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2.2: Derivadas Parciales

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Ahora estamos listos para definir derivadas de funciones de más de una variable. Primero, recordemos cómo definimos la derivada,f(a), de una función de una variable,f(x). imaginábamos que estábamos caminando por elx eje -eje, en la dirección positiva, midiendo, por ejemplo, la temperatura en el camino. Denotamos porf(x) la temperatura ax. La velocidad instantánea de cambio de temperatura que observamos a medida que pasábamosx=a fue

dfdx(a)=lim

Siguiente supongamos que estamos caminando en elxy -plano y que la temperatura a(x,y) esf(x,y)\text{.} Podemos pasar por el punto(x,y)=(a,b) moviéndose en muchas direcciones diferentes, y no podemos esperar la tasa medida de cambio de temperatura si caminamos paralelos alx eje -eje, en el dirección de aumentarx\text{,} para ser la misma que la tasa medida de cambio de temperatura si caminamos paralelos aly eje -en la dirección de aumentary\text{.} Empezaremos considerando solo esas dos direcciones. Consideraremos otras direcciones (como caminar paralelo a la líneay=x) más adelante.

Supongamos que estamos pasando por el punto(x,y)=(a,b) y que estamos caminando paralelos alx eje -eje (en la dirección positiva). Entonces nuestray -coordenada será constante, tomando siempre el valory=b\text{.} Así podemos pensar en la temperatura medida como función de una variableB(x) = f(x,b) y observaremos la tasa de cambio de temperatura

\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}x}(a) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{B(a+h) - B(a)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} \nonumber

Esto se llama la “derivada parcialf con respecto ax at(a,b)” y se denota\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\text{.} Aquí

  • el símbolo\partial\text{,} que se lee “parcial”, indica que estamos tratando con una función de más de una variable, y
  • elx in\frac{\partial f}{\partial x} indica que estamos diferenciando con respecto ax\text{,} mientrasy se mantiene fijo, es decir, ser tratado como una constante.
  • \frac{\partial f}{\partial x}se lee “dee parcialf deex”.

No escribir\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} cuando\frac{\partial }{\partial x} sea apropiado. Posteriormente nos encontraremos con situaciones en las\frac{\partial }{\partial x}f que\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f y estén definidas y tengan significados diferentes.

Si, en cambio, estamos pasando por el punto(x,y)=(a,b) y estamos caminando paralelos aly eje -eje (en la dirección positiva), entonces nuestrax -coordenada será constante, tomando siempre el valorx=a\text{.} Así podemos pensar en la temperatura medida como función de una variableA(y) = f(a,y) y observaremos la tasa de cambio de temperatura

\frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}y}(b) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{A(b+h) - A(b)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a,b+h) - f(a,b)}{h} \nonumber

Esto se llama la “derivada parcialf con respecto ay at(a,b)” y se denota\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\text{.}

Así como fue el caso de la derivada ordinaria\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x) (ver Definición 2.2.6 en el texto CLP-1), es común tratar las derivadas parciales def(x,y) como funciones de(x,y) simplemente evaluando las derivadas parciales en(x,y) lugar de en(a,b)\text{.}

Definición 2.2.1. Derivadas parciales

Las derivadasx - yy -parciales de la funciónf(x,y) son

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h} \end{align*}

respectivamente. Las derivadas parciales de funciones de más de dos variables se definen análogamente.

Los derivados parciales se utilizan mucho. Y hay muchas anotaciones para ellos.

Definición 2.2.2

La derivada parcial\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) de una función tambiénf(x,y) se denota

\frac{\partial f}{\partial x}\qquad f_x(x,y)\qquad f_x\qquad D_xf(x,y)\qquad D_xf\qquad D_1 f(x,y)\qquad D_1 f \nonumber

El subíndice1 onD_1 f indica quef se está diferenciando con respecto a su primera variable. La derivada parcial también\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) se denota

\frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(a,b)} \nonumber

con el subíndice(a,b) indicando que\frac{\partial f}{\partial x} se está evaluando en(x,y)=(a,b)\text{.}

La notación{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{\!y} se utiliza para hacer explícito que la variabley se mantiene fija 1.

