en ambos lados por\(x\), borrará la variable del denominador:
\ [
\ begin {array} {c}
x+\ frac {4} {x } =7\\
x *\ izquierda (x+\ frac {4} {x}\ derecha) =( 7) * x\ quad\ texto {Multiplicar en ambos lados por} x
\ end {array}
\]
\ [
x * x+x *\ frac {4} {x} =7 x\ quad\ text {Distribuye el} x
\]
\ [
\ begin {array} { c}
x^ {2} +4=7 x\\
x^ {2} -7 x+4=0
\ end {array}\ quad\ texto {Forma estándar}
\]
\ [
x\ aprox 0.628,6.372
\]

Si un problema se afirma simplemente como la igualdad de dos fracciones, la multiplicación cruzada puede ser un método útil de solución.

Ejemplo
Resolver para\(x\)

\ [\ begin {alineado}
\ frac {x} {2 x+3} =\ frac {7} {x-4}
\\ frac {x} {2 x+3} &=\ frac {7} {x-4}\\
x (x-4) &=7 (2 x+3)\
x^ {2} -4 x &=14 x+21\\
x^ {2} - 18 x-21 &=0\\
x &\ approx 19.100, -1.100
\ end {aligned}
\] La
multiplicación cruzada es realmente solo un método de atajo para borrar los denominadores multiplicando en ambos lados por ambos denominadores:
\ [
\ begin { alineado}
\ frac {x} {2 x+3} &=\ frac {7} {x-4}\\
(x-4) (2 x+3) * &\ frac {x} {2 x+3} =\ frac {7} {x-4} * (x-4) (2 x+3)\
(x-4)\ (x-4)\ cancel {(2 x+3)} * &\ frac {x}\ cancel {2 x+3}} =\ frac {7} {\ cancel {x-4}} *\ cancel {(x-4)} (2 x+3)\\
x (x-4) &=7 (2 x+3)
\ end {aligned}
\]
Entonces la ecuación está lista para ser resuelta como se muestra arriba - pero con solo multiplicación cruzada, saltamos directamente a la porción de solución del problema.

En ocasiones, resulta útil crear un denominador común para establecer una situación en la que se pueda utilizar la multiplicación cruzada.

Ejemplo
Resolver para\(x\)

\ [\ begin {alineado}
\ frac {1} {x+6} +\ frac {4} {x-2} =\ frac {3} {x+1} &
\\ frac {1} {x+6} +\ frac {4} {x-2} =\ frac {3} {x+1}\
\ frac {1} {x+6} *\ frac {x-2} {x-2} +\ frac {4} {x-2} *\ frac {x+6} {x+6} =\ frac {3} {x+1}\\
\ frac {1 (x-2) +4 (x+6)} {(x+6) (x-2)} =&\ frac {3} {x+1}\
\ frac {x-2+4 x+24} {(x+6) (x-2)} =&\ frac {3} {x+1}\
\ frac {5 x+22} {(x+6) (x-2)} =&\ frac {3} {x+1}\\
(5 x+22) (x+1) =3 (x+6) (x-2) =3\ izquierda (x^ {2} +4 x-12\ derecha) &\\
5 x^ {2} +27 x+22=3 x^ {2} +12 x-36 &\\
2 x^ {2} +15 x+58 &=0\\
x\ aprox-3.75\ pm 3.865 i &
\ end {alineado}
\]

Ejemplo
Resolver para\(x\)

\ [\ begin {array} {c}
\ frac {2} {x-2} +\ frac {x} {2 x-1} =4\
\\ frac {2} {x-2} +\ frac {x} {2 x-1} =4\
\\ frac {2} {x-2} *\ frac {2 x-1} {2 x-1} +\ frac {x} {2 x-1} *\ frac {x-2} {x-2} =4\\
\ frac {2 (2 x-1) +x (x-2)} {(x-2) (2 x-1)} =4\
\\ frac {4 x-2+x^ {2} -2 x} {(x-2) (2 x-1)} =4\
\ frac {x^ {2} +2 x-2} {(x-2) (2 x-1)} =\ frac {4} 1}\\
1\ izquierda (x^ {2} +2 x-2\ derecha) =4 (x-2) (2 x-1) =4\ izquierda (2 x^ {2} -5 x+2\ derecha)\\
x^ {2} +2 x-2=8 x^ {2} -20 x+8\
\ qquad\ begin {alineado}
\ frac {2} {x} &=7 x^ {2} -22 x+10\\
x &=2.592,0.551
\ end {alineado}
\ end {array}
\]

