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1.1: El sistema de números reales

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    Habiendo tomado cálculo, sabes mucho sobre el sistema de números reales; sin embargo, probablemente no sabes que todas sus propiedades siguen de unas pocas básicas. Si bien no llevaremos a cabo el desarrollo del sistema de números reales a partir de estas propiedades básicas, es útil señalarlas como punto de partida para el estudio del análisis real y también para enfocarnos en una propiedad, la integridad, que probablemente sea nueva para ti.

    Propiedades de Campo

    El sistema de números reales (que a menudo llamaremos simplemente los reales) es ante todo un conjunto\(\{a, b, c, \cdots \}\) en el que se definen las operaciones de suma y multiplicación para que cada par de números reales tenga una suma y un producto únicos, ambos números reales, con las siguientes propiedades.

    1. (A) a C b D b C a y ab D ba (leyes conmutativas).
    2. (B) .a C b/ C c D a C .b C c/ y .ab/c D a.bc/ (leyes asociativas).
    3. (C) a.b C c/ D ab C ac (derecho distributivo).
    4. (D) Hay distintos números reales 0 y 1 tal que un C 0 D a y a1 D a para todos a.
    5. (E) Para cada a hay un número real a tal que un C .a/ D 0, y si un ¤0, hay un número real 1=a tal que a.1=a/ D

    Las propiedades manipuladoras de los números reales, como las relaciones

    \[\begin{eqnarray*} (a+b)^2\ar=a^2+2ab+b^2,\\ (3a+2b)(4c+2d)\ar=12ac+6ad+8bc+4bd,\\ (-a)\ar=(-1)a,\quad a(-b)=(-a)b=-ab,\\ \arraytext{\phantom{xxx}and}\\ \frac{a}{b}+\frac{c}{d}\ar=\frac{ad+bc}{bd}\quad (b,d\ne0), \end{eqnarray*}\]

    todos siguen de —

    . Asumimos que estás familiarizado con estas propiedades.

    Un conjunto en el que se definen dos operaciones para tener propiedades:

    se llama {}. El sistema de números reales no es de ninguna manera el único campo. Los {} (que son los números reales que se pueden escribir como\(r=p/q\), donde\(p\) y\(q\) son enteros y\(q\ne0\)) también forman un campo bajo suma y multiplicación. El campo más simple posible consta de dos elementos, los cuales denotamos por\(0\) y\(1\), con suma definida por\[\begin{equation}\label{eq:1.1.1} 0+0=1+1=0,\quad 1+0=0+1=1, \end{equation}\] y multiplicación definida por\[\begin{equation}\label{eq:1.1.2} 0\cdot 0=0\cdot1=1\cdot 0=0,\quad 1\cdot1=1 \end{equation}\] (Ejercicio~).

    La relación de orden

    El sistema de números reales está ordenado por la relación\(<\), que tiene las siguientes propiedades.

    Un campo con una relación de orden satisfactoria

    es un campo {}. Así, los números reales forman un campo ordenado. Los números racionales también forman un campo ordenado, pero es imposible definir un orden en el campo con dos elementos definidos por y para convertirlo en un campo ordenado (Ejercicio~).

    Suponemos que está familiarizado con otra notación estándar relacionada con la relación de orden: así,\(a>b\) significa que\(b<a\);\(a\ge b\) significa que cualquiera\(a=b\) o\(a>b\);\(a\le b\) significa que cualquiera\(a=b\) o\(a<b\); el {}\(a\), denotado por\(|a|\), es igual \(a\)si\(a\ge0\) o\(-a\) si\(a\le0\). (A veces llamamos\(|a|\) el {} de\(a\).)

    Probablemente conozcas el siguiente teorema del cálculo, pero incluimos la prueba para tu conveniencia.

