1.4: Cálculo de límites con leyes de límite
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Piensa en las funciones que conoces y el tipo de cosas que te han pedido dibujar, factorizar y así sucesivamente. Entonces todos se construyen a partir de piezas simples, como
- constantes —\(c\)
- monomios —\(x^n\)
- funciones trigonométricas —\(\sin(x), \cos(x)\) y\(\tan(x)\)
Estos son los bloques de construcción a partir de los cuales construimos funciones. Pronto agregaremos algunas funciones más a esta lista, especialmente la función exponencial y varias funciones inversas.
Luego tomamos estos bloques de construcción y los juntamos usando aritmética
- suma y resta,\(f(x) = g(x) + h(x)\) y\(f(x) = g(x) - h(x)\)
- multiplicación —\(f(x) = g(x) \cdot h(x)\)
- división —\(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}\)
- sustitución —\(f(x) = g( h(x) )\) — esto también se llama la composición de\(g\) con\(h\text{.}\)
La idea de construir funciones complicadas a partir de piezas más simples se discutió en la Sección 0.5.
Lo que vamos a aprender en esta sección es cómo calcular los límites de los bloques de construcción básicos y luego cómo podemos calcular límites de sumas, productos y así sucesivamente usando “leyes de límite”. Este proceso nos permite computar límites de funciones complicadas, utilizando herramientas muy simples y sin tener que recurrir a “enchufar números” o “cada vez más cerca” o “\(\epsilon-\delta\)argumentos”.
En los ejemplos que vimos anteriormente, casi todos los límites interesantes sucedieron en puntos donde la función subyacente se comportó mal —donde saltó, no se definió o explotó hasta el infinito. En esos casos había que tener cuidado y pensar en lo que estaba pasando. Agradecidamente la mayoría de las funciones que veremos no tienen demasiados puntos en los que suceden este tipo de cosas.
Por ejemplo, los polinomios no tienen ningún salto desagradable y se definen en todas partes y no “explotan”. Si los trazos, se ven lisos 1. Los polinomios y los límites se comportan muy bien juntos, y para cualquier polinomio\(P(x)\) y cualquier número real\(a\) tenemos eso
\ start {alinear*}\ lim_ {x\ a} P (x) &= P (a)\ end {alinear*}
Es decir, para evaluar el límite solo enchufamos el número. Vamos a construir hasta este resultado en las próximas páginas.
Empecemos con los dos límites más fáciles 2
Deje que\(a,c \in \mathbb{R}\text{.}\) los siguientes dos límites se mantengan
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} c & = c &\ text {y} &&\ lim_ {x\ a} x &= a.\ end {align*}
Como aún no hemos visto demasiados teoremas, examinémoslo cuidadosamente pieza por pieza.
- Dejemos\(a,c \in \mathbb{R}\) —tal como fue el caso de las definiciones, iniciamos un teorema definiendo términos y estableciendo la escena. No hay demasiada escena para poner: los símbolos\(a\) y\(c\) son números reales.
- Los siguientes dos límites se mantienen —esto realmente no contribuye mucho a la afirmación del teorema, solo hace que sea más fácil de leer.
- \(\mathbf{\lim_{x \to a} c = c}\)— cuando tomamos el límite de una función constante (por ejemplo pensar en\(c=3\)), el límite es (como era de esperar) la misma constante.
- \(\mathbf{\lim_{x \to a} x = a}\)— como señalamos anteriormente para polinomios generales, el límite de la función a\(f(x) = x\) medida que se\(x\) acerca a un punto dado\(a\text{,}\) es justo\(a\text{.}\) Esto dice algo bastante obvio — como\(x\)\(a\text{,}\)\(x\) enfoques se acerca\(a\) (si no estás convencido entonces bosquejo la gráfica).
Armados sólo con estos dos límites, no podemos hacer mucho. Pero combinando estos límites con alguna aritmética podemos hacer bastante. Por un momento, da un paso atrás de los límites por un momento y piensa en cómo construimos funciones. Para que la discusión sea un poco más precisa, piense en cómo podríamos construir la función
\ begin {align*} h (x) &=\ frac {2x-3} {x^2+5x-6}\ end {align*}
Si queremos calcular el valor de la función en\(x=2\text{,}\) entonces lo haríamos
- computar el numerador en\(x=2\)
- computar el denominador en\(x=2\)
- computar la relación
Ahora para calcular el numerador nosotros
- tomar\(x\) y multiplicarlo por 2
- restar 3 al resultado
Mientras que para el denominador
- multiplicar\(x\) por\(x\)
- multiplicar\(x\) por 5
- sumar estos dos números y restar\(6\)
Esta secuencia de operaciones se puede representar pictóricamente como el árbol que se muestra en la Figura 1.4.2 a continuación.
Tales árboles fueron discutidos en la Sección 0.5 (ahora no es un mal momento para revisar rápidamente esa sección antes de continuar). El punto aquí es que para calcular el valor de la función simplemente sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos repetidamente constantes y\(x\text{.}\)
Para calcular el límite de la función anterior en\(x=2\) podemos hacer algo muy similar. Del teorema anterior sabemos computar
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 2} c &= c &&\ texto {y} &\ lim_ {x\ a 2} x &= 2\ end {alinear*}
y el siguiente teorema nos dirá cómo unir estos dos límites usando la aritmética que usamos para construir la función.
