2: Derivadas Parciales

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En este capítulo vamos a generalizar la definición de “derivado” a funciones de más de una variable y luego vamos a usar esas derivadas. Paralearemos el desarrollo en los Capítulos 1 y 2 del texto CLP-1. Nosotros

definir límites y continuidad de funciones de más de una variable (Definiciones 2.1.2 y 2.1.3) y luego
estudiar las propiedades de los límites en más de una dimensión (Teorema 2.1.5) y luego
definir derivadas de funciones de más de una variable (Definición 2.2.1).

Vamos a poder acelerar considerablemente las cosas reciclando lo que ya aprendimos en el texto CLP-1.

Comenzamos por generalizar la definición de “límite” a funciones de más de una variable.

2.1: Límites
Antes de que realmente empecemos, recordemos alguna notación útil.
2.2: Derivadas Parciales
Ahora estamos listos para definir derivadas de funciones de más de una variable.
2.3: Derivados de orden superior
Ya has observado, en tu primer curso de Cálculo, que si f (x) es una función de x, entonces su derivada también es una función de x, y puede diferenciarse para dar las derivadas de segundo orden, que a su vez pueden diferenciarse una vez más para dar la derivada de tercer orden, f (3) (x), f^ {(3)} (x)\ text {,} y así sucesivamente.
2.4: La regla de la cadena
Ya usa rutinariamente la regla de cadena unidimensional
2.5: Planos tangentes y líneas normales
La línea tangente a la curva\(y=f(x)\) en el punto\(\big(x_0,f(x_0)\big)\) es la línea recta que mejor se ajusta a la curva en ese punto.
2.6: Aproximaciones lineales y error
Una estrategia de uso frecuente y eficaz para construir una comprensión del comportamiento de una función complicada cerca de un punto es aproximarla mediante una función simple. El siguiente conjunto de tales aproximaciones es la tarifa estándar en los cursos de Cálculo I. Véase, por ejemplo, §3.4 en el texto CLP-1.
2.7: Derivadas direccionales y el gradiente
La interpretación principal de\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a)\) es la tasa de cambio de cambio\(f(x)\text{,}\) por unidad de\(x\text{,}\) al\(x=a\text{.}\) El análogo natural de esta interpretación para funciones multivariables es la derivada direccional, que ahora introducimos a través de una pregunta.
2.8: Opcional — Resolviendo la Ecuación de Onda
Muchos fenómenos son modelados por ecuaciones que relacionan las tasas de cambio de diversas cantidades. Como las tasas de cambio son dadas por las derivadas, las ecuaciones resultantes contienen derivadas y así se llaman ecuaciones diferenciales.
2.9: Valores máximos y mínimos
Uno de los temas centrales en los cursos de cálculo de una sola variable es encontrar los máximos y mínimos de funciones de una variable. Ahora extenderemos esa discusión a funciones de más de una variable.
2.10: Multiplicadores Lagrange
En la última sección tuvimos que resolver una serie de problemas de la forma “Cuál es el valor máximo de la función\(f\) en la curva\(C\text{?}\)” En esos ejemplos, la curva\(C\) era lo suficientemente simple como para que pudiéramos reducir el problema a encontrar el máximo de una función de una variable.