1.4: Sustitución

En la sección anterior se exploró el teorema fundamental del cálculo y el vínculo que proporciona entre integrales definidas y antiderivados. En efecto, las integrales con integrands simples generalmente se evalúan a través de este enlace. En esta sección comenzamos a explorar métodos para integrar integrales más complicadas. Ya hemos visto —vía Teorema 1.2.1— que las integrales interactúan muy bien con la suma, resta y multiplicación por constantes:

\ comenzar {alinear*}\ int_a^b\ izquierda (Af (x) + B g (x)\ derecha)\, d {x} &= A\ int_a^b f (x)\, d {x} + B\ int_a^b g (x)\, d {x}\ final {alinear*}

para$A,B$ constantes. Al combinar esto con la lista de integrales indefinidas en el Teorema 1.3.17, podemos calcular integrales de combinaciones lineales de funciones simples. Por ejemplo

\ begin {alinear*}\ int_1^4\ izquierda (e^x - 2\ sin x + 3x^2\ derecha)\, d {x} &=\ int_1^4e^x\, d {x} -2\ int_1^4\ sin x\, d {x} +3\ int_1^4x^2\, d {x}\\ &=\ izquierda (e^x} + (-2)\ cdot (-\ cos x) + 3\ frac {x^3} {3}\ derecha)\ bigg|_1^4 &\ text {y así sucesivamente}\ end {align*}

Por supuesto que hay muchísimas funciones que se pueden abordar de esta manera, sin embargo hay algunos ejemplos muy simples que no pueden.

\ begin {align*}\ int\ sin (\ pi x)\, d {x} &&\ int x e^x\, d {x} &&\ int\ frac {x} {x^2-5x+6}\, d {x}\ end {align*}

En cada caso los integrandos no son combinaciones lineales de funciones más simples; para calcularlos necesitamos entender cómo las integrales (y los antiderivados) interactúan con composiciones, productos y cocientes. Llegamos a un punto muy similar en nuestro curso de cálculo diferencial donde comprendimos la linealidad de la derivada,

\ begin {align*}\ frac {d} {dx}\ izquierda (Af (x) + Bg (x)\ derecha) &= A\ frac {df} {dx} + B\ frac {dg} {dx},\ end {align*}

pero aún no había visto las reglas de cadena, producto y cociente ¹. Si bien desarrollaremos herramientas para encontrar la segunda y tercera integrales en secciones posteriores, realmente deberíamos comenzar con cómo integrar composiciones de funciones.

Es importante afirmar de inmediato, que en general no se puede anotar la integral de la composición de dos funciones —aunque esas funciones sean simples. Esto no se debe a que la integral no exista. Más bien es porque la integral no puede escribirse como una combinación finita de las funciones estándar que conocemos. Un muy buen ejemplo de esto, que encontramos en el Ejemplo 1.3.4, es la composición de$e^x$ y A$-x^2\text{.}$ pesar de que sabemos

\ begin {alinear*}\ int e^x\, d {x} &= E^x+C &\ text {y} &&\ int -x^2\, d {x} &= -\ frac13 x^3 +C\ end {alinear*}

no hay una función simple que sea igual a la integral indefinida

\ begin {reunir*}\ int e^ {-x^2}\, d {x}. \ end {reunir*}

aun cuando exista la integral indefinida. De esta manera la integración es muy diferente de la diferenciación.

Con esa advertencia fuera del camino, podemos introducir la regla de sustitución. La regla de sustitución se obtiene antidiferenciando la regla de cadena. En cierto sentido es la regla de la cadena a la inversa. Para completarlo, reafirmemos la regla de la cadena:

Teorema 1.4.1 La regla de la cadena

Dejar$F(u)$ y$u(x)$ ser funciones diferenciables y formar su composición$F(u(x))\text{.}$ Entonces

\ comenzar {alinear*}\ frac {d} {dx} F\ grande (u (x)\ grande) &= F'\ grande (u (x)\ grande)\ cdot u' (x)\ final {alinear*}

Equivalentemente, si$y(x)=F(u(x))\text{,}$ entonces

\ begin {align*}\ dfrac {dy} {dx} &=\ dfrac {dF} {du}\ cdot\ dfrac {du} {dx}. \ end {alinear*}

Consideremos una función$f(u)\text{,}$ que tiene antiderivada$F(u)\text{.}$ Entonces sabemos que

\ start {alinear*}\ int f (u)\, d {u} &=\ int F' (u)\, d {u} = F (u) +C\ final {alinear*}

Ahora tome la ecuación anterior y sustituya en ella,$u=u(x)$ es decir, reemplace la variable$u$ con cualquier función (diferenciable) de$x$ para obtener

\ start {alinear*}\ int f (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=u (x)} &= F (u (x)) +C\ final {alinear*}

Pero ahora el lado derecho es una función de$x\text{,}$ por lo que podemos diferenciarlo con respecto$x$ a conseguir

\ start {alinear*}\ frac {d} {dx} F (u (x)) &= F' (u (x))\ cdot u' (x)\ end {align*}

Esto nos dice que$F(u(x))$ es un antiderivado de la función$F'(u(x))\cdot u'(x) = f(u(x))u'(x)\text{.}$ Así sabemos

\ start {alinear*}\ int f\ grande (u (x)\ grande)\ cdot u' (x)\,\, d {x} &= F\ grande (u (x)\ grande) +C =\ int f (u)\,\, d {u}\ bigg|_ {u=u (x)}\ end {align*}

Esta es la regla de sustitución para integrales indefinidas.

