Acerca del libro

Se trata de un libro de texto para un curso de primer año de álgebra lineal. Por supuesto, ya hay muchos libros de texto de álgebra lineal fina disponibles. Incluso si estás leyendo este en línea de forma gratuita, debes saber que hay otros libros de texto gratuitos de álgebra lineal disponibles en línea. ¡Tienes opciones! Entonces, ¿por qué elegirías esta?

Este libro surge de mi creencia de que el álgebra lineal, tal como se presenta en un plan de estudios de pregrado tradicional, ha vivido durante demasiado tiempo a la sombra del cálculo. Muchos programas de matemáticas requieren actualmente que sus alumnos completen al menos tres semestres de cálculo, pero solo un semestre de álgebra lineal, que a menudo tiene dos semestres de cálculo como requisito previo.

Además, lo que los estudiantes de álgebra lineal encuentran con frecuencia se presenta de una manera excesivamente formal que no representa completamente el rango del pensamiento algebraico lineal. En efecto, muchos programas utilizan un primer curso de álgebra lineal como un curso de “introducción a las pruebas”. Si bien el álgebra lineal proporciona una excelente introducción al razonamiento matemático, solo enfatizar este aspecto de la asignatura descuida algunas necesidades importantes del estudiante.

Por supuesto, el álgebra lineal se basa en un conjunto de principios abstractos. Sin embargo, estos principios subyacen a una gama asombrosamente amplia de tecnología que da forma a nuestra sociedad de manera profunda. La interacción entre estos principios y sus aplicaciones brinda una oportunidad única para trabajar con los estudiantes. Primero, la consideración de problemas significativos del mundo real fundamenta el pensamiento matemático abstracto de una manera que profundiza la comprensión de los estudiantes. Al mismo tiempo, la variedad de formas en que estos principios abstractos pueden aplicarse demuestra claramente para los estudiantes el poder de la abstracción matemática. El álgebra lineal permite a los estudiantes experimentar lo que el físico Eugene Wigner llamó “la efectividad irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales”, un aspecto de las matemáticas que es a la vez fundamental y misterioso.

Descuidar esta experiencia no sirve bien a nuestros alumnos. Por ejemplo, solo alrededor del 15% de las carreras actuales de matemáticas pasarán a asistir a la escuela de posgrado. El resto se dirige a carreras que les pedirán que utilicen su formación matemática en los negocios, la industria y el gobierno. ¿Qué aspecto tienen estas carreras? Ahora mismo, análisis de datos y minería de datos, gráficos por computadora, desarrollo de software, finanzas e investigación de operaciones. Estas carreras dependen mucho más del álgebra lineal que del cálculo. Además de ayudar a los estudiantes a apreciar los profundos cambios que las matemáticas han traído a nuestra sociedad, una mayor formación en álgebra lineal ayudará a nuestros estudiantes a participar en los inevitables desarrollos aún por venir.

Estos pensamientos no son exclusivamente míos ni son particularmente nuevos. El Grupo de Estudio del Plan de Estudios de Álgebra Lineal, un amplio grupo de matemáticos y educadores matemáticos financiados por la Fundación Nacional de Ciencias, se formó para mejorar la enseñanza del álgebra lineal. En su informe final, escribieron

Existe una creciente preocupación de que el plan de estudios de álgebra lineal en muchas escuelas no atienda adecuadamente las necesidades de los estudiantes a los que intenta atender. En los últimos años, la demanda de formación en álgebra lineal ha aumentado en disciplinas de clientes como ingeniería, informática, investigación de operaciones, economía y estadística. Al mismo tiempo, las mejoras de hardware y software en informática han elevado el poder del álgebra lineal para resolver problemas que son órdenes de magnitud mayores de lo que se soñaba posible hace algunas décadas. Sin embargo, en muchos cursos, la importancia del álgebra lineal en los campos aplicados no se comunica a los estudiantes, y la influencia de la computadora no se siente en el aula, en la selección de temas tratados o en la modalidad de presentación. Además, un énfasis excesivo en la abstracción puede abrumar a los estudiantes principiantes hasta el punto de que abandonen el curso con poca comprensión o dominio de los conceptos básicos que puedan necesitar en cursos posteriores y sus carreras.

Además, entre sus recomendaciones se encuentra esta:

Creemos que un primer curso de álgebra lineal debe impartirse de una manera que refleje su nuevo papel como herramienta científica. Esto implica menos énfasis en la abstracción y más énfasis en la resolución de problemas y aplicaciones motivadoras.

Lo que puede sorprender es que esto fue escrito en 1993; es decir, antes de la introducción del algoritmo PageRank de Google, antes de Toy Story de Pixar, y antes de la ascensión de lo que llamamos “Big Data”, hizo estas afirmaciones solo más relevantes.