\(a,c \in \mathbb{R}\text{,}\)Dejar\(f(x)\) y\(g(x)\) definirse para todos los\(x\) que se encuentran en algún intervalo sobre\(a\) (pero no\(f,g\) necesita definirse exactamente en\(a\)).
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a} f (x) &=F &\ lim_ {x\ a} g (x) &=G\ end {align*}
existir con\(F,G \in \mathbb{R}\text{.}\) Entonces se mantienen los siguientes límites
- \( \lim_{x \to a} ( f(x) + g(x) ) = F+G\)— límite de la suma es la suma de los límites.
- \( \lim_{x \to a} ( f(x) - g(x) ) = F - G\)— límite de la diferencia es la diferencia de los límites.
- \( \lim_{x \to a} c f(x) = c F\text{.}\)
- \( \lim_{x \to a} ( f(x) \cdot g(x) ) = F \cdot G\)— límite del producto es producto de límites.
- Si\(G \neq 0\) entonces\( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{F}{G}\)
Nota —ten cuidado con este último— el denominador no puede ser cero.
El teorema anterior muestra que los límites interactúan muy sencillamente con la aritmética. Si se le pide que encuentre el límite de una suma entonces la respuesta es solo la suma de los límites. De igual manera el límite de un producto es solo el producto de los límites.
¿Cómo aplicamos el teorema anterior a la función racional\(h(x)\) que definimos anteriormente? Aquí hay un ejemplo de calentamiento:
Se le dan dos funciones\(f,g\) (no explícitamente) que tienen los siguientes límites como\(x\) enfoques 1:
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1} f (x) &=3 &&\ text {y} &\ lim_ {x\ a 1} g (x) &=2\ end {alinear*}
Usando el teorema anterior podemos calcular
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1} 3f (x) &= 3\ veces 3 = 9\\\ lim_ {x\ a 1} 3f (x) -g (x) &= 3\ veces 3 -2 = 7\\\ lim_ {x\ a 1} f (x) g (x) &= 3\ veces 2 = 6\\\ lim_ {x a\ 1}\ frac {f (x)} {f (x) -g (x)} &=\ frac {3} {3-2} = 3\ end {align*}
Otro ejemplo sencillo
Encuentra\( \lim_{x \to 3} 4x^2-1\)
Utilizamos la aritmética de límites:
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 3} 4x^2-1 &=\ left (\ lim_ {x\ a 3} 4x^2\ right) -\ lim_ {x\ a 3} 1 &\ text {diferencia de límites}\\ &=\ izquierda (\ lim_ {x\ a 3} 4\ cdot\ lim_ {x\ a 3} x^2\ derecha) -\ lim_ {x\ a 3} 1 &\ text {producto de límites}\\ &= 4\ cdot\ izquierda (\ lim_ {x\ a 3} x^2\ derecha) - 1 &\ texto {límite de constante}\\ &= 4\ cdot\ izquierda (\ lim_ {x\ a 3} x\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ lim_ {x\ a 3} x\ derecha) -1 &\ text {producto de límites}\\ &= 4\ cdot 3\ cdot 3 - 1 &\ text {límite de $x$}\\ &= 36 - 1\\ &= 35\ end {alinear*}
Este es un nivel de detalle insoportante, pero cuando usas por primera vez este teorema y pruebas algunos ejemplos es una buena idea hacer las cosas paso a paso hasta que te sientes cómodo con él.
Otro límite más: computar\(\lim_{x\to 2} \frac{x}{x-1}\text{.}\)
Para aplicar la aritmética de límites, necesitamos examinar el numerador y el denominador por separado y asegurarnos de que el límite del denominador sea distinto de cero. Primero numerador:
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 2} x & = 2 &\ text {límite de $x$}\\\ end {align*}
y ahora el denominador:
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 2} x-1 & =\ left (\ lim_ {x\ a 2} x\ right) -\ left (\ lim_ {x\ a 2} 1\ right) &\ text {diferencia de límites}\\ & = 2 - 1 &\ text {límite de $x$ y límite de constante} & = 1\ end {align*}Como el límite del denominador es distinto de cero podemos volver a armarlo para conseguir
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 2}\ frac {x} {x-1} &=\ frac {\ lim_ {x\ a 2} x} {\ lim_ {x\ a 2} (x-1)}\\ &=\ frac {2} {1}\\ &= 2\ end {align*}
En el siguiente ejemplo mostramos que muchas cosas diferentes pueden suceder si el límite del denominador es cero.
Debemos tener cuidado a la hora de calcular el límite de una relación —es la relación de los límites excepto cuando el límite del denominador es cero. Cuando el límite del denominador es cero El teorema 1.4.3 no se aplica y pueden suceder algunas cosas interesantes
- Si el límite del numerador es distinto de cero entonces el límite de la relación no existe
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a una}\ frac {f (x)} {g (x)} &= DNE &\ text {cuando $\ lim_ {x\ a} f (x)\ neq 0$ y $\ lim_ {x\ a} g (x) =0$}\ end {align*}
Por ejemplo,\( \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = DNE\text{.}\) - Si el límite del numerador es cero entonces el teorema anterior no nos da suficiente información para decidir si existe o no el límite. Es posible que
- el límite no existe, eg. \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} = DNE\)
- el límite es\(\pm \infty\text{,}\) eg. \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^4} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = +\infty\)o\( \lim_{x \to 0} \frac{-x^2}{x^4} = \lim_{x\to 0} \frac{-1}{x^2} = -\infty\text{.}\)
- el límite es cero, eg. \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x} = 0\)
- el límite existe y es distinto de cero, eg. \( \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1\)
Ahora bien, si bien los ejemplos anteriores son muy sencillos y un poco ideados sirven para ilustrar el punto que estamos tratando de hacer —ten cuidado si el límite del denominador es cero.
