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# 3.7: Opcional — Números racionales e irracionales

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En esta sección opcional utilizaremos técnicas de serie para mirar un poco la racionalidad y la irracionalidad de los números reales. Veremos los siguientes resultados.

• Un número real es racional (es decir, una relación de dos enteros) si y solo si su expansión decimal es eventualmente periódica. “Eventualmente periódica” significa que, si denotamos el lugar$$n^{\rm th}$$ decimal para$$d_n\text{,}$$ entonces hay dos enteros positivos$$k$$ y$$p$$ tal que$$d_{n+p}=d_n$$ siempre que$$n \gt k\text{.}$$ así se vea la parte de la expansión decimal después del punto decimal

\ begin {reunir*}. \ underbrackets {a_1 a_2 a_3\ cdots a_k}\ underbrackets {b_1 b_2\ cdots b_p}\ underbrackets {b_1 b_2\ cdots b_p}\ underbrackets {b_1 b_2\ cdots b_p}\ cdots\ end {reunir*}

Es posible que un número finito de decimales justo después del punto decimal no participe en la periodicidad. También es posible que$$p=1$$ y$$b_1=0\text{,}$$ para que la expansión decimal termine con una cadena infinita de ceros.
• $$e$$es irracional.
• $$\pi$$es irracional.

## Expansiones decimales de números racionales

Comenzamos mostrando que un número real es racional si y solo si su expansión decimal es eventualmente periódica. Solo necesitamos considerar las expansiones de números$$0 \lt x \lt 1\text{.}$$ Si un número es negativo entonces podemos simplemente multiplicarlo por$$-1$$ y no cambiar la expansión. Del mismo modo si el número es mayor que$$1$$ entonces podemos simplemente restar la parte entera del número y dejar la expansión sin cambios.

## Eventualmente periódica implica racional

Supongamos que un número$$0 \lt x \lt 1$$ tiene una expansión decimal que finalmente es periódica. De ahí que podamos escribir

\ begin {align*} x &= 0. \ underbrackets {a_1 a_2 a_3\ cdots a_k}\ underbrackets {b_1 b_2\ cdots b_p}\ underbrackets {b_1 b_2\ cdots b_p}\ underbrackets {b_1 b_2\ cdots b_p}\ cdots\ end {align*}

Let$$\alpha = a_1 a_2 a_3\cdots a_k$$ y$$\beta = b_1 b_2\cdots b_p\text{.}$$ En particular,$$\alpha$$ tiene como máximo$$k$$ dígitos y$$\beta$$ tiene como máximo$$p$$ dígitos. Entonces podemos (con cuidado) escribir

\begin{align*} x &= \frac{\alpha}{10^k} + \frac{\beta}{10^{k+p}} + \frac{\beta}{10^{k+2p}} + \frac{\beta}{10^{k+3p}} + \cdots\\ &= \frac{\alpha}{10^k} + \frac{\beta}{10^{k+p}} \sum_{j=0}^\infty 10^{-p}\\ \end{align*}

Esta suma es solo una serie geométrica (ver Lemma 3.2.5) y podemos evaluarla

\ begin {align*} &=\ frac {\ alpha} {10^k} +\ frac {\ beta} {10^ {k+p}}\ cdot\ frac {1} {1-10^ {-p}} =\ frac {\ alpha} {10^k} +\ frac {\ beta} {10^k}\ cdot\ frac {1} {10^p-1}\\ &=\ frac {1} {10^k}\ izquierda (\ alfa +\ frac {\ beta} {10^p-1}\ derecha) =\ frac {\ alfa (10^p-1) +\ beta} {10^k (10^p-1)}\ end {align*}

Esta es una relación de enteros, así$$x$$ es un número racional.