En algunas situaciones, podemos crear un único denominador común para cada fracción del problema y luego limpiarlos todos a la vez.

Ejemplo
Resolver para\(x\)

\ [\ begin {alineado}
\ frac {2} {x+3} -\ frac {4} {3 x-1} =\ frac {x} {3 x^ {2} +8 x-3} &
\\ frac {2} {x+3} -\ frac {4} {3 x-1} &=\ frac {x} {3 x^ {2} +8 3}\\
\ frac {2} {x+3} *\ frac {3 x-1} {3 x-1} -\ frac {4} {3 x-1} *\ frac {x+3} {x+3} &=\ frac {x} {3 x^ {2} +8 x-3}\
\ frac {2 (3 x-1) -4 (x+3)} {(x+3) (3 x-1) (3 x-1)} &=\ frac {x} {(x+3) (3 x-1)}\
2 (3 x-1) -4 (x+3) &=x
\ end {aligned}
\]
El paso que falta arriba es el borrado de ambos denominadores:
\ [
(x+3) (3 x-1) *\ frac {2 (3 x-1) -4 (x+3)} {(x+3) (3 x-1)} =\ frac {x} {(x+3) (3 x-1)} * (x+3) (3 x-1)
\]
\ [\ begin {alineado}
\ cancel {(x+3)}
\ cancel {(x+3)}\ cancel {(3 x-1))} *\ frac {2 (3 x-1) -4 (x+3)} {\ cancel {(x+3)}\ cancel {(3 x-1)}} & amp; =\ frac {x} {\ cancel {(x+3)}\ cancel {(3 x-1)}} *\ cancel {(x+3)}\ cancel {(3 x-1)}\\
& 2 (3 x-1) -4 (x+3) =x
\ end {alineado}
\]

Como es cierto en el proceso de multiplicación cruzada, no es necesario cancelar realmente a los denominadores para completar el problema.
\ [
\ begin {alineado}
\ frac {2} {x+3} -\ frac {4} {3 x-1} &=\ frac {x} {3 x^ {2} +8 x-3}\
\ frac {2} {x+3} *\ frac {3 x-1} {3 x-1} -\ frac {4} {3 x-1} *\ frac {x+3}} {x+3} &=\ frac {x} {3 x^ {2} +8 x-3}\
\ frac {2 (3 x-1) -4 (x+3)} {(x+3) (3 x-1)} &=\ frac {x} {( x+3) (3 x-1)}\\
2 (3 x-1) -4 (x+3) &=x\\
6 x-2-4 x-12 &=x\\
2 x-14 &=x\\
x &=14
\ final {alineado}
\]

