23.1: Dividir por fracciones unitarias y no unitarias

Lección

Busquemos patrones cuando dividimos por una fracción.

Ejercicio\(\PageIndex{1}\): Dividing by a Whole Number

Trabajar con un compañero. Una persona resuelve los problemas etiquetados como “Socio A” y la otra persona resuelve los etiquetados como “Socio B.” Escribe una ecuación para cada pregunta. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.

1. Socio A:

¿Cuántos 3s hay en 12?
Ecuación de división:

Figura\(\PageIndex{1}\)

¿Cuántos 4s hay en 12?
Ecuación de división:

Figura\(\PageIndex{2}\)

¿Cuántos 6s hay en 12?
Ecuación de división:

Figura\(\PageIndex{3}\)

Socio B:

¿De qué son 12 grupos\(\frac{1}{3}\)?
Ecuación de multiplicación:

Figura\(\PageIndex{4}\)

¿De qué son 12 grupos\(\frac{1}{4}\)?
Ecuación de multiplicación:

Figura\(\PageIndex{5}\)

¿De qué son 12 grupos\(\frac{1}{6}\)?
Ecuación de multiplicación:

Figura\(\PageIndex{6}\)

2. ¿Qué notas sobre los diagramas y ecuaciones? Discuta con tu pareja.
3. Completa esta oración en base a lo que notaste:
   Dividir por un número entero\(a\) produce el mismo resultado que multiplicar por ________.

Ejercicio\(\PageIndex{2}\): Dividing by Unit Fractions

Para encontrar el valor de\(6\div\frac{1}{2}\), Elena pensó, “¿Cuántas\(\frac{1}{2}\) s hay en 6?” y luego dibujó este diagrama de cinta. Se muestran 6 unas, con cada una particionada en 2 piezas iguales.

\(6\div\frac{1}{2}\)

Figura\(\PageIndex{7}\): Diagrama de barras de fracciones. 12 partes iguales. 1 parte sombreada y etiquetada media y 1 persona. Total etiquetados 6 y grupos de cantidad desconocida.

1. Para cada expresión de división, complete el diagrama usando el mismo método que Elena. Entonces, encuentra el valor de la expresión.

1. \(6\div\frac{1}{3}\)

Figura\(\PageIndex{8}\)

Valor de la expresión: ____________

2. \(6\div\frac{1}{4}\)

Figura\(\PageIndex{9}\)

Valor de la expresión: ____________

3. \(6\div\frac{1}{6}\)

Figura\(\PageIndex{10}\)

Valor de la expresión: ____________

2. Examine más de cerca las expresiones y respuestas. Busca un patrón. ¿Cómo podrías encontrar cuántas mitades, tercios, cuartos o sextos había en 6 sin contarlos todos? Explica tu razonamiento.
3. Usa el patrón que notaste para encontrar los valores de estas expresiones. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.
   1. \(6\div\frac{1}{8}\)
   2. \(6\div\frac{1}{10}\)
   3. \(6\div\frac{1}{25}\)
   4. \(6\div\frac{1}{b}\)
4. Encuentra el valor de cada expresión.
   1. \(8\div\frac{1}{4}\)
   2. \(12\div\frac{1}{5}\)
   3. \(a\div\frac{1}{2}\)
   4. \(a\div\frac{1}{b}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\): Dividing by Non-unit Fractions

1. Para encontrar el valor de\(6\div\frac{2}{3}\), Elena comenzó dibujando un diagrama de la misma manera que lo hizo para\(6\div\frac{1}{3}\).

Figura\(\PageIndex{11}\): Diagrama de barras de fracción. 18 partes iguales. Cada tercera parte tiene una línea sólida. Todas las demás líneas están discontinuas. Primera parte etiquetó la fracción 1 sobre 3. Total etiquetado 6.

1. Completa el diagrama para mostrar cuántas\(\frac{2}{3}\) s hay en 6.
2. Elena dice: “Para encontrar\(6\div\frac{2}{3}\), solo puedo tomar el valor de\(6\div\frac{1}{3}\) y luego multiplicarlo por\(\frac{1}{2}\) o dividirlo por 2”. ¿Estás de acuerdo con ella? Explica tu razonamiento.

