1: Límites
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Entonces, en términos muy generales, “Cálculo Diferencial” es el estudio de cómo cambia una función a medida que cambia su entrada. El objeto matemático que usamos para describir esto es la “derivada” de una función. Para describir correctamente qué es esto necesitamos alguna maquinaria; en particular necesitamos definir a qué nos referimos con “tangente” y “límite”. Volveremos a definir la derivada en el Capítulo 2.
- 1.1: Tangentes de dibujo y un primer límite
- Ahora — nuestro tratamiento de los límites no va a ser completamente matemáticamente riguroso, así que no vamos a tener demasiadas definiciones formales. Habrá algunas definiciones y teoremas matemáticamente precisos a medida que avanzamos, pero nos aseguraremos de que haya mucha explicación a su alrededor.
- 1.2: Otro límite y velocidad de computación
- Computar líneas tangentes está muy bien, pero ¿qué tiene esto que ver con las aplicaciones o el “Mundo Real”? Bueno, al menos inicialmente nuestro uso de límites (y de hecho de cálculo) va a ser un poco alejado de las aplicaciones del mundo real. Sin embargo a medida que vayamos más allá y aprendamos más sobre límites y derivados podremos acercarnos a problemas reales y sus soluciones.
- 1.3: El límite de una función
- Antes de llegar a las definiciones, comencemos con un poco de notación para los límites.
- 1.4: Cálculo de límites con leyes de límite
- Piensa en las funciones que conoces y el tipo de cosas que te han pedido dibujar, factorizar y así sucesivamente.
- 1.5: Límites en el infinito
- Hasta este punto hemos discutido lo que le sucede a una función a medida que movemos su entrada\(x\) cada vez más cerca de un punto en particular\(a\text{.}\) Para muchas aplicaciones de límites necesitamos entender qué le sucede a una función cuando su entrada se vuelve extremadamente grande
- 1.6: Continuidad
- Hemos visto que computar los límites algunas funciones —polinomios y funciones racionales— es muy fácil porque
- 1.7: (Opcional) — Hacer lo informal un poco más formal
- Como señalamos anteriormente, la definición de límites con la que hemos estado trabajando era bastante informal y no matemáticamente rigurosa. En esta sección (opcional) trabajaremos para entender la rigurosa definición de límites.
- 1.8: (Opcional) — Hacer que los límites infinitos sean un poco más formales
- Para aquellos de ustedes que lo hicieron a través de la\(\epsilon-\delta\) definición formal de límites les damos la definición formal de límites que involucran infinidad:
- 1.9: (Opcional) — Demostrando la Aritmética de Límites
- Quizás el teorema más útil de este capítulo es el Teorema 1.4.3 que muestra cómo los límites interactúan con la aritmética. En esta sección (opcional) probaremos tanto la aritmética de límites Teorema 1.4.3 como el Teorema de Squeeze 1.4.18.