6.3: Serie
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Por ejemplo, si se nos da la serie matemática:
\(1+5+9+13+17+21\)
Esto se puede representar de la siguiente manera: También
\(\sum_{k=0}^{5} 4 k+1\)
podríamos expresar la misma serie como:
\(\sum_{k=1}^{6} 4 k-3\)
Ambas expresiones representan los términos siendo sumadas. Este primer ejemplo es un ejemplo de una serie finita porque tiene un último término. Muchas series matemáticas son series infinitas. Por ejemplo:
\(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2^{k}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\ldots\)
es un ejemplo de una serie infinita.
Trabajar con series infinitas puede ser bastante útil, pero también algo confuso. El comportamiento de una serie infinita puede ser contradictorio dependiendo de cómo la analices.
Ejercicios 6.3
Escribe cada serie en notación expandida.
1)\(\quad \sum_{k=1}^{10} 2 k-5\)
2)\(\quad \sum_{k=3}^{7} 6 k-3\)
3)\(\quad \sum_{k=2}^{9}(-1)^{k}\left(\frac{1}{k}\right)\)
4)\(\quad \sum_{k=0}^{10}(-1)^{k+1}(k-4)\)
5)\(\quad \sum_{k=0}^{4} \frac{k^{2}}{2}\)
6)\(\quad \sum_{k=1}^{8} \frac{k}{3^{k}}\)
Escribe cada serie usando notación sigma.
7)\(\quad 8+12+16+20+24+28\)
8)\(\quad 5+10+15+20+25+30\)
9)\(\quad 2+9+16+23+\dots+65\)
10)\(\quad 5+8+11+14+\cdots+95\)
11)\(\quad 1+4+9+16+\dots+256\)
12)\(\quad 1+8+27+64+\dots+1331\)
13)\(\quad 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{16}-\frac{1}{32}\)
14)\(\quad 27-9+3-1+\frac{1}{3}-\frac{1}{9}\)