5.3: Más Redes, Más Superficie

Lección

Dibujemos redes y busquemos la superficie de los poliedros.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Notice and Wonder: Wrapping Paper

Kiran está envolviendo esta caja de tarjetas deportivas como regalo para un amigo.

Figura\(\PageIndex{1}\)

¿Qué notas? ¿Qué te preguntas?

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Building Prisms and Pyramids

Tu profesor te dará un dibujo de un poliedro. Dibujarás su red y calcularás su superficie.

1. ¿Qué poliedro tienes?
2. Estudia tu poliedro. Después, dibuja su red sobre papel cuadriculado. Use la longitud lateral de un cuadrado de rejilla como unidad.
3. Etiquete cada polígono de la red con un nombre o número.
4. Encuentra la superficie de tu poliedro. Muestra tu pensamiento de manera organizada para que pueda ser seguido por otros.

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Comparing Boxes

Aquí están las redes de tres cajas de cartón que son todas prismas rectangulares. Las cajas estarán empacadas con cubos de 1 centímetro. Todas las longitudes están en centímetros.

Figura\(\PageIndex{2}\)

1. Compara las áreas de superficie de las cajas. ¿Qué caja utilizará menos cartón? Muestra tu razonamiento.
2. Ahora compara los volúmenes de estas cajas en centímetros cúbicos. ¿Qué caja contendrá la mayor cantidad de cubos de 1 centímetro? Muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

La Figura C muestra una red de un cubo. Dibuja una red diferente de un cubo. Dibuja otro. Y luego otra. ¿Cuántas redes diferentes se pueden dibujar y ensamblar en un cubo?

Resumen

El área superficial de un poliedro es la suma de las áreas de todas las caras. Debido a que una red nos muestra todas las caras de un poliedro a la vez, puede ayudarnos a encontrar la superficie. Podemos encontrar las áreas de todos los polígonos en la red y agregarlos.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Figura\(\PageIndex{4}\)

Una pirámide cuadrada tiene un cuadrado y cuatro triángulos para sus caras. Su superficie es la suma de las áreas de la base cuadrada y las cuatro caras triangulares:

\((6\cdot 6)+4\cdot (\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 6)=96\)

La superficie de esta pirámide cuadrada es de 96 unidades cuadradas.

Entradas en el glosario

Definición: Base (de un prisma o pirámide)

La palabra base también puede referirse a una cara de un poliedro.

Un prisma tiene dos bases idénticas que son paralelas. Una pirámide tiene una base.

Un prisma o pirámide recibe el nombre de la forma de su base.

Figura\(\PageIndex{5}\): La figura de la izquierda está etiquetada como prisma pentagonal. Hay dos pentágonos idénticos en la parte superior e inferior. Cada vértice de un pentágono está conectado por un segmento vertical al vértice correspondiente de los otros pentágonos. Los pentágonos están cada uno sombreados, con la base de la palabra apuntando a cada uno. La figura de la derecha está etiquetada como pirámide hexagonal. Hay un hexágono en la parte inferior sombreada de color verde. Desde un punto por encima del hexágono se extienden 6 segmentos, cada uno conectado a un vértice del hexágono.

Definición: Cara

Cada lado plano de un poliedro se llama cara. Por ejemplo, un cubo tiene 6 caras, y todas son cuadrados.

Definición: Net

Una red es una figura bidimensional que se puede plegar para hacer un poliedro.

Aquí hay una red para un cubo.

Figura\(\PageIndex{6}\)

Definición: Poliedro

Un poliedro es una forma cerrada, tridimensional con lados planos. Cuando tenemos más de un poliedro, los llamamos poliedros.

Aquí algunos dibujos de poliedros.

Figura\(\PageIndex{7}\)

Definición: Prisma

Un prisma es un tipo de poliedro que tiene dos bases que son copias idénticas entre sí. Las bases están conectadas por rectángulos o paralelogramos.

Aquí algunos dibujos de prismas.

Figura\(\PageIndex{8}\)

Definición: Pyramid

Una pirámide es un tipo de poliedro que tiene una base. Todas las demás caras son triángulos, y todas se encuentran en un solo vértice.

Aquí algunos dibujos de pirámides.

Figura\(\PageIndex{9}\)

Definición: Superficie

El área superficial de un poliedro es el número de unidades cuadradas que cubren todas las caras del poliedro, sin huecos ni superposiciones.

Por ejemplo, si las caras de un cubo tienen cada una un área de 9 cm ², entonces la superficie del cubo es\(6\cdot 9\), o 54 cm ².

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Jada dibujó una red para un poliedro y calculó su superficie.

Figura\(\PageIndex{10}\): Prisma triangular, Las caras son: 5 por 4 rectángulo, área 20 centímetros cuadrados. 4 por 4 cuadrados, área 16 centímetros cuadrados, 2 triángulos, bases de 5, alturas de 3, áreas de 12 centímetros cuadrados cada una, y 3 por 4 rectángulo, área =12 centímetros cuadrados.

1. ¿Qué poliedro se puede ensamblar a partir de esta red?
2. Jada cometió algunos errores en el cálculo de su área. ¿Cuáles fueron los errores?
3. Encuentra la superficie del poliedro. Muestra tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Una caja de cereales mide 8 pulgadas por 2 pulgadas por 12 pulgadas. ¿Cuál es su superficie? Muestra tu razonamiento. Si te atascas, considera dibujar un boceto de la caja o su red y etiquetar los bordes con sus medidas.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Doce cubos se apilan para hacer esta figura.

Figura\(\PageIndex{11}\)

1. ¿Cuál es su superficie?
2. ¿Cómo cambiaría el área de superficie si se retiran los dos cubos superiores?

(De la Unidad 1.5.1)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Aquí hay dos poliedros y sus redes. Etiquete todos los bordes de la red con las longitudes correctas.

Figura\(\PageIndex{12}\)

Figura\(\PageIndex{13}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

1. ¿Qué figura tridimensional se puede ensamblar a partir de la red?

Figura\(\PageIndex{14}\)

2. ¿Cuál es la superficie de la figura? (Un cuadrado de rejilla es 1 unidad cuadrada.)

(De la Unidad 1.5.3)