Ejercicios 1.9
1)\(\quad x+\frac{5}{x}=-6\)
2)\(\quad x+\frac{6}{x}=-7\)
3)\(\quad y-\frac{5}{y}=2\)
4)\(\quad \frac{7}{a}+1=a\)
5)\(\quad \frac{9}{2 y+4}=\frac{3}{y}\)
6)\(\quad \frac{4}{3 n+7}=\frac{1}{2}\)
7)\(\quad \frac{x}{x+3}=\frac{8}{x+6}\)
8)\(\quad \frac{y-2}{2}=\frac{5}{y-5}\)
9)\(\quad \frac{2}{n}=\frac{n}{5 n+12}\)
10) \(\quad \frac{x}{4-x}=\frac{2}{x}\)
11)\(\quad \frac{5 x}{14 x+3}=\frac{1}{x}\)
12)\(\quad \frac{a}{8 a+3}=\frac{1}{3 a}\)
13)\(\quad \frac{9}{x-1}-\frac{2}{x+4}=\frac{1}{x+2}\)
14)\(\quad \frac{1}{x-2}+\frac{4}{x+5}=\frac{1}{x-3}\)
15)\(\quad \frac{5}{3 x+2}+\frac{1}{x-1}=\frac{3}{x+2}\)
16)\(\quad \frac{1}{y-2}-\frac{4}{2 y+5}=\frac{6}{y-1}\)
17)\(\quad \frac{5}{x+1}+\frac{1}{x+2}=3\)
18)\(\quad \frac{1}{2 x-1}-\frac{2}{x+7}=1\)
19)\(\quad \frac{6}{y-4}-\frac{1}{y+2}=3\)
20)\(\quad \frac{10}{a+1}+\frac{3}{a-2}=2\)
21)\(\quad \frac{3 a}{a^{2}-2 a-15}-\frac{a}{a+3}=\frac{2 a}{a-5}\)
22)\(\quad \frac{u^{2}+2}{u^{2}+u-2}-\frac{3 u}{u+2}=\frac{-2 u-1}{u-1}\)
23)\(\quad \frac{4}{2 x-1}+\frac{2}{x+3}=\frac{5}{2 x^{2}+5 x-3}\)
24)\(\quad \frac{5}{x+5}-\frac{2}{x^{2}+2 x-15}=\frac{2}{x-3}\)
25)\(\quad \frac{5}{y-2}-\frac{3}{2 y-1}=\frac{4}{2 y^{2}-5 y+2}\)
26)\(\quad \frac{x+2}{x-1}+\frac{x+4}{x}=\frac{2 x+1}{x^{2}-x}\)
27)\(\quad \frac{x}{x+2}+\frac{x+1}{x^{2}-7 x-18}=\frac{5}{x-9}\)
28)\(\quad \frac{2 a}{a+7}-\frac{a}{a+3}=\frac{5}{a^{2}+10 a+21}\)
29)\(\quad \frac{x-1}{2 x+1}-\frac{2 x-3}{x+3}=\frac{3}{2 x^{2}+7 x+3}\)
30)\(\quad \frac{y}{y+4}+\frac{6}{y+1}=\frac{y^{2}+4}{y^{2}+5 y+4}\)

Adición - Problemas de la Palabra A
continuación se presenta una selección de problemas de palabras -algunos de la antigüedad, algunos del Renacimiento y de la Ilustración, y algunos del siglo XIX y XX.
1) Un maestro accedió a trabajar 9 meses para\(\$ 562.50\) y abordar. Al término del plazo, por dos meses de ausencia ocasionada por enfermedad, sólo recibió\(\$ 409.50\) por sus siete meses de trabajo. Si el maestro utilizó todos los nueve meses de su junta durante el término, ¿cuál era su junta por mes? (Americana 1892)

2) Se promete a un sirviente\(\$ 100\) más una capa como salario por un año. Después de siete meses, se va y recibe\(\$ 20\) más el manto. ¿Cuánto vale la capa? (Clavius, alemán 1608)

3) El impuesto sobre las ventas de prendas es\(\frac{1}{20}\) de su valor. Cierto hombre compra 42 prendas, pagando en monedas de cobre. Dos prendas y 10 monedas de cobre se pagan como impuestos. ¿Cuál es el precio de una prenda, oh aprendió una? (Antigua India)

4) Dos comerciantes de vino ingresan a París, uno de ellos con 64 toneles de vino, el otro con 20 toneles (todos del mismo valor). ya que no tienen suficiente dinero para pagar los derechos de aduana, el primero paga 5 toneles de vino y 40 francos, y el segundo paga 2 toneles de vino y recibe 40 francos de cambio. ¿Cuál es el precio de cada barril de vino y cuál es el deber de cada barrica? (Chuquet, Francés 1484)