OBSERVACIÓN 2.2.3. La interpretación geométrica de las derivadas parciales

Ahora desarrollaremos una interpretación geométrica de la derivada parcial

\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} \nonumber

en cuanto a la forma de la gráficaz=f(x,y) de la funciónf(x,y)\text{.} Esa gráfica aparece en la siguiente figura. Parece la parte de una esfera deformada que se encuentra en el primer octante.

La definición de\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) se refiere únicamente a los puntos de la gráfica que tieneny=b\text{.} En otras palabras, la curva de intersección de la superficiez=f(x,y) con el planoy=b\text{.} Esa es la curva roja en la figura. Los dos segmentos de línea vertical azul en la figura tienen alturasf(a,b) yf(a+h,b)\text{,} cuáles son los dos números en el numerador de\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h}\text{.}

xderiv.svg

En la siguiente figura se esboza una vista lateral de la curva (mirando desde el lado izquierdo dely eje).

xderivSide.svg

Nuevamente, los dos segmentos de línea vertical azul en la figura tienen alturasf(a,b) yf(a+h,b)\text{,} cuales son los dos números en el numerador de\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h}\text{.} Así el numeradorf(a+h,b) - f(a,b) y denominadorh son la subida y ejecución, respectivamente, de la curvaz=f(x,b) dex=a ax=a+h\text{.} Así \frac{\partial f}{\partial x}(a,b)es exactamente la pendiente de (la tangente a) la curva de intersección de la superficiez=f(x,y) y el planoy=b\big(a,b, f(a,b)\big)\text{.} en el punto De la misma manera\frac{\partial f}{\partial y}(a,b) es exactamente la pendiente de (la tangente a) la curva de intersección de la superficiez=f(x,y) y el aviónx=a en el punto\big(a,b, f(a,b)\big)\text{.}

Evaluación de Derivadas Parciales

De la discusión anterior, vemos que podemos calcular fácilmente derivados parciales\frac{\partial }{\partial x} utilizando lo que ya sabemos sobre derivados ordinarios\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{.} Más precisamente,

  • evaluar\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\text{,} tratar ely inf(x,y) como una constante y diferenciar la función resultante dex con respecto ax\text{.}
  • Evaluar\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\text{,} tratar elx inf(x,y) como una constante y diferenciar la función resultante dey con respecto ay\text{.}
  • Evaluar\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\text{,} tratar ely inf(x,y) como una constante y diferenciar la función resultante dex con respecto ax\text{.} Luego evaluar el resultado enx=a\text{,}y=b\text{.}
  • Evaluar\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\text{,} tratar elx inf(x,y) como una constante y diferenciar la función resultante dey con respecto ay\text{.} Luego evaluar el resultado enx=a\text{,}y=b\text{.}

Ahora para algunos ejemplos.

Ejemplo 2.2.4

Let

f(x,y) = x^3+y^2+ 4xy^2 \nonumber

Entonces, ya que\frac{\partial }{\partial x} tratay como una constante,

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{\partial }{\partial x}(x^3) + \frac{\partial }{\partial x}(y^2) +\frac{\partial}{\partial x}(4xy^2)\\ &= 3x^2+0 + 4y^2\frac{\partial }{\partial x}(x)\\ &= 3x^2 +4y^2 \end{align*}

y, puesto que\frac{\partial }{\partial y} tratax como una constante,

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{\partial }{\partial y}(x^3) + \frac{\partial }{\partial y}(y^2) +\frac{\partial }{\partial y}(4xy^2)\\ &= 0 + 2y + 4x\frac{\partial }{\partial y}(y^2)\\ &= 2y+8xy \end{align*}

En particular, en(x,y)=(1,0) estas derivadas parciales toman los valores

\begin{alignat*}{2} \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) &= 3(1)^2 +4(0)^2&=3\\ \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) &= 2(0) +8(1)(0)\ &=0 \end{alignat*}

Ejemplo 2.2.5

Let

f(x,y) = y\cos x + xe^{xy} \nonumber

Entonces, ya que\frac{\partial }{\partial x} tratay como una constante,\frac{\partial }{\partial x} e^{yx}=y e^{yx} y

\begin{align*} \frac{\partial }{\partial x}(x,y) &= y\frac{\partial }{\partial x}(\cos x) + e^{xy}\frac{\partial }{\partial x}(x) +x\frac{\partial }{\partial x}\big(e^{xy}\big) \qquad\text{(by the product rule)}\\ &= -y\sin x + e^{xy} +xye^{xy}\\ \frac{\partial }{\partial x}(x,y) &= \cos x\frac{\partial }{\partial y}(y) + x\frac{\partial }{\partial y}\big(e^{xy}\big)\\ &= \cos x + x^2e^{xy} \end{align*}

Vamos a pasar a una función de cuatro variables. Las cosas se generalizan de una manera bastante directa.