## Racional implica eventualmente periódico

Dejemos$$0 \lt x \lt 1$$ ser racionales con$$x=\frac{a}{b}\text{,}$$ donde$$a$$ y$$b$$ son enteros positivos. Deseamos demostrar que$$x$$ la expansión decimal es eventualmente periódica. Empezamos por mirar la última fórmula que derivamos en la subsección “eventualmente periódica implica racional”. Si podemos expresar el denominador$$b$$ en la forma$$\frac{10^k(10^p-1)}{q}$$ con$$k\text{,}$$$$p$$ y$$q$$ enteros, estaremos en el negocio porque$$\frac{a}{b}=\frac{aq}{10^k(10^p-1)}.$$ A partir de esto podemos generar la expansión decimal deseada ejecutando el argumento de la última subsección hacia atrás. Entonces queremos encontrar enteros$$k\text{,}$$$$p\text{,}$$$$q$$ tales que$$10^{k+p} -10^k = b\cdot q\text{.}$$ Para ello consideremos los poderes de$$10$$ hasta$$10^b\text{:}$$

\ begin {reunir*} 1, 10^1, 10^2, 10^3,\ cdots, 10^b\ end {reunir*}

Para cada$$j=0,1,2,\cdots,b\text{,}$$ encontrar enteros$$c_j$$ y$$0\leq r_j \lt b$$ para que

\ begin {reunir*} 10^j = b\ cdot c_j + r_j\ end {reunir*}

Para ello, empezar con$$10^j$$ y$$b$$ restarle repetidamente hasta que el resto baje estrictamente por debajo de$$b\text{.}$$ Los$$r_j$$'s pueden tomar como máximo valores$$b$$ diferentes, es decir,$$0\text{,}$$$$1\text{,}$$$$2\text{,}$$$$\cdots\text{,}$$$$b-1\text{,}$$ y ahora tenemos$$b+1$$$$r_j$$'s, a saber $$r_0\text{,}$$$$r_1\text{,}$$$$\cdots\text{,}$$$$r_b\text{.}$$Por lo que debemos poder encontrar dos poderes de 10 que dan el mismo resto 1. Eso es que debe haber$$0 \leq k \lt l \leq b$$ para que$$r_k = r_l\text{.}$$ De ahí

\ begin {align*} 10^l - 10^k &= (bc_l +r_l) - (bc_k + r_k)\\ &= b (c_l-c_k) &\ text {desde $r_k=r_l$.} \ end {align*}

y tenemos

\ begin {align*} b &=\ frac {10^k (10^p-1)} {q}\ end {alinear*}

donde$$p=l-k$$ y ambos$$q=c_l-c_k$$ son enteros estrictamente positivos, ya que$$l \gt k$$ para que$$10^l-10^k \gt 0\text{.}$$ así podamos escribir

\ begin {align*}\ frac {a} {b} &=\ frac {aq} {10^k (10^p-1)}\ end {align*}

A continuación divide el numerador$$aq$$ por$$10^p-1$$ y calcula el resto. Es decir, escribir$$aq =\alpha (10^p-1) + \beta$$ con$$0\leq \beta \lt 10^p-1\text{.}$$ Aviso que$$0\leq \alpha \lt 10^k\text{,}$$ como de otra manera Es$$x=\frac{a}{b} \geq 1\text{.}$$ decir,$$\alpha$$ tiene como máximo$$k$$ dígitos y$$\beta$$ tiene como máximo$$p$$ dígitos. Esto, finalmente, nos da

\ begin {alinear*} x &=\ frac {a} {b} =\ frac {\ alfa (10^p-1) +\ beta} {10^k (10^p-1)}\\ &=\ frac {\ alpha} {10^k} +\ frac {\ beta} {10^k (10^p-1)}\\ &=\ frac {\ alpha} {10^k} +\ frac {\ beta} {10^ {k+p} (1-10^ {-p})}\\ &=\ frac {\ alpha} {10^k} +\ frac {\ beta} {10^ {k+p}}\ sum_ {j=0} ^\ infty 10^ {-pj}\ end {align*}

lo que da la expansión eventualmente periódica requerida.

## Irracionalidad de$$e$$

Daremos 2 pruebas de que el número$$e$$ es irracional, la primera por Fourier (1768—1830) y la segunda por Pennisi (1918—2010). Ambas son pruebas por contradicción 2 —primero asumimos que eso$$e$$ es racional y luego demostramos que esto implica una contradicción. En ambos casos llegamos a la contradicción mostrando que una cantidad dada (relacionada con la expresión de serie for$$e$$) debe ser tanto un entero positivo como también estrictamente menor que 1.