5) Uno de los dos hombres tenía 12 peces y el otro tenía 13 peces, y todos los peces tenían el mismo precio. Del primer hombre, un agente aduanal le quitó 1 pescado y
12 denarios para su pago. Del otro hombre tomó 2 peces y le devolvió 7 denarios como cambio. Encuentra la tasa de aduana y el precio de cada pescado. (Fibonacci, italiano 1202)

6) Dos comerciantes que transportan pieles de oveja se acercan a la frontera de su país. El primer comerciante tiene 100 pieles de oveja y la guardia fronteriza toma 10 pieles de oveja más\(\$ 25\) como tarifa. El segundo comerciante tiene 42 pieles de oveja y para una tarifa, la guardia fronteriza toma 7 pieles de oveja pero las devoluciones\(\$ 14\) cambian. ¿Cuál es la tarifa por piel de oveja y cuál es el valor de cada piel de oveja?

7) Dos personas tienen cierta cantidad de dinero. El primero dice al segundo: “Si me das 5 denarios, voy a tener 7 veces lo que te queda”. El segundo le dice al primero: “Si me das 7 denarios, voy a tener 5 veces lo que te queda”. ¿Cuánto dinero tiene cada uno? Redondear a la 10 ª más cercana. (Leonardo, italiano c. 1500)

8) Dos escenarios diferentes de la Antigua Grecia:
Dos amigos caminaban. Uno le dijo al otro: “Si tuviera 10 monedas más, tendría 3 veces más dinero que tú”. El otro dijo: “Si tuviera 10 monedas más, tendría cinco veces más que tú”. ¿Cuántas monedas tiene cada una?

Dos amigos caminaban. Uno le dijo al otro: “Si me das 10 de tus monedas, yo tendría 3 veces más dinero que tú”. El otro dijo: “Si me das 10 de tus monedas, yo tendría cinco veces más que tú”. ¿Cuántas monedas tiene cada una?

9) Andy y Betty juntos tienen\(\$ 6\) menos que Christine. Si Betty le da\(\$ 5\) a Andy, entonces Andy tendrá la mitad que Christine. Si, en cambio, Andy le da\(\$ 5\) a Betty, entonces Andy tendrá un tercio más que Betty. ¿Cuánto tiene para empezar cada persona?

10) Tres amigos\((\mathrm{A}, \mathrm{B} \text { and } \mathrm{C})\) cada uno tienen una cierta cantidad de dinero. A dice: “Tengo tanto como B más un tercio tanto como C.” B dice: “Tengo tanto como C más un tercio tanto como A.” Dice: “Tengo 10 más de un tercio de B.” ¿Cuánto tiene cada persona? (Antigua Grecia)

11) En una prueba, pasaron 39 alumnos más de lo que fallaron. En la siguiente prueba, 7 que pasaron la primera prueba fallaron y un tercio de los que reprobaron la primera prueba pasaron la segunda. En consecuencia, 31 más pasaron la segunda prueba de lo que la reprobó. ¿Cuál fue el registro de pasar y fallar en la primera prueba?

12) En dos estaciones, A y B, a seis millas de distancia en el ferrocarril, los precios del carbón son\(\$ 20\) por tonelada y\(\$ 24\) por tonelada respectivamente. Las tarifas de acarreo de carbón son\(\$ 2.00\) por tonelada por milla de A y\(\$ 3.00\) por tonelada por milla de B. En la casa de cierto cliente, en el ferrocarril de\(\mathrm{A}\) a\(\mathrm{B}\), el costo del carbón es el mismo ya sea entregado desde A o B. Encuentra la distancia a esta casa de A.

13) Había tres cuartas partes de mujeres que hombres en el tren. En la siguiente estación seis hombres y ocho mujeres se bajaron del tren, y doce hombres y cinco mujeres subieron. Entonces había tres quintas partes de mujeres que hombres en el tren. ¿Cuántos hombres y cuántas mujeres estaban originalmente en el tren?