Teorema 1.4.2 La regla de sustitución — versión integral indefinida

Para cualquier función diferenciable$u(x)\text{:}$

\ begin {align*}\ int f (u (x)) u' (x)\, d {x} &=\ int f (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=u (x)}\ end {align*}

Para poder aplicar la regla de sustitución con éxito tendremos que escribir el integrando en el formulario$f(u(x))\cdot u'(x)\text{.}$ Para ello necesitamos hacer una buena elección de la función$u(x)\text{;}$ después de eso no es difícil entonces encontrar$f(u)$ y$u'(x)\text{.}$ Desafortunadamente no hay una estrategia para elegir$u(x)\text{.}$ Esto puede hacer que aplicar la regla de sustitución sea más arte que ciencia ². Aquí te proponemos dos estrategias posibles para el picking$u(x)\text{:}$

1. Factorizar el integrando y elegir uno de los factores a ser$u'(x)\text{.}$ Para que esto funcione, debes poder encontrar fácilmente la antiderivada del factor elegido. El antiderivado será$u(x)\text{.}$
2. Buscar un factor en el integrando que sea una función con un argumento que sea más complicado que solo “$x$”. Ese factor jugará el papel de$f\big(u(x)\big)$ Elegir$u(x)$ para ser el argumento complicado.

Aquí hay dos ejemplos que ilustran cada una de esas estrategias a su vez.

Ejemplo 1.4.3$\int 9\sin^8(x) \cos(x) \, d{x}$

Considerar la integral

\ comenzar {reunir*}\ int 9\ sin^8 (x)\ cos (x)\, d {x}\ fin {reunir*}

Queremos masajear esto en la forma del integrando en la regla de sustitución, es decir,$f(u(x))\cdot u'(x)\text{.}$ Nuestro integrando puede escribirse como producto de los dos factores

\ begin {reunir*}\ underbrackets {9\ sin^8 (x)} _\ texto {primer factor}\ cdot\ underbrackets {\ cos (x)} _\ text {segundo factor}\ end {reunión*}

y comenzamos determinando (o adivinando) qué factor juega el papel de$u'(x)\text{.}$ Podemos elegir$u'(x)=9\sin^8(x)$ o$u'(x)=\cos(x)\text{.}$

• Si elegimos$u'(x)=9\sin^8(x)\text{,}$ entonces antidiferenciar esto para encontrar realmente no$u(x)$ es muy fácil. Entonces tal vez sea mejor investigar la otra opción antes de continuar con esta.
• Si elegimos$u'(x)=\cos(x)\text{,}$ entonces sabemos (Teorema 1.3.17) que$u(x)=\sin(x)\text{.}$ Esto también funciona muy bien porque hace que el otro factor simplifique bastante$9\sin^8(x) = 9u^8\text{.}$ Esto parece el camino correcto a seguir.

Entonces vamos con la segunda opción. Establezca$u'(x)=\cos(x), u(x)=\sin(x)\text{,}$ entonces

$$\begin{align*} \int 9\sin^8(x) \cos(x) \, d{x} &= \int 9u(x)^8 \cdot u'(x) \, d{x}\\ &= \int 9u^8 \, d{u} \bigg|_{u=\sin(x)} & \text{by the substitution rule}\\ \end{align*}$$

Ahora nos queda el problema de antidiferenciar un monomio; esto lo podemos hacer con el Teorema 1.3.17.

\ begin {alinear*} &=\ izquierda (u^9 +C\ derecha)\ bigg|_ {u=\ sin (x)}\\ &=\ sen ^9 (x) +C\ end {alinear*}

Tenga en cuenta que$9\sin^8(x) \cos(x)$ es una función de$x\text{.}$ Entonces nuestra respuesta, que es la integral indefinida de también$9\sin^8(x) \cos(x)\text{,}$ debe ser una función de$x\text{.}$ Es por ello que hemos sustituido$u=\sin(x)$ en el último paso de nuestra solución — hace de nuestra solución una función de$x\text{.}$

Ejemplo 1.4.4$\int 3x^2 \cos(x^3) \, d{x}$

Evaluar la integral

\ comenzar {reunir*}\ int 3x^2\ cos (x^3)\, d {x}\ fin {reunir*}

Solución

Nuevamente vamos a utilizar la regla de sustitución y amablemente nuestro integrand es producto de dos factores

\ begin {reunir*}\ underbrackets {3x^2} _\ text {primer factor}\ cdot\ underbrackets {\ cos (x^3)} _\ text {segundo factor}\ end {reunión*}

El segundo factor,$\cos\big(x^3\big)$ es una función, es decir,$\cos\text{,}$ con un argumento complicado, a saber$x^3\text{.}$ Así lo intentamos$u(x)= x^3\text{.}$ Entonces$u'(x) = 3x^2\text{,}$ cual es el otro factor en el integrando. Entonces la integral se convierte

\ begin {align*}\ int 3x^2\ cos (x^3)\, d {x} &=\ int u' (x)\ cos\ big (u (x)\ big)\, d {x} &\ text {solo orden de intercambio de factores}\\ &=\ int\ cos\ big (u (x)\ big) u' (x)\, d {x} &\ text {por la regla de sustitución}\\ &=\ int\ cos (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=x^3}\\ &=\ left (\ sin (u) + C\ right)\ bigg|_ {u=x^3} &\ text {usando Teorema} {\ text {1.3.17}})\\ &=\ sin (x^3) +C\ end {align*}

Una más — usaremos esto para mostrar cómo usar la regla de sustitución con integrales definidas.

Ejemplo 1.4.5$\int_0^1 e^x\sin(e^x)\, d{x}$

Compute

\ begin {reunir*}\ int_0^1 e^x\ sin\ grande (e^x\ grande)\, d {x}. \ end {reunir*}

Solución

Nuevamente usamos la regla de sustitución.