2. Para cada expresión de división, complete el diagrama usando el mismo método que Elena. Entonces, encuentra el valor de la expresión. Piensa en cómo podrías encontrar ese valor sin contar todas las piezas de tu diagrama.

1. \(6\div\frac{3}{4}\)

Figura\(\PageIndex{12}\): Diagrama de barras de fracciones. 24 partes iguales. Cada cuarta parte tiene una línea sólida. Todas las demás líneas están discontinuas. Primera parte etiquetó la fracción 1 sobre 4. Total etiquetado 6.

Valor de la expresión:___________

2. \(6\div\frac{4}{3}\)

Figura\(\PageIndex{13}\): Diagrama de barras de fracción. 18 partes iguales. Cada tercera parte tiene una línea sólida. Todas las demás líneas están discontinuas. Primera parte etiquetó la fracción 1 sobre 3. Total etiquetado 6.

Valor de la expresión:___________

3. \(6\div\frac{4}{6}\)

Figura\(\PageIndex{14}\): Diagrama de barras de fracciones. 36 partes iguales. Cada sexta parte tiene una línea sólida. Todas las demás líneas están discontinuas. Primera parte etiquetó la fracción 1 sobre 6. Total etiquetado 6.

Valor de la expresión:___________

3. Elena examinó sus diagramas y notó que siempre daba los mismos dos pasos para mostrar división por fracción en un diagrama de cinta. Ella dijo:

“Mi primer paso fue dividir cada 1 entero en tantas partes como el número en el denominador. Entonces, si la expresión es\(6\div\frac{3}{4}\), rompería cada 1 entero en 4 partes. Ahora tengo 4 veces más partes.

Mi segundo paso fue poner cierto número de esas partes en un solo grupo, y ese número es el numerador del divisor. Entonces, si la fracción es\(\frac{3}{4}\), pondría 3 de los\(\frac{1}{4}\) s en un solo grupo. Entonces podría decir cuántas\(\frac{3}{4}\) s hay en 6”.

¿Qué expresión representa cuántos\(\frac{3}{4}\) s tendría Elena después de estos dos pasos? Esté preparado para explicar su razonamiento.

• \(6\div 4\cdot 3\)
• \(6\div 4\div 3\)
• \(6\cdot 4\div 3\)
• \(6\cdot 4\cdot 3\)

4. Usa el patrón que Elena notó para encontrar los valores de estas expresiones. Si te quedas atascado, considera dibujar un diagrama.

1. \(6\div\frac{2}{7}\)
2. \(6\div\frac{3}{10}\)
3. \(6\div\frac{6}{25}\)

¿Estás listo para más?

Encuentra el valor que falta.

Figura\(\PageIndex{15}\)

Resumen

Para responder a la pregunta “¿Cuántas\(\frac{1}{3}\) s hay en 4?” o “¿Qué es\(4\div\frac{1}{3}\)?” , podemos razonar que hay 3 tercios en 1, por lo que hay\((4\cdot 3)\) tercios en 4.

Es decir, dividir 4 por\(\frac{1}{3}\) tiene el mismo resultado que multiplicar 4 por 3.

Figura\(\PageIndex{16}\): Diagrama de barras de fracciones. 12 partes iguales. Cada parte etiquetó la fracción 1 sobre 3. Una parte etiquetada con 1 grupo. Total etiquetados 4 y grupos de cantidad desconocida.

\(4\div\frac{1}{3}=4\cdot 3\)

En general, dividir un número por una fracción unitaria\(\frac{1}{b}\) es lo mismo que multiplicar el número por\(b\), que es el recíproco de\(\frac{1}{b}\).

¿Cómo podemos razonar\(4\div\frac{2}{3}\)?

Ya sabemos que hay\((4\cdot 3)\) o 12 grupos de\(\frac{1}{3}\) s en 4. Para saber cuántas\(\frac{2}{3}\) s hay en 4, necesitamos juntar cada 2 de las\(\frac{1}{3}\) s en un grupo. Hacer esto resulta en la mitad de grupos, lo que es de 6 grupos. En otras palabras:

Figura\(\PageIndex{17}\): Diagrama de barras de fracciones. 12 partes iguales. Cada parte etiquetó la fracción 1 sobre 3. Dos partes etiquetadas 1 grupo. Total etiquetados 4 y grupos de cantidad desconocida.