Ahora tenemos suficiente teoría para volver a nuestra función racional y calcular su límite a medida que se\(x\) aproxima 2.
Dejar\( h(x) = \frac{2x-3}{x^2+5x-6}\) y encontrar su límite como\(x\) enfoques\(2\text{.}\)
Dado que este es el límite de una relación, calculamos el límite del numerador y denominador por separado. Primero numerador:
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 2} 2x-3 &=\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} 2x\ derecha) -\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} 3\ derecha) &\ text {diferencia de límites}\\ &= 2\ cdot\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} x\ derecha) -3 &\ text {producto de límites y límite de constante}\\ &= 2\ cdot 2 -3 &\ text {límites de $x$}\\ &= 1\ end { alinear*}
denominador siguiente:
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 2} x^2+5x-6 &=\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} x^2\ derecha) +\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} 5x\ derecha) -\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} 6\ derecha) &\! \! \! \! \! \! \ text {suma de límites}\\ &=\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} x\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} x\ derecha) + 5\ cdot\ izquierda (\ lim_ {x\ a 2} x\ derecha) - 6\\ &\ hskip1.0in\ text {producto de límites y límite de constante}\\ &= 2\ cdot 2 + 5\ cdot 2 - 6 &\ text {límites de $x$}\\ &= 8\ end {align*}
Dado que el límite del denominador es distinto de cero, podemos obtener nuestro resultado tomando la relación de los límites separados.
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 2}\ frac {2x-3} {x^2+5x-6} &=\ frac {\ lim_ {x\ a 2} 2x-3} {\ lim_ {x\ a 2} x^2+5x-6} =\ frac {1} {8}\ end {align*}
Lo anterior funciona de manera bastante simple. No obstante, si tuviéramos que tomar el límite ya que\(x \to 1\) entonces las cosas son un poco más difíciles. El límite del numerador es:
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 1} 2x-3 &= 2\ cdot 1 - 3 = -1\ end {align*}
(no hemos enumerado todos los pasos). Y el límite del denominador es
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1} x^2 +5x-6 &= 1\ cdot 1 + 5 - 6 = 0\ end {align*}
Dado que el límite del numerador es distinto de cero, mientras que el límite del denominador es cero, el límite de la relación no existe.
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1}\ frac {2x-3} {x^2+5x-6} &= DNE\ end {align*}
ES IMPORTANTE TENER EN CUENTA que no es correcto escribir
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1}\ frac {2x-3} {x^2+5x-6} &=\ frac {-1} {0} = DNE\ end {align*}
Porque solo podemos escribir
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a una}\ frac {f (x)} {g (x)} &=\ frac {\ lim_ {x\ a} f (x)} {\ lim_ {x\ a} g (x)} =\ texto {algo}\ end {alinear*}
cuando el límite del denominador es distinto de cero (ver Ejemplo 1.4.7 anterior).
Con un poco de cuidado puedes usar la aritmética de límites para obtener las siguientes reglas para límites de poderes de funciones y límites de raíces de funciones:
Dejar\(n\) ser un entero positivo, let\(a \in \mathbb{R}\) y let\(f\) ser una función para que
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) &= F\ end {align*}
para algún número real\(F\text{.}\) Entonces lo siguiente sostiene
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a}\ left (f (x)\ right) ^n &=\ left (\ lim_ {x\ to a} f (x)\ right) ^n = f^n\ end {align*}
para que el límite de un poder sea el poder del límite. Del mismo modo, si
- \(n\)es un número par y\(F \gt 0\text{,}\) o
- \(n\)es un número impar y\(F\) es cualquier número real
entonces
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a}\ left (f (x)\ right) ^ {1/n} &=\ left (\ lim_ {x\ to a} f (x)\ right) ^ {1/n} = F^ {1/n}\ end {align*}
De manera más general 3, si\(F>0\) y\(p\) es algún número real,
\[ \lim_{x \to a} \left( f(x) \right)^p = \left(\lim_{x \to a} f(x) \right)^p = F^p \nonumber \]
Observe que hay que tener cuidado a la hora de echar raíces de límites que podrían ser números negativos. Para ver por qué, considera el caso\(n=2\text{,}\) el límite
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 4} x^ {1/2} &= 4^ {1/2} = 2\\\ lim_ {x\ a 4} (-x) ^ {1/2} &= (-4) ^ {1/2} =\ texto {no es un número real}\ end {align*}
Para evaluar adecuadamente tales límites necesitamos usar números complejos que están fuera del alcance de este texto.
También tenga en cuenta que la notación\(x^{1/2}\) se refiere a la raíz cuadrada positiva de\(x\text{.}\) While\(2\) y\((-2)\) son ambas raíces cuadradas de\(4\text{,}\) la notación\(4^{1/2}\) significa\(2\text{.}\) Esto es algo que debemos tener cuidado de 4.