• El integrando vuelve a ser producto de dos factores y podemos elegir$u'(x)=e^x$ o$u'(x)=\sin(e^x)\text{.}$
• Si elegimos$u'(x)=e^x$ entonces$u(x)=e^x$ y el otro factor se vuelve$\sin(u)$ — esto parece prometedor. Observe que si aplicáramos la otra estrategia de buscar un argumento complicado entonces llegaríamos a la misma elección.
• Así lo intentamos$u'(x)=e^x$ y$u(x)=e^x\text{.}$ Esto da (si ignoramos los límites de la integración por un momento)

  \ begin {align*}\ int e^x\ sin\ big (e^x\ big)\, d {x} &=\ int\ sin\ big (u (x)\ big) u' (x)\, d {x} &\ text {aplicar la regla de sustitución}\\ &=\ int\ sin (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=e^x}\ &=\ izquierda (-\ cos (u) +C\ derecha)\ bigg|_ {u=e^x}\\ &= -\ cos\ grande (e^x\ grande) +C\ final {alinear*}

• Pero, ¿qué pasó con los límites de la integración? Ya los podemos incorporar. Acabamos de demostrar que la integral indefinida es$-\cos(e^x)\text{,}$ así por el teorema fundamental del cálculo

  \ begin {align*}\ int_0^1 e^x\ sin\ grande (e^x\ grande)\, d {x} &=\ grande [-\ cos\ grande (e^x\ grande)\ grande] _0^1\\ &= -\ cos (e^1) - (-\ cos (e^0))\\ &= -\ cos (e) +\ cos (1)\ end {alinear*}

El teorema 1.4.2, la regla de sustitución para integrales indefinidas, nos dice que si$F(u)$ es algún antiderivado para$f(u)\text{,}$ entonces$F\big(u(x)\big)$ es un antiderivado para$f\big(u(x)\big) u'(x)\text{.}$ Así nos da el teorema fundamental del cálculo

\ begin {align*}\ int_a^b f\ big (u (x)\ big) u' (x)\,\, d {x} &= F\ big (u (x)\ big)\ bigg|_ {x=a} ^ {x=b}\\ &= F\ big (u (b)\ big) - F\ big (u (a)\ big)\ =\ int_ {u (a)} ^ {u (b)} f (u)\,\, d {u} &\ text {ya que $F (u) $ es una antiderivada para $f (u) $}\ end {align*}

y acabamos de encontrar

Teorema 1.4.6 La regla de sustitución — versión integral definitiva

Para cualquier función diferenciable$u(x)\text{:}$

\ start {alinear*}\ int_a^b f (u (x)) u' (x)\, d {x} &=\ int_ {u (a)} ^ {u (b)} f (u)\, d {u}\ end {alinear*}

Observe que para pasar de la integral en el lado izquierdo a la integral en el lado derecho usted

• sustituto ³$u(x)\rightarrow u$ y$u'(x)\, d{x}\rightarrow \, d{u}\text{,}$
• establecer el límite inferior para la$u$ integral al valor de$u$ (es decir$u(a)$) que corresponde al límite inferior de la$x$ integral (es decir$x=a$), y
• establecer el límite superior para la$u$ integral al valor de$u$ (es decir$u(b)$) que corresponde al límite superior de la$x$ integral (a saber$x=b$).

También tenga en cuenta que ahora tenemos dos formas de evaluar integrales definidas de la forma$\int_a^b f\big(u(x)\big)u'(x)\,\, d{x}\text{.}$

• Podemos encontrar la integral indefinida$\int f\big(u(x)\big) u'(x)\,\, d{x}\text{,}$ usando el Teorema 1.4.2, y luego evaluar el resultado entre$x=a$ y$x=b\text{.}$ Esto es lo que se hizo en el Ejemplo 1.4.5.
• O podemos aplicar el Teorema 1.4.2. Esto implica encontrar la integral indefinida$\int f(u)\,\, d{u}$ y evaluar el resultado entre$u=u(a)$ y$u=u(b)\text{.}$ Esto es lo que haremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 1.4.7$\int_0^1 x^2\sin(x^3+1)\, d{x}$

Compute

\ comenzar {reunir*}\ int_0^1 x^2\ sin\ grande (x^3+1\ grande)\, d {x}\ fin {reunir*}

Solución

• En este ejemplo el integrando ya está cuidadosamente factorizado en dos piezas. Si bien podríamos desplegar cualquiera de nuestras dos estrategias, quizás sea más fácil en este caso elegir$u(x)$ buscando un argumento complicado.
• El segundo factor del integrando es$\sin\big(x^3+1\big)\text{,}$ cuál es la función$\sin$ evaluada en$x^3+1\text{.}$ So set$u(x)=x^3+1\text{,}$ giving$u'(x)=3x^2$ y$f(u)=\sin(u)$
• El primer factor del integrando es$x^2$ que no es del todo$u'(x)\text{,}$ sin embargo podemos masajear fácilmente el integrando en la forma requerida multiplicando y dividiendo por$3\text{:}$

  \ begin {alinear*} x^2\ sin\ grande (x^3+1\ grande) &=\ frac {1} {3}\ cdot 3x^2\ cdot\ sin\ grande (x^3+1\ grande). \ end {alinear*}

• Queremos esto en la forma de la regla de sustitución, así que hacemos un poco de masaje:

  \ begin {align*}\ int_0^1 x^2\ sin\ grande (x^3+1\ grande)\, d {x} &=\ int_0^1\ frac {1} {3}\ cdot 3x^2\ cdot\ sin\ grande (x^3+1\ grande)\, d {x}\\ &=\ frac {1} {3}\ int_0^1\ sin\ grande (x^3+1\ grande)\ cdot 3x^2\, d {x}\\ &\ hskip1.5in\ texto {por teorema} {\ texto {1.2.1}}\ texto {(c)}\ end {alinear*}