\(4\div\frac{2}{3}=(4\cdot 3)\div 2\)

o

\(4\div\frac{2}{3}=(4\cdot 3)\cdot\frac{1}{2}\)

En general, dividir un número por\(\frac{a}{b}\), es lo mismo que multiplicar el número por\(b\) y luego dividirlo por\(a\), o multiplicar el número por\(b\) y luego por\(\frac{1}{a}\).

Entradas en el glosario

Definición: Recíproco

Dividir 1 por un número da el recíproco de ese número. Por ejemplo, el recíproco de\(12\) es\(\frac{1}{12}\), y el recíproco de\(\frac{2}{5}\) es\(\frac{5}{2}\).

Practica

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Priya está compartiendo 24 manzanas por igual con algunos amigos. Ella usa la división para determinar cuántas personas pueden tener una parte si cada persona obtiene un número particular de manzanas. Por ejemplo,\(24\div 4=6\) significa que si cada persona obtiene 4 manzanas, entonces 6 personas pueden tener manzanas. Aquí hay algunos otros cálculos:

\(24\div 4=6\qquad 24\div 2=12\qquad 24\div 1=24\qquad 24\div\frac{1}{2}=?\)

1. Priya piensa que el “?” representa un número menor que 24. ¿Estás de acuerdo? Explica o muestra tu razonamiento.
2. En el caso de\(24\div\frac{1}{2}=?\), ¿cuántas personas pueden tener manzanas?

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Aquí hay una regla de centímetros.

1. Usa la regla para encontrar\(1\div\frac{1}{10}\) y\(4\div\frac{1}{10}\).
2. ¿Qué cálculo hiciste cada vez?
3. Usa este patrón para encontrar\(18\div\frac{1}{10}\).
4. Explica cómo podrías encontrar\(4\div\frac{2}{10}\) y\(4\div\frac{8}{10}\).

Figura\(\PageIndex{18}\): Una porción de una regla con la parte superior etiquetada pulgadas y la parte inferior de la regla etiquetada como centímetros. La parte superior de la regla tiene los números 1 y 2 indicados. Hay 15 marcas de garrapatas espaciadas uniformemente entre el comienzo de la regla y 1 y entre 1 y 2. En la parte inferior de la regla se indican los números del 1 al 5. Hay 9 marcas de garrapatas espaciadas uniformemente entre el comienzo de la regla y 1, 1 y 2, 2 y 3, 3 y 4, y 4 y 5.

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Encuentra cada cociente.

1. \(5\div\frac{1}{10}\)
2. \(5\div\frac{3}{10}\)
3. \(5\div\frac{9}{10}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Usa el hecho de que\(2\frac{1}{2}\div\frac{1}{8}=20\) para encontrar\(2\frac{1}{2}\div\frac{5}{8}\). Explica o muestra tu razonamiento.

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Considera el problema: Se necesita una semana para que una tripulación de trabajadores pavimente\(\frac{3}{5}\) kilómetro de una carretera. A ese ritmo, ¿cuánto tiempo tardará en pavimentar 1 kilómetro?

Escribe una ecuación de multiplicación y una ecuación de división para representar la pregunta. Entonces encuentra la respuesta y muestra tu razonamiento.

(De la Unidad 4.2.6)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Una caja contiene\(1\frac{3}{4}\) libras de mezcla para panqueques. Jada usó\(\frac{7}{8}\) libra para una receta. ¿Qué fracción de la mezcla para panqueques en la caja usó? Explica o muestra tu razonamiento. Dibuja un diagrama, si es necesario.

(De la Unidad 4.2.4)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

Calcular cada porcentaje mentalmente.

1. \(25\)% de\(400\)
2. \(50\)% de\(90\)
3. \(75\)% de\(200\)
4. \(10\)% de\(8,000\)
5. \(5\)% de\(20\)

(De la Unidad 3.4.4)