2.2: Derivadas Parciales

Ahora estamos listos para definir derivadas de funciones de más de una variable. Primero, recordemos cómo definimos la derivada,\(f'(a)\text{,}\) de una función de una variable,\(f(x)\text{.}\) imaginábamos que estábamos caminando por el\(x\) eje -eje, en la dirección positiva, midiendo, por ejemplo, la temperatura en el camino. Denotamos por\(f(x)\) la temperatura a\(x\text{.}\) La velocidad instantánea de cambio de temperatura que observamos a medida que pasábamos\(x=a\) fue

\[ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(a) =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} =\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x) - f(a)}{x-a} \nonumber \]

Siguiente supongamos que estamos caminando en el\(xy\) -plano y que la temperatura a\((x,y)\) es\(f(x,y)\text{.}\) Podemos pasar por el punto\((x,y)=(a,b)\) moviéndose en muchas direcciones diferentes, y no podemos esperar la tasa medida de cambio de temperatura si caminamos paralelos al\(x\) eje -eje, en el dirección de aumentar\(x\text{,}\) para ser la misma que la tasa medida de cambio de temperatura si caminamos paralelos al\(y\) eje -en la dirección de aumentar\(y\text{.}\) Empezaremos considerando solo esas dos direcciones. Consideraremos otras direcciones (como caminar paralelo a la línea\(y=x\)) más adelante.

Supongamos que estamos pasando por el punto\((x,y)=(a,b)\) y que estamos caminando paralelos al\(x\) eje -eje (en la dirección positiva). Entonces nuestra\(y\) -coordenada será constante, tomando siempre el valor\(y=b\text{.}\) Así podemos pensar en la temperatura medida como función de una variable\(B(x) = f(x,b)\) y observaremos la tasa de cambio de temperatura

\[ \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}x}(a) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{B(a+h) - B(a)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} \nonumber \]

Esto se llama la “derivada parcial\(f\) con respecto a\(x\) at\((a,b)\)” y se denota\(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\text{.}\) Aquí

• el símbolo\(\partial\text{,}\) que se lee “parcial”, indica que estamos tratando con una función de más de una variable, y
• el\(x\) in\(\frac{\partial f}{\partial x}\) indica que estamos diferenciando con respecto a\(x\text{,}\) mientras\(y\) se mantiene fijo, es decir, ser tratado como una constante.
• \(\frac{\partial f}{\partial x}\)se lee “dee parcial\(f\) dee\(x\)”.

No escribir\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\) cuando\(\frac{\partial }{\partial x}\) sea apropiado. Posteriormente nos encontraremos con situaciones en las\(\frac{\partial }{\partial x}f\) que\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f\) y estén definidas y tengan significados diferentes.

Si, en cambio, estamos pasando por el punto\((x,y)=(a,b)\) y estamos caminando paralelos al\(y\) eje -eje (en la dirección positiva), entonces nuestra\(x\) -coordenada será constante, tomando siempre el valor\(x=a\text{.}\) Así podemos pensar en la temperatura medida como función de una variable\(A(y) = f(a,y)\) y observaremos la tasa de cambio de temperatura

\[ \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}y}(b) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{A(b+h) - A(b)}{h} = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a,b+h) - f(a,b)}{h} \nonumber \]

Esto se llama la “derivada parcial\(f\) con respecto a\(y\) at\((a,b)\)” y se denota\(\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\text{.}\)

Así como fue el caso de la derivada ordinaria\(\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)\) (ver Definición 2.2.6 en el texto CLP-1), es común tratar las derivadas parciales de\(f(x,y)\) como funciones de\((x,y)\) simplemente evaluando las derivadas parciales en\((x,y)\) lugar de en\((a,b)\text{.}\)

Definición 2.2.1. Derivadas parciales

Las derivadas\(x\) - y\(y\) -parciales de la función\(f(x,y)\) son

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h) - f(x,y)}{h} \end{align*}\]

respectivamente. Las derivadas parciales de funciones de más de dos variables se definen análogamente.

Los derivados parciales se utilizan mucho. Y hay muchas anotaciones para ellos.