Ejemplo 2.2.6

Let

f(x,y,z,t) = x\sin(y+2z) +t^2e^{3y}\ln z \nonumber

Entonces

\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z,t) &= \sin(y+2z)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z,t) &= x\cos(y+2z) +3t^2e^{3y}\ln z\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z,t) &= 2x\cos(y+2z) +t^2e^{3y}/z\\ \frac{\partial f}{\partial t}(x,y,z,t) &= 2te^{3y}\ln z \end{align*}

Ahora aquí hay un ejemplo más complicado — nuestra función toma un valor especial en(0,0)\text{.} Para calcular derivados ahí volvemos a la definición.

Ejemplo 2.2.7

Set

f(x,y)=\begin{cases} \frac{\cos x-\cos y}{x-y}&\text{if } x\ne y \\ 0&\text{if } x=y \end{cases} \nonumber

Sib\ne a\text{,} entonces para todos(x,y) lo suficientemente cerca(a,b)\text{,}f(x,y) = \frac{\cos x-\cos y}{x-y} y podemos calcular las derivadas parciales def al(a,b) usar las reglas familiares de diferenciación. Sin embargo ese no es el caso de(a,b)=(0,0)\text{.} Para evaluarf_x(0,0)\text{,} necesitamos establecery=0 y encontrar la derivada de

f(x,0) = \begin{cases} \frac{\cos x-1}{x}&\text{if } x\ne 0 \\ 0&\text{if } x=0 \end{cases} \nonumber

con respecto ax alx=0\text{.} Como no podemos usar las reglas de diferenciación habituales, evaluamos la derivada 2 aplicando la definición

\begin{align*} f_x(0,0) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{\cos h-1}{h}-0}{h} &\qquad\text{(Recall that $h\ne 0$ in the limit.)}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos h-1}{h^2}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\sin h}{2h} &\qquad\text{(By l'Hôpital's rule.)}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\cos h}{2} &\qquad\text{(By l'Hôpital again.)}\\ &=-\frac{1}{2} \end{align*}

También podríamos evaluar el límite de\frac{\cos h-1}{h^2} sustituyendo en la expansión Taylor

\cos h = 1 -\frac{h^2}{2}+\frac{h^4}{4!} -\cdots \nonumber

También podemos usar las expansiones de Taylor para comprender el comportamiento def(x,y) for(x,y) near(0,0)\text{.} Forx\ne y\text{,}

\begin{align*} \frac{\cos x-\cos y}{x-y} &=\frac{\left[1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\cdots\right] -\left[1-\frac{y^2}{2!} +\frac{y^4}{4!}-\cdots\right]}{x-y}\\ &=\frac{-\frac{x^2-y^2}{2!} +\frac{x^4-y^4}{4!}-\cdots}{x-y} \\ &= -\frac{1}{2!}\frac{x^2-y^2}{x-y} +\frac{1}{4!}\frac{x^4-y^4}{x-y}-\cdots \\ &= -\frac{x+y}{2!} +\frac{x^3+x^2y+xy^2+y^3}{4!}-\cdots \end{align*}

Así que por(x,y) cerca(0,0)\text{,}

f(x,y)\approx\begin{cases} -\frac{x+y}{2} &\text{if $x\ne y$} \\ 0 &\text{if $x=y$} \end{cases} \nonumber

Así que seguro que parece (y de hecho es cierto que)

  • f(x,y)es continuo en(0,0) y
  • f(x,y)no es continuo en(a,a) para pequeñosa\ne 0 y
  • \displaystyle f_x(0,0)=f_y(0,0)=-\frac{1}{2}
Ejemplo 2.2.8

De nuevo establecido

f(x,y)=\begin{cases} \frac{\cos x-\cos y}{x-y}&\text{if } x\ne y \\ 0&\text{if } x=y \end{cases} \nonumber