    Hay cuatro posibilidades:

    Eq.~ se mantiene en los casos {} y {}, ya que\[\begin{equation} |a+b|= \begin{cases} |a|-|b|& \text{ if } |a| \ge |b|,\\ |b|-|a|& \text{ if } |b| \ge |a|. \end{cases} \tag*{\bbox} \end{equation}\]

    La desigualdad triangular aparece en diversas formas en muchos contextos. Es la desigualdad más importante en matemáticas. Lo usaremos a menudo.

    Sustituyendo\(a\) por\(a-b\) en rendimientos por\[ |a|\le|a-b|+|b|, \] lo\[\begin{equation} \label{eq:1.1.6} |a-b|\ge|a|-|b|. \end{equation}\]\(a\) Intercambiantes y\(b\) aquí rendimientos\[ |b-a|\ge|b|-|a|, \] que es equivalente a\[\begin{equation} \label{eq:1.1.7} |a-b|\ge|b|-|a|, \end{equation}\] since\(|b-a|=|a-b|\). Desde\[ \big||a|-|b|\big|= \left\{\casespace\begin{array}{l} |a|-|b|\mbox{\quad if \quad} |a|>|b|,\\[2\jot] |b|-|a|\mbox{\quad if \quad} |b|>|a|, \end{array}\right. \] e implicar. Sustitución\(b\) por\(-b\) en rendimientos, ya que\(|-b|=|b|\).

    Con los números reales asociados de la manera habitual a los puntos de una línea, estas definiciones pueden interpretarse geométricamente de la siguiente manera:\(b\) es un límite superior de\(S\) si ningún punto de\(S\) está a la derecha de\(b\);\(\beta=\sup S\) si ningún punto de\(S\) está a la derecha de\(\beta\), pero hay al menos un punto de\(S\) a la derecha de cualquier número menor que\(\beta\) (Figura~).

    Este ejemplo muestra que un supremo de un conjunto puede o no estar en el conjunto, ya que\(S_1\) contiene su supremo, pero no\(S\) lo hace.

    Un conjunto {} es un conjunto que tiene al menos un miembro. El {}, denotado por\(\emptyset\), es el conjunto que no tiene miembros. Si bien puede parecer una tontería hablar de tal conjunto, veremos que es una idea útil.

    Una cosa es definir un objeto y otra demostrar que realmente hay un objeto que satisface la definición. (Por ejemplo, ¿tiene sentido definir el número real positivo más pequeño?) Esta observación es particularmente apropiada en relación con la definición de lo supremo de un conjunto. Por ejemplo, el conjunto vacío está delimitado arriba por cada número real, por lo que no tiene supremo. (Piensa en esto.) Más importante aún, veremos en Ejemplo~ que las propiedades —

    no garantizan que cada conjunto no vacío que esté delimitado arriba tenga un supremo. Dado que esta propiedad es indispensable para el desarrollo riguroso del cálculo, la tomamos como axioma para los números reales.

    Primero mostramos que\(\beta=\sup S\) tiene propiedades y. Ya que\(\beta\) es un límite superior de\(S\), debe satisfacer. Dado que cualquier número real\(a\) menor que\(\beta\) pueda escribirse como\(\beta-\epsilon\) con\(\epsilon=\beta-a>0\), es sólo otra manera de decir que ningún número menor que\(\beta\) es un límite superior de\(S\). Por lo tanto,\(\beta=\sup S\) satisface y

    .

    Ahora demostramos que no puede haber más de un número real con propiedades y. Supongamos que\(\beta_1<\beta_2\) y\(\beta_2\) tiene propiedad; así\(\epsilon>0\), si, hay una\(x_0\) en\(S\) tal que\(x_0>\beta_2-\epsilon\). Entonces, al tomar\(\epsilon=\beta_2-\beta_1\), vemos que hay una\(x_0\) en\(S\) tal que\[ x_0>\beta_2-(\beta_2-\beta_1)=\beta_1, \] así\(\beta_1\) no puede tener propiedad. Por lo tanto, no puede haber más de un número real que satisfaga tanto y

    .