Definición 2.2.2

La derivada parcial\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\) de una función también\(f(x,y)\) se denota

\[ \frac{\partial f}{\partial x}\qquad f_x(x,y)\qquad f_x\qquad D_xf(x,y)\qquad D_xf\qquad D_1 f(x,y)\qquad D_1 f \nonumber \]

El subíndice\(1\) on\(D_1 f\) indica que\(f\) se está diferenciando con respecto a su primera variable. La derivada parcial también\(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\) se denota

\[ \frac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(a,b)} \nonumber \]

con el subíndice\((a,b)\) indicando que\(\frac{\partial f}{\partial x}\) se está evaluando en\((x,y)=(a,b)\text{.}\)

La notación\({\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)}_{\!y}\) se utiliza para hacer explícito que la variable\(y\) se mantiene fija ¹.

OBSERVACIÓN 2.2.3. La interpretación geométrica de las derivadas parciales

Ahora desarrollaremos una interpretación geométrica de la derivada parcial

\[ \frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h} \nonumber \]

en cuanto a la forma de la gráfica\(z=f(x,y)\) de la función\(f(x,y)\text{.}\) Esa gráfica aparece en la siguiente figura. Parece la parte de una esfera deformada que se encuentra en el primer octante.

La definición de\(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\) se refiere únicamente a los puntos de la gráfica que tienen\(y=b\text{.}\) En otras palabras, la curva de intersección de la superficie\(z=f(x,y)\) con el plano\(y=b\text{.}\) Esa es la curva roja en la figura. Los dos segmentos de línea vertical azul en la figura tienen alturas\(f(a,b)\) y\(f(a+h,b)\text{,}\) cuáles son los dos números en el numerador de\(\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h}\text{.}\)

En la siguiente figura se esboza una vista lateral de la curva (mirando desde el lado izquierdo del\(y\) eje).

Nuevamente, los dos segmentos de línea vertical azul en la figura tienen alturas\(f(a,b)\) y\(f(a+h,b)\text{,}\) cuales son los dos números en el numerador de\(\frac{f(a+h,b) - f(a,b)}{h}\text{.}\) Así el numerador\(f(a+h,b) - f(a,b)\) y denominador\(h\) son la subida y ejecución, respectivamente, de la curva\(z=f(x,b)\) de\(x=a\) a\(x=a+h\text{.}\) Así \(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\)es exactamente la pendiente de (la tangente a) la curva de intersección de la superficie\(z=f(x,y)\) y el plano\(y=b\)\(\big(a,b, f(a,b)\big)\text{.}\) en el punto De la misma manera\(\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\) es exactamente la pendiente de (la tangente a) la curva de intersección de la superficie\(z=f(x,y)\) y el avión\(x=a\) en el punto\(\big(a,b, f(a,b)\big)\text{.}\)

Evaluación de Derivadas Parciales

De la discusión anterior, vemos que podemos calcular fácilmente derivados parciales\(\frac{\partial }{\partial x}\) utilizando lo que ya sabemos sobre derivados ordinarios\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{.}\) Más precisamente,

• evaluar\(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)\text{,}\) tratar el\(y\) in\(f(x,y)\) como una constante y diferenciar la función resultante de\(x\) con respecto a\(x\text{.}\)
• Evaluar\(\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\text{,}\) tratar el\(x\) in\(f(x,y)\) como una constante y diferenciar la función resultante de\(y\) con respecto a\(y\text{.}\)
• Evaluar\(\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\text{,}\) tratar el\(y\) in\(f(x,y)\) como una constante y diferenciar la función resultante de\(x\) con respecto a\(x\text{.}\) Luego evaluar el resultado en\(x=a\text{,}\)\(y=b\text{.}\)
• Evaluar\(\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\text{,}\) tratar el\(x\) in\(f(x,y)\) como una constante y diferenciar la función resultante de\(y\) con respecto a\(y\text{.}\) Luego evaluar el resultado en\(x=a\text{,}\)\(y=b\text{.}\)

Ahora para algunos ejemplos.

Ejemplo 2.2.4

Let

\[ f(x,y) = x^3+y^2+ 4xy^2 \nonumber \]

Entonces, ya que\(\frac{\partial }{\partial x}\) trata\(y\) como una constante,

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x} &= \frac{\partial }{\partial x}(x^3) + \frac{\partial }{\partial x}(y^2) +\frac{\partial}{\partial x}(4xy^2)\\ &= 3x^2+0 + 4y^2\frac{\partial }{\partial x}(x)\\ &= 3x^2 +4y^2 \end{align*}\]

y, puesto que\(\frac{\partial }{\partial y}\) trata\(x\) como una constante,

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial y} &= \frac{\partial }{\partial y}(x^3) + \frac{\partial }{\partial y}(y^2) +\frac{\partial }{\partial y}(4xy^2)\\ &= 0 + 2y + 4x\frac{\partial }{\partial y}(y^2)\\ &= 2y+8xy \end{align*}\]

