3.4: Antiderivados de Fórmulas

Ahora podemos juntar las ideas de áreas y antiderivados para obtener una forma de evaluar integrales definidas que sea exacta y muchas veces fácil. Para evaluar una integral definida$\int\limits_a^b f(t)\, dt$, podemos encontrar cualquier antiderivado$F(t)$ de$f(t)$ y evaluar$F(b) - F(a)$. El problema de encontrar el valor exacto de una integral definida se reduce a encontrar alguna (cualquier) antiderivada$F$ del integrando y luego evaluando$F(b) - F(a)$. Incluso encontrar un antiderivado puede ser difícil, y nos apegaremos a funciones que tengan antiderivados fáciles.

Bloques de construcción

La antidiferenciación está retrocediendo a través del proceso derivado. Entonces, las reglas antiderivadas más fáciles son simplemente versiones al revés de las reglas derivadas más fáciles. Recordar del Capítulo 2:

Reglas Derivadas: Bloques de Construcción

En lo que sigue,$f$ y$g$ son funciones diferenciables de$x$.

Regla múltiple constante

$$\frac{d}{dx}\left( kf\right)=kf'\nonumber$$

Regla de suma y diferencia

$$\frac{d}{dx}\left(f\pm g\right)=f' \pm g'\nonumber$$

Regla de Poder

$$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}\nonumber$$

Casos especiales:\[\frac{d}{dx}\left(k\right)=0 \quad \text{(Because $k=kx^0$.)}\nonumber \]\[\frac{d}{dx}\left(x\right)=1 \quad \text{(Because $x=x^1$.)}\nonumber \]

Funciones exponenciales

$$\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x\nonumber$$ $$\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=\ln(a)\,a^x\nonumber$$

Logaritmo natural

$$\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)=\frac{1}{x}\nonumber$$

Pensar en estas reglas básicas fue cómo se nos ocurrieron los antiderivados de$2x$ y$e^x$ antes.

Las reglas correspondientes para los antiderivados son las siguientes: cada una de las reglas antiderivadas es simplemente reescribir la regla derivada. Todos estos antiderivados se pueden verificar diferenciando.

Hay una sorpresa — el antiderivado de en realidad no$\frac{1}{x}$ es simplemente$\ln(x)$, es$\ln|x|$. Esto es algo bueno —el antiderivado tiene un dominio que coincide con el dominio de$\frac{1}{x}$, que es más grande que el dominio de$\ln(x)$, así que no tenemos que preocuparnos$x$ de si los nuestros son positivos o negativos. Pero debemos tener cuidado de incluir esos valores absolutos —de lo contrario, podríamos terminar con problemas de dominio.

Reglas Antiderivadas: Bloques de Construcción

En lo que sigue,$f$ y$g$ son funciones diferenciables de$x$, y$k$$n$,, y$C$ son constantes.

Regla múltiple constante

$$\int k\cdot f(x)\, dx=k\cdot\int f(x)\, dx\nonumber$$

Regla de suma y diferencia

$$\int \left(f(x)\pm g(x)\right)\, dx=\int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx\nonumber$$

Regla de Poder

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \text{ provided that } n\neq -1\nonumber$$

Caso especial:\[ \int k\, dx =kx+C \quad \text{(Because $k=kx^0$.)}\nonumber \] (El otro caso especial ($n=-1$) se cubre a continuación.)

Logaritmo natural

$$\int x^{-1}\, dx =\int\frac{1}{x}\, dx = \ln|x|+C\nonumber$$

Funciones exponenciales

$$\int e^x\, dx=e^x +C \nonumber$$ $$\int a^x\, dx = \frac{a^x}{\ln(a)}+C \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Encuentra el antiderivado de$y=3x^7-15\sqrt{x}+\frac{14}{x^2}$.

Solución

$$\begin{align*} \int\left( 3x^7-15\sqrt{x}+\frac{14}{x^2} \right)\, dx & = \int\left( 3x^7-15x^{1/2}+14x^{-2} \right)\, dx \\ & = 3\frac{x^8}{8}-15\frac{x^{3/2}}{3/2}+14\frac{x^{-1}}{-1}+C \\ & = \frac{3}{8}x^8-10x^{3/2}-14x^{-1}+C \end{align*} \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encontrar$\int\left(e^x+12-\frac{16}{x}\right)\, dx$.

Solución

$$\int\left(e^x+12-\frac{16}{x}\right)\, dx =e^x+12x-16\ln|x|+C\nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Encuentra$F(x)$ para que$F'(x)=e^x$ y$F(0)=10$.

Solución

Esta vez estamos buscando un antiderivado particular; necesitamos encontrar exactamente la constante correcta. Empecemos por encontrar el antiderivado:

$$\int e^x\, dx=e^x+C \nonumber$$

Entonces lo sabemos$F(x)=e^x+\text{(some constant)}$, ahora solo necesitamos encontrar cuál. Para ello, usaremos el otro dato (la condición inicial):

$$\begin{align*} F(x) & = e^x+C \\ F(0) & = e^0+C=1+C=10 \\ C & = 9 \end{align*} \nonumber$$

La constante particular que necesitamos es 9; así,$F(x)=e^x+9$.

La razón por la que estamos viendo los antiderivados en este momento es para que podamos evaluar integrales definidas exactamente. Recordemos el Teorema Fundamental del Cálculo:

Teorema Fundamental del Cálculo

Si$F(x)$ es una función donde$F'(x) = f(x)$, entonces

$$\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a) \nonumber$$

Si podemos encontrar un antiderivado para el integrando, podemos usarlo para evaluar la integral definida. La evaluación$F(b) - F(a)$ se representa como$\left.F(x)\right]_a^b$ o$\left.F(x)\right|_a^b$.