    A menudo definiremos un conjunto\(S\) por escritura\(S=\set{x}{\cdots}\), lo que significa que\(S\) consiste en todo lo\(x\) que satisface las condiciones a la derecha de la barra vertical; así, en Ejemplo~,\[\begin{equation}\label{eq:1.1.8} S=\set{x}{x<0} \end{equation}\] y a veces\[ S_1=\set{x}{x\mbox{ is a negative integer}}. \] abreviaremos $x$ es miembro de $S$” por $x\ en S$, y \(x\)no es miembro de\(S\)” por\(x\notin S\). Por ejemplo, si\(S\) está definido por, entonces\[ -1\in S\mbox{\quad but \quad} 0\notin S. \]

    Dado que\(n+1\) es un entero siempre que\(n\) es, implica eso\[ (n+1)\epsilon\le\beta \] y por lo tanto\[ n\epsilon\le\beta-\epsilon \] para todos los enteros\(n\). De ahí,\(\beta-\epsilon\) es un límite superior de\(S\). Ya que\(\beta-\epsilon <\beta\), esto contradice la definición de~\(\beta\).

    Del Teorem~ con\(\rho=1\) y\(\epsilon=b-a\), hay un entero positivo\(q\) tal que\(q(b-a)>1\). También hay un entero\(j\) tal que\(j>qa\). Esto es obvio si\(a\le0\), y se deduce del Teorem~ con\(\epsilon=1\) y\(\rho=qa\) si\(a>0\). Dejar\(p\) ser el entero más pequeño tal que\(p>qa\). Entonces\(p-1\le qa\), entonces\[ qa<p\le qa+1. \] Desde\(1<q(b-a)\), esto implica que\[ qa<p<qa+q(b-a)=qb, \] así\(qa<p<qb\). Por lo tanto,\(a<p/q<b\).

    Del Teorem~, hay números racionales\(r_1\) y\(r_2\) tal que\[\begin{equation} \label{eq:1.1.10} a<r_1<r_2<b. \end{equation}\] Let\[ t=r_1+\frac{1}{\sqrt2}(r_2-r_1). \] Then\(t\) es irracional (¿por qué?) y\(r_1<t<r_2\), entonces\(a<t<b\), de.

    Un conjunto\(S\) de números reales es {} si hay un número real\(a\) tal que\(x\ge a\) siempre que\(x\in S\). En este caso,\(a\) es un {} de\(S\). Si\(a\) es un límite inferior de\(S\), también lo es cualquier número menor, debido a la propiedad

    . Si\(\alpha\) es un límite inferior de\(S\), pero ningún número mayor que\(\alpha\) es, entonces\(\alpha\) es un {} de\(S\), y escribimos\[ \alpha=\inf S. \] Geométricamente, esto significa que no hay puntos de\(S\) a la izquierda de\(\alpha\), pero hay al menos un punto de\(S\) a la izquierda de cualquier número mayor que\(\alpha\).

    (Ejercicio~)

    Un conjunto\(S\) es {} si hay números\(a\) y\(b\) tal que\(a\le x\le b\) para todos\(x\) en\(S\). Un conjunto delimitado no vacío tiene un supremum único y un infimum único, y\[\begin{equation}\label{eq:1.1.11} \inf S\le\sup S \end{equation}\] (Ejercicio~).

    Un conjunto no vacío\(S\) de números reales es {} si no tiene límite superior, o {} si no tiene límite inferior. Es conveniente colindar al sistema de números reales dos puntos ficticios,\(+\infty\) (que solemos escribir de manera más simple como\(\infty\)) y\(-\infty\), y definir las relaciones de orden entre ellos y cualquier número real\(x\) por\[\begin{equation}\label{eq:1.1.12} -\infty<x<\infty. \end{equation}\] Nosotros llamamos\(\infty\) y\(-\infty\) {}. Si\(S\) es un conjunto no vacío de reales, escribimos\[\begin{equation}\label{eq:1.1.13} \sup S=\infty \end{equation}\] para indicar que no\(S\) está delimitado arriba, y\[\begin{equation}\label{eq:1.1.14} \inf S=-\infty \end{equation}\] para indicar que no\(S\) está acotado a continuación.