• Ahora estamos listos para la regla de sustitución: $$\begin{align*} \frac{1}{3}\int_0^1 \sin\big(x^3+1\big)\cdot 3x^2 \, d{x} &=\frac{1}{3}\int_0^1 \underbrace{\sin\big(x^3+1\big)}_{=f(u(x))}\cdot \underbrace{3x^2}_{=u'(x)} \, d{x}\\ \end{align*}$$

  Ahora establece$u(x)=x^3+1$ y$f(u)=\sin(u)$

  \ begin {align*} &=\ frac {1} {3}\ int_0^1 f (u (x)) u' (x)\, d {x}\\ &=\ frac {1} {3}\ int_ {u (0)} ^ {u (1)} f (u)\, d {u} &\ text {por la regla de sustitución}\\ &= frac {1} {3}\ int_ {1} ^ {2}\ sin (u)\, d {u} &\ text {desde $u (0) =1$ y $u (1) =2$}\\ &=\ frac {1} {3}\ grande [-\ cos (u)\ grande] _1^2\ &=\ frac { 1} {3}\ grande (-\ cos (2) - (-\ cos (1))\ grande)\\ &=\ frac {\ cos (1) -\ cos (2)} {3}. \ end {alinear*}

Hay otra, y quizás más fácil, manera de ver las manipulaciones del ejemplo anterior. Una vez que te$u(x)$ hayas elegido

• hacer la sustitución$u(x) \rightarrow u\text{,}$
• reemplazar$\, d{x} \rightarrow \dfrac{1}{u'(x)} \, d{u}\text{.}$

Al hacerlo, tomamos la integral

\ begin {alinear*}\ int_a^b f (u (x))\ cdot u' (x)\, d {x} &=\ int_ {u (a)} ^ {u (b)} f (u)\ cdot u' (x)\ cdot\ frac {1} {u' (x)}\, d {u}\\ &=\ int_ {u (a)} ^ {u (b)} f (u)\, d {u} &\ text {exactamente la regla de sustitución}\ end {align*}

pero no tenemos que manipular el integrando para hacer$u'(x)$ explícito. Volvamos a hacer el ejemplo anterior con este enfoque.

Ejemplo 1.4.8 Ejemplo 1.4.7 revisado

Compute la integral

\ comenzar {reunir*}\ int_0^1 x^2\ sin\ grande (x^3+1\ grande)\, d {x}\ fin {reunir*}

Solución

• Ya hemos observado que un factor del integrando es el$\sin\big(x^3+1\big)\text{,}$ que se$\sin$ evalúa en$x^3+1\text{.}$ Así intentamos establecer$u(x)=x^3+1\text{.}$
• Esto hace$u'(x)=3x^2\text{,}$ y reemplazamos$u(x)=x^3+1\rightarrow u$ y$\, d{x}\rightarrow\frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{3x^2}\, d{u}\text{:}$

  \ begin {alinear*}\ int_0^1 x^2\ sin\ grande (x^3+1\ grande)\, d {x} &=\ int_ {u (0)} ^ {u (1)} x^2\ underbrackets {\ sin\ grande (x^3+1\ big)} _ {=\ sin (u)}\ frac {1} {3x^2}\, d {u}\\ &=\ int_ {1} ^ {2}\ sin (u)\ frac {x^2} {3x^2}\, d {u}\\ &=\ int_ {1} ^ {2}\ frac {1} {3}\ sin (u)\, d {u}\\ &=\ frac {1} {3}\ int_ {1} ^ {2}\ sin (u)\, d {u}\ final {alinear*}

  que es precisamente la integral que encontramos en el Ejemplo 1.4.7.

Ejemplo 1.4.9 Algunas sustituciones más

Calcular las integrales indefinidas

\ begin {align*}\ int\ sqrt {2x+1}\, d {x} &&\ text {y} &&\ int e^ {3x-2}\, d {x}\ end {align*}

Solución

• Empezando por la primera integral, vemos que no es demasiado difícil detectar el complicado argumento. Si establecemos$u(x)=2x+1$ entonces el integrand es solo$\sqrt{u}\text{.}$
• De ahí que sustituimos$2x+1 \rightarrow u$ y$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{u'(x)}\, d{u}=\frac{1}{2}\, d{u}\text{:}$

  \ begin {align*}\ int\ sqrt {2x+1}\, d {x} &=\ int\ sqrt {u}\ frac {1} {2}\, d {u}\\ &=\ int u^ {1/2}\ frac {1} {2}\, d {u}\\ &=\ izquierda (\ frac {2} {3} u^ {3/2}\ cdot\ frac {1} {2} +C\ derecha)\ bigg|_ {u=2x+1}\\ &=\ frac {1} {3} (2x+1) ^ {3/2} + C\ final {alinear*}

• Podemos evaluar la segunda integral de la misma manera. Establecer$u(x)=3x-2$ y reemplazar$\, d{x}$ por$\frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{3}\, d{u}\text{:}$

  \ begin {alinear*}\ int e^ {3x-2}\, d {x} &=\ int e^u\ frac {1} {3}\, d {u}\\ &=\ izquierda (\ frac {1} {3} e^u + C\ derecha)\ bigg|_ {u=3x-2}\\ &=\ frac {1} {3} e^ {3x-2} +C\ final {alinear*}

Este último ejemplo ilustra que la sustitución puede ser utilizada para tratar fácilmente con argumentos de la forma,$ax+b\text{,}$ es decir, que son funciones lineales de$x\text{,}$ y sugiere el siguiente teorema.

