Prefacio

Este es un texto para un curso de dos períodos de análisis introductorio real para estudiantes de matemáticas junior o senior y estudiantes de ciencias con un interés serio en las matemáticas. Los futuros educadores o estudiantes de secundaria con talento matemático también pueden beneficiarse de la madurez matemática que se puede obtener de un curso introductorio de análisis real.

El libro está diseñado para llenar los vacíos que quedan en el desarrollo del cálculo tal como suele presentarse en un curso elemental, y proporcionar los antecedentes necesarios para conocer cursos más avanzados en matemáticas puras y aplicadas. La secuencia estándar de cálculo elemental es el único requisito previo específico para los Capítulos 1—5, que tratan de funciones de valor real. (Sin embargo, otros cursos orientados al análisis, como la ecuación diferencial elemental, también proporcionan una experiencia preparatoria útil). Los capítulos ~6 y 7 requieren un conocimiento práctico de determinantes, matrices y transformaciones lineales, típicamente disponibles desde un primer curso de álgebra lineal. El Capíto~8 es accesible después de la finalización de los Capítulos ~1—5.

Sin tomar posición a favor o en contra de las reformas actuales en la enseñanza de las matemáticas, creo que es justo decir que la transición de cursos elementales como cálculo, álgebra lineal y ecuaciones diferenciales a un curso riguroso de análisis real es hoy un paso más grande que hace apenas unos años. Para dar este paso los estudiantes de hoy necesitan más ayuda que sus predecesores, y deben ser entrenados y alentados más. Por lo tanto, al tiempo de esforzarme por mantener un alto nivel de rigor, he tratado de escribir de la manera más clara e informal posible. En este sentido me parece útil dirigirme al alumno en segunda persona. He incluido 295 ejemplos completamente elaborados para ilustrar y aclarar todos los teoremas y definiciones principales.

He enfatizado cuidadosas declaraciones de definiciones y teoremas y he tratado de ser completo y detallado en pruebas, a excepción de omisiones dejadas a los ejercicios. Doy un tratamiento minucioso de las funciones de valor real antes de considerar las funciones de valor vectorial. Al hacer la transición de una a varias variables y de funciones de valor real a funciones vectoriales, le he dejado al alumno algunas pruebas que son esencialmente repeticiones de teoremas anteriores. Creo que trabajar a través de los detalles de generalizaciones directas de resultados más elementales es una buena práctica para el estudiante.

• El capítulo 1 se refiere al sistema de números reales. Sección~1.1 comienza con una breve discusión de los axiomas para un campo ordenado completo, pero no se intenta desarrollar los reales a partir de ellos; más bien, se asume que el estudiante está familiarizado con las consecuencias de estos axiomas, excepto uno: la integridad. Dado que la diferencia entre un tratamiento riguroso y no riguroso del cálculo puede describirse en gran medida en términos de la actitud que se toma hacia la integridad, he dedicado un esfuerzo considerable a desarrollar sus consecuencias. Sección~1.2 es sobre inducción. Aunque esto pueda parecer fuera de lugar en un curso de análisis real, he encontrado que el típico estudiante principiante de análisis real simplemente no puede hacer una prueba de inducción sin revisar el método. Sección~1.3 está dedicada a la teoría de conjuntos elementales y a la topología de la línea real, terminando con los teoremas de Heine-Borel y Bolzano-Weierstrass.
• Chapter~2 abarca el cálculo diferencial de funciones de una variable: límites, continuidad, diferenciabilidad, regla de L'Hospital y teorema de Taylor. El énfasis está en la presentación rigurosa de principios; no se intenta desarrollar las propiedades de funciones elementales específicas. Aunque esto no se haga rigurosamente en la mayoría de los cursos de cálculo contemporáneos, creo que el tiempo del estudiante se gasta mejor en principios que en restablecer fórmulas y relaciones familiares.
• Chapter~3 está dedicado a la integral Riemann de funciones de una variable. En la Sección~3.1 la integral se define de manera estándar en términos de sumas de Riemann. Allí también se definen integrales superiores e inferiores y se utilizan en la Sección~3.2 para estudiar la existencia de la integral. Sección~3.3 está dedicada a las propiedades de la integral. Las integrales inadecuadas se estudian en la Sección~3.4. Creo que mi tratamiento de integrales inadecuadas es más detallado que en la mayoría de los libros de texto comparables. Una mirada más avanzada a la existencia de la propia integral Riemann se da en la Sección~3.5, que concluye con el criterio de existencia de Lebesgue. Esta sección se puede omitir sin comprometer la preparación del estudiante para secciones posteriores.
• Chapter~4 trata secuencias y series. Las secuencias de constante se discuten en la Sección~4.1. He optado por hacer los conceptos de límite inferiores y limitar partes superiores de este desarrollo, principalmente porque esto permite una mayor flexibilidad y generalidad, con poco esfuerzo extra, en el estudio de las series infinitas. Sección~4.2 proporciona una breve introducción a la manera en que la continuidad y diferenciabilidad pueden ser estudiadas por medio de secuencias. Las secciones~4.3—4.5 tratan series infinitas de constantes, secuencias y series infinitas de funciones, y series de potencia, nuevamente con mayor detalle que en la mayoría de los libros de texto comparables. El instructor que opte por no cubrir estas secciones por completo puede omitir los temas menos estándar sin pérdida en secciones posteriores.
• Chapter~5 está dedicado a funciones de valor real de varias variables. Comienza con una discusión sobre la toplogía de\(\mathbb{R}^{n}\) en Sección~5.1. Continuidad y diferenciabilidad se discuten en las Secciones ~5.2 y 5.3. La regla de la cadena y el teorema de Taylor se discuten en la Sección~5.4.
• Chapter~6 cubre el cálculo diferencial de funciones vectoriales de varias variables. Section~6.1 revisa matrices, determinantes y transformaciones lineales, que son partes integrales del cálculo diferencial como se presenta aquí. En la Sección~6.2 el diferencial de una función de valor vectorial se define como una transformación lineal, y la regla de la cadena se discute en términos de composición de dichas funciones. El teorema de la función inversa es el tema de Sección~6.3, donde se introduce la noción de ramas de una inversa. En la Sección~6.4. el teorema de la función implícita está motivado por considerar primero las transformaciones lineales y luego declararse y probarse en general.
• Chapter~7 cubre el cálculo integral de funciones de valor real de varias variables. Las integrales múltiples se definen en Sección~7.1, primero sobre paralelepípedos rectangulares y luego sobre conjuntos más generales. La discusión aborda la integral múltiple de una función cuyas discontinuidades forman un conjunto de contenido cero de Jordania. Sección~7.2 trata de la evaluación por integrales iteradas. La sección~7.3 comienza con la definición de medibilidad de Jordania, seguida de una derivación de la regla para el cambio de contenido bajo una transformación lineal, una formulación intuitiva de la regla para el cambio de variables en múltiples integrales, y finalmente una cuidadosa declaración y prueba de la regla. La prueba es complicada, pero esto es inevitable.
• Chapter~8 trata de espacios métricos. El concepto y las propiedades de un espacio métrico se introducen en la Sección~8.1. Sección~8.2 analiza la compacidad en un espacio métrico, y Sección~8.3 analiza las funciones continuas en espacios métricos.

Las correcciones—matemáticas y tipográficas— son bienvenidas y se incorporarán cuando se reciban.