Ahora calcularemosf_y(x,y) para todos(x,y)\text{.}

El casoy\ne x\text{:} Cuandoy\ne x\text{,}

\begin{align*} f_y(x,y) & = \frac{\partial }{\partial y}\frac{\cos x-\cos y}{x-y}\\ &=\frac{(x-y)\frac{\partial }{\partial y}(\cos x-\cos y) - (\cos x-\cos y)\frac{\partial }{\partial y}(x-y) }{(x-y)^2}\\ &\hskip2in\text{(by the quotient rule)}\\ &=\frac{(x-y)\sin y + \cos x-\cos y }{(x-y)^2} \end{align*}

El casoy= x\text{:} Cuandoy = x\text{,}

\begin{align*} f_y(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,x+h)-f(x,x)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{\cos x-\cos(x+h)}{x-(x+h)}-0}{h} &\qquad\text{(Recall that $h\ne 0$ in the limit.)}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h^2} \end{align*}

Ahora aplicamos la regla de L'Hôpital, recordando que, en este límite,x es una constante yh es la variable —así diferenciamos con respecto ah\text{.}

\begin{align*} f_y(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\sin(x+h)}{2h} \end{align*}

Tenga en cuenta que si nox es un múltiplo entero de\pi\text{,} entonces el numerador-\sin(x+h) no tiende a cero comoh tiende a cero, y el límite de darf_y(x,y) no existe. Por otro lado, six es un múltiplo entero\pi\text{,} tanto del numerador como del denominador tienden a cero comoh tiende a cero, y podemos aplicar la regla de L'Hôpital por segunda vez. Entonces

\begin{align*} f_y(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\cos(x+h)}{2}\\ &=-\frac{\cos x}{2} \end{align*}

La conclusión:

f_y(x,y)=\begin{cases} \frac{(x-y)\sin y + \cos x-\cos y }{(x-y)^2}&\text{if } x\ne y\\ -\frac{\cos x}{2}&\text{if } x=y \text{ with } x \text{ an integer multiple of }\pi\\ DNE&\text{if } x=y \text{ with } x \text{ not an integer multiple of }\pi \end{cases} \nonumber

Ejemplo 2.2.9. Opcional — Un poco de rereza

En este ejemplo, veremos que la función

f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2}{x-y}&\text{if } x\ne y \\ 0&\text{if } x=y \end{cases} \nonumber

no es continuo en(0,0) y sin embargo tiene derivados parcialesf_x(0,0) yf_y(0,0) perfectamente bien definidos. También veremos cómo eso es posible. Primero calculemos las derivadas parciales. Por definición,

\begin{align*} f_x(0,0)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\overbrace{\tfrac{h^2}{h-0}}^{h}-\,0}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}1\\ &=1\\ f_y(0,0)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{0^2}{0-h}-0}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}0\\ &=0 \end{align*}

Entonces los derivados parciales de primer ordenf_x(0,0) yf_y(0,0) están perfectamente bien definidos.

Para ver que, sin embargo, nof(x,y) es continuo en(0,0)\text{,} tomamos el límite def(x,y) como se(x,y) acerca(0,0) a lo largo de la curvay=x-x^3\text{.} El límite es

\begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0} f\big(x,x-x^3\big) =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{x-(x-x^3)} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} \end{gather*}

que no existe. De hecho,x como enfoques a0 través de números positivos,\frac{1}{x} enfoques+\infty\text{,} y comox enfoques a0 través de números negativos,\frac{1}{x} enfoques-\infty\text{.}

Entonces, ¿cómo es esto posible? La respuesta es quef_x(0,0) solo involucra valores def(x,y) cony=0\text{.} Comof(x,0)=x\text{,} para todos los valores dex\text{,} tenemos quef(x,0) es una función continua, y de hecho diferenciable. De igual manera,f_y(0,0) solo involucra valores def(x,y) conx=0\text{.} Asf(0,y)=0\text{,} para todos los valores dey\text{,} tenemos quef(0,y) es una función continua, y de hecho diferenciable. Por otro lado, el mal comportamiento def(x,y) por(x,y) cerca(0,0) solo sucede parax yy ambos distintos de cero.