    El sistema de números reales con\(\infty\) y\(-\infty\) contiguo se llama el {}, o simplemente el {}. Un miembro de los reales extendidos difiere\(-\infty\) y\(\infty\) es {}; es decir, un número real ordinario es finito. No obstante, la palabra finito” en número real finito” es redundante y se usa únicamente para énfasis, ya que nunca nos referiríamos a\(\infty\) o\(-\infty\) como números reales.

    Las relaciones aritméticas entre\(\infty\),\(-\infty\), y los números reales se definen de la siguiente manera.

    También definimos\[ \infty+\infty=\infty\infty=(-\infty)(-\infty)=\infty \] y\[ -\infty-\infty=\infty(-\infty)=(-\infty)\infty=-\infty. \] finalmente, definimos\[ |\infty|=|-\infty|=\infty. \]

    La introducción de\(\infty\) y\(-\infty\), junto con las relaciones aritméticas y de orden definidas anteriormente, conduce a simplificaciones en los enunciados de los teoremas. Por ejemplo, la desigualdad, declarada primero solo para conjuntos acotados, se mantiene para cualquier conjunto no vacío\(S\) si se interpreta adecuadamente de acuerdo con y las definiciones de y. Ejercicios~ y

    ilustran la conveniencia que brindan algunas de las relaciones aritméticas con reales extendidos, y otros ejemplos lo ilustrarán más adelante en secciones posteriores.

    No es útil definir\(\infty-\infty\),,\(0\cdot\infty\)\(\infty/\infty\), y\(0/0\). Se llaman {}, y se dejan indefinidos. Probablemente estudiaste formas indeterminadas en el cálculo; las veremos más cuidadosamente en la Sección~2.4.

    Estos axiomas se conocen como {}. Los números reales se pueden construir a partir de los números naturales mediante definiciones y argumentos basados en ellos. Esta es una tarea formidable que no vamos a emprender. Lo mencionamos para mostrar lo poco que hay que empezar para construir los reales y, lo que es más importante, llamar la atención sobre el postulado

    , que es la base del principio de inducción matemática.

    Se puede demostrar que los enteros positivos forman un subconjunto de los reales que satisface los postulados de Peano (con\(\overline{n}=1\) y\(n'=n+1\)), y es costumbre considerar los enteros positivos y los números naturales como idénticos. Desde este punto de vista, el principio de inducción matemática es básicamente una reafirmación del postulado

    .

    Dejar\[ \mathbb M=\set{n}{n\in \mathbb N\mbox{ and } P_n\mbox{ is true}}. \] De,\(1\in \mathbb M\), y desde,\(n+1\in \mathbb M\) cuando sea\(n\in \mathbb M\). Por lo tanto\(\mathbb M=\mathbb N\), por postulado

    .

    Una prueba basada en Teorem~ es un {}, o {}. El supuesto que\(P_n\) es cierto es el {}. (Teorem~ permite una especie de prueba de inducción en la que la suposición de inducción toma una forma diferente.)

