5.9: Modelado con Variación
- Page ID
- 116921
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\avec}{\mathbf a}\) \(\newcommand{\bvec}{\mathbf b}\) \(\newcommand{\cvec}{\mathbf c}\) \(\newcommand{\dvec}{\mathbf d}\) \(\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}\) \(\newcommand{\evec}{\mathbf e}\) \(\newcommand{\fvec}{\mathbf f}\) \(\newcommand{\nvec}{\mathbf n}\) \(\newcommand{\pvec}{\mathbf p}\) \(\newcommand{\qvec}{\mathbf q}\) \(\newcommand{\svec}{\mathbf s}\) \(\newcommand{\tvec}{\mathbf t}\) \(\newcommand{\uvec}{\mathbf u}\) \(\newcommand{\vvec}{\mathbf v}\) \(\newcommand{\wvec}{\mathbf w}\) \(\newcommand{\xvec}{\mathbf x}\) \(\newcommand{\yvec}{\mathbf y}\) \(\newcommand{\zvec}{\mathbf z}\) \(\newcommand{\rvec}{\mathbf r}\) \(\newcommand{\mvec}{\mathbf m}\) \(\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}\) \(\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}\) \(\newcommand{\real}{\mathbb R}\) \(\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}\) \(\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}\) \(\newcommand{\bcal}{\cal B}\) \(\newcommand{\ccal}{\cal C}\) \(\newcommand{\scal}{\cal S}\) \(\newcommand{\wcal}{\cal W}\) \(\newcommand{\ecal}{\cal E}\) \(\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}\) \(\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}\) \(\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}\) \(\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}\) \(\newcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\col}{\text{Col}}\) \(\renewcommand{\row}{\text{Row}}\) \(\newcommand{\nul}{\text{Nul}}\) \(\newcommand{\var}{\text{Var}}\) \(\newcommand{\corr}{\text{corr}}\) \(\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}\) \(\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}\) \(\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}\) \(\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}\) \(\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}\) \(\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}\) \(\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}\) \(\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}\) \(\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}\) \(\newcommand{\lt}{<}\) \(\newcommand{\gt}{>}\) \(\newcommand{\amp}{&}\) \(\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}\)Objetivos de aprendizaje
En esta sección, usted:- Resolver problemas de variación directa.
- Resolver problemas de variación inversa.
- Resolver problemas relacionados con la variación articular.
Una compañía de autos usado acaba de ofrecer a su mejor candidata, Nicole, un puesto en ventas. El puesto ofrece 16% de comisión sobre sus ventas. Sus ganancias dependen del monto de sus ventas. Por ejemplo, si vende un vehículo por $4,600, ganará $736. Ella quiere evaluar la oferta, pero no está segura de cómo. En esta sección, veremos las relaciones, como esta, entre ganancias, ventas y tasa de comisión.
Solución de problemas de variación directa
En el ejemplo anterior, las ganancias de Nicole se pueden encontrar multiplicando sus ventas por su comisión. La fórmula nos\(e=0.16s\) dice sus ganancias,\(e\), provienen del producto de 0.16, su comisión, y el precio de venta del vehículo. Si creamos una tabla, observamos que a medida que aumenta el precio de venta, también aumentan las ganancias, lo que debería ser intuitivo. Véase el Cuadro 5.8.1.
| \(s\), precio de venta | \(e=0.16s\) | Interpretación |
|---|---|---|
| \ (s\), precio de venta” class="lt-math-1351">$9,200 | \ (e=0.16s\)” class="lt-matemática-1351">\(e=0.16(9,200)=1,472\) | Una venta de un vehículo de $9,200 da como resultado ganancias de $1472. |
| \ (s\), precio de venta” class="lt-math-1351">$4,600 | \ (e=0.16s\)” class="lt-matemática-1351">\(e=0.16(4,600)=736\) | Una venta de un vehículo de $4,600 da como resultado $736 ganancias. |
| \ (s\), precio de venta” class="lt-math-1351">$18.400 | \ (e=0.16s\)” class="lt-matemática-1351">\(e=0.16(18,400)=2,944\) | Una venta de un vehículo de $18,400 da como resultado ganancias de $2944. |
Cuadro 5.8.1
Observe que las ganancias son un múltiplo de ventas. A medida que aumentan las ventas, las ganancias aumentan de manera predecible. Duplicamos las ventas del vehículo de $4,600 a $9,200, y duplicamos las ganancias de $736 a $1,472. A medida que aumenta la entrada, la salida aumenta como múltiplo de la entrada. Una relación en la que una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Cada variable en este tipo de relación varía directamente con la otra.