Entonces otra vez —hagamos algunos ejemplos y tomemos nota cuidadosamente de lo que estamos haciendo.
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 2} (4x^2-3) ^ {1/3} &=\ izquierda ((\ lim_ {x\ a 2} 4x^2) - (\ lim_ {x\ a 2} 3)\ derecha) ^ {1/3}\\ &=\ izquierda (4\ cdot 2^2 - 3\ derecha) ^ {1/3}\\ &=\ izquierda (3\ derecha) ^ {1/3}\\ &= 13^ {1/3}\ final {alinear*}
Al combinar los últimos teoremas podemos hacer mucho más fácil la evaluación de límites de polinomios y funciones racionales:
\(a \in \mathbb{R}\text{,}\)Dejar\(P(x)\) ser un polinomio y dejar que\(R(x)\) sea una función racional. Entonces
\ start {alinear*}\ lim_ {x\ a} P (x) &= P (a)\ end {alinear*}
y siempre\(R(x)\) se define en\(x=a\) ese momento
\ comenzar {alinear*}\ lim_ {x\ a} R (x) &= R (a)\ final {alinear*}
Si no\(R(x)\) se define en\(x=a\) entonces no somos capaces de aplicar este resultado.
Así que los ejemplos anteriores son ahora mucho más fáciles de calcular:
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 2}\ frac {2x-3} {x^2+5x-6} &=&\ frac {4-3} {4+10-6} &=&\ frac {1} {8}\\ lim_ {x\ a 2} (4x^2-1) &=& 16-1 &=& 15\\ lim_ {x\ a 2}\ frac {x} {x-1} &=&\ frac {2} {2-1} &=& 2\ end {alinear*}
Es claro que los límites de los polinomios son muy fáciles, mientras que los de las funciones racionales son fáciles excepto cuando el denominador podría llegar a cero. Hemos visto ejemplos donde el límite resultante no existe, y algunos donde sí. Ahora trabajamos para explicar esto de manera más sistemática. El siguiente ejemplo demuestra que a veces es posible llevar el límite de una función racional a un punto en el que el denominador es cero. En efecto, debemos ser capaces de hacer exactamente esto para poder definir derivados en el siguiente capítulo.
Considera el límite
\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a 1}\ frac {x^3-x^2} {x-1}. \ end {reunir*}
Si tratamos de aplicar la aritmética de límites entonces calculamos los límites del numerador y denominador por separado
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1} x^3-x^2 &= 1-1 = 0\\\ lim_ {x\ a 1} x-1 &= 1-1 = 0\ end {alinear*}
Como el denominador es cero, no podemos aplicar nuestro teorema y estamos, por el momento, atascados. Sin embargo, hay más que podemos hacer aquí —la pista es que el numerador y el denominador se acercan tanto a cero como se\(x\) acerca al 1. Esto quiere decir que podría haber algo que podamos cancelar.
Entonces, juguemos un poco más con la expresión antes de tomar el límite:
\ begin {alinear*}\ frac {x^3-x^2} {x-1} &=\ frac {x^2 (x-1)} {x-1} = x^2 &\ text {proporcionado} x\ neq 1. \ end {alinear*}
Entonces lo que realmente tenemos aquí es la siguiente función
\ begin {align*}\ frac {x^3-x^2} {x-1} &=\ begin {cases} x^2 & x\ neq 1\\\ text {undefined} & x = 1\ end {cases}\ end {align*}
Si trazamos la función anterior el gráfico se ve exactamente igual que\(y=x^2\) excepto que la función no está definida en\(x=1\) (ya que\(x=1\) tanto en el numerador como en el denominador son cero)
Cuando calculamos un límite como\(x \to a\text{,}\) el valor de la función exactamente at\(x=a\) es irrelevante. Solo nos importa lo que pase con la función ya que traemos\(x\) muy cerca de\(a\text{.}\) Así que para el problema anterior podemos escribir
\ begin {align*}\ frac {x^3-x^2} {x-1} &= x^2 &\ text {cuando $x$ está cerca de $1$ pero no a $x=1$}\ end {align*}
Entonces el límite a partir\(x \to 1\) de la función es el mismo que el límite\( \lim_{x\to 1} x^2\) ya que las funciones son las mismas excepto exactamente en\(x=1\text{.}\) Por este razonamiento obtenemos
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1}\ frac {x^3-x^2} {x-1} &=\ lim_ {x\ a 1} x^2 = 1\ end {alinear*}
El razonamiento en el ejemplo anterior se puede hacer más general:
Si\(f(x) = g(x)\) salvo cuando\(x=a\) entonces\( \lim_{x\to a} f(x) = \lim_{x\to a} g(x)\) siempre que\(g\) exista el límite de.
¿Cómo sabemos cuándo usar este teorema? La gran pista es que cuando tratamos de calcular el límite de una manera ingenua,\(\frac{0}{0}\text{.}\) terminamos con Sabemos que\(\frac{0}{0}\) no tiene sentido, pero es una indicación de que podría haber un factor común entre numerador y denominador que se pueda cancelar. En el ejemplo anterior, este factor común fue\((x-1)\text{.}\)
Usando esta idea computar
\ begin {reunir*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(1+h) ^2-1} {h}\ end {reunir*}
- Primero debemos verificar que no podemos simplemente sustituir\(h=0\) en esto, claramente no podemos porque el denominador sería\(0\text{.}\)
- Pero también debemos revisar el numerador para ver si tenemos\(\frac{0}{0}\text{,}\) y vemos que el numerador nos da\(1-1 = 0\text{.}\)
- Así tenemos un indicio de que hay un factor común que podríamos cancelar. Entonces ahora buscamos el factor común e intentamos cancelarlo.
