3.1: Mapeos

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Una función compleja\(w=f(z)\) puede considerarse como un mapeo o transformación de los puntos en el\(z=x+iy\) plano a los puntos del\(w=u+iv\) plano. En variables reales en una dimensión, esta noción equivale a entender la gráfica\(y=f(x)\), es decir, el mapeo de los puntos\(x\) a\(y=f(x)\).

En variables complejas, la situación es más difícil debido a que tenemos cuatro dimensiones. Por lo tanto, una representación gráfica como en el caso unidimensional real no es factible. Más bien, se consideran los dos planos complejos,\(z\) y\(w\), por separado y se pregunta cómo una región en el\(z\) plano se transforma o mapea a una región o imagen correspondiente en el\(w\) plano.

El applet a continuación visualiza la acción de una función compleja como un mapeo de un subconjunto del\(z\) plano -plano al\(w\) -plano. Por ejemplo, las regiones de color púrpura claro son el conjunto de dominios y el rango de la función, respectivamente. Cualquier punto\(z\) del conjunto de dominios se asigna al punto correspondiente\(f(z)=w\) en el rango. Por supuesto, también podemos elegir un dominio diferente (es decir, un triángulo o cuadrado) para aplicar el mapeo. De esta manera la función mapea (transforma) los objetos coloreados del dominio al rango. Arrastre el triángulo y el cuadrado (o puntos) definidos en el\(z\) plano -para observar el efecto de la transformación en el\(w\) plano.

GRAFO INTERACTIVO

OBSERVACIÓN: En análisis complejos la noción de dominio tiene dos significados diferentes. El primero alude al conjunto de dominios de una función, mientras que el segundo pertenece a cualquier subconjunto abierto y conectado del plano complejo o la esfera de Riemann. La mayoría de los conjuntos de dominios de funciones complejas que encontraremos en este libro serán, de hecho, dominios en el sentido topológico.