Prefacio

Este libro está destinado a una introducción semestral al álgebra abstracta. La mayoría de los libros introductorios sobre álgebra abstracta están escritos con un curso de dos semestres en mente. Ver, por ejemplo, los libros que figuran en la Bibliografía a continuación. Estos libros se enumeran en orden aproximado de dificultad creciente. Una búsqueda en la biblioteca utilizando las palabras clave álgebra abstracta o álgebra moderna producirá una lista mucho más larga de tales libros. Algunos serán legibles por el principiante, algunos serán bastante avanzados y serán difíciles de entender sin amplios antecedentes. Una búsqueda en el grupo de palabras clave y anillo también producirá una serie de libros más especializados sobre el tema de este curso. Si deseas ver lo que está pasando en la frontera del tema, puedes echar un vistazo a algunos números recientes de las revistas Journal of Algebra o Communications in Algebra que encontrarás en nuestra biblioteca.

En lugar de pasar mucho tiempo repasando el material de fondo, entramos directamente en el tema principal. Se discuten métodos de prueba y antecedentes necesarios a medida que surja la necesidad. No obstante, al menos debes hojear los apéndices donde se puede encontrar parte de este material para que sepas dónde buscar si necesitas algún hecho o técnica.

Como solo tenemos un semestre, no tenemos tiempo para discutir ninguna de las muchas aplicaciones del álgebra abstracta. Los alumnos que tengan curiosidad por las aplicaciones encontrarán algunas mencionadas en Fraleigh y Gallian. Muchas más aplicaciones se discuten en Birkhoff y Bartee y en Dornhoff y Horn.

Aunque el álgebra abstracta tiene muchas aplicaciones en ingeniería, informática y física, los procesos de pensamiento que uno aprende en este curso pueden ser más valiosos que la materia específica. En este curso, se aprende, quizás por primera vez, cómo se organizan las matemáticas de manera rigurosa. Este enfoque, el método axiomático, enfatiza ejemplos, definiciones, teoremas y pruebas. Se le da mucha importancia a la comprensión. Cada detalle debe ser entendido. Los estudiantes no deben esperar obtener esta comprensión sin un esfuerzo considerable. Mi consejo es aprender cada definición tan pronto como sea cubierta en clase (si no antes) y hacer un esfuerzo real para resolver cada problema en el libro antes de que la solución se presente en clase. Muchos problemas requieren la construcción de una prueba. Incluso si no es capaz de encontrar una prueba en particular, el esfuerzo que se gaste en tratar de hacerlo ayudará a aumentar su comprensión de la prueba cuando la vea. Con el esfuerzo suficiente, aumentará su capacidad para probar con éxito declaraciones por su cuenta.

Suponemos que los estudiantes tienen cierta familiaridad con la teoría básica de conjuntos, el álgebra lineal y el cálculo. Pero muy poco de esta naturaleza será necesario. En gran medida, el curso es autónomo, salvo por el requisito de cierta cantidad de madurez matemática. Y, ojalá, el nivel de madurez matemática del alumno aumente a medida que avance el curso.

A menudo utilizaré el símbolo\(\blacksquare\) para indicar el final de una prueba. O, en algunos casos,\(\blacksquare\) indicará el hecho de que no se darán más pruebas. En tales casos se asignará el comprobante en los problemas o se aportará una referencia donde pueda localizarse la prueba. Este símbolo fue utilizado por primera vez para este propósito por el matemático Paul Halmos.

Nota: al impartir este curso suelo presentar en clase muchos consejos y/o esquemas de soluciones para los problemas menos rutinarios.

Esta versión incluye una serie de mejoras y adiciones sugeridas por mi colega Milé Krajčevski.