### Prueba 1

Esta prueba se debe a Fourier. Supongamos que el número$$e$$ es racional para que podamos escribirlo como

\ begin {align*} e &=\ dfrac {a} {b}\ end {align*}

donde$$a,b$$ están los enteros positivos. Usando la serie Maclaurin para$$e^x$$ tenemos

\ begin {alinear*}\ frac {a} {b} &= e^1 =\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {1} {n!} \ end {align*}

Ahora multiplica ambos lados por$$b!$$ para obtener

\ begin {alinear*} a\ frac {b!} {b} &=\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {b!} {n!} \ end {align*}

El lado izquierdo de esta expresión es un entero. Completamos la prueba mostrando que el lado derecho no puede ser un entero (y de ahí que tenemos una contradicción).

Primero divida la serie en el lado derecho en dos piezas de la siguiente manera

\ comenzar {alinear*}\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {b!} {n!} &=\ underbrackets {\ sum_ {n=0} ^b\ frac {b!} {n!}} _ {=A} +\ underbrackets {\ suma_ {n=b+1} ^\ infty\ frac {b!} {n!}} _ {=B}\ final {alinear*}

La primera suma,$$A\text{,}$$ es suma finita de enteros:

\ begin {alinear*} A &=\ sum_ {n=0} ^b\ frac {b!} {n!} =\ suma_ {n=0} ^b (n+1) (n+2)\ cdots (b-1) b.\ final {alinear*}

Consecuentemente$$A$$ debe ser un entero. Observe que simplificamos la proporción de factoriales utilizando el hecho de que cuando$$b\geq n$$ tenemos

\ comenzar {alinear*}\ frac {b!} {n!} &=\ frac {1\ cdot 2\ cdots n (n+1) (n+2)\ cdots (b-1) b} {1\ cdot 2\ cdots n} = (n+1) (n+2)\ cdots (b-1) b.\ end {align*}

Ahora pasamos a la segunda suma. Ya que es una suma de términos estrictamente positivos debemos tener

\ begin {align*} B &\ gt 0\ end {align*}

Completamos la prueba demostrando que$$B \lt 1\text{.}$$ Para ello vinculamos cada término desde arriba:

\ comenzar {alinear*}\ frac {b!} {n!} &=\ frac {1} {\ underbrackets {(b+1) (b+2)\ cdots (n-1) n} _ {n-b\\ texto {factores}}}\\ &\ leq\ frac {1} {\ underbrackets {(b+1) (b+1)\ cdots (b+1) (b+1) (b+1)} _ {n-b\ texto {factores}} =\ frac {1} {(b+1) ^ {n-b}}\ final {alinear*}

Efectivamente la desigualdad es estricta excepto cuando$$n=b+1\text{.}$$ De ahí tenemos que

\begin{align*} B & \lt \sum_{n=b+1}^\infty \frac{1}{(b+1)^{n-b}}\\ & = \frac{1}{(b+1)} +\frac{1}{(b+1)^2} +\frac{1}{(b+1)^3} +\cdots\\ \end{align*}

Esto es solo una serie geométrica (ver Lema 3.2.5) y es igual

\ begin {align*} &=\ frac {1} {(b+1)}\ frac {1} {1-\ frac {1} {b+1}}\\ &=\ frac {1} {b+1-1} =\ frac {1} {b}\ end {align*}

Y como$$b$$ es un entero positivo, hemos demostrado que

\ comenzar {reunir*} 0\ lt B\ lt 1\ end {reunir*}

y por lo tanto$$B$$ no puede ser un entero.

Así tenemos que

\ begin {alinear*}\ underbrackets {a\ frac {b!} {b}} _ {\ text {integer}} &=\ underbrackets {A} _ {\ text {integer}} +\ underbrackets {B} _ _ {\ text {not integer}}\ end {align*}

lo que da una contradicción. Por lo tanto,$$e$$ no puede ser racional.

### Prueba 2

Esta prueba se debe a Pennisi (1953). Supongamos (de nuevo) que el número$$e$$ es racional. De ahí que pueda escribirse como

\ begin {align*} e &=\ dfrac {a} {b},\ end {align*}

donde$$a,b$$ están los enteros positivos. Esto significa que podemos escribir

\ begin {alinear*} e^ {-1} &=\ dfrac {b} {a}. \ end {align*}

Usando la serie Maclaurin para$$e^x$$ tenemos

\ begin {alinear*}\ dfrac {b} {a} &= e^ {-1} =\ sum_ {n=0} ^\ infty\ frac {(-1) ^n} {n!} \ end {align*}

Antes de hacer otra cosa, multiplicamos ambos lados por$$(-1)^{a+1} a!$$ —esto puede parecer un poco extraño en este punto, pero la razón se aclarará a medida que avancemos a través de la prueba. La expresión es ahora

\ begin {alinear*} (-1) ^ {a+1} b\ dfrac {a!} {a} &=\ suma_ {n=0} ^\ infty\ frac {(-1) ^ {n+a+1} a!} {n!} \ end {align*}

El lado izquierdo de la expresión es un entero. Nuevamente completamos la prueba demostrando que el lado derecho no puede ser un entero.