Con estos pensamientos en mente, el objetivo de este libro es facilitar una experiencia más completa y rica del álgebra lineal para todos los estudiantes, lo que informa las siguientes decisiones.

• Este libro está escrito sin el supuesto de que los estudiantes hayan tomado un curso de cálculo. Al tomar esta decisión, espero que los estudiantes obtengan una experiencia más auténtica de las matemáticas a través del álgebra lineal en una etapa más temprana de sus carreras académicas.

  De hecho, una barrera común para el éxito estudiantil en el cálculo es su torre de prerrequisito relativamente alta que culmina en un curso a menudo llamado “Precálculo”. Por el contrario, el álgebra lineal comienza con suposiciones mucho más simples sobre la preparación de nuestros estudiantes: las expresiones estudiadas son lineales de manera que pueden manipularse usando solo las cuatro operaciones aritméticas básicas.

  La explicación más común que escucho para requerir cálculo como requisito previo para el álgebra lineal es que el cálculo desarrolla en los estudiantes una “madurez matemática” beneficiosa. Sin embargo, dadas las persistentes luchas de los estudiantes con el cálculo, parece igual de razonable desarrollar las habilidades de los estudiantes para razonar matemáticamente a través del álgebra lineal.

• El texto incluye una serie de aplicaciones significativas de conceptos algebraicos lineales importantes, como la animación por computadora, el algoritmo de compresión JPEG y el algoritmo PageRank de Google. En mi experiencia, los estudiantes encuentran estas aplicaciones más auténticas y convincentes que las aplicaciones típicas presentadas en una clase de cálculo. Estas aplicaciones también proporcionan una fuerte justificación para la abstracción matemática, que a menudo frustra a los estudiantes principiantes.
• Cada sección comienza con una actividad previa e incluye una serie de actividades que pueden ser utilizadas para facilitar el aprendizaje activo en un aula. Por ahora, la efectividad del aprendizaje activo para ayudar a los estudiantes a desarrollar una comprensión profunda de conceptos matemáticos importantes está fuera de discusión. Las actividades aquí están diseñadas para reforzar ideas ya encontradas, motivar la necesidad de ideas futuras y ayudar a los estudiantes a reconocer diversas manifestaciones de temas subyacentes simples. En la medida de lo posible, se pide a los estudiantes que desarrollen nuevas ideas y se apropien de ellas.
• Las actividades enfatizan una amplia gama de pensamiento matemático. En lugar de proporcionar el ciclo tradicional de Definición-Teoremo-Prueba, Comprender el Álgebra Lineal tiene como objetivo desarrollar una apreciación de las ideas como surgidas en respuesta a una necesidad que los estudiantes perciben. Trabajando tanto como lo hacen los matemáticos de investigación, se les pide a los estudiantes que consideren ejemplos que ilustren la importancia de los conceptos clave para que surjan definiciones como etiquetas naturales utilizadas para identificar estos conceptos. Nuevamente usando ejemplos como motivación, se pide a los estudiantes razonar matemáticamente y explicar los fenómenos generales que observan, que luego se registran como teoremas y proposiciones. Sin embargo, no es la intención de este libro desarrollar las habilidades formales de prueba de escritura de los estudiantes.
• Existen frecuentes células de Sage incrustadas que ayudan a desarrollar el dominio computacional de los estudiantes. El impacto que el álgebra lineal está teniendo en nuestra sociedad está inextricablemente ligado al fenomenal aumento del poder de cómputos presenciado en el último medio siglo. En efecto, Carl Cowen, ex presidente de la Asociación Matemática de América, ha dicho: “Ninguna aplicación seria del álgebra lineal ocurre sin una computadora”. Esto significa que una comprensión del álgebra lineal no está completa sin una comprensión de cuán importantes se calculan prácticamente las cantidades.
• El texto tiene como objetivo aprovechar la intuición geométrica para potenciar el pensamiento algebraico. A pesar de que puede ser difícil de visualizar\(\R^{1000}\), muchos conceptos algebraicos lineales pueden ser efectivamente ilustrados en\(\R^2\) o\(\R^3\) y la intuición resultante se aplica de manera más general. De hecho, esta útil interacción entre geometría y álgebra ilustra otra misteriosa conexión matemática entre áreas aparentemente dispares.

Espero que Comprender el Álgebra Lineal sea útil para ti, ya sea un estudiante que toma una clase de álgebra lineal, alguien que solo está interesado en el autoestudio, o un instructor que busca algunas ideas para usar con tus alumnos. Estaría más que feliz de escuchar tus comentarios.