6.3: Serie

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El aprendizaje de secuencias matemáticas suele ser un precursor para aprender sobre series matemáticas. Una serie matemática es una secuencia de números que se está sumando. No se puede subestimar la importancia de las series matemáticas. Muchas ecuaciones en las ciencias no pueden resolverse por métodos algebraicos y deben recurrir a soluciones en serie. La notación para una serie matemática es típicamente la letra mayúscula griega sigma:\(\Sigma\). La notación sigma se utiliza como método de mano corta para representar una serie matemática con una forma particular.
Por ejemplo, si se nos da la serie matemática:
\(1+5+9+13+17+21\)
Esto se puede representar de la siguiente manera: También
\(\sum_{k=0}^{5} 4 k+1\)
podríamos expresar la misma serie como:
\(\sum_{k=1}^{6} 4 k-3\)
Ambas expresiones representan los términos siendo sumadas. Este primer ejemplo es un ejemplo de una serie finita porque tiene un último término. Muchas series matemáticas son series infinitas. Por ejemplo:
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\ldots\)
es un ejemplo de una serie infinita.
Trabajar con series infinitas puede ser bastante útil, pero también algo confuso. El comportamiento de una serie infinita puede ser contradictorio dependiendo de cómo la analices.

Ejercicios 6.3
Escribe cada serie en notación expandida.
1)\(\quad \sum_{k=1}^{10} 2 k-5\)
2)\(\quad \sum_{k=3}^{7} 6 k-3\)
3)\(\quad \sum_{k=2}^{9}(-1)^{k}\left(\frac{1}{k}\right)\)
4)\(\quad \sum_{k=0}^{10}(-1)^{k+1}(k-4)\)
5)\(\quad \sum_{k=0}^{4} \frac{k^{2}}{2}\)
6)\(\quad \sum_{k=1}^{8} \frac{k}{3^{k}}\)
Escribe cada serie usando notación sigma.
7)\(\quad 8+12+16+20+24+28\)
8)\(\quad 5+10+15+20+25+30\)
9)\(\quad 2+9+16+23+\dots+65\)
10)\(\quad 5+8+11+14+\cdots+95\)
11)\(\quad 1+4+9+16+\dots+256\)
12)\(\quad 1+8+27+64+\dots+1331\)
13)\(\quad 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\)
14)\(\quad 27-9+3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}\)