Dividimos la serie en el lado derecho en dos piezas:

\ begin {alinear*}\ sum_ {n=0} ^\ infty\ frac {(-1) ^ {n+a+1} a!} {n!} &=\ underbrackets {\ sum_ {n=0} ^a\ frac {(-1) ^ {n+a+1} a!} {n!}} _ {=A} +\ underbrackets {\ suma_ {n=a+1} ^\ infty\ frac {(-1) ^ {n+a+1} a!} {n!}} _ {=B}\ final {alinear*}

Mostraremos que$$A$$ es un entero mientras que$$0 \lt B \lt 1\text{;}$$ esto da la contradicción requerida.

Cada término en la suma$$A$$ es un entero. Para ver esto simplificamos la proporción de factoriales como hicimos en la prueba anterior:

\ begin {alinear*} A &=\ sum_ {n=0} ^a\ frac {(-1) ^ {n+a+1} a!} {n!} =\ suma_ {n=0} ^a (-1) ^ {n+a+1} (n+1) (n+2)\ cpuntos (a-1) a\ end {alinear*}

Examinemos ahora la serie$$B\text{.}$$ Una vez más limpiar la proporción de factoriales:

\ begin {alinear*} B &=\ sum_ {n=a+1} ^\ infty\ frac {(-1) ^ {n+a+1} a!} {n!} =\ suma_ {n=a+1} ^\ infty\ frac {(-1) ^ {n+a+1}} {(a+1)\ cdot (a+2)\ cdots (n-1)\ cdot n}\\ &=\ frac {(-1) ^ {2a+2}} {a+1} +\ frac {(-1) ^ {2a+3}} {(a+1) (a+2)} +\ frac {(-1) ^ {2a+4}} {(a+1) (a+2) (a+3)} +\ cdots\\ &=\ frac {1} {a+1} -\ frac {1} {(a+1) (a+2)} +\ frac {1} {(a+1) (a+2) (a+3)} -\ cdots\ end {alinear*}

De ahí$$B$$ una serie alternante de términos decrecientes y por la prueba de series alternas (Teorema 3.3.14) converge. Además, debe converger a un número entre su primera y segunda sumas parciales (ver la discusión antes del Teorema 3.3.14). De ahí que el lado derecho se encuentre entre

\ begin {alinear*}\ frac {1} {a+1} &&\ text {y} &&\ frac {1} {a+1} -\ frac {1} {(a+1) (a+2)} =\ frac {1} {a+2}\ end {align*}

Ya que$$a$$ es un entero positivo lo anterior nos dice que$$B$$ converge a un número real estrictamente mayor que$$0$$ y estrictamente menor que 1. De ahí que no pueda ser un entero.

Esto nos da una contradicción y por lo tanto$$e$$ no puede ser racional.

## Irracionalidad de$$\pi$$

Esta prueba se debe a Niven (1946) y no requiere ninguna matemática más allá del nivel de este curso. Al igual que las pruebas anteriores comenzaremos asumiendo que eso$$\pi$$ es racional y luego llegaremos a una contradicción. Nuevamente esta contradicción será que una cantidad dada debe ser un número entero pero al mismo tiempo debe estar estrictamente entre$$0$$ y$$1\text{.}$$

Supongamos que$$\pi$$ es un número racional y así se puede escribir como$$\pi = \frac{a}{b}$$ con enteros$$a,b$$ positivos. Ahora vamos$$n$$ a ser un entero positivo y definir el polinomio

\ begin {align*} f (x) &=\ frac {x^n (a-bx) ^n} {n!}. \ end {align*}

Ciertamente no es inmediatamente obvio por qué y cómo Niven eligió este polinomio, pero verás que ha sido elaborado con mucho cuidado para que la prueba funcione. En particular mostraremos —bajo nuestra suposición que$$\pi$$ es racional— que, si$$n$$ es realmente grande, entonces

\ comenzar {reunir*} i_n=\ int_0^\ pi f (x)\ sin (x)\, d {x}\ fin {reunir*}

es un entero y también se encuentra estrictamente entre$$0$$ y$$1\text{,}$$ dando la contradicción requerida.