Nuestro siguiente ejemplo utiliza diferenciación implícita.

Ejemplo 2.2.10

La ecuación

z^5 + y^2 e^z +e^{2x}=0 \nonumber

determina implícitamentez como una función dex y esy\text{.} decir, la funciónz(x,y) obedece

z(x,y)^5 + y^2 e^{z(x,y)} +e^{2x}=0 \nonumber

Por ejemplo, cuandox=y=0\text{,} la ecuación se reduce a

z(0,0)^5=-1 \nonumber

que obligaz(0,0)=-1\text{.} a 3 Encontremos la derivada parcial\frac{\partial z}{\partial x}(0,0)\text{.}

No vamos a poder resolver explícitamente la ecuación paraz(x,y)\text{.} Todo lo que sabemos es que

z(x,y)^5 + y^2 e^{z(x,y)} + e^{2x} =0 \nonumber

para todosx yy\text{.} podemos convertir esto en una ecuación para\frac{\partial z}{\partial x}(0,0) diferenciando 4 toda la ecuación con respecto ax\text{,} dar

5z(x,y)^4\ \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + y^2 e^{z(x,y)}\  \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) +2e^{2x} =0 \nonumber

y luego establecerx=y=0\text{,} dando

5z(0,0)^4\ \frac{\partial z}{\partial x}(0,0) +2 =0 \nonumber

Como ya sabemos quez(0,0)=-1\text{,}

\frac{\partial z}{\partial x}(0,0) = -\frac{2}{5z(0,0)^4} =-\frac{2}{5} \nonumber

A continuación tenemos una derivada parcial disfrazada de límite.

Ejemplo 2.2.11

En este ejemplo vamos a evaluar el límite

\lim_{z\rightarrow 0}\frac{(x+y+z)^3-(x+y)^3}{(x+y)z} \nonumber

La observación crítica es que, al tomar el límitez\rightarrow 0\text{,}x yy se fijan. No cambian ya que cada vezz son cada vez más pequeños. Además, este límite es exactamente de la forma de los límites de la Definición 2.2.1 de derivada parcial, disfrazados por algunos cambios ofuscantes de notación.

Set

f(x,y,z) = \frac{(x+y+z)^3}{(x+y)} \nonumber

Entonces

\begin{align*} \lim_{z\rightarrow 0}\frac{(x+y+z)^3-(x+y)^3}{(x+y)z} &=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{f(x,y,z)-f(x,y,0)}{z}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y,0+h)-f(x,y,0)}{h}\\ &=\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,0)\\ &={\left[\frac{\partial }{\partial z}\frac{(x+y+z)^3}{x+y}\right]}_{z=0} \end{align*}

Recordando que\frac{\partial }{\partial z} tratax yy como constantes, estamos evaluando la derivada de una función de la forma\frac{({\rm const}+z)^3}{\rm const}\text{.} So

\begin{align*} \lim_{z\rightarrow 0}\frac{(x+y+z)^3-(x+y)^3}{(x+y)z} &={\left.3\frac{(x+y+z)^2}{x+y}\right|}_{z=0}\\ &=3(x+y) \end{align*}

El siguiente ejemplo destaca una diferencia potencialmente peligrosa entre derivados ordinarios y parciales.

Ejemplo 2.2.12

En este ejemplo vamos a ver que, a diferencia del caso derivado ordinario, no\frac{\partial r}{\partial x} es, en general, lo mismo que\big(\frac{\partial x}{\partial r}\big)^{-1}\text{.}

Recordemos que las coordenadas cartesianas y polares 5 (para(x,y)\ne (0,0) yr \gt 0) están relacionadas por

\begin{align*} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta\\ r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ \tan\theta&=\frac{y}{x} \end{align*}

polar (1) .svg

Usaremos las funciones

x(r,\theta) = r\cos\theta\qquad \text{and}\qquad r(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \nonumber

Fijar cualquier punto(x_0,y_0)\ne (0,0) y dejar(r_0,\theta_0)\text{,}0\le\theta_0 \lt 2\pi\text{,} que sean las coordenadas polares correspondientes. Entonces

\begin{gather*} \frac{\partial x}{\partial r}(r,\theta) = \cos\theta\qquad \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{gather*}

para que

\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial r}(r_0,\theta_0)=\left(\frac{\partial r}{\partial x}(x_0,y_0)\right)^{-1} &\iff \cos\theta_0= \left(\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\right)^{-1} = \left(\cos\theta_0\right)^{-1}\\ &\iff \cos^2\theta_0= 1\\ &\iff \theta_0=0,\pi \end{align*}