    La inducción, por definición, sólo puede ser utilizada para verificar resultados conjeturados por otros medios. Así, en Ejemplo~ no usamos la inducción para {} la suma\[\begin{equation}\label{eq:1.2.2} s_n=1+2+\cdots+n; \end{equation}\] más bien, nosotros {} que\[\begin{equation}\label{eq:1.2.3} s_n=\frac{n(n+1)}{2}. \end{equation}\] Cómo se adivina qué probar por inducción depende del problema y de su enfoque al mismo. Por ejemplo, podría conjeturarse después de observar que\[ s_1=1=\frac{1\cdot2}{2},\quad s_2=3=\frac{2\cdot3}{2},\quad s_3=6=\frac{4\cdot3}{2}. \] Sin embargo, esto requiere suficiente perspicacia para reconocer que estos resultados son de la forma para\(n=1\),\(2\), y\(3\). Si bien es fácil de probar por inducción una vez que se ha conjeturado, la inducción no es la forma más eficiente de encontrar\(s_n\), que se puede obtener rápidamente reescribiendo como\[ s_n=n+(n-1)+\cdots+1 \] y agregando esto para obtener\[ 2s_n=[n+1]+\left[(n-1)+2\right]+\cdots+[1+n]. \] Hay expresiones\(n\) entre corchetes a la derecha, y los términos en cada sumar a\(n+1\); por lo tanto,\[ 2s_n=n(n+1), \] que rinde.

    Los siguientes dos ejemplos tratan de problemas para los cuales la inducción es un método de solución natural y eficiente.

    El mayor esfuerzo en una prueba de inducción (después de\(P_1\),\(P_2\),,,\(P_n\),
    han sido formulados) suele estar dirigido a mostrar que eso\(P_n\) implica\(P_{n+1}\). No obstante, es importante verificar\(P_1\), ya que\(P_n\) puede implicar\(P_{n+1}\) aunque algunas o todas las proposiciones\(P_1\),\(P_2\),,\(P_n\), sean falsas.

    La siguiente formulación del principio de inducción matemática nos permite iniciar pruebas de inducción con un entero arbitrario, en lugar de 1, como se requiere en Teorem~.

    Para\(m\ge1\), deja\(Q_m\) ser la proposición definida por\(Q_m=P_{m+n_0-1}\). Entonces\(Q_1=P_{n_0}\) es verdad por. Si\(m\ge1\) y\(Q_m=P_{m+n_0-1}\) es verdad, entonces\(Q_{m+1}=P_{m+n_0}\) es cierto por

    con\(n\) reemplazado por\(m+n_0-1\). Por lo tanto,\(Q_m\) es cierto para todos\(m\ge1\) por Teorem~ con\(P\) reemplazado por\(Q\) y\(n\) reemplazado por\(m\). Esto equivale a la afirmación que\(P_n\) es cierta para todos\(n\ge n_0\).

    Porque\(n\ge n_0\), que\(Q_n\) sea la proposición de que\(P_{n_0}\),\(P_{n_0+1}\),,\(P_n\) son todas ciertas. Entonces\(Q_{n_0}\) es verdad por. Ya que\(Q_n\) implica\(P_{n+1}\) por

    , y\(Q_{n+1}\) es cierto si\(Q_n\) y\(P_{n+1}\) son ambos verdaderos, Teorem~ implica que\(Q_n\) es cierto para todos\(n\ge n_0\). Por lo tanto,\(P_n\) es cierto para todos\(n\ge n_0\).

    Uno de nuestros objetivos es desarrollar rigurosamente los conceptos de límite, continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad, que has visto en el cálculo. Para ello se requiere una mejor comprensión de los números reales de lo que se proporciona en el cálculo. El propósito de esta sección es desarrollar esta comprensión. Dado que la utilidad de los conceptos aquí introducidos no se hará evidente hasta que estemos bien metidos en el estudio de los límites y la continuidad, debe reservarse juicio sobre su valor hasta que se apliquen. A medida que esto ocurre, deberá releer las partes aplicables de esta sección. Esto se aplica especialmente al concepto de una cubierta abierta y a los teoremas de Heine—Borel y Bolzano—Weierstrass, que al principio parecerán misteriosos.

    Suponemos que está familiarizado con la interpretación geométrica de los números reales como puntos en una línea. No probaremos que esta interpretación sea legítima, por dos razones: (1) la prueba requiere una excursión a los fundamentos de la geometría euclidiana, que no es el propósito de este libro; (2) aunque usaremos terminología geométrica e intuición para discutir los reales, basaremos todas las pruebas en propiedades —

    (Sección~1.1) y sus consecuencias, no sobre argumentos geométricos.