14) Si un teatro pudiera poner 5 asientos más seguidos, necesitaría 20 filas menos, pero si cada fila tuviera 3 asientos menos, se necesitarían 20 filas más para asentar el mismo número. ¿Cuántas personas va a sentar?

15) Un público de 450 personas está sentado en filas, con el mismo número de personas en cada fila. Se necesitarían 5 filas menos si 3 personas más estuvieran sentadas en cada fila. ¿En cuántas filas están sentadas las personas?

16) Si se plantan árboles de hoja perenne 4 pies más cerca juntos se necesitarán 44 árboles más para cierto trozo de camino, pero si se plantan a 6 pies más lejos, se necesitarán 44 árboles menos para el mismo tramo de camino. ¿Cuántas millas tiene el trozo de camino? (usar\(5280 \text { feet }=1 \text { mile })\)

17) Una dueña de una sala de cine encontró que al subir el precio de cada boleto por
\(\$ 1.00,200\) menos personas atendieron y ella se puso de par, pero que si bajaba el precio\(\$ 1.00\) por persona, acudieron 550 personas y ella incrementó sus recibos en
\(\$ 1000 .\) Cuál es la tarifa habitual por persona?

18) Las pipas de salmuera en una pista de hockey artificial de 84 pies de ancho están igualmente espaciadas. Si el espacio entre cada par de tuberías se incrementara en 1 pulgada, entonces se necesitarían 84 longitudes menos de tubería. ¿Cuál es la distancia entre las tuberías ahora?

19) Una repisa para sala de estar mide 36 pulgadas de largo y contiene cierto número de libros de ancho uniforme. Si cada libro fuera media pulgada más estrecho, la repisa contendría seis libros más. ¿Cuántos libros de la variedad más amplia contiene?

20) Soy un león descarado; mis caños son mis dos ojos, mi boca y plano de mi pie derecho. Mi ojo derecho llena un frasco en dos días, mi ojo izquierdo en tres y mi pie en cuatro. Mi boca es capaz de llenarlo en seis horas. Dime cuánto tiempo tardarán los cuatro juntos en llenarlo. (Antigua Grecia)

21) Un hombre desea tener 500 rubii de grano molido. Va a un molino que tiene cinco piedras. La primera piedra muele 7 rubii de grano en una hora, la segunda muele 5 rubii en una hora, la tercera 4 rubii en una hora, la cuarta muele 3 rubii por hora y la quinta muele 1 rubii por hora. ¿En cuánto tiempo se molirá el grano y cuánto se hace por cada piedra? (Clavius, alemán 1583)

22) Si dos hombres y tres niños pueden arar un acre en una sexta parte del día, ¿cuánto tiempo requeriría tres hombres y dos niños para ararlo? (Edward Brooks, American 1873)
23) Un zapatero puede cortar cuero para diez pares de zapatos en un día. Puede terminar 5 pares de zapatos en un día. ¿Cuántos pares de zapatos puede cortar y terminar en un día? (Antiguo Egipto)

24) Cuatro surcos de agua están llenando un tanque. De los cuatro surcos, uno puede llenar el tanque en un día, el segundo toma dos días, el tercero lleva tres días y el cuarto lleva cuatro días. ¿Cuánto tiempo tardarán los cuatro surcos trabajando juntos en llenar el tanque? (Antigua Grecia)

25) Si, en un día, una persona puede hacer 30 flechas o fletch [poner plumas] 20 flechas, ¿cuántas flechas puede hacer y fletch esta persona en un día? (Antigua China)

26) Un caballo militar y un caballo ordinario pueden tirar una carga de 40 dan. Dos caballos ordinarios y un caballo inferior pueden tirar de la misma carga de 40 dan que tres caballos inferiores y un caballo militar. ¿Cuánto puede tirar cada caballo individualmente? (Antigua China)

27) Un barril de agua tiene varios agujeros en él. El primer hoyo vacía el barril lleno en 3 días. El segundo hoyo vacía el barril lleno en 5 días. El tercer hoyo vacía el barril lleno en 20 horas y el último hoyo vacía el barril lleno en 12 horas. Con todos los agujeros abiertos, ¿cuánto tiempo tardará en vaciar el barril? (Levi ben Gershon, Francés 1321)