La Figura 5.8.1 representa los datos de las ganancias potenciales de Nicole. Decimos que las ganancias varían directamente con el precio de venta del automóvil. La fórmula\(y=kx^n\) se utiliza para la variación directa. El valor\(k\) es una constante distinta de cero mayor que cero y se denomina la constante de variación. En este caso,\(k=0.16\) y\(n=1\). Vimos funciones como esta cuando discutimos las funciones de potencia.
La figura tiene fuente no válida: imagen visible hasta guardarla... src=”/@api /deki/pages/ =Libreras%252Fprecalculus%252FBook%25253a_precalculus_ (OpenStax) %252F 03% 25253A_polinomial_and_racional_funciones%252F 3.9% 25253A_Modeling_Using_Variation/files/CNX_Precalc_Figure_03_09_001.jpg
Una nota general: VARIACIÓN DIRECTA
Si\(x\) y\(y\) están relacionados por una ecuación de la forma
\(y=kx^n\)
entonces decimos que la relación es variación directa y\(y\) varía directamente con, o es proporcional a, el\(n\) th poder de\(x\). En las relaciones de variación directa, existe una relación constante distinta de cero\(k=\dfrac{y}{x^n}\), donde\(k\) se llama la constante de variación, que ayuda a definir la relación entre las variables.
Dada una descripción de un problema de variación directa, resolver para un desconocido.
- Identificar la entrada,\(x\), y la salida,\(y\).
- Determinar la constante de variación. Es posible que deba dividir\(y\) por la potencia especificada de\(x\) para determinar la constante de variación.
- Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación.
- Sustituir valores conocidos en la ecuación para encontrar lo desconocido.
Ejemplo
Solución de un problema de variación directa
La cantidad\(y\) varía directamente con el cubo de\(x\). Si\(y=25\) cuando\(x=2\), encuentra\(y\) cuando\(x\) es\(6\).
Solución
La fórmula general para la variación directa con un cubo es\(y=kx^3\). La constante se puede encontrar dividiendo\(y\) por el cubo de\(x\).
\(k=\dfrac{y}{x^3}\)
\(=\dfrac{25}{2^3}\)
\(=\dfrac{25}{8}\)
Ahora usa la constante para escribir una ecuación que represente esta relación.
\(y=\dfrac{25}{8}x^3\)
Sustituir\(x=6\) y resolver para\(y\).
\(y=\dfrac{25}{8}{(6)}^3\)
\(=675\)
Análisis
El gráfico de esta ecuación es un cúbico simple, como se muestra en la Figura 5.8.2.
Q&A
¿Las gráficas de todas las ecuaciones de variación directa se ven como Ejemplo?
No. Las ecuaciones de variación directa son funciones de potencia, pueden ser lineales, cuadráticas, cúbicas, cuarticas, radicales, etc. pero todas las gráficas pasan a través de ellas\((0,0)\).
Ejercicio
La cantidad\(y\) varía directamente con el cuadrado de\(x\). Si\(y=24\) cuando\(x=3\), encuentra\(y\) cuando\(x\) es 4.
Solución
\(\frac{128}{3}\)
Solución de problemas de variación inversa
La temperatura del agua en un océano varía inversamente a la profundidad del agua. La fórmula nos\(T=\frac{14,000}{d}\) da la temperatura en grados Fahrenheit a una profundidad en pies por debajo de la superficie de la Tierra. Considera el Océano Atlántico, que cubre 22% de la superficie de la Tierra. En cierta ubicación, a la profundidad de 500 pies, la temperatura puede ser de 28°F.