    En adelante, usaremos los términos {} y {} como sinónimos y denotaremos ambos por el símbolo\(\R\); también, a menudo nos referiremos a un número real como un {} (en la línea real).

    En esta sección nos interesan conjuntos de puntos en la línea real; sin embargo, consideraremos otro tipo de conjuntos en secciones posteriores. La siguiente definición se aplica a los conjuntos arbitrarios, en el entendimiento de que los miembros de todos los conjuntos bajo consideración en cualquier contexto dado provienen de una colección específica de elementos, denominada {}. En esta sección el conjunto universal son los números reales.

    Cada set\(S\) contiene el conjunto vacío\(\emptyset\), pues decir que no\(\emptyset\) está contenido en\(S\) es decir que algún miembro de no\(\emptyset\) está en\(S\), lo cual es absurdo ya que no\(\emptyset\) tiene miembros. Si\(S\) es algún conjunto, entonces\[ (S^c)^c=S\mbox{\quad and\quad} S\cap S^c=\emptyset. \] Si\(S\) es un conjunto de números reales, entonces\(S\cup S^c=\R\).

    Las definiciones de unión e intersección tienen generalizaciones: Si\({\mathcal F}\) es una colección arbitraria de conjuntos, entonces\(\cup\set{S}{S\in {\mathcal F}}\) es el conjunto de todos los elementos que son miembros de al menos uno de los conjuntos en\({\mathcal F}\), y\(\cap\set{S}{S\in {\mathcal F}}\) es el conjunto de todos los elementos que son miembros de cada conjunto en\({\mathcal F}\). La unión e intersección de finitamente muchos conjuntos\(S_1\),, también\(S_n\) se escriben como\(\bigcup^n_{k=1}S_k\) y\(\bigcap^n_{k=1}S_k\). La unión e intersección de una secuencia infinita\(\{S_k\}_{k=1}^\infty\) de conjuntos se escriben como\(\bigcup^\infty_{k=1}S_k\) y\(\bigcap^\infty_{k=1}S_k\).

    1pc 1pc

    1pc Si\(a\) y\(b\) están en los reales extendidos y\(a<b\), entonces el {}\((a,b)\) se define por\[ (a,b)=\set{x}{a<x<b}. \] Los intervalos abiertos\((a,\infty)\) y\((-\infty,b)\) son {} si\(a\) y\(b\) son finitos, y\((-\infty,\infty)\) es toda la línea real.

    La idea de barrio es fundamental y se da en muchos otros contextos, algunos de los cuales veremos más adelante en este libro. Cualquiera que sea el contexto, la idea es la misma: se da alguna definición de cercanía” (por ejemplo, dos números reales están cerca''si su diferencia es ``pequeña”), y una vecindad de un punto\(x_0\) es un conjunto que contiene todos los puntos suficientemente cercanos a\(x_0\).

    Un {} de un punto\(x_0\) es un conjunto que contiene cada punto de algún vecindario de\(x_0\) excepto por\(x_0\) sí mismo. Por ejemplo,\[ S=\set{x}{0<|x-x_0|<\epsilon} \] es un vecindario eliminado de\(x_0\). También decimos que se trata de un {} de\(x_0\).

    Dejar\({\mathcal G}\) ser una colección de conjuntos abiertos y\[ S=\cup\set{G}{G\in {\mathcal G}}. \] Si\(x_0\in S\), entonces\(x_0\in G_0\) para algunos\(G_0\) en\({\mathcal G}\), y ya que\(G_0\) está abierto, contiene algunos\(\epsilon\) -barrio de\(x_0\). Ya que\(G_0\subset S\), este\(\epsilon\) -barrio se encuentra en\(S\), que en consecuencia es un barrio de\(x_0\). Así,\(S\) es un barrio de cada uno de sus puntos, y por lo tanto abierto, por definición.

