2: Aplicaciones de Integración

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En el capítulo anterior definimos la integral definida, a partir de su interpretación como el área de una región en el\(xy\) plano. También desarrollamos un montón de teoría para ayudarnos a trabajar con integrales. Esta definición abstracta, y la teoría asociada, resulta extremadamente útil simplemente porque “áreas de regiones en el\(xy\) plano” aparecen en un gran número de escenarios diferentes, muchos de los cuales parecen superficialmente no involucrar “áreas de regiones en el\(xy\) plano”. Aquí hay algunos ejemplos.

El trabajo involucrado en mover una partícula o en bombear un fluido fuera de un reservorio. Ver sección 2.1.
El valor promedio de una función. Ver sección 2.2.
El centro de masa de un objeto. Ver sección 2.3.
La dependencia del tiempo de la temperatura. Ver sección 2.4.
Datación por radiocarbono. Ver sección 2.4.

Empecemos por el primero de estos ejemplos.

2.1: Trabajo
Si bien las áreas de computación y los volúmenes son buenas aplicaciones matemáticas de integración, también podemos usar la integración para calcular cantidades de importancia en física y estadística. Una de esas cantidades es el trabajo.
2.2: Promedios
Otra aplicación frecuente de la integración son los promedios informáticos y otras cantidades estadísticas. No vamos a dedicar demasiado tiempo a este tema —es decir, es mejor dejar a un curso adecuado en estadística—, sin embargo, demostraremos la aplicación de la integración al problema de los promedios informáticos.
2.3: Centro de Masa y Torsión
Si apoyas un cuerpo en su centro de masa (en un campo gravitacional uniforme) se equilibra perfectamente. Esa es la definición del centro de masa del cuerpo.
2.4: Ecuaciones diferenciales separables
Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida que involucra la derivada de la función desconocida. Las ecuaciones diferenciales juegan un papel central en la modelización de un gran número de fenómenos diferentes. Aquí hay una tabla que da un montón de ecuaciones diferenciales nombradas y para qué se utilizan. Está lejos de ser completa.