Si creamos el Cuadro 5.8.2, observamos que, a medida que aumenta la profundidad, disminuye la temperatura del agua.
| \(d\), profundidad | \(T=\frac{14,000}{d}\) | Interpretación |
|---|---|---|
| \ (d\), profundidad” class="lt-matemática-1351">500 pies | \ (T=\ frac {14,000} {d}\)” class="lt-matemática-1351">\(\frac{14,000}{500}=28\) | A una profundidad de 500 pies, la temperatura del agua es 28° F. |
| \ (d\), profundidad” class="lt-matemática-1351">1000 pies | \ (T=\ frac {14,000} {d}\)” class="lt-matemática-1351">\(\frac{14,000}{1000}=14\) | A una profundidad de 1,000 pies, la temperatura del agua es de 14° F. |
| \ (d\), profundidad” class="lt-matemática-1351">2000 pies | \ (T=\ frac {14,000} {d}\)” class="lt-matemática-1351">\(\frac{14,000}{2000}=7\) | A una profundidad de 2,000 pies, la temperatura del agua es de 7° F. |
Cuadro 5.8.2
Notamos en la relación entre estas variables que, a medida que una cantidad aumenta, la otra disminuye. Se dice que las dos cantidades son inversamente proporcionales y cada término varía inversamente con el otro. Las relaciones inversamente proporcionales también se denominan variaciones inversas.
Para nuestro ejemplo, la Figura 5.8.3 representa la variación inversa. Decimos que la temperatura del agua varía inversamente con la profundidad del agua porque, a medida que aumenta la profundidad, la temperatura disminuye. La fórmula\(y=\frac{k}{x}\) para la variación inversa en este caso usa\(k=14,000\).
Una nota general: VARIACIÓN INVERSA
Si\(x\) y\(y\) están relacionados por una ecuación de la forma
\(y=\frac{k}{x^n}\)
donde\(k\) es una constante distinta de cero, entonces decimos que\(y\) varía inversamente con el\(n\) th poder de\(x\). En relaciones inversamente proporcionales, o variaciones inversas, hay un múltiplo constante\(k=x^ny\).
Ejemplo
Escribir una fórmula para una relación inversamente proporcional
Un turista planea conducir 100 millas. Encuentra una fórmula para el tiempo que tomará el viaje en función de la velocidad que conduce el turista.
Solución
Recordemos que multiplicar la velocidad por el tiempo da distancia. Si dejamos\(t\) representar el tiempo de conducción en horas, y\(v\) representar la velocidad (velocidad o tasa) a la que conduce el turista, entonces la\(vt=\) distancia. Porque la distancia es fija en 100 millas,\(vt=100\) entonces\(t=\frac{100}{v}\). Porque el tiempo es una función de la velocidad, podemos escribir\(t(v)\).
\(t(v)=\frac{100}{v}\)
\(=100v^{−1}\)
Podemos ver que la constante de variación es 100 y, aunque podemos escribir la relación usando el exponente negativo, es más común verla escrita como una fracción. Nosotros decimos que el tiempo varía inversamente con la velocidad.
Dada una descripción de un problema de variación indirecta, resolver para un desconocido.
- Identificar la entrada,\(x\), y la salida,\(y\).
- Determinar la constante de variación. Es posible que deba multiplicar\(y\) por la potencia especificada de\(x\) para determinar la constante de variación.
- Utilice la constante de variación para escribir una ecuación para la relación.
- Sustituir valores conocidos en la ecuación para encontrar lo desconocido.
Ejemplo
Solución de un problema de variación inversa
Una cantidad\(y\) varía inversamente con el cubo de\(x\). Si\(y=25\) cuando\(x=2\), encuentra\(y\) cuando\(x\) es\(6\).
Solución
La fórmula general para la variación inversa con un cubo es\(y=\frac{k}{x^3}\). La constante se puede encontrar multiplicando\(y\) por el cubo de\(x\).
\(k=x^3y\)
\(=2^3⋅25\)
\(=200\)
Ahora usamos la constante para escribir una ecuación que represente esta relación.