Teorema 1.4.10

Dejar$F(u)$ ser un antiderivado de$f(u)$ y dejar$a,b$ ser constantes. Entonces

\ start {alinear*}\ int f (ax+b)\, d {x} &=\ frac {1} {a} F (ax+b) +C\ end {align*}

Prueba

Podemos mostrar esto usando la regla de sustitución. Que$u(x)=ax+b$ así$u'(x)=a\text{,}$ entonces

\ begin {alinear*}\ int f (ax+b)\, d {x} &=\ int f (u)\ cdot\ frac {1} {u' (x)}\, d {u}\\ &=\ int\ frac {1} {a} f (u)\, d {u}\\ &=\ frac {1} {a}\ int f (u)\, d {u} &\ text {ya que $a$ es una constante}\\ &=\ frac {1} {a} F (u)\ bigg|_ {u=ax+b} +C &\ text {ya que $F (u) $ es un antiderivado de $f (u) $}\\ &=\ frac {1 } {a} F (ax+b) +C.\ final {alinear*}

Ahora podemos hacer el siguiente ejemplo usando la regla de sustitución o el teorema anterior:

Ejemplo 1.4.11$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x)\, d{x}$

Compute$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos(3x)\, d{x}\text{.}$

• En este ejemplo debemos establecer$u=3x\text{,}$ y sustituir$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{3}\, d{u}.$ Cuando hacemos esto también tenemos que convertir los límites de la integral:$u(0)=0$ y$u(\pi/2)=3\pi/2\text{.}$ Esto da

  \ begin {align*}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ cos (3x)\, d {x} &=\ int_0^ {\ frac {3\ pi} {2}}\ cos (u)\ frac {1} {3}\, d {u}\\ &=\ left [\ frac {1} {3}\ sin ()\ derecha] _0^ {\ frac {3\ pi} {2}}\\ &=\ frac {\ sin (3\ pi/2) -\ sin (0)} {3}\\ &=\ frac {-1-0} {3} = -\ frac {1} {3}. \ end {alinear*}

• También podemos hacer este ejemplo más directamente usando el teorema anterior. Ya que$\sin(x)$ es un antiderivado del$\cos(x)\text{,}$ Teorema 1.4.10 nos dice que$\frac{\sin(3x)}{3}$ es un antiderivado de$\cos(3x)\text{.}$ Por lo tanto

  \ begin {align*}\ int_0^ {\ frac {\ pi} {2}}\ cos (3x)\, d {x} &=\ left [\ frac {\ sin (3x)} {3}\ derecha] _0^ {\ frac {\ pi} {2}}\\ &=\ frac {\ sin (3\ pi/2) -\ sin (0)} 3}\\ &= -\ frac {1} {3}. \ end {alinear*}

El resto de esta sección son solo más ejemplos de la regla de sustitución. Te recomendamos que después de leer estos practiques muchos ejemplos por ti mismo bajo condiciones de examen.

Ejemplo 1.4.12$\int_0^1 x^2\sin(1-x^3)\, d{x}$

Esta integral se parece mucho a la del Ejemplo 1.4.7. Tiene sentido intentarlo$u(x)=1-x^3$ ya que es el argumento de$\sin(1-x^3)\text{.}$ Nosotros

• sustituto$u=1-x^3$ y
• reemplazar$\, d{x}$ con$\frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{-3x^2}\, d{u}\text{,}$
• cuando$x=0\text{,}$ tenemos$u=1-0^3=1$ y
• cuando$x=1\text{,}$ tenemos$u=1-1^3=0\text{.}$

Entonces

$$\begin{align*} \int_0^1 x^2 \sin\big(1-x^3\big)\cdot \, d{x} &=\int_1^0 x^2 \sin(u) \cdot \frac{1}{-3x^2}\, d{u}\\ &= \int_1^0 -\frac{1}{3}\sin(u)\, d{u}.\\ \end{align*}$$

Tenga en cuenta que el límite inferior de la$u$ -integral,$1\text{,}$ es decir, es mayor que el límite superior, que es No$0\text{.}$ hay absolutamente nada de malo en eso. Simplemente podemos evaluar la$u$ -integral de la manera normal. Dado que$-\cos(u)$ es un antiderivado de$\sin(u)\text{:}$

\ begin {align*} &=\ left [\ frac {\ cos (u)} {3}\ derecha] _1^0\\ &=\ frac {\ cos (0) -\ cos (1)} {3}\\ &=\ frac {1-\ cos (1)} {3}. \ end {alinear*}

Ejemplo 1.4.13$\int_0^1\frac{1}{(2x+1)^3}\, d{x}$

Compute$\int_0^1\frac{1}{(2x+1)^3}\, d{x}\text{.}$

Podríamos hacer esto usando el Teorema 1.4.10, pero no es demasiado difícil prescindir. Podemos pensar en el integrando como la función “uno sobre un cubo” con el argumento$2x+1\text{.}$ Entonces tiene sentido sustituir$u=2x+1\text{.}$ Eso es

• set$u=2x+1$ y
• reemplazar$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{2}\, d{u}\text{.}$
• Cuando$x=0\text{,}$ tenemos$u=2\times 0+1=1$ y
• cuando$x=1\text{,}$ tenemos$u=2\times 1+1=3\text{.}$

Entonces

\ begin {alinear*}\ int_0^1\ frac {1} {(2x+1) ^3}\, d {x} &=\ int_1^ {3}\ frac {1} {u^3}\ cdot\ frac {1} {2}\, d {u}\\ &=\ frac {1} {2}\ int_1^ {3} u^ {-3}\, d {u}\\ &=\ frac {1} {2}\ izquierda [\ frac {u^ {-2}} {-2}\ derecha] _1^ {3}\ &=\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {1} {-2}\ cdot\ frac {1} {9} -\ frac {1} {-2}\ cdot\ frac {1} {1}\ derecha)\\ &=\ frac {1 } {2}\ izquierda (\ frac {1} {2} -\ frac {1} {18}\ derecha) =\ frac {1} {2}\ cdot\ frac {8} {18}\ &=\ frac {2} {9}\ end {align*}

