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Ahora podemos juntar las ideas de áreas y antiderivados para obtener una forma de evaluar integrales definidas que sea exacta y muchas veces fácil. Para evaluar una integral definida$$\int\limits_a^b f(t)\, dt$$, podemos encontrar cualquier antiderivado$$F(t)$$ de$$f(t)$$ y evaluar$$F(b) - F(a)$$. El problema de encontrar el valor exacto de una integral definida se reduce a encontrar alguna (cualquier) antiderivada$$F$$ del integrando y luego evaluando$$F(b) - F(a)$$. Incluso encontrar un antiderivado puede ser difícil, y nos apegaremos a funciones que tengan antiderivados fáciles.

## Bloques de construcción

La antidiferenciación está retrocediendo a través del proceso derivado. Entonces, las reglas antiderivadas más fáciles son simplemente versiones al revés de las reglas derivadas más fáciles. Recordar del Capítulo 2:

##### Reglas Derivadas: Bloques de Construcción

En lo que sigue,$$f$$ y$$g$$ son funciones diferenciables de$$x$$.

#### Regla múltiple constante

$\frac{d}{dx}\left( kf\right)=kf'\nonumber$

#### Regla de suma y diferencia

$\frac{d}{dx}\left(f\pm g\right)=f' \pm g'\nonumber$

#### Regla de Poder

$\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=nx^{n-1}\nonumber$

Casos especiales:$\frac{d}{dx}\left(k\right)=0 \quad \text{(Because $$k=kx^0$$.)}\nonumber$$\frac{d}{dx}\left(x\right)=1 \quad \text{(Because $$x=x^1$$.)}\nonumber$

#### Funciones exponenciales

$\frac{d}{dx}\left(e^x\right)=e^x\nonumber$$\frac{d}{dx}\left(a^x\right)=\ln(a)\,a^x\nonumber$

#### Logaritmo natural

$\frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right)=\frac{1}{x}\nonumber$

Pensar en estas reglas básicas fue cómo se nos ocurrieron los antiderivados de$$2x$$ y$$e^x$$ antes.

Las reglas correspondientes para los antiderivados son las siguientes: cada una de las reglas antiderivadas es simplemente reescribir la regla derivada. Todos estos antiderivados se pueden verificar diferenciando.

Hay una sorpresa — el antiderivado de en realidad no$$\frac{1}{x}$$ es simplemente$$\ln(x)$$, es$$\ln|x|$$. Esto es algo bueno —el antiderivado tiene un dominio que coincide con el dominio de$$\frac{1}{x}$$, que es más grande que el dominio de$$\ln(x)$$, así que no tenemos que preocuparnos$$x$$ de si los nuestros son positivos o negativos. Pero debemos tener cuidado de incluir esos valores absolutos —de lo contrario, podríamos terminar con problemas de dominio.

##### Reglas Antiderivadas: Bloques de Construcción

En lo que sigue,$$f$$ y$$g$$ son funciones diferenciables de$$x$$, y$$k$$$$n$$,, y$$C$$ son constantes.

#### Regla múltiple constante

$\int k\cdot f(x)\, dx=k\cdot\int f(x)\, dx\nonumber$

#### Regla de suma y diferencia

$\int \left(f(x)\pm g(x)\right)\, dx=\int f(x)\, dx \pm \int g(x)\, dx\nonumber$

#### Regla de Poder

$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C, \text{ provided that } n\neq -1\nonumber$

Caso especial:$\int k\, dx =kx+C \quad \text{(Because $$k=kx^0$$.)}\nonumber$ (El otro caso especial ($$n=-1$$) se cubre a continuación.)

#### Logaritmo natural

$\int x^{-1}\, dx =\int\frac{1}{x}\, dx = \ln|x|+C\nonumber$

#### Funciones exponenciales

$\int e^x\, dx=e^x +C \nonumber$$\int a^x\, dx = \frac{a^x}{\ln(a)}+C \nonumber$

##### Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

Encuentra el antiderivado de$$y=3x^7-15\sqrt{x}+\frac{14}{x^2}$$.