### Afilando la integral

Consideremos de nuevo el polinomio

\ begin {align*} f (x) &=\ frac {x^n (a-bx) ^n} {n!}. \ end {align*}

Observe que

\ begin {align*} f (0) &= 0\\ f (\ pi) &= f (a/b) = 0. \ end {align*}

Además, porque$$0 \leq x \leq \pi=a/b\text{,}$$ tenemos$$x\le\frac{a}{b}$$ y$$a-bx\le a$$ para que

\ comenzar {reunir*} 0\ leq x (a-bx)\ leq a^2/b.\ fin {reunir*}

Podríamos elaborar un límite superior 3 más preciso, pero éste es suficiente para el análisis que sigue. De ahí

\ comenzar {reunir*} 0\ leq f (x)\ leq\ izquierda (\ frac {a^2} {b}\ derecha) ^n\ frac {1} {n!} \ end {reunir*}

También sabemos que para$$0\leq x \leq \pi=a/b\text{,}$$$$0\leq \sin(x) \leq 1\text{.}$$ Así

\ comenzar {reunir*} 0\ leq f (x)\ sin (x)\ leq\ izquierda (\ frac {a^2} {b}\ derecha) ^n\ frac {1} {n!} \ end {reunir*}

para todos$$0 \leq x \leq 1\text{.}$$ Usando esta desigualdad nos atamos

\ begin {reunir*} 0\ lt i_n=\ int_0^\ pi f (x)\ sin (x)\, d {x}\ lt\ lt\ left (\ frac {a^2} {b}\ derecha) ^n\ frac {1} {n!}. \ end {reunir*}

Posteriormente mostraremos que, si$$n$$ es realmente grande, entonces primero$$\big( \frac{a^2}{b} \big)^n \frac{1}{n!} \lt 1\text{.}$$ mostraremos, a partir de ahora, que$$I_n$$ es un entero.

### Integración por partes

Para demostrar que el valor de esta integral es un entero utilizaremos la integración por partes. Ya has practicado el uso de la integración por partes para integrar cantidades como

\ comenzar {reunir*}\ int x^2\ sin (x)\,\, d {x}\ fin {reunir*}

y esta integral no es muy diferente. Por el momento vamos a usar el hecho de que$$f(x)$$ es un polinomio de grado$$2n\text{.}$$ Usando la integración por partes con$$u=f(x)\text{,}$$$$\, d{v}=\sin(x)$$ y nos$$v=-\cos(x)$$ da

\begin{align*} \int f(x) \sin(x) \,\, d{x} &= -f(x)\cos(x) + \int f'(x)\cos(x)\,\, d{x}\\ \end{align*}

Utilice la integración por partes de nuevo con$$u=f'(x)\text{,}$$$$\, d{v}=\cos(x)$$ y$$v=\sin(x)\text{.}$$

\ begin {align*} &= -f (x)\ cos (x) + f' (x)\ sin (x) -\ int f "(x)\ sin (x)\,\, d {x}\\\ end {alinear*}

Utilice la integración por partes una vez más, con$$u=f''(x)\text{,}$$$$\, d{v}=\sin(x)$$ y$$v=-\cos(x)\text{.}$$

\ begin {align*} &= -f (x)\ cos (x) + f' (x)\ sin (x) + f "(x)\ cos (x) -\ int f"' (x)\ cos (x)\,\, d {x}\ end {align*}

Y ahora podemos ver el patrón; obtenemos signos alternos, y luego derivados multiplicados por senos y cosenos:

\ begin {align*}\ int f (x)\ sin (x)\, d {x} &=\ cos (x)\ left (-f (x) +f "(x) -f^ {(4)} (x) +f^ {(6)} (x) -\ cdots\ derecha)\\ &\ phantom {=} +\ sin (x)\ izquierda (f' (x) -f"' (x) +f^ {(5)} (x) -f^ {(7)} (x) +\ cdots\ derecha)\ final {alinear*}