\ begin {align*}\ frac {(1+h) ^2-1} {h} &=\ frac {1+2h+h^2-1} {h} &\ text {expandir}\\ &=\ frac {2h+h^2} {h} =\ frac {h (2+h)} {h} &\ text {factor y luego cancelar}\\ &= 2+h\ end align{ *}
- Así que realmente tenemos eso
\ begin {align*}\ frac {(1+h) ^2-1} {h} &=\ begin {cases} 2+h & h\ neq 0\\\ text {undefined} & h=0\ end {cases}\ end {align*}
y debido a esto\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(1+h) ^2-1} {h} &=\ lim_ {h\ a 0} 2+h\\ &= 2\ end {alinear*}
Por supuesto, aquí hemos escrito todo con gran detalle y eso es mucho más de lo que se requiere para una solución a tal problema. Hagámoslo de nuevo un poco más sucintamente.
Compute el siguiente límite:
\ begin {reunir*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(1+h) ^2-1} {h}\ end {reunir*}
Si tratamos de usar la aritmética de límites, entonces vemos que el límite del numerador y el límite del denominador son ambos cero. De ahí que deberíamos tratar de factorizarlos y cancelar cualquier factor común. Esto da
\ begin {align*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(1+h) ^2-1} {h} &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {1+2h+h^2-1} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0} 2+h\ &= 2\ end {align*}
Observe que a pesar de que hicimos este ejemplo cuidadosamente arriba, todavía hemos escrito algún texto en nuestro trabajo explicando lo que hemos hecho. Siempre se debe pensar en el lector y en caso de duda, poner más explicación en lugar de menos. Podríamos hacer aún más conciso el ejemplo anterior
Compute el siguiente límite:
\ begin {reunir*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(1+h) ^2-1} {h}\ end {reunir*}
El numerador y el denominador van a cero como factor\(h\to 0\text{.}\) So y simplifican:
\ begin {alinear*}\ lim_ {h\ a 0}\ frac {(1+h) ^2-1} {h} &=\ lim_ {h\ a 0}\ frac {1+2h+h^2-1} {h}\\ &=\ lim_ {h\ a 0} 2+h = 2\ final {alinear*}
Un poco más difícil ahora
Calcula el límite
\ comenzar {reunir*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {x} {\ sqrt {1+x} -1}\ fin {reunir*}
Si tratamos de usar la aritmética de límites obtenemos
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0} x &= 0\\\ lim_ {x\ a 0}\ sqrt {1+x} -1 &=\ sqrt {\ lim_ {x\ a 0} 1+x} -1 = 1-1 =0\ end {align*}
Entonces haciendo lo ingenuo que obtendríamos\(0/0\text{.}\) Esto sugiere un factor común que se puede cancelar. Como el numerador y el denominador no son polinomios tenemos que probar otros trucos 5. Podemos simplificar\(\sqrt{1+x}-1\) mucho el denominador, y en particular eliminar la raíz cuadrada, multiplicándola por su conjugado\(\sqrt{1+x}+1\text{.}\)
\ begin {align*}\ frac {x} {\ sqrt {1+x} -1} &=\ frac {x} {\ sqrt {1+x} -1}\ veces\ frac {\ sqrt {1+x} +1} {\ sqrt {1+x} +1} &\ text {multiplicar por $\ frac {\ text {conjugado}} {\ text {conjugado}} =1$}\ &=\ frac {x\ izquierda (\ sqrt {1+x} +1\ derecha)} {\ izquierda (\ sqrt {1+x} -1\ derecha)\ izquierda (\ sqrt {1+x} +1\ derecha)} &\ text {unir las cosas}\\ &=\ frac {x\ izquierda (\ sqrt {1+x} +1\ derecha)} {\ izquierda (\ sqrt {1+x}\ derecha) ^2 - 1\ cdot 1} &\! \! \! \! \! \! \! \ text {desde $ (a\! -\! b) (a\! +\! b) =a^2\! -\! b^2$}\\ &=\ frac {x\ izquierda (\ sqrt {1+x} +1\ derecha)} {1+x - 1} &\ text {limpiar un poco}\\ &=\ frac {x\ izquierda (\ sqrt {1+x} +1\ derecha)} {x}\\ &=\ sqrt {1+x} +1 &\ text {cancelar los $x$}\ end {align*}
Así que ahora tenemos
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 0}\ frac {x} {\ sqrt {1+x} -1} &=\ lim_ {x\ a 0}\ sqrt {1+x} +1\\ &=\ sqrt {1+0} +1 = 2\ end {align*}
¿Cómo sabíamos por qué multiplicar? Nuestra función era de la forma
\ comenzar {reunir*}\ frac {a} {\ sqrt {b} - c}\ fin {reunir*}
entonces, para eliminar la raíz cuadrada del denominador, empleamos un truco —multiplicamos por 1. Por supuesto, multiplicar por 1 no hace nada. Pero si multiplicas por 1 cuidadosamente puedes dejar el valor igual, pero cambiar la forma de la expresión. Más precisamente
\ begin {alinear*}\ frac {a} {\ sqrt {b} - c} &=\ frac {a} {\ sqrt {b} - c}\ cdot 1\\ &=\ frac {a} {\ sqrt {b} - c}\ cdot\ underbrackets {\ frac {\ sqrt {b} +c} {\ sqrt {b} +c}} _ {=1}\\ &=\ frac {a\ izquierda (\ sqrt {b} +c\ derecha)} {\ izquierda (\ sqrt {b} - c\ derecha)\ izquierda (\ sqrt {b} +c\ derecha)} &\ text {expandir denominador cuidadosamente}\\ &=\ frac {a \ left (\ sqrt {b} +c\ right)} {\ sqrt {b}\ cdot\ sqrt {b} - c\ sqrt {b} + c\ sqrt {b} - c\ cdot c} &\ text {hacer alguna cancelación}\\ &=\ frac {a\ left (\ sqrt {b} +c\ right)} {b - c^2}\ end {align*}
Ahora el numerador contiene raíces, pero el denominador es sólo un polinomio.