También podemos ver pictóricamente por qué sucede esto. Por definición, las derivadas parciales

\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial r}(r_0,\theta_0) &= \lim_{\mathrm{d}{r}\rightarrow 0} \frac{x(r_0+\mathrm{d}{r},\theta_0) - x(r_0,\theta_0)}{\mathrm{d}{r}}\\ \frac{\partial r}{\partial x}(x_0,y_0) &= \lim_{\mathrm{d}{x}\rightarrow 0} \frac{r(x_0+\mathrm{d}{x},y_0) - r(x_0,y_0)}{\mathrm{d}{x}} \end{align*}

Aquí acabamos de renombrar elh de Definición 2.2.1 a\mathrm{d}{r} y a\mathrm{d}{x} en las dos definiciones.

En la computación\frac{\partial x}{\partial r}(r_0,\theta_0)\text{,}\theta_0 se mantiene fijo,r se cambia en una pequeña cantidad\mathrm{d}{r} y\mathrm{d}{x}=x(r_0+\mathrm{d}{r},\theta_0) - x(r_0,\theta_0) se calcula el resultante. En la figura de abajo a la izquierda,\mathrm{d}{r} se encuentra la longitud del segmento de línea naranja y\mathrm{d}{x} es la longitud del segmento de línea azul.

dxdrdrdx1.svgdxdrdrdx2.svg

Por otro lado, en la computación\frac{\partial r}{\partial x}\text{,}y se mantiene fijo,x se cambia en una pequeña cantidad\mathrm{d}{x} y\mathrm{d}{r}=r(x_0+\mathrm{d}{x},y_0) - r(x_0,y_0) se calcula el resultante. En la figura de arriba a la derecha,\mathrm{d}{x} se encuentra la longitud del segmento de línea rosa y\mathrm{d}{r} es la longitud del segmento de línea naranja.

Aquí están las dos figuras combinadas entre sí. Hemos dispuesto que lo mismo\mathrm{d}{r} se utilice en ambos cómputos. Para que los\mathrm{d}{r}'s sean iguales en ambos cómputos, los dos\mathrm{d}{x} tienen que ser diferentes (a menos que\theta_0=0,\pi). Entonces, en general,\frac{\partial x}{\partial r}(r_0,\theta_0)\ne \big(\frac{\partial r}{\partial x}(x_0,y_0)\big)^{-1}\text{.}

dxdrdrdx3.svg

Ejemplo 2.2.13. Opcional — Ejemplo 2.2.12, continuación

El teorema de la función inversa, para funciones de una variable, dice que, siy(x) yx(y) son funciones inversas, lo que significa quey\big(x(y)\big)=yx\big(y(x)\big)=x\text{,} y y son diferenciables con\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ne 0\text{,} entonces

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}(y) = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\big(x(y)\big)} \nonumber

Para ver esto, solo aplica\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} a ambos lados dey\big(x(y)\big)=y para obtener\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\big(x(y)\big)\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}(y)=1\text{,} por la regla de la cadena (ver Teorema 2.9.3 en el texto CLP-1). En el texto CLP-1, se utilizó esto para calcular las derivadas del logaritmo (ver Teorema 2.10.1 en el texto CLP-1) y de las funciones trig inversas (ver Teorema 2.12.7 en el texto CLP-1).

