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1: Vectores y Geometría en Dos y Tres Dimensiones

Última actualización

30 oct 2022
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- Prefacio
- 1.1: Puntos

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Antes de comenzar a hacer cálculos en dos y tres dimensiones necesitamos repasar alguna geometría básica, que usaremos mucho. Ya estamos familiarizados con el avión cartesiano ¹, pero partiremos desde el principio.

René Descartes (1596—1650) fue un científico y filósofo francés, que vivió en la República Holandesa durante aproximadamente veinte años después de servir en el (mercenario) Ejército de los Estados Holandeses. Se le ve como el padre de la geometría analítica, que utiliza números para estudiar la geometría.

1.1: Puntos
Cada punto en dos dimensiones puede ser etiquetado por dos coordenadas $(x,y)$ que especifican la posición del punto en algunas unidades con respecto a algunos ejes como en la siguiente figura.
1.2: Vectores
En muchas de nuestras aplicaciones en 2d y 3d, encontraremos cantidades que tienen tanto una magnitud (como una distancia) como también una dirección. Tales cantidades se llaman vectores. Es decir, un vector es una cantidad que tiene tanto una dirección como una magnitud, como una velocidad.
1.3: Ecuaciones de líneas en 2d
Una línea en dos dimensiones se puede especificar dando un punto $(x_0,y_0)$ en la línea y un vector $\textbf{d}=\left \langle d_x,d_y \right \rangle$ cuya dirección es paralela a la línea.
1.4: Ecuaciones de planos en 3d
Especificar un punto $(x_0,y_0,z_0)$ en un plano y un vector $\textbf{d}$ paralelo al plano no determina únicamente el plano, ya que es libre de rotar alrededor de $\textbf{d}\text{.}$ \ vd\ text {.}
1.5: Ecuaciones de Líneas en 3d
Al igual que en dos dimensiones, se puede especificar una línea en tres dimensiones dando un punto $(x_0,y_0,z_0)$ en la línea y un vector $\textbf{d}=\left \langle d_x,d_y,d_z \right \rangle$ cuya dirección es paralela a la de la línea.
1.6: Curvas y sus vectores tangentes
El lado derecho de la ecuación paramétrica $(x,y,z)=(1,1,0)+t\left \langle 1,2,-2 \right \rangle$ que acabamos de ver en Warning 1.5.3 es una función vectorizada de una variable real $t\text{.}$
1.7: Croquizar superficies en 3d
En la práctica, los estudiantes que toman cálculos multivariables regularmente tienen grandes dificultades para visualizar superficies en tres dimensiones, a pesar de que todos vivimos en tres dimensiones. Ahora desarrollaremos alguna técnica para ayudarnos a bosquejar superficies en tres dimensiones.
1.8: Cilindros
Hay algunas clases de superficies relativamente simples, pero que ocurren comúnmente, a las que se les da sus propios nombres. Una de esas clases son las superficies cilíndricas. Probablemente estés acostumbrado a pensar en un cilindro como algo que parece $x^2+y^2=1\text{.}$
1.9: Superficies cuádricas
Otra clase nombrada de superficies relativamente simples, pero que ocurren comúnmente, son las superficies cuádricas.

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