    Dejar\({\mathcal F}\) ser una colección de conjuntos cerrados y\(T =\cap\set{F}{F\in {\mathcal F}}\). Luego\(T^c=\cup\set{F^c}{F\in {\mathcal F}}\) (Ejercicio~) y, como cada uno\(F^c\) está abierto,\(T^c\) está abierto, desde

    . Por lo tanto,\(T\) está cerrado, por definición.

    Ejemplo~ muestra que un conjunto puede estar abierto y cerrado, y Ejemplo~ muestra que un conjunto puede ser ninguno de los dos. Así, abierto y cerrado no son opuestos en este contexto, como lo son en el discurso cotidiano.

    Se puede demostrar que la intersección de finitamente muchos conjuntos abiertos es abierta, y que la unión de finitamente muchos conjuntos cerrados es cerrada. Sin embargo, la intersección de infinitamente muchos conjuntos abiertos no necesita estar abierta, y la unión de infinitamente muchos conjuntos cerrados no necesita ser cerrada (Ejercicios~ y).

    El siguiente teorema dice que\(S\) se cierra si y solo si\(S=\overline{S}\) (Ejercicio~).

    Supongamos que\(S\) está cerrado y\(x_0\in S^c\). Ya que\(S^c\) está abierto, hay un barrio de\(x_0\) que está contenido\(S^c\) y por lo tanto no contiene puntos de\(S\). De ahí,\(x_0\) no puede ser un punto límite de\(S\). Por el contrario, si ningún punto de\(S^c\) es un punto límite de\(S\) entonces cada punto en\(S^c\) debe tener un barrio contenido en\(S^c\). Por lo tanto,\(S^c\) está abierto y\(S\) está cerrado.

    El teorem~ se suele afirmar de la siguiente manera.

    Teorem~ y Corolary~ son equivalentes. Sin embargo, expresamos el teorema como lo hicimos nosotros porque los estudiantes a veces concluyen incorrectamente del corolario que un conjunto cerrado debe tener puntos límite. El corolario no dice esto. Si no\(S\) tiene puntos límite, entonces el conjunto de puntos límite está vacío y por lo tanto contenido en\(S\). De ahí que se cierre un conjunto sin puntos límite de acuerdo con el corolario, de acuerdo con Teorem~. Por ejemplo, cualquier conjunto finito está cerrado. De manera más general,\(S\) se cierra si hay\(\delta>0\) tal\(|x-y|\ge \delta\) para cada par\(\{x,y\}\) de puntos distintos en\(S\).

    Una colección\({\mathcal H}\) de conjuntos abiertos es un {} de un conjunto\(S\) si cada punto en\(S\) está contenido en un conjunto\(H\) perteneciente a\({\mathcal H}\); es decir, si\(S\subset\cup\set{H}{H\in {\mathcal H}}\).

    Ya que\(S\) está acotada, tiene un infimum\(\alpha\) y un supremum\(\beta\), y, ya que\(S\) está cerrado,\(\alpha\) y\(\beta\) pertenecen a\(S\) (Ejercicio~). Definir\[ S_t=S\cap [\alpha,t] \mbox{\quad for \ } t\ge\alpha, \] y dejar\[ F=\set{t}{\alpha\le t\le\beta and finitely many sets from \mathcal H cover S_t}. \] Desde\(S_\beta=S\), el teorema se probará si podemos demostrarlo\(\beta \in F\). Para ello, utilizamos la integridad de los reales.

    Ya que\(\alpha\in S\),\(S_\alpha\) es el conjunto singleton\(\{\alpha\}\), que está contenido en algún conjunto abierto\(H_\alpha\) de\({\mathcal H}\) porque\({\mathcal H}\) cubre\(S\); por lo tanto,\(\alpha\in F\). Ya que no\(F\) está vacío y delimitado arriba por\(\beta\), tiene un supremo\(\gamma\). En primer lugar, queremos demostrarlo\(\gamma=\beta\). Ya que\(\gamma\le\beta\) por definición de\(F\), basta con descartar la posibilidad de que\(\gamma<\beta\). Consideramos dos casos.