Antes de pasar a los límites en el infinito, hay un teorema más para ver. Si bien el alcance de su aplicación es bastante limitado, puede resultar sumamente útil. Se llama teorema de sándwich o teorema de squeeze por razones que se harán evidentes.
A veces uno se presenta con una desagradable función fea como
\ begin {align*} f (x) &= x^2\ sin (\ pi/x)\ end {align*}
Es un hecho de la vida, que no todas las funciones que se encuentran en las matemáticas serán elegantes y sencillas; esto es especialmente cierto cuando las matemáticas se aplican a problemas del mundo real. Uno solo tiene que trabajar con lo que se obtiene. Entonces, ¿cómo podemos calcular
\ begin {reunir*}\ lim_ {x\ a 0} x^2\ sin (\ pi/x)? \ end {reunir*}
Ya que es producto de dos funciones, podríamos intentar
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 0} x^2\ sin (\ pi/x) &=\ izquierda (\ lim_ {x\ a 0} x^2\ derecha)\ cdot\ izquierda (\ lim_ {x\ a 0}\ sin (\ pi/x)\ derecha)\\ &= 0\ cdot\ izquierda (\ lim_ {x\ a 0}\ sin (\ pi/x)\ derecha)\\ & = 0\ end {alinear*}
Pero acabamos de hacer trampa — no podemos usar la aritmética del teorema de límites aquí, porque el límite
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 0}\ sin (\ pi/x) &= DNE\ end {alinear*}
no existe. Ahora sí vimos la función\(\sin(\pi/x)\) antes (en Ejemplo 1.3.5), así que deberías volver atrás y mirarla de nuevo. Desafortunadamente el teorema “el límite de un producto es producto de los límites” solo se sostiene cuando realmente existen los límites que estás tratando de multiplicar juntos. Entonces no podemos usarlo.
No obstante, sí vemos que la función se descompone naturalmente en el producto de dos piezas — las funciones\(x^2\) y\(\sin(\pi/x)\text{.}\) Hemos esbozado las dos funciones en la figura de la izquierda de abajo.
Si bien\(x^2\) es una función muy bien portada y sabemos bastante al respecto, la función\(\sin(\pi/x)\) es bastante fea. Una de las pocas cosas que podemos decir al respecto es la siguiente
\ begin {align*} -1\ leq\ sin (\ pi/x)\ leq 1 &&\ text {proporcionado $x\ neq 0$}\ end {align*}
Pero si multiplicamos esta expresión por\(x^2\) obtenemos (porque\(x^2 \geq 0\))
\ begin {align*} -x^2\ leq x^2\ sin (\ pi/x)\ leq x^2 &&\ text {proporcionado $x\ neq 0$}\ end {align*}
y hemos esbozado el resultado en la figura anterior (a la derecha). Entonces la función que nos interesa está apretada o intercalada entre las funciones\(x^2\) y\(-x^2\text{.}\)
Si nos enfocamos en el cuadro cercano\(x=0\) vemos que\(x\) se acerca a\(0\text{,}\) las funciones\(x^2\) y\(-x^2\) ambos se acercan\(0\text{.}\) Más lejos, porque\(x^2\sin(\pi/x)\) está intercalado entre ellas, parece que también se acerca\(0\text{.}\)
El siguiente teorema nos dice que este es efectivamente el caso:
Dejar\(a \in \mathbb{R}\) y dejar que\(f,g,h\) sean tres funciones para que
\ comenzar {reunir*} f (x)\ leq g (x)\ leq h (x)\ fin {reunir*}
para todos\(x\) en un intervalo alrededor\(a\text{,}\) excepto posiblemente exactamente en\(x=a\text{.}\) Entonces si
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} f (x) &=\ lim_ {x\ a} h (x) = L\ end {align*}
entonces también es el caso que
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a} g (x) &= L\ end {alinear*}
Usando el teorema anterior podemos calcular el límite que queremos y escribirlo muy bien.