Acabamos de ver, en el Ejemplo 2.2.12, que no podemos ser demasiado ingenuos al extender el teorema de la función inversa de una sola variable a funciones de dos (o más) variables. Por otro lado, existe tal extensión, que ahora ilustraremos, utilizando coordenadas cartesianas y polares. Por simplicidad, limitaremos nuestra atenciónx \gt 0\text{,}y \gt 0\text{,} o equivalentemente,r \gt 0\text{,}0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}\text{.} Las funciones que convierten entre coordenadas cartesianas y polares son

\begin{alignat*}{2} x(r,\theta)&=r\cos\theta\qquad& r(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2}\\ y(r,\theta)&=r\sin\theta& \theta(x,y)&=\arctan\left(\frac{y}{x}\right) \end{alignat*}

polar.svg

Las dos funciones de la izquierda convierten de coordenadas polares a cartesianas y las dos funciones de la derecha convierten de coordenadas cartesianas a polares. El teorema de la función inversa (para funciones de dos variables) dice que,

  • si se forman las derivadas parciales de primer orden de las funciones de la izquierda en la matriz

    \left[\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}(r,\theta) & \frac{\partial r}{\partial \theta}(r,\theta) \\ \frac{\partial y}{\partial r}(r,\theta) & \frac{\partial y}{\partial \theta}(r,\theta) \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{matrix}\right] \nonumber

  • y se forman las derivadas parciales de primer orden de las funciones de la mano derecha en la matriz

    \left[\begin{matrix} \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial r}{\partial y}(x,y) \\ \frac{\partial \theta }{\partial x}(x,y) & \frac{\partial \theta }{\partial y}(x,y) \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{-\frac{y}{x^2}}{1+(\frac{y}{x})^2} & \frac{\frac{1}{x}}{1+(\frac{y}{x})^2} \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} \end{matrix}\right] \nonumber

  • y si evaluas la segunda matriz enx=x(r,\theta)\text{,}y=y(r,\theta)\text{,}

    \left[\begin{matrix} \frac{\partial r}{\partial x}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) & \frac{\partial r}{\partial y}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) \\ \frac{\partial \theta }{\partial x}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) & \frac{\partial \theta }{\partial y}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r} \end{matrix}\right] \nonumber

  • y si multiplicas 6 las dos matrices juntas

    \begin{align*} &\left[\begin{matrix} \frac{\partial r}{\partial x}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) & \frac{\partial r}{\partial y}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) \\ \frac{\partial \theta }{\partial x}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) & \frac{\partial \theta }{\partial y}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) \end{matrix}\right]\ \left[\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}(r,\theta) & \frac{\partial x}{\partial \theta}(r,\theta) \\ \frac{\partial y}{\partial r}(r,\theta) & \frac{\partial y}{\partial \theta}(r,\theta) \end{matrix}\right]\\ &=\left[\begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r} \end{matrix}\right]\ \left[\begin{matrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{matrix}\right]\\\ &=\left[\begin{matrix} (\cos\theta)(\cos\theta) + (\sin\theta)(\sin\theta) &(\cos\theta)(-r\sin\theta)+(\sin\theta)(r\cos\theta) \\ (-\frac{\sin\theta}{r})(\cos\theta)+(\frac{\cos\theta}{r})(\sin\theta) & (-\frac{\sin\theta}{r})(-r\sin\theta) + (\frac{\cos\theta}{r})(r\cos\theta) \end{matrix}\right] \end{align*}

  • entonces el resultado es la matriz de identidad

    \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \nonumber

    ¡y de hecho lo es!

Esta versión de dos variables del teorema de la función inversa se puede derivar aplicando las derivadas\frac{\partial}{\partial r} y\frac{\partial }{\partial \theta} a las ecuaciones

\begin{align*} r\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) &=r \\ \theta\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) &=\theta \end{align*}

y usando la versión de dos variables de la regla de la cadena, que veremos en §2.4.

Ejercicios

Etapa 1

1

Dejarf(x,y) = e^x\cos y\text{.} La siguiente tabla da algunos valores def(x,y)\text{.}

  x=0 x=0.01 x=0.1
y=-0.1 0.99500 1.00500 1.09965
y=-0.01 0.99995 1.01000 1.10512
y=0 1.0 1.01005 1.10517
  1. Encuentra dos valores aproximados diferentes para\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) usar los datos en la tabla anterior.
  2. Encuentra dos valores aproximados diferentes para\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) usar los datos en la tabla anterior.
  3. Evaluar\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) y \frac{\partial f}{\partial y} (0,0) exactamente.
2

Estás atravesando un paisaje ondulado. Tomar elz eje -para estar recto hacia arriba hacia el cielo, elx eje positivo para ser hacia el sur, y ely eje positivo para ser hacia el este. Entonces el paisaje cerca de ti es descrito por la ecuaciónz=f(x,y)\text{,} contigo en el punto(0,0,f(0,0))\text{.} La funciónf(x,y) es diferenciable.