    {Caso 1}. Supongamos que\(\gamma<\beta\) y\(\gamma\not\in S\). Entonces, ya que\(S\) está cerrado, no\(\gamma\) es un punto límite de\(S\) (Teorem~). En consecuencia, hay\(\epsilon>0\) tal que\[ [\gamma-\epsilon,\gamma+\epsilon]\cap S=\emptyset, \] así\(S_{\gamma-\epsilon}=S_{\gamma+\epsilon}\). Sin embargo, la definición de\(\gamma\) implica que\(S_{\gamma-\epsilon}\) tiene una subcobertura finita de\({\mathcal H}\), mientras que no\(S_{\gamma+\epsilon}\) lo hace. Esto es una contradicción.

    {Caso 2}. Supongamos que\(\gamma<\beta\) y\(\gamma\in S\). Después hay un conjunto abierto\(H_\gamma\) en\({\mathcal H}\) que contiene\(\gamma\) y, junto con\(\gamma\), un intervalo\([\gamma-\epsilon,\gamma+\epsilon]\) para algunos positivos\(\epsilon\). Ya que\(S_{\gamma-\epsilon}\) tiene una cobertura finita\(\{H_1, \dots,H_n\}\) de conjuntos de\({\mathcal H}\), se deduce que\(S_{\gamma+\epsilon}\) tiene la cobertura finita\(\{H_1, \dots,H_n,H_\gamma\}\). Esto contradice la definición de\(\gamma\).

    Ahora sabemos eso\(\gamma=\beta\), que está en\(S\). Por lo tanto, hay un conjunto abierto\(H_\beta\) en\({\mathcal H}\) que contiene\(\beta\) y junto con\(\beta\), un intervalo de la forma\([\beta-\epsilon,\beta+\epsilon]\), para algunos positivos\(\epsilon\). Ya que\(S_{\beta-\epsilon}\) está cubierta por una colección finita de conjuntos\(\{H_1, \dots,H_k\}\),\(S_\beta\) está cubierta por la colección finita\(\{H_1, \dots, H_k, H_\beta\}\). Ya que\(S_\beta=S\), estamos terminados.

    En adelante, diremos que un conjunto cerrado y acotado es {}. El teorema de Heine—Borel dice que cualquier cubierta abierta de un conjunto compacto\(S\) contiene una colección finita que también cubre\(S\). Este teorema y su converse (Exercise~) muestran que bien podríamos definir un conjunto\(S\) de reales para que sea compacto si tiene la propiedad Heine—Borel; es decir, si cada cobertura abierta de\(S\) contiene una subcubierta finita. Lo mismo es cierto de\(\R^n\), que estudiamos en la Sección~5.1. Esta definición generaliza a espacios más abstractos (llamados {}) para los cuales no es necesario definir el concepto de delimitación.

    Como aplicación del teorema de Heine—Borel, probamos el siguiente teorema de Bolzano y Weierstrass.

    Mostraremos que un conjunto delimitado no vacío sin un punto límite puede contener solo un número finito de puntos. Si no\(S\) tiene puntos límite, entonces\(S\) se cierra (Teorem~) y cada punto\(x\) de\(S\) tiene un vecindario abierto\(N_x\) que no contiene ningún punto de\(S\) otro que\(x\). La colección\[ {\mathcal H}=\set{N_x}{x\in S} \] es una cubierta abierta para\(S\). Ya que también\(S\) está acotado, Teorem~ implica que\(S\) puede ser cubierto por una colección finita de conjuntos de\({\mathcal H}\), digamos\(N_{x_1}\),,,\(N_{x_n}\). Dado que estos conjuntos contienen sólo\(x_1\),,\(x_n\) de\(S\), se deduce que\(S=\{x_1, \dots,x_n\}\).


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