Esto termina en la$$2n^\mathrm{th}$$ derivada ya que$$f(x)$$ es un polinomio de grado$$2n\text{.}$$ Podemos verificar este cálculo diferenciando los términos en el lado derecho:

\ comenzar {reunir*}\ frac {d} {dx}\ izquierda (\ cos (x)\ izquierda (-f (x) +f "(x) -f^ {(4)} (x) +f^ {(6)} (x) -\ cdots\ derecha)\ derecha)\\ = -\ sin (x)\ izquierda (-f (x) +f" (x) -f^ {(4)} (x) +f^ {(6)} (x) -\ cdots\ derecha)\\ +\ cos (x)\ izquierda (-f' (x) +f"' (x) -f^ {(5)} (x) +f^ {(7)} (x) -\ cdots\ derecha)\ final {reunir*}

y de manera similar

\ begin {reunir*}\ frac {d} {dx}\ izquierda (\ sin (x)\ izquierda (f' (x) -f"' (x) +f^ {(5)} (x) -f^ {(7)} (x) +\ cdots\ derecha)\ derecha)\\ =\ cos (x)\ izquierda (f' (x) -f"' (x) +f^ {(5)} (x) -f^ {(7)} (x) +\ cdots\ derecha)\\ +\ sin (x)\ izquierda (f "(x) -f^ {(4)} (x) +f^ {(6)} (x) -\ cdots\ derecha)\ final {reunir*}

Cuando sumamos estas dos expresiones juntas todos los términos cancelan excepto$$f(x)\sin(x)\text{,}$$ cuando sea necesario.

Ahora cuando tomamos la integral definitiva de$$0$$ a$$\pi$$, todos los términos sinusoidales dan$$0$$ porque$$\sin(0)=\sin(\pi)=0\text{.}$$$$\cos(\pi)=-1$$ Since y$$\cos(0)=+1\text{,}$$ nos quedamos con:

\ begin {align*}\ int_0^\ pi f (x)\ sin (x)\, d {x} &=\ left (f (0) -f "(0) + f^ {(4)} (0) - f^ {(6)} (0) +\ cdots + (-1) ^n f^ {(2n)} (0)\ derecha)\\ &\ fantasma {=} +\ izquierda (f (\ pi) -f" (\ pi) + f^ {(4)} (\ pi) - f^ {(6)} (\ pi) +\ cdots + (-1) ^n f^ {(2n)} (\ pi)\ derecha)\ end {align*}

Entonces para mostrar que$$I_n$$ es un entero, ahora basta con mostrar eso$$f^{(j)}(0)$$ y$$f^{(j)}(\pi)$$ son enteros.

### Las derivadas son números enteros

Recordemos que

\ begin {alinear*} f (x) &=\ frac {x^n (a-bx) ^n} {n!} \ end {align*}

y ampliarlo:

\ begin {alinear*} f (x) &=\ frac {c_0} {n!} x^0 +\ frac {c_1} {n!} x^1 +\ cdots +\ frac {c_n} {n!} x^n +\ cdots +\ frac {c_ {2n}} {n!} x^ {2n}\ final {alinear*}

Todos los$$c_j$$ son enteros, y claramente$$c_j=0$$ para todos$$j=0,1,\cdots,n-1\text{,}$$ debido al factor$$x^n$$ en$$f(x)\text{.}$$

Ahora toma la$$k^{th}$$ derivada y establece$$x=0\text{.}$$ Tenga en cuenta que, si$$j \lt k\text{,}$$ entonces$$\frac{\, d{}^k\ }{\, d{}x^k}x^j=0$$ para todos$$x$$ y, si$$j \gt k\text{,}$$ entonces$$\frac{\, d{}^k\ }{\, d{}x^k}x^j$$ es algún número de veces$$x^{j-k}$$ que se evalúa a cero cuando establecemos$$x=0\text{.}$$ So

\ begin {align*} f^ {(k)} (0) &=\ frac {\, d {} ^k\} {\, d {} x^k}\ left (\ frac {c_k} {k!} x^k\ derecha) =\ frac {k! c_k} {n!} \ end {align*}

Si$$k \lt n\text{,}$$ entonces esto es cero ya que$$c_k=0\text{.}$$ Si$$k \gt n\text{,}$$ esto es un entero porque$$c_k$$ es un entero y$$k!/n! = (n+1)(n+2)\cdots(k-1)k$$ es un entero. Si$$k=n\text{,}$$ entonces$$f^{(k)}(0)=c_n$$ es de nuevo un número entero. Así, todas las derivadas de at$$f(x)$$ evaluadas$$x=0$$ son números enteros.