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Evaluar$\int\limits_1^3 x\, dx$ de dos maneras:

1. Dibujando la gráfica$y = x$ y encontrando geométricamente el área.
2. Al encontrar un antiderivado$F(x)$ del integrando y evaluando$F(3)-F(1)$.

Solución

1. A continuación$y = x$ se muestra la gráfica de, y la región sombreada correspondiente a la integral tiene área 4.

   

2. Uno antiderivado de$x$ es$F(x)=\frac{1}{2}x^2$, y $$\begin{align*} \int\limits_1^3 x\, dx & = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^3 \\ & = \left(\frac{1}{2}(3)^2\right) - \left(\frac{1}{2}(1)^2\right) \\ & = \frac{9}{2}-\frac{1}{2} \\ & = 4. \end{align*} \nonumber$$ Tenga en cuenta que esta respuesta concuerda con la respuesta que obtuvimos geométricamente.

   Si hubiéramos usado otro antiderivado de x, digamos$F(x)=\frac{1}{2}x^2+7$, entonces

   $$\begin{align*} \int\limits_1^3 x\, dx & = \left[\frac{1}{2}x^2+7\right]_1^3 \\ & = \left(\frac{1}{2}(3)^2+7\right) - \left(\frac{1}{2}(1)^2+7\right) \\ & = \frac{9}{2}+7-\frac{1}{2}-7 \\ & = 4. \end{align*} \nonumber$$

   En general, cualquier constante que escojamos se resta durante la evaluación, por lo que bien podríamos elegir siempre la más fácil, donde la constante es 0.

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Encuentra el área entre la gráfica de$y = 3x^2$ y el eje horizontal para$x$ entre 1 y 2.

Solución

Esto es

$$\int\limits_1^2 3x^2\, dx = \left.x^3\right|_1^2 = 2^3-1^3 = 7. \nonumber$$

Ejemplo$\PageIndex{6}$

Se ha programado un robot para que cuando empiece a moverse, su velocidad después de$t$ segundos sea$3t^2$ pies/segundo.

1. ¿Hasta dónde viajará el robot durante sus primeros 4 segundos de movimiento?
2. ¿Hasta dónde viajará el robot durante sus próximos 4 segundos de movimiento?

Solución

1. La distancia durante los primeros 4 segundos será el área bajo la gráfica de velocidad, de$t = 0$ a$t = 4$.

   

   Esa área es la integral definitiva$\int\limits_0^4 3t^2\, dt$. Un antiderivado de$3t^2$ es$t^3$, así$\int\limits_0^4 3t^2\, dt =\left. t^3 \right]_0^4 =4^3-0^3 = 64$ pies.

2. $\int\limits_4^8 3t^2\, dt =\left. t^3 \right]_4^8=8^3-4^3 =512 - 64 = 448$pies.

Ejemplo$\PageIndex{7}$

Supongamos que$t$ minutos después de poner 1000 bacterias en una placa de Petri la tasa de crecimiento de la población es de$6t$ bacterias por minuto.

1. ¿Cuántas bacterias nuevas se agregan a la población durante los primeros 7 minutos?
2. ¿Cuál es la población total después de 7 minutos?

Solución

1. El número de bacterias nuevas es el área bajo la gráfica de tasa de crecimiento, y una antiderivada de$6t$ es$3t^2$.

   

   Entonces

   $$\text{new bacteria}=\int\limits_0^7 6t\, dt= \left. 3t^2\right|_0^7=3(7)^2-3(0)^2=147\nonumber$$

2. La nueva población = (población antigua) + (nueva bacteria) = 1000 + 147 = 1147 bacterias.

Ejemplo$\PageIndex{8}$

Una empresa determina su costo marginal de producción, en dólares por artículo, es$MC(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}+2$ al producir$x$ mil artículos. Encuentra el costo de incrementar la producción de 4 mil artículos a 5 mil artículos.

Solución

Recordemos que el costo marginal es la tasa de cambio de costo, y así lo dice el teorema fundamental$\int\limits_a^b MC(x)\, dx = \int\limits_a^b C'(x)\, dx = C(b)-C(a)$. Es decir, la integral del costo marginal nos dará un cambio neto en el costo. Para encontrar el costo de incrementar la producción de 4 mil artículos a 5 mil artículos, necesitamos integrar$\int\limits_4^5 MC(x)\, dx$.

Podemos escribir el costo marginal como$MC(x)=4x^{-1/2}+2$. Entonces podemos usar las reglas básicas para encontrar un antiderivado:

$$C(x)=4\frac{x^{1/2}}{1/2}+2x=8\sqrt{x}+2x.\nonumber$$

Usando esto,

$$\begin{align*} \text{Net change in cost } & = \int\limits_4^5 \left(4x^{-1/2}+2\right)\, dx \\ & = \left[ 8\sqrt{x}+2x \right]_4^5 \\ & = \left( 8\sqrt{5}+2(5) \right)-\left( 8\sqrt{4}+2(4) \right) \\ & \approx 3.889 \end{align*} \nonumber$$

Costará 3.889 mil dólares incrementar la producción de 4 mil artículos a 5 mil artículos. (La respuesta final se escribiría mejor como 3889 dólares.)