Ejemplo 1.4.14$\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\, d{x}$

Evaluar$\int_0^1\frac{x}{1+x^2}\, d{x}\text{.}$

Solución

• El integrando se puede reescribir como$x \cdot \frac{1}{1+x^2}\text{.}$ Este segundo factor sugiere que deberíamos intentar establecer$u=1+x^2$ — y así interpretamos el segundo factor como la función “uno sobre” evaluada en el argumento$1+x^2\text{.}$
• Con esta elección nosotros
  • conjunto$u=1+x^2\text{,}$
  • sustituto$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{2x}\, d{u}\text{,}$ y
  • traducir los límites de la integración: cuando$x=0\text{,}$ tenemos$u=1+0^2=1$ y cuando$x=1\text{,}$ tenemos$u=1+1^2=2\text{.}$
• La integral se convierte entonces

  \ begin {alinear*}\ int_0^1\ frac {x} {1+x^2}\, d {x} &=\ int_1^2\ frac {x} {u}\ frac {1} {2x}\, d {u}\\ &=\ int_1^2\ frac {1} {2u}\, d {u}\\ &= ac {1} {2}\ big [\ log|u|\ big] _1^2\\ &=\ frac {\ log 2 -\ log 1} {2} =\ frac {\ log 2} {2}. \ end {alinear*}

Recuerda que estamos usando la notación “$\log$” para el logaritmo natural, es decir, el logaritmo con base También$e\text{.}$ podrías verlo escrito como “$\ln x$”, o con la base hecha explícita como “$\log_e x$”.

Ejemplo 1.4.15$\int x^3\cos\big(x^4+2\big)\, d{x}$

Calcular la integral$\int x^3\cos\big(x^4+2\big)\, d{x}\text{.}$

Solución

• El integrando es el producto de$\cos$ evaluado en los$x^4+2$ tiempos de argumento$x^3\text{,}$ que aparte de un factor de$4\text{,}$ es la derivada del argumento$x^4+2\text{.}$
• De ahí establecemos$u=x^4+2$ y luego sustituimos$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{u'(x)}\, d{u} = \frac{1}{4x^3}\, d{u}\text{.}$
• Antes de continuar, debemos señalar que se trata de una integral indefinida por lo que no tenemos que preocuparnos por los límites de la integración. Sin embargo, necesitamos asegurarnos de que nuestra respuesta es una función de$x$ — no podemos dejarla como una función de$u\text{.}$
• Con esta elección de$u\text{,}$ la integral se convierte entonces

  \ begin {alinear*}\ int x^3\ cos\ grande (x^4+2\ grande)\, d {x} &=\ int x^3\ cos (u)\ frac {1} {4x^3}\, d {u}\ bigg|_ {u=x^4+2}\\ &=\ int\ frac {1} {4}\ cos (u)\, d {u}\ bigg|_ {u=x^4+2}\\ &=\ izquierda (\ frac {1} {4}\ sin (u) +C\ derecha)\ bigg|_ {u=x^4+2}\\ &=\ frac {1} {4}\ sin (x^4+2) +C.\ end {align*}

Los siguientes dos ejemplos están más involucrados y requieren un pensamiento más cuidadoso.

Ejemplo 1.4.16$\int \sqrt{1+x^2}\,x^3\, d{x}$

Compute$\int \sqrt{1+x^2}\,x^3\, d{x}\text{.}$

• Una elección obvia de$u$ es el argumento dentro de la raíz cuadrada. Así que sustituya$u=1+x^2$ y$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{2x}\, d{u}\text{.}$
• Cuando hacemos esto obtenemos

  \ begin {alinear*}\ int\ sqrt {1+x^2}\ cdot x^3\, d {x} &=\ int\ sqrt {u}\ cdot x^3\ cdot\ frac {1} {2x}\, d {u}\\ &=\ int\ frac {1} {2}\ sqrt {u}\ cdot x^2\, d u}\ end {alinear*}

  A diferencia de todos nuestros ejemplos anteriores, no hemos cancelado todos los$x$'s del integrand. Sin embargo antes de hacer lo integral con respecto$u\text{,}$ al integrando debe expresarse únicamente en términos de$u$ —no se permiten los$x$ 's'. (Mira ese integrando en el lado derecho del Teorema 1.4.2.)
• Pero no todo está perdido. Podemos reescribir el factor$x^2$ en términos de la variable$u\text{.}$ Sabemos que$u=1+x^2\text{,}$ así esto significa$x^2 = u-1\text{.}$ Sustituir esto en nuestra integral da

  \ begin {alinear*}\ int\ sqrt {1+x^2}\ cdot x^3\, d {x} &=\ int\ frac {1} {2}\ sqrt {u}\ cdot x^2\, d {u}\\ &=\ int\ frac {1} {2}\ sqrt {u}\ cdot (u-1)\, d {u}\\ &=\ frac {1} {2}\ int\ izquierda (u^ {3/2} -u^ {1/2}\ derecha)\, d {u}\\ &=\ frac {1} {2}\ izquierda (\ frac {2} {5} u^ {5/2} -\ frac {2} {3} u^ {3/2}\ derecha)\ bigg|_ {u=x^2+1} +C\\ &=\ izquierda (\ frac {1} {5} u^ {5/2} -\ frac {1} {3} u^ {3/2}\ derecha)\ bigg|_ {u=x^2+1} +C\\ &=\ frac {1} {5} (x^2+1) ^ {5/2} -\ frac {1} {3} (x^2+1) ^ {3/2} +C.\ final {alinear*}