28) Un cierto león podría comerse una oveja en 4 horas; un leopardo podría hacerlo en 5 horas; y un oso en 6 horas. ¿Cuántas horas tardarían los tres animales en devorar una oveja si fuera arrojada entre ellos? (Fibonacci, italiano 1202)

29) Dos barcos están a cierta distancia, cuyo recorrido el primero puede completar en 5 días y el otro en 7 días; se busca en cuántos días se encontrarán si inician el viaje al mismo tiempo. (Fibonacci, italiano 1202)

30) Sarah, sola, puede pintar la cochera en 24 horas, su hermana Jenny, sola, puede pintar la misma cochera en 12 horas. Con la ayuda de su madre, los tres juntos pueden pintar la cochera en 4 horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a su madre, trabajando sola, pintar la cochera?

31) Se requirieron 75 trabajadores 38 días para construir un terraplén para ser utilizado para el control de inundaciones. Si 18 trabajadores hubieran sido trasladados a otro trabajo en el mismo inicio de las operaciones, ¿cuánto tiempo se habría tardado en construir el terraplén?

32) Mark, solo, requiere 6 horas para pintar una barda; sin embargo, su hermano menor, que solo podría hacerlo en 9 horas, le ayuda. Si empiezan a trabajar a las 8:30 de la mañana, ¿a qué hora deberían terminar la obra?

33) Un grupo decide construir una cabaña juntos. El trabajo puede ser realizado por 3 trabajadores calificados en 4 días o por 5 aficionados en 6 días. ¿Cuánto tiempo tardaría si todos trabajan juntos?

34) Si se requieren 18 trabajadores 50 días para construir un trozo de carretera, ¿cuántos días antes se haría si se contrataran 7 trabajadores más al inicio de las operaciones?

35) Un contratista estimó que una determinada pieza de trabajo la realizarían 9 carpinteros en 8 horas o por 16 aficionados en 9 horas. El contratista desea hacer el trabajo lo más rápido posible y utiliza tanto a carpinteros profesionales como a aficionados en el mismo trabajo. Cuatro carpinteros y 4 aficionados comienzan a trabajar a las 6 de la mañana. Permitiendo 45 minuntes para el almuerzo, ¿a qué hora deberían terminar el trabajo?

36) La señora Ellis sola puede hacer un trabajo en 6 días. Su hija mayor tarda 2 días más; su hija menor toma el doble de tiempo que su madre. ¿Cuánto tiempo tardará en completar el trabajo si los tres trabajan juntos?

37) Si 5 hombres y 2 niños trabajan juntos, se puede completar una pieza de trabajo en un día y si 3 hombres y 6 niños trabajan juntos, se puede completar en un día. ¿Cuánto tardaría un niño en hacer el trabajo solo?

38) Una compañía de carbón puede llenar un determinado pedido de una mina en 3 semanas y de una segunda mina en 5 semanas. ¿Cuántas semanas se requerirían para llenar el pedido si se utilizaran ambas minas?

39) Si 25 trabajadores calificados trabajan durante 8 días, pueden completar la construcción de una presa de concreto; 12 trabajadores calificados y 15 trabajadores no capacitados juntos pueden completar la presa en 10 días. ¿Cuánto tiempo tardaría un trabajador no capacitado solo en completar los trabajos en la presa?

40)\(A\) y\(B\) trabajar juntos puede completar una pieza de trabajo en 30 días. Después de que ambos hayan trabajado 18 días, sin embargo,\(A\) deja y\(B\) termina el trabajo solos en 20 días más. Encuentra el tiempo en el que cada uno puede hacer el trabajo solo.

41) Un carro volquete puede transportar suficiente grava para llenar un pozo en 6 días. Un camión puede hacer el mismo trabajo en 2 días. ¿Cuánto tiempo tardarían dos carros de volteo y un camión trabajando juntos para llenar el foso?