Solución

\begin{align*} \int\left( 3x^7-15\sqrt{x}+\frac{14}{x^2} \right)\, dx & = \int\left( 3x^7-15x^{1/2}+14x^{-2} \right)\, dx \\ & = 3\frac{x^8}{8}-15\frac{x^{3/2}}{3/2}+14\frac{x^{-1}}{-1}+C \\ & = \frac{3}{8}x^8-10x^{3/2}-14x^{-1}+C \end{align*} \nonumber

##### Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

Encontrar$$\int\left(e^x+12-\frac{16}{x}\right)\, dx$$.

Solución

$\int\left(e^x+12-\frac{16}{x}\right)\, dx =e^x+12x-16\ln|x|+C\nonumber$

##### Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

Encuentra$$F(x)$$ para que$$F'(x)=e^x$$ y$$F(0)=10$$.

Solución

Esta vez estamos buscando un antiderivado particular; necesitamos encontrar exactamente la constante correcta. Empecemos por encontrar el antiderivado:$\int e^x\, dx=e^x+C \nonumber$

Entonces lo sabemos$$F(x)=e^x+\text{(some constant)}$$, ahora solo necesitamos encontrar cuál. Para ello, usaremos el otro dato (la condición inicial):\begin{align*} F(x) & = e^x+C \\ F(0) & = e^0+C=1+C=10 \\ C & = 9 \end{align*} \nonumber

La constante particular que necesitamos es 9; así,$$F(x)=e^x+9$$.

La razón por la que estamos viendo los antiderivados en este momento es para que podamos evaluar integrales definidas exactamente. Recordemos el Teorema Fundamental del Cálculo:

##### Teorema Fundamental del Cálculo

Si$$F(x)$$ es una función donde$$F'(x) = f(x)$$, entonces

$\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b)-F(a) \nonumber$

Si podemos encontrar un antiderivado para el integrando, podemos usarlo para evaluar la integral definida. La evaluación$$F(b) - F(a)$$ se representa como$$\left.F(x)\right]_a^b$$ o$$\left.F(x)\right|_a^b$$.

##### Ejemplo$$\PageIndex{4}$$

Evaluar$$\int\limits_1^3 x\, dx$$ de dos maneras:

1. Dibujando la gráfica$$y = x$$ y encontrando geométricamente el área.
2. Al encontrar un antiderivado$$F(x)$$ del integrando y evaluando$$F(3)-F(1)$$.

Solución

1. A continuación$$y = x$$ se muestra la gráfica de, y la región sombreada correspondiente a la integral tiene área 4.
2. Uno antiderivado de$$x$$ es$$F(x)=\frac{1}{2}x^2$$, y\begin{align*} \int\limits_1^3 x\, dx & = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_1^3 \\ & = \left(\frac{1}{2}(3)^2\right) - \left(\frac{1}{2}(1)^2\right) \\ & = \frac{9}{2}-\frac{1}{2} \\ & = 4. \end{align*} \nonumber Tenga en cuenta que esta respuesta concuerda con la respuesta que obtuvimos geométricamente.

Si hubiéramos usado otro antiderivado de x, digamos$$F(x)=\frac{1}{2}x^2+7$$, entonces\begin{align*} \int\limits_1^3 x\, dx & = \left[\frac{1}{2}x^2+7\right]_1^3 \\ & = \left(\frac{1}{2}(3)^2+7\right) - \left(\frac{1}{2}(1)^2+7\right) \\ & = \frac{9}{2}+7-\frac{1}{2}-7 \\ & = 4. \end{align*} \nonumber

En general, cualquier constante que escojamos se resta durante la evaluación, por lo que bien podríamos elegir siempre la más fácil, donde la constante es 0.

##### Ejemplo$$\PageIndex{5}$$

Encuentra el área entre la gráfica de$$y = 3x^2$$ y el eje horizontal para$$x$$ entre 1 y 2.