Calcula el límite
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin(\pi/x) \nonumber \]
Ya que\(-1 \leq \sin(\theta) \leq 1\) para todos los números reales\(\theta\text{,}\) tenemos
\ begin {align*} -1\ leq\ sin (\ pi /x)\ leq 1 &&\ texto {para todos} x\ neq 0\ end {align*}
Multiplicando lo anterior por\(x^2\) vemos que
\ begin {align*} -x^2\ leq x^2\ sin (\ pi /x)\ leq x^2 &&\ texto {para todos} x\ neq0\ end {align*}
Ya que\( \lim_{x \to 0} x^2 = \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0\) por el teorema de sandwich (o squeeze o pinch) tenemos
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 0} x^2\ sin (\ pi/x) &= 0\ end {align*}
Observe cómo hemos utilizado “palabras”. Ya lo hemos remarcado varias veces en el texto, pero vamos a seguir mencionándolo. Está bien usar palabras en tus respuestas a problemas matemáticos, ¡y deberías hacerlo! Estos le permiten al lector saber lo que estás haciendo y te ayudan a entender lo que estás haciendo.
Que\(f(x)\) sea una función tal que\(1 \leq f(x) \leq x^2-2x+2\text{.}\) ¿Qué es\( \lim_{x \to 1} f(x)\text{?}\)
Ya estamos abastecidos de una desigualdad, por lo que es probable que nos vaya a ayudar. Deberíamos examinar los límites de cada lado para ver si son los mismos:
\ begin {alinear*}\ lim_ {x\ a 1} 1 &= 1\\\ lim_ {x\ a 1} x^2-2x+2 &= 1-2+2 = 1\ end {alinear*}
Entonces vemos que la función\(f(x)\) está atrapada entre dos funciones que ambas se acercan\(1\) como de\(x \to 1\text{.}\) ahí por el teorema sandwich/pinch/squeeze, sabemos que
\ begin {align*}\ lim_ {x\ a 1} f (x) & =1\ end {align*}
Para obtener cierta intuición sobre por qué es cierto el teorema de squeeze, considere cuándo\(x\) está muy muy cerca de\(a\text{.}\) En particular, considere cuándo\(x\) está suficientemente cerca de lo\(a\) que sabemos que\(h(x)\) está dentro\(10^{-6}\) de\(L\) y que también\(f(x)\) está dentro\(10^{-6}\) de \(L\text{.}\)Eso es
\ begin {align*} |h (x) -L| &\ lt 10^ {-6} &\ text {y} && |f (x) -L| &\ lt 10^ {-6}. \ end {alinear*}
Esto significa que
\ begin {align*} L-10^ {-6} &\ lt f (x)\ leq h (x)\ lt L+10^ {-6}\ end {align*}
ya que sabemos que\(f(x) \leq h(x)\text{.}\)
Pero ahora por la hipótesis del teorema squeeze lo sabemos\(f(x) \leq g(x) \leq h(x)\) y así tenemos
\ comenzar {alinear*} L-10^ {-6} &\ lt f (x)\ leq g (x)\ leq h (x)\ lt L+10^ {-6}\ final {alinear*}
Y así sabemos que
\[ L-10^{-6} \leq g(x) \leq L+10^{-6} \nonumber \]
Eso\(g(x)\) es también dentro\(10^{-6}\) de\(L\text{.}\)
En este argumento nuestra elección de\(10^{-6}\) fue arbitraria, así que realmente podemos reemplazar\(10^{-6}\) con cualquier número pequeño que nos guste. De ahí que sepamos que podemos forzar\(g(x)\) lo más cerca que queramos,\(x\) acercándonos suficientemente a\(a\text{.}\) Damos una versión más formal y rigurosa de este argumento al final de la Sección 1.9.\(L\)
Ejercicios
Etapa 1
Supongamos\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x)=0\) y ¿\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} g(x)=0\text{.}\)Cuál de los siguientes límites puedes computar, dada esta información?
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{2}\)
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \frac{2}{f(x)}\)
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}\)
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x)g(x)\)
Dar dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) que satisfagan\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0\) y\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=10\text{.}\)
Dar dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) que satisfagan\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0\) y\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=0\text{.}\)
Dar dos funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) que satisfagan\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3}g(x)=0\) y\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\infty\text{.}\)
Supongamos\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}g(x)=0\text{.}\) ¿Cuáles son los valores posibles de\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}\text{?}\)
Etapa 2
Para las Preguntas 1.4.2.6 a 1.4.2.41, evaluar los límites dados.