  ¡Oof!
• No olvides que siempre puedes verificar la respuesta diferenciando:

  \ begin {alinear*} &\ frac {d} {dx}\ izquierda (\ frac {1} {5} (x^2+1) ^ {5/2} -\ frac {1} {3} (x^2+1) ^ {3/2} +C\ derecha)\\ &=\ frac {d} {dx}\ izquierda (\ frac {1} {5} (x^2+1) ^ {5/2}\ derecha) -\ frac {d} {dx}\ izquierda (\ frac {1} {3} (x^2+1) ^ {3/2}\ derecha)\\ &=\ frac {1} {5}\ cdot 2x\ cdot\ frac {5} {2}\ cdot (x^2+1) ^ {3/2} -\ frac {1} {3}\ cdot 2x\ cdot\ frac {3} {2}\ cdot (x^2+1) ^ {1/2}\\ &= x (x^2+1) ^ {3/2} - x (x^2+1) ^ {1/2}\\ &= x\ grande [(x^2+1) -1\ grande]\ cdot\ sqrt {x^2+1}\\ &= x^3\ sqrt {^2+1}. \ end {alinear*}

  que es el integrand original$\checkmark\text{.}$

Ejemplo 1.4.17$\int \tan x\, d{x}$

Evaluar la integral indefinida$\int \tan(x) \, d{x}\text{.}$

Solución

• A primera vista no hay nada que manipular aquí y así muy poco para continuar. Sin embargo podemos reescribir$\tan x$ como$\frac{\sin x}{\cos x}\text{,}$ haciendo lo integral$\int \frac{\sin x}{\cos x}\, d{x}\text{.}$ Esto nos da más con lo que trabajar.
• Ahora piensa en el integrand como siendo el producto$\frac{1}{\cos x}\cdot \sin x\text{.}$ Esto sugiere que establecemos$u=\cos x$ y que interpretemos el primer factor como la función “one over” evaluada en$u=\cos x\text{.}$
• Sustituir$u = \cos x$ y$\, d{x} \rightarrow \frac{1}{-\sin x}\, d{u}$ dar:

  \ begin {alinear*}\ int\ frac {\ sin x} {\ cos x}\, d {x} &=\ int\ frac {\ sin x} {u}\ frac {1} {-\ sin x}\, d {u}\ bigg|_ {u=\ cos x}\ &=\ int -\ frac {1} {u}\, d {u}\ bigg|_ {u=\ cos x}\\ &= -\ log|\ cos x| +C &\ text {y si queremos ir más allá}\\ &=\ log\ izquierda|\ frac {1} {\ cos x}\ derecha|+C\\ &=\ log|\ sec x| +C.\ end {align*}

En todos los ejemplos de sustitución anteriores expresamos la nueva variable de integración,$u\text{,}$ en función,$u(x)\text{,}$ de la antigua variable de integración$x\text{.}$ También es posible expresar la antigua variable de integración,$x\text{,}$ en función,$x(u)\text{,}$ de la nueva variable de integración$u\text{.}$ We podrán ver ejemplos de ello en la Sección 1.9.

Ejercicios

Recordemos que estamos usando$\log x$ para denotar el logaritmo de$x$ con base$e\text{.}$ En otros cursos a menudo se denota$\ln x\text{.}$

Etapa 1

1

1. Verdadero o Falso:$\displaystyle\int \sin(e^x)\cdot e^x\, d{x} = \left.\displaystyle\int \sin(u)\,d u\right|_{u=e^x} = -\cos(e^x)+C$
2. Verdadero o Falso:$\displaystyle\int_0^1 \sin(e^x)\cdot e^x\, d{x} = \displaystyle\int_0^1 \sin(u),\d u = 1-\cos(1)$

2

¿El siguiente razonamiento es sólido? Si no, arréglalo.

Problema: Evaluar$\displaystyle\int (2x+1)^2 \, d{x}\text{.}$

Obra: Utilizamos la sustitución$u=2x+1\text{.}$ Entonces:

\ begin {alinear*}\ int (2x+1) ^2\, d {x} &=\ int u^2\, d {u}\\ &=\ frac {1} {3} u^3+C\\ &=\ frac {1} {3}\ izquierda (2x+1\ derecha) ^3+C\ end {aline*}

3

¿El siguiente razonamiento es sólido? Si no, arréglalo.

Problema: Evaluar$\displaystyle\int_{1}^{\pi} \dfrac{\cos(\log t)}{t}\, d{t}\text{.}$

Obra: Utilizamos la sustitución$u=\log t\text{,}$ así$\, d{u}=\frac{1}{t}\, d{t}\text{.}$ Entonces:

\ begin {alinear*}\ int_ {1} ^ {\ pi}\ dfrac {\ cos (\ log t)} {t}\, d {t} &=\ int_1^ {\ pi}\ cos (u)\, d {u}\\ &=\ sin (\ pi) -\ sin (1) =-\ sin (1)\ sin (1)\,. \ end {alinear*}

4

¿El siguiente razonamiento es sólido? Si no, arréglalo.