\(y=\dfrac{k}{x^3}\),\( k=200\)
\(y=\dfrac{200}{x^3}\)
Sustituir\(x=6\) y resolver para\(y\).
\(y=\dfrac{200}{6^3}\)
\(=\dfrac{25}{27}\)
Análisis
La gráfica de esta ecuación es una función racional, como se muestra en la Figura 5.8.4.
Ejercicio
Una cantidad\(y\) varía inversamente con el cuadrado de\(x\). Si\(y=8\) cuando\(x=3\), encuentra\(y\) cuando\(x\) es\(4\).
Solución
\(\frac{9}{2}\)
Resolución de problemas relacionados con la variación conjunta
Muchas situaciones son más complicadas que un modelo básico de variación directa o variación inversa. Una variable a menudo depende de otras múltiples variables. Cuando una variable depende del producto o cociente de dos o más variables, esto se denomina variación conjunta. Por ejemplo, el costo de transportar a los estudiantes por cada viaje escolar varía con el número de estudiantes que asisten y la distancia a la escuela. La variable\(c\), costo, varía conjuntamente con el número de alumnos,\(n\), y la distancia,\(d\).
Una nota general: VARIACIÓN CONJUNTA
La variación articular ocurre cuando una variable varía directa o inversamente con múltiples variables.
Por ejemplo, si\(x\) varía directamente con ambos\(y\) y\(z\), tenemos\(x=kyz\). Si\(x\) varía directamente con\(y\) e inversamente con\(z\), tenemos\(x=\frac{ky}{z}\). Observe que solo usamos una constante en una ecuación de variación conjunta.
Ejemplo
Resolución de problemas relacionados con la variación conjunta
Una cantidad\(x\) varía directamente con el cuadrado de\(y\) e inversamente con la raíz cúbica de\(z\). Si\(x=6\) cuándo\(y=2\) y\(z=8\), encuentra\(x\) cuándo\(y=1\) y\(z=27\).
Solución
Comience por escribir una ecuación para mostrar la relación entre las variables.
\(x=\dfrac{ky^2}{\sqrt[3]{z}}\)
Sustituir\(x=6\)\(y=2\),, y\(z=8\) para encontrar el valor de la constante\(k\).
\(6=\dfrac{k2^2}{\sqrt[3]{8}}\)
\(6=\dfrac{4k}{2}\)
\(3=k\)
Ahora podemos sustituir el valor de la constante en la ecuación para la relación.
\(x=\dfrac{3y^2}{\sqrt[3]{z}}\)
Para encontrar\(x\) cuándo\(y=1\) y\(z=27\), sustituiremos los valores por\(y\) y\(z\) en nuestra ecuación.
\(x=\dfrac{3{(1)}^2}{\sqrt[3]{27}}\)
\(=1\)
Ejercicio
Una cantidad\(x\) varía directamente con el cuadrado de\(y\) e inversamente con\(z\). Si\(x=40\) cuándo\(y=4\) y\(z=2\), encuentra\(x\) cuándo\(y=10\) y\(z=25\).
Solución
\(x=20\)
Medios
Acceda a estos recursos en línea para obtener instrucción y práctica adicionales con variación directa e inversa.
Visite este sitio web para obtener preguntas de práctica adicionales de Learningpod.
Ecuaciones Clave
| Variación directa | \(y=kx^n\),\(k\) es una constante distinta de cero. |
| Variación inversa | \(y=\dfrac{k}{x^n}\),\(k\) es una constante distinta de cero. |
Conceptos clave
- Una relación donde una cantidad es una constante multiplicada por otra cantidad se denomina variación directa. Ver Ejemplo.
- Dos variables que son directamente proporcionales entre sí tendrán una relación constante.
- Una relación donde una cantidad es una constante dividida por otra cantidad se denomina variación inversa. Ver Ejemplo.
- Dos variables que son inversamente proporcionales entre sí tendrán un múltiplo constante. Ver Ejemplo.
- En muchos problemas, una variable varía directa o inversamente con múltiples variables. A este tipo de relación le llamamos variación conjunta. Ver Ejemplo.