\(\displaystyle\lim_{t \rightarrow 10} \dfrac{2(t-10)^2}{t}\)
\(\displaystyle\lim_{y \rightarrow 0} \dfrac{(y+1)(y+2)(y+3)}{\cos y}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 3} \left(\dfrac{4x-2}{x+2}\right)^4\)
\( \lim_{t\to -3} \left(\frac{1-t}{\cos(t)}\right)\)
\( \lim_{h \to 0} \frac{(2+h)^2-4}{2h}\)
\( \lim_{t\to -2} \left(\frac{t-5}{t+4}\right)\)
\( \lim_{x\to 1} \sqrt{5x^3 + 4}\)
\(\displaystyle\lim_{t\rightarrow -1} \left(\frac{t-2}{t+3}\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow 1}\dfrac{\log(1+x)-x}{x^2}\)
\(\displaystyle\lim_{x\rightarrow 2} \left(\frac{x-2}{x^2-4}\right)\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow 4}\dfrac{x^2-4x}{x^2-16}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow 2}\dfrac{x^2+x-6}{x-2}\)
\( \lim_{x \to -3} \frac{x^2-9}{x+3}\)
\(\displaystyle\lim_{t \rightarrow 2} \frac{1}{2}t^4-3t^3+t\)
\( \lim_{x\to -1} \frac{\sqrt{x^2+8}-3}{x+1}\text{.}\)
\( \lim_{x\to 2} \frac{\sqrt{x+7}-\sqrt{11-x}}{2x-4}\text{.}\)
\(\displaystyle \lim_{x\rightarrow 1} \frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{4-x}}{x-1}\)
\( \lim_{x\to 3} \frac{\sqrt{x-2}-\sqrt{4-x}}{x-3}\text{.}\)
\( \lim_{t\to 1} \frac{3t-3}{2 - \sqrt{5-t}}\text{.}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}-x^2\cos\left(\frac{3}{x}\right)\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\dfrac{x^4\sin\left(\frac{1}{x}\right)+5x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)+2}{(x-2)^2}\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow 0}x\sin^2\left(\dfrac{1}{x}\right)\)
\(\displaystyle\lim_{w \rightarrow 5} \dfrac{2w^2-50}{(w-5)(w-1)}\)
\(\displaystyle\lim_{r \rightarrow -5} \dfrac{r}{r^2+10r+25}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1}\sqrt{\dfrac{x^3+x^2+x+1}{3x+3}}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{x^2+2x+1}{3x^5-5x^3}\)
\(\displaystyle\lim_{t \rightarrow 7} \dfrac{t^2x^2+2tx+1}{t^2-14t+49}\text{,}\)donde\(x\) es una constante positiva
\(\displaystyle\lim_{d \rightarrow 0} x^5-32x+15\text{,}\)donde\(x\) es una constante
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 1} (x-1)^2\sin\left[\left(\dfrac{x^2-3x+2}{x^2-2x+1}\right)^2+15\right]\)
Evaluar\( \lim_{x\rightarrow 0} x^{1/101} \sin\big(x^{-100}\big)\) o explicar por qué no existe este límite.
\(\lim\limits_{x\rightarrow2}\dfrac{x^2-4}{x^2-2x}\)
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 5} \dfrac{(x-5)^2}{x+5}\)
Evaluar\(\lim_{t \to \frac{1}{2}}\dfrac{\frac{1}{3t^2}+\frac{1}{t^2-1}}{2t-1}\).
Evaluar\(\lim_{x \to 0}\left( 3+\dfrac{|x|}{x}\right) \text{.}\)
Evaluar\(\lim_{d \to -4}\dfrac{|3d+12|}{d+4}\)
Evaluar\(\lim_{x \to 0}\dfrac{5x-9}{|x|+2}\text{.}\)
Supongamos\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1} f(x)=-1\text{.}\) Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -1} \dfrac{xf(x)+3}{2f(x)+1}\text{.}\)
Encontrar el valor de la constante\(a\) para la que\(\lim\limits_{x\rightarrow -2}\dfrac{x^2+ax+3}{x^2+x-2}\) existe.
Supongamos\(f(x)=2x\) y\(g(x)=\frac{1}{x}\text{.}\) Evaluar los siguientes límites.
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} g(x)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)g(x)\)
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)}{g(x)}\)
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 2} [f(x)+g(x)]\)
- \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(x)+1}{g(x+1)}\)
Etapa 3
La curva\(y=f(x)\) se muestra en la gráfica de abajo. Esbozar el gráfico de\(y=\dfrac{1}{f(x)}\text{.}\)
Las gráficas de funciones\(f(x)\) y\(g(x)\) se muestran en las gráficas a continuación. Úselos para bosquejar el gráfico de\(\dfrac{f(x)}{g(x)}\text{.}\)
Supongamos que la posición de una bola blanca, en el momento\(t\text{,}\) viene dada por\(s(t)\text{,}\) y la posición de una bola roja viene dada por\(2s(t)\text{.}\) Usando la definición de la Sección 1.2 de la velocidad de una partícula, y las leyes de límite de esta sección, responda la siguiente pregunta: si la bola blanca tiene velocidad 5 a tiempo\(t=1\text{,}\) ¿cuál es la velocidad de la bola roja?
Let\(f(x) = \frac{1}{x}\) y\(g(x) = \frac{-1}{x}\text{.}\)
- Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\) y\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} g(x)\text{.}\)
- Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} [f(x)+g(x)]\)
- ¿Siempre es cierto que\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} [f(x)+g(x)]= \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x)+\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} g(x)\text{?}\)
Supongamos
\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} x^2+3 &\ text {si} x\ gt 0\\ 0 &\ texto {si} x = 0\\ x^2-3 &\ text {si} x\ lt 0\ end {casos}\ end {align*}
- Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x)\text{.}\)
- Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)\text{.}\)
- Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} f(x)\text{.}\)
Supongamos
\ begin {align*} f (x) &=\ begin {cases} {\ displaystyle\ frac {x^2+8x+16} {x^2+30x-4}} &\ text {if} x\ gt -4\\ x^3+8x^2+16x &\ text {if} x\ le -4\ end {cases}\ end {align*}
- Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -4^-} f(x)\text{.}\)
- Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -4^+} f(x)\text{.}\)
- Evaluar\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow -4} f(x)\text{.}\)