Problema: Evaluar$\displaystyle\int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \, d{x}\text{.}$

Trabajo: Comenzamos con la sustitución$u=x^2\text{,}$$\, d{u} = 2x\, d{x}\text{:}$

$$\begin{align*} \int_{0}^{\pi/4} x\tan (x^2) \, d{x}&= \int_{0}^{\pi/4} \frac{1}{2}\tan(x^2)\cdot 2x\, d{x}\\ &=\int_{0}^{\pi^2/16} \frac{1}{2}\tan u\, d{u}\\ &=\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi^2/16} \dfrac{\sin u}{\cos u}\, d{u}\\ \end{align*}$$

Ahora usamos la sustitución$v=\cos u\text{,}$$\, d{v}=-\sin u \, d{u}\text{:}$

\ begin {alinear*} &=\ frac {1} {2}\ int_ {\ cos 0} ^ {\ cos (\ pi^2/16)} -\ dfrac {1} {v}\, d {v}\\ &=-\ frac {1} {2}\ int_ {1} ^ {\ cos (\ pi^2/16)}\ dfrac {1} v}\, d {v}\\ &=-\ frac {1} {2}\ izquierda [\ log|v|\ derecha] _ {1} ^ {\ cos (\ pi^2/16)}\\ & =-\ frac {1} {2}\ izquierda (\ log\ izquierda (\ cos (\ pi^2/16)\ derecha) -\ log (1)\ derecha)\ &=-\ frac {1} {2}\ log\ left (\ cos (\ pi^2/16)\ derecha)\ end {align*}

5 (✳)

Cuál es la integral que resulta cuando$u= \sin x$ se aplica la sustitución a la integral$\displaystyle \int_0^{\pi/2} f(\sin x)\,\, d{x}\text{?}$

6

Dejar$f$ y$g$ ser funciones que sean continuas y diferenciables en todas partes. Simplificar

$$\int f'(g(x))g'(x)\, d{x} - f(g(x)). \nonumber$$

Etapa 2

7 (✳)

Usar sustitución para evaluar$\displaystyle\int_{0}^{1} x e^{x^2} \cos (e^{x^2}) \,\, d{x}\text{.}$

8 (✳)

Dejar$f(t)$ ser cualquier función para la cual$\displaystyle\int_1^8 f(t)\,\, d{t}=1\text{.}$ Calcular la integral$\displaystyle\int_1^2 x^2 f(x^3)\,\, d{x}\text{.}$

9 (✳)

Evaluar$\displaystyle \int \frac{x^{2}}{\left ( x^{3}+31 \right )^{101}}\,d{x}\text{.}$

10 (✳)

Evaluar$\displaystyle \int_{e}^{e^4} \frac{\, d{x}}{x\log x}\text{.}$

11 (✳)

Evaluar$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \frac{\cos x} {1+\sin x}\,\, d{x}\text{.}$

12 (✳)

Evaluar$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \cos x \cdot (1+\sin^2 x)\,\, d{x}\text{.}$

13 (✳)

Evaluar$\displaystyle\int_1^3(2x-1)e^{x^2-x}\, d{x}\text{.}$

14 (✳)

Evaluar${\displaystyle \int \frac{(x^2-4)x}{\sqrt{4-x^2}}\,\, d{x}}\text{.}$

15

Evaluar$\displaystyle\int \dfrac{e^{\sqrt{\log x}}}{2x\sqrt{\log x}}\, d{x}\,.$

Etapa 3

Las preguntas 18 a 22 pueden resolverse por sustitución, pero puede que no sea obvio qué sustitución funcionará. En general, al evaluar integrales, no siempre queda claro de inmediato qué métodos son los adecuados. Si esto te pasa, ¡no te desesperes y definitivamente no te rindas! Sólo adivina un método y pruébalo. Aunque falle, probablemente aprenderás algo que puedas usar para hacer una mejor conjetura. ⁴ Este también es un consejo de vida bastante decente.

16 (✳)

Calcular$\displaystyle\int_{-2}^2 xe^{x^2}\,\, d{x}\text{.}$

17 (✳)

Calcular$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j}{n^2}\sin\left(1+\dfrac{j^2}{n^2}\right)\text{.}$

18

Evaluar$\displaystyle\int_{0}^1 \dfrac{u^3}{u^2+1}\, d{u}\text{.}$

19

Evaluar$\displaystyle\int \tan^3 \theta\ \, d{\theta}\text{.}$

20

Evaluar$\displaystyle\int \dfrac{1}{e^x+e^{-x}}\, d{x}$

21

Evaluar$\displaystyle\int_0^1 (1-2x)\sqrt{1-x^2}\, d{x}$

22

Evaluar$\displaystyle\int\tan x \cdot \log\left(\cos x\right) \, d{x}$

23 (✳)

Evaluar$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \sum\limits_{j=1}^n \dfrac{j}{n^2}\cos\left(\dfrac{j^2}{n^2}\right)\text{.}$

24 (✳)

Calcular$\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sum\limits_{j=1}^n \frac{j}{n^2}\sqrt{1+\frac{j^2}{n^2}}\text{.}$

25

Usando sumas de Riemann, demuestre que

$$\int_a^b 2f(2x)\, d{x} = \int_{2a}^{2b} f(x)\, d{x} \nonumber$$

1. Si tu recuerdo de estas reglas es un poco confuso entonces realmente deberías volver atrás y revisarlas antes de continuar. Definitivamente necesitarás una buena comprensión de la regla de la cadena para lo que sigue en esta sección.
2. Agradecidamente esto se hace más fácil con la experiencia y recomendamos que el lector lea algunos ejemplos y luego practique MUCHO.
3. Una buena manera de recordar este último paso es que reemplazamos$\frac{du}{dx}\,d{x}$ por solo$d{u}$ —que parece que cancelamos los$d{x}$ términos:$\frac{d{u}}{\cancel{d{x}}}\cancel{d{x}} = d{u}\text{.}$ Si bien usar “cancelar el$d{x}$” es un buen mnemotécnico (ayuda de memoria), no debes pensar en la derivada$\frac{du}{dx}$ como una fracción— no eres dividiendo$d{u}$ por$d{x}$.