6.1: Secuencias

Una secuencia de números en una correspondencia uno a uno con los números naturales se\(\{1,2,3,4, \ldots\}\) puede definir de varias maneras. Los términos de la secuencia pueden simplemente enumerarse:
\ [
\ {2,4,8,16,32,\ dots\}
\] Se puede identificar
una expresión general para la secuencia:
\ [
a_ {n} =2^ {n}
\]
En esta situación,\(n\) es generalmente entendida como extraída del conjunto ordenado de números naturales. Además, una secuencia puede definirse recursivamente. Es decir que cada término sucesivo se definirá en relación con el término anterior.
Para el ejemplo que estamos usando anteriormente, una definición recursiva sería la siguiente:
\ [
\ begin {array} {c}
a_ {1} =2\\
a_ {n} =2 * a_ {n-1}\\
\ mathrm {o}\\
a_ {n+1} =2 * a_ {n}
\ end {array}
\]
Una secuencia puede ser pensada como una función o relación en la que el dominio está restringido a números enteros positivos.

Ejemplos
Encuentra los primeros cuatro términos de la secuencia dada y el décimo término de la secuencia.
1)\(\quad a_{n}=n^{2}+3\)
\ [
a_ {1} =4, a_ {2} =7, a_ {3} =12, a_ {4} =19, a_ {10} =103
\]
2)\(a_{1}=5\)
\ [
\ begin {array} {l}
a_ {n} =a_ {n-1} +6\\
a_ {1} =5, a_ {2} =11, a_ {3} =17, a_ {4} =23, a_ {10} =59
\ end {array}
\]

Encontrar una definición general o recursiva para una secuencia puede ser más difícil que simplemente escribir los términos. Cosas comunes a buscar -

¿Es esta una secuencia alterna? Es decir, ¿los términos rebotan de un lado a otro entre valores positivos y negativos? Si es así, entonces necesitarás incluir\((-1)^{n}\) o\((-1)^{n+1}\) en tu término general.
\ [
\ begin {array} {l}
\ text {Ejemplo:}\ {-1,2, -3,4,\ ldots\}\\
\ qquad a_ {n} =( -1) ^ {n} (n)
\ end {array}
\]
o
\ [
a_ {1} =-1
\]
\ [
a_ {n } = (-1)\ left (a_ {n-1}\ right) + (-1) ^ {n}
\]
¿Existe una diferencia común entre los términos? Si es así, entonces la secuencia se comporta de manera muy parecida a una función lineal y tendrá una forma similar a\(y=m x+b,\) donde\(m\) está la diferencia común.
\ [
\ begin {array} {l}
\ text {Ejemplo:}\ {5,8,11,14,\ ldots\}\
\ qquad a_ {n} =3 n+2
\ end {array}
\]
o
\ [
\ begin {array} {l}
a_ {1} =5\\
a_ {n} = a_ {n-1} +3
\ end {array}
\]

¿Hay un multiplicador común? Si es así, entonces esta debería ser una función de poder donde una base particular se está elevando al poder de\(n\).
\ [
\ begin {array} {l}
\ text {Ejemplo:}\ {3,15,75,375,\ ldots\}\
\ qquad\ begin {array} {l}
a_ {n} =3 * 5^ {n-1}\
\ texto {o}\\
a_ {1} =3\\
a_ {n} =5 * a_ {n-1}
\ end {array}
\ end {array}
\]
Otros patrones a buscar son cuadrados perfectos y cubos perfectos.

Ejercicios 6.1
Encuentra los cuatro primeros términos de la secuencia dada y el décimo término de la secuencia.
1)\(\quad a_{n}=3 n+1\)
2)\(\quad a_{n}=4 n-12\)
3)\(\quad a_{n}=-5 n+3\)
4)\(\quad a_{n}=-2 n+7\)
5)\(\quad a_{n}=2 n^{2}\)
6)\(\quad a_{n}=5 n^{2}-1\)
7)\(\quad a_{n}=(-1)^{n}(4 n)\)
8)\(\quad a_{n}=(-1)^{n+1}\left(\frac{1}{n}\right)\)
9)\(\quad a_{n}=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}\)
10)\(\quad a_{n}=\frac{5^{n}}{2^{n+1}}\)
11)\(\quad a_{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{2 n+5}\)
12)\(\quad a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{3 n-2}\)
13)\(\quad a_{1}=-3 \text{and} a_{n}=a_{n-1}+4 \)
14)\(\quad a_{1}=2 \text{and} a_{n}=a_{n-1}+12\)
15)\(\quad a_{1}=7 \text{and} a_{n}=9-a_{n-1}\)
16)\(\quad a_{1}=-5 \text{and} a_{n}=17-a_{n-1}\)
17)\(\quad a_{1}=1 \text{and} a_{n}=n+a_{n-1}\)
18)\(\quad a_{1}=4 \text{and} a_{n}=n-a_{n-1}\)
19)\(\quad a_{1}=\frac{1}{2} \text{and} a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{a_{n-1}}\)
20)\(\quad a_{1}=\frac{2}{5} \text{and} a_{n}=\frac{(-1)^{n+1}}{2 a_{n-1}}\)

Para cada una de las secuencias dadas, encuentre un término general\(a_{n},\) y también encuentre una definición recursiva para la secuencia.
21)\(\quad\{6,7,8,9,10, \dots\}\)
22)\(\quad\{9,11,13,15,17, \dots\}\)
23)\(\quad\{1,4,7,10,13, \dots\}\)
24)\(\quad\{-5,4,13,22,31, \dots\}\)
25)\(\quad\{-2,6,-18,54, \dots\}\)
26)\(\quad\{5,-10,20,-40,80, \dots\}\)
27)\(\quad\{1,-1,-3,-5,-7, \dots\}\)
28)\(\quad\{-8,-15,-22,-29, \dots\}\)
29)\(\left\{\frac{5}{2}, \frac{5}{4}, \frac{5}{8}, \frac{5}{16}, \ldots\right\}\)
30) \(\left\{\frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \frac{1}{9}, \frac{1}{11}, \ldots\right\}\)
31)\(\quad\left\{-\frac{1}{3}, \frac{1}{9},-\frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \dots\right\}\)
32)\(\left\{\frac{1}{2},-\frac{2}{5}, \frac{3}{8},-\frac{4}{11}, \ldots\right\}\)
33)\(\quad\{5,-25,125,-625, \dots\}\)
34)\(\quad\left\{1,-\frac{1}{4}, \frac{1}{9},-\frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \dots\right\}\)
35)\(\quad\left\{1, \frac{1}{2}, 3, \frac{1}{4}, 5, \frac{1}{6}, \ldots\right\}\)
36)\(\quad\left\{\frac{2}{3}, \frac{9}{4}, \frac{8}{27}, \frac{81}{16}, \frac{32}{243} \dots\right\}\)