Supongamos ¿f_y(0,0) \lt 0\text{.}Es posible que estés en una cumbre? Explique.

3

Let

f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2}& \text{if } (x,y)\ne (0,0)\\ 0 & \text{if } (x,y)=(0,0) \end{cases} \nonumber

Calcular, directamente a partir de las definiciones,

  1. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)
  2. \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)
  3. \displaystyle \frac{d}{dt} f(t,t)\Big|_{t=0}

Etapa 2

4

Encuentre todas las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones y evalúelas en el punto dado.

  1. \displaystyle f(x,y,z)=x^3y^4z^5\qquad (0,-1,-1)
  2. \displaystyle w(x,y,z)=\ln\left(1+e^{xyz}\right)\qquad (2,0,-1)
  3. \displaystyle f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad (-3,4)
5

Mostrar que la funciónz(x,y)=\frac{x+y}{x-y} obedece

x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0 \nonumber

6

Una superficiez(x, y) se define porzy - y + x = \ln(xyz)\text{.}

  1. Calcular\frac{\partial z}{\partial x}\text{,}\frac{\partial z}{\partial y} en términos dex\text{,}y\text{,}z\text{.}
  2. Evaluar\frac{\partial z}{\partial x} y\frac{\partial z}{\partial y} en(x, y, z) = (-1, -2, 1/2)\text{.}
7

Buscar\frac{\partial U}{\partial T} y\frac{\partial T}{\partial V} en(1, 1, 2, 4) si(T, U, V, W) están relacionados por

(TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2 \nonumber

8

Supongamos queu = x^2 + yz\text{,}x = \rho r \cos(\theta)\text{,}y = \rho r \sin(\theta) yz = \rho r\text{.} Encuentra\frac{\partial u}{\partial r} en el punto(\rho_0 , r_0 , \theta_0) = (2, 3, \pi/2)\text{.}

9

Utilizar la definición de la derivada para evaluarf_x(0,0) yf_y(0,0) para

f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2-2y^2}{x-y}&\text{if } x\ne y\\ 0&\text{if } x=y \end{cases} \nonumber

Etapa 3

10

Dejarf ser cualquier función diferenciable de una variable. Definirz(x,y)=f(x^2+y^2)\text{.} es la ecuación

y\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)-x\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0 \nonumber

necesariamente satisfecho?

11

Definir la función

f(x,y)=\begin{cases}\frac{(x+2y)^2}{x+y}& \text{if } x+y\ne 0 \\ 0 &\text{if } x+y=0 \end{cases} \nonumber

  1. Evaluar, si es posible,\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) y\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\text{.}
  2. Esf(x,y) continuo en(0,0)\text{?}
12

Considere el cilindro cuya base es el círculo de radio 1 en elxy plano centrado en(0,0)\text{,} y que se inclina paralela a la línea en elyz plano dado porz=y\text{.}

image-278.svg

Cuando te paras en el punto(0,-1,0)\text{,} ¿cuál es la pendiente de la superficie si miras en lay dirección positiva? ¿Lax dirección positiva?

  1. Hay aplicaciones en las que hay varias variables que no se pueden variar de manera independiente. Por ejemplo, la presión, el volumen y la temperatura de un gas ideal están relacionados por la ecuación de estadoPV= \text{(constant)} T\text{.} En esas aplicaciones, puede que no quede claro del contexto qué variables se mantienen fijas.
  2. También es posible evaluar la derivada utilizando la técnica de la optativa Sección 2.15 en el texto CLP-1.
  3. El único número realz que obedecez^5=-1 esz=-1\text{.} Sin embargo hay otros cuatro números complejos que también obedecenz^5=-1\text{.}
  4. Deberías haber visto ya esta técnica, llamada diferenciación implícita, en tu primer curso de Cálculo. Se trata en la Sección 2.11 del texto CLP-1.
  5. Si no estás familiarizado con las coordenadas polares, no te preocupes por ello. Habrá una introducción a ellos en §3.2.1.
  6. La multiplicación matricial generalmente se cubre en cursos sobre álgebra lineal, que puede o no haber tomado. Por eso este ejemplo es opcional.

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