Solución

Esto es$\int\limits_1^2 3x^2\, dx = \left.x^3\right|_1^2 = 2^3-1^3 = 7. \nonumber$

##### Ejemplo$$\PageIndex{6}$$

Se ha programado un robot para que cuando empiece a moverse, su velocidad después de$$t$$ segundos sea$$3t^2$$ pies/segundo.

1. ¿Hasta dónde viajará el robot durante sus primeros 4 segundos de movimiento?
2. ¿Hasta dónde viajará el robot durante sus próximos 4 segundos de movimiento?

Solución

1. La distancia durante los primeros 4 segundos será el área bajo la gráfica de velocidad, de$$t = 0$$ a$$t = 4$$.

Esa área es la integral definitiva$$\int\limits_0^4 3t^2\, dt$$. Un antiderivado de$$3t^2$$ es$$t^3$$, así$$\int\limits_0^4 3t^2\, dt =\left. t^3 \right]_0^4 =4^3-0^3 = 64$$ pies.

2. $$\int\limits_4^8 3t^2\, dt =\left. t^3 \right]_4^8=8^3-4^3 =512 - 64 = 448$$pies.
##### Ejemplo$$\PageIndex{7}$$

Supongamos que$$t$$ minutos después de poner 1000 bacterias en una placa de Petri la tasa de crecimiento de la población es de$$6t$$ bacterias por minuto.

1. ¿Cuántas bacterias nuevas se agregan a la población durante los primeros 7 minutos?
2. ¿Cuál es la población total después de 7 minutos?

Solución

1. El número de bacterias nuevas es el área bajo la gráfica de tasa de crecimiento, y una antiderivada de$$6t$$ es$$3t^2$$.

Entonces$\text{new bacteria}=\int\limits_0^7 6t\, dt= \left. 3t^2\right|_0^7=3(7)^2-3(0)^2=147\nonumber$

2. La nueva población = (población antigua) + (nueva bacteria) = 1000 + 147 = 1147 bacterias.
##### Ejemplo$$\PageIndex{8}$$

Una empresa determina su costo marginal de producción, en dólares por artículo, es$$MC(x)=\frac{4}{\sqrt{x}}+2$$ al producir$$x$$ mil artículos. Encuentra el costo de incrementar la producción de 4 mil artículos a 5 mil artículos.

Solución

Recordemos que el costo marginal es la tasa de cambio de costo, y así lo dice el teorema fundamental$$\int\limits_a^b MC(x)\, dx = \int\limits_a^b C'(x)\, dx = C(b)-C(a)$$. Es decir, la integral del costo marginal nos dará un cambio neto en el costo. Para encontrar el costo de incrementar la producción de 4 mil artículos a 5 mil artículos, necesitamos integrar$$\int\limits_4^5 MC(x)\, dx$$.

Podemos escribir el costo marginal como$$MC(x)=4x^{-1/2}+2$$. Entonces podemos usar las reglas básicas para encontrar un antiderivado:$C(x)=4\frac{x^{1/2}}{1/2}+2x=8\sqrt{x}+2x.\nonumber$

Usando esto,\begin{align*} \text{Net change in cost } & = \int\limits_4^5 \left(4x^{-1/2}+2\right)\, dx \\ & = \left[ 8\sqrt{x}+2x \right]_4^5 \\ & = \left( 8\sqrt{5}+2(5) \right)-\left( 8\sqrt{4}+2(4) \right) \\ & \approx 3.889 \end{align*} \nonumber

Costará 3.889 mil dólares incrementar la producción de 4 mil artículos a 5 mil artículos. (La respuesta final se escribiría mejor como 3889 dólares.)

This page titled 3.4: Antiderivados de Fórmulas is shared under a CC BY 3.0 license and was authored, remixed, and/or curated by Shana Calaway, Dale Hoffman, & David Lippman (The OpenTextBookStore) via source content that was edited to the style and standards of the LibreTexts platform.