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Introducción

Una vista previa de Cálculo

El cálculo fue desarrollado por primera vez hace más de trescientos años por Sir Isaac Newton y Gottfried Leibniz para ayudarlos a describir y comprender las reglas que rigen el movimiento de planetas y lunas. Desde entonces, miles de otros hombres y mujeres han refinado las ideas básicas del cálculo, han desarrollado nuevas técnicas para facilitar los cálculos y han encontrado formas de aplicar el cálculo a problemas además del movimiento planetario. Quizás lo más importante es que han utilizado el cálculo para ayudar a comprender una amplia variedad de fenómenos físicos, biológicos, económicos y sociales y para describir y resolver problemas en esas áreas.

Parte de la belleza del cálculo es que se basa en algunas ideas muy simples. Parte del poder del cálculo es que estas ideas simples pueden ayudarnos a comprender, describir y resolver problemas en una variedad de campos.

Acerca de este libro

Capítulo 1 Revisión contiene material de revisión que debe recordar antes de comenzar el cálculo.

Capítulo 2 La Derivada se basa en la idea de precálculo de la pendiente de una línea para dejarnos encontrar y utilizar tasas de cambio en muchas situaciones.

Capítulo 3 La Integral se basa en la idea de precálculo del área de un rectángulo para que encontremos el cambio acumulado en escenarios más complicados e interesantes.

Capítulo 4 Funciones de dos variables extiende las ideas de cálculo del capítulo 2 a funciones de más de una variable.

Suplementos

Un marco de curso en línea está disponible en MyopenMath.com para este libro. El marco del curso presenta:

Enlaces a secciones individuales del texto electrónico.
Vídeos de visión general.
Algorítmica, autocalificación tarea en línea para cada sección del texto. La mayoría de los problemas tienen video ayuda vinculada a la pregunta.
Una colección de recursos imprimibles creados por Shana Calaway para el proyecto Open Course Library.

¿En qué se diferencia el cálculo aplicado?

Los estudiantes que planean ingresar a ciencias, ingeniería o matemáticas toman una secuencia de clases de un año que cubren muchos de los mismos temas que nosotros en nuestro curso de un trimestre o un semestre. Estas son algunas de las diferencias:

Sin trigonometría

No usaremos trigonometría en absoluto en este curso. Los científicos e ingenieros necesitan trigonometría con frecuencia, por lo que gran parte del curso de cálculo de ingeniería está dedicado a las funciones trigonométricas y las situaciones que pueden modelar.

Las aplicaciones son diferentes

Los científicos e ingenieros aprenden a aplicar el cálculo a problemas de física, como el trabajo. Hacen muchas aplicaciones geométricas, como encontrar distancias mínimas, volúmenes de revolución o arclengths. En esta clase, solo haremos algunos de estos (problemas de distancia/velocidad, áreas entre curvas). Por otro lado, aprenderemos a aplicar cálculos en algunos entornos económicos y de negocios, como maximizar las ganancias o minimizar el costo promedio, encontrar elasticidad de la demanda o encontrar el valor actual de un flujo continuo de ingresos. Adicionalmente aplicaremos cálculos en entornos de vida y ciencias sociales, como determinar la velocidad a la que cambia la concentración de drogas en el cuerpo, o explorar la velocidad a la que aprende un sujeto. Se trata de aplicaciones que rara vez se ven en un curso para ingenieros.

Menos teoremas, sin pruebas

El enfoque de este curso son las aplicaciones más que la teoría. En este curso, usaremos los resultados de algunos teoremas, pero no vamos a probar ninguno de ellos. Cuando termines este curso, deberías poder resolver muchos tipos de problemas usando el cálculo, pero no estarás preparado para pasar a las matemáticas superiores.

Menos álgebra

En esta clase, no necesitarás álgebra inteligente. Si necesitas resolver una ecuación, o bien será relativamente simple, o puedes usar la tecnología para resolverla. En la mayoría de los casos, no necesitará “respuestas exactas”; los números de la calculadora serán lo suficientemente buenos.

Simplificación y números de calculadora

Cuando estabas en décimo grado, tu profesor de matemáticas puede haberte impresionado con la necesidad de simplificar tus respuestas. Estoy aquí para decirte — se equivocó. La forma en la que debe estar tu respuesta depende completamente de lo que harás con ella a continuación. Además, el proceso de “simplificar”, a menudo el álgebra desordenado puede arruinar respuestas perfectamente correctas. Desde el punto de vista del maestro, “simplificar” oscurece cómo un alumno llegó a su respuesta, y hace que los problemas sean más difíciles de calificar. Moral: no dediques mucho tiempo extra a simplificar tu respuesta. Déjalo lo más cerca posible de cómo llegaste a él.

¿Cuándo debes simplificar?

1. Simplifica cuando en realidad te hace la vida más fácil. Por ejemplo, en el Capítulo 2 es más fácil encontrar una segunda derivada si simplificas la primera derivada.

2. Simplifica tu respuesta cuando necesites emparejarla con una respuesta del libro. Es posible que tengas que hacer algo de álgebra para estar seguro de que tu respuesta y la respuesta del libro son las mismas.

Cuando usas tu calculadora

Se requiere una calculadora para este curso, y puede ser una herramienta maravillosa. Sin embargo, debes tener cuidado de no confiar demasiado en tu calculadora. Siga estas reglas generales:

Estima tus respuestas. Si esperas una respuesta de aproximadamente 4, y tu calculadora dice 2500, has cometido un error en alguna parte.
No redondees hasta el final. Cada vez que haces un cálculo con un número redondeado, tu respuesta empeora un poco.
Cuando respondas a un problema aplicado, encuentra un número de calculadora. No significa mucho sugerir que la compañía debe producir\(\frac{\sqrt{12100} (2.4)}{2.5}\) artículos; es mucho más significativo informar que deben producir alrededor de 106 artículos.
Cuando presente su respuesta final, redondearla a algo que tenga sentido. Si has encontrado una cantidad de dinero estadounidense, redondea al centavo más cercano. Si has calculado el número de personas, redondea a la persona más cercana. Si no hay un contexto obvio, muéstrale a tu profesor al menos dos dígitos después del decimal.
Ocasionalmente en este curso, necesitarás encontrar la “respuesta exacta”. Eso significa — no una aproximación de calculadora. (Aún puedes usar tu calculadora para verificar tu respuesta).