Pero, ¿qué pasa con los derivados en$$\pi=a/b\text{?}$$ Para ver esto, podemos hacer uso de una práctica simetría. Observe que

\ begin {align*} f (x) &= f (\ pi-x) = f (a/b - x)\ end {align*}

Puedes confirmar esto simplemente moliendo a través del álgebra:

\ begin {alinear*} f (x) &=\ frac {x^n (a-bx) ^n} {n!} &\ text {ahora reemplaza $x$ por $a/b-x$}\\ f (a/b-x) &=\ frac {(a/b-x) ^n (a-b (a/b-x)) ^n} {n!} &\ text {empieza a limpiar esto:}\\ &=\ frac {\ left (\ frac {a-bx} {b}\ derecha) ^n (a-a+bx) ^n} {n!} \\ &=\ frac {\ izquierda (\ frac {a-bx} {b}\ derecha) ^n (bx) ^n} {n!} \\ &=\ frac {(a-bx) ^n x^n} {n!} = f (x)\ final {alinear*}

Usando esta simetría (y la regla de la cadena) vemos que

\begin{align*} f'(x) &= - f'(\pi-x)\\ \end{align*}

y si seguimos diferenciando

\ begin {align*} f^ {(k)} (x) &= (-1) ^k f^ {(k)} (\ pi-x)\ end {align*}

$$x=0$$Ambientando en esto nos dice que

\ begin {align*} f^ {(k)} (0) &= (-1) ^k f^ {(k)} (\ pi)\ end {align*}

Entonces porque todos los derivados at$$x=0$$ son enteros, sabemos que todos los derivados at también$$x=\pi$$ son enteros.

De ahí la integral que nos interesa

\ comenzar {reunir*}\ int_0^\ pi f (x)\ sin (x)\, d {x}\ fin {reunir*}

debe ser un entero.

### Armarlo

A partir de nuestra suposición de que$$\pi =a/b$$ es racional, hemos demostrado que la integral

\ begin {align*} i_n &=\ int_0^\ pi\ frac {x^n (a-bx)} {n!} \ sin (x)\, d {x}\ final {alinear*}

satisface

\ comenzar {reunir*} 0\ lt i_n\ lt\ izquierda (\ frac {a^2} {b}\ derecha) ^n\ frac {1} {n!} \ end {reunir*}

y también eso$$I_n$$ es un entero.

Sin embargo, somos libres de elegir$$n$$ ser cualquier entero positivo que queramos. Si tomamos$$n$$ para ser muy grandes —en particular mucho más grandes que$$a$$ — entonces$$n!$$ será mucho más grande que$$a^{2n}$$ (lo mostramos en el Ejemplo 3.6.8), y consecuentemente

\ comenzar {reunir*} 0\ lt i_n\ lt\ izquierda (\ frac {a^2} {b}\ derecha) ^n\ frac {1} {n!} \ lt 1\ end {reunir*}

Lo que significa que la integral no puede ser un entero. Esto da la contradicción requerida, demostrando que$$\pi$$ es irracional.

1. Esta es una aplicación del principio del hoyo de paloma — la idea muy simple pero sorprendentemente útil de que si tienes$$n$$ items which you have to put in $$m$$ boxes, and if $$n \gt m\text{,}$$ then at least one box must contain more than one item.
2. La prueba por contradicción es un método estándar y muy poderoso de prueba en matemáticas. Se basa en la ley del medio excluido que establece que cualquier declaración matemática dada$$P$$ is either true or false. Because of this, if we can show that the statement $$P$$ being false implies something contradictory — like $$1=0$$ or $$a \gt a$$ — then we can conclude that $$P$$ must be true. The interested reader can certainly find many examples (and a far more detailed explanation) using their favourite search engine.
3. Tienes mucha práctica para encontrar los valores máximo y mínimo de funciones continuas en intervalos cerrados cuando tomaste cálculo el último trimestre.

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