En particular, en\((x,y)=(1,0)\) estas derivadas parciales toman los valores

\[\begin{alignat*}{2} \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) &= 3(1)^2 +4(0)^2&=3\\ \frac{\partial f}{\partial y}(1,0) &= 2(0) +8(1)(0)\ &=0 \end{alignat*}\]

Ejemplo 2.2.5

Let

\[ f(x,y) = y\cos x + xe^{xy} \nonumber \]

Entonces, ya que\(\frac{\partial }{\partial x}\) trata\(y\) como una constante,\(\frac{\partial }{\partial x} e^{yx}=y e^{yx}\) y

\[\begin{align*} \frac{\partial }{\partial x}(x,y) &= y\frac{\partial }{\partial x}(\cos x) + e^{xy}\frac{\partial }{\partial x}(x) +x\frac{\partial }{\partial x}\big(e^{xy}\big) \qquad\text{(by the product rule)}\\ &= -y\sin x + e^{xy} +xye^{xy}\\ \frac{\partial }{\partial x}(x,y) &= \cos x\frac{\partial }{\partial y}(y) + x\frac{\partial }{\partial y}\big(e^{xy}\big)\\ &= \cos x + x^2e^{xy} \end{align*}\]

Vamos a pasar a una función de cuatro variables. Las cosas se generalizan de una manera bastante directa.

Ejemplo 2.2.6

Let

\[ f(x,y,z,t) = x\sin(y+2z) +t^2e^{3y}\ln z \nonumber \]

Entonces

\[\begin{align*} \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z,t) &= \sin(y+2z)\\ \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z,t) &= x\cos(y+2z) +3t^2e^{3y}\ln z\\ \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z,t) &= 2x\cos(y+2z) +t^2e^{3y}/z\\ \frac{\partial f}{\partial t}(x,y,z,t) &= 2te^{3y}\ln z \end{align*}\]

Ahora aquí hay un ejemplo más complicado — nuestra función toma un valor especial en\((0,0)\text{.}\) Para calcular derivados ahí volvemos a la definición.

Ejemplo 2.2.7

Set

\[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{\cos x-\cos y}{x-y}&\text{if } x\ne y \\ 0&\text{if } x=y \end{cases} \nonumber \]

Si\(b\ne a\text{,}\) entonces para todos\((x,y)\) lo suficientemente cerca\((a,b)\text{,}\)\(f(x,y) = \frac{\cos x-\cos y}{x-y}\) y podemos calcular las derivadas parciales de\(f\) al\((a,b)\) usar las reglas familiares de diferenciación. Sin embargo ese no es el caso de\((a,b)=(0,0)\text{.}\) Para evaluar\(f_x(0,0)\text{,}\) necesitamos establecer\(y=0\) y encontrar la derivada de

\[ f(x,0) = \begin{cases} \frac{\cos x-1}{x}&\text{if } x\ne 0 \\ 0&\text{if } x=0 \end{cases} \nonumber \]

con respecto a\(x\) al\(x=0\text{.}\) Como no podemos usar las reglas de diferenciación habituales, evaluamos la derivada ² aplicando la definición

\[\begin{align*} f_x(0,0) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{\cos h-1}{h}-0}{h} &\qquad\text{(Recall that $h\ne 0$ in the limit.)}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos h-1}{h^2}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\sin h}{2h} &\qquad\text{(By l'Hôpital's rule.)}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\cos h}{2} &\qquad\text{(By l'Hôpital again.)}\\ &=-\frac{1}{2} \end{align*}\]

También podríamos evaluar el límite de\(\frac{\cos h-1}{h^2} \) sustituyendo en la expansión Taylor

\[ \cos h = 1 -\frac{h^2}{2}+\frac{h^4}{4!} -\cdots \nonumber \]

También podemos usar las expansiones de Taylor para comprender el comportamiento de\(f(x,y)\) for\((x,y)\) near\((0,0)\text{.}\) For\(x\ne y\text{,}\)

\[\begin{align*} \frac{\cos x-\cos y}{x-y} &=\frac{\left[1-\frac{x^2}{2!} +\frac{x^4}{4!}-\cdots\right] -\left[1-\frac{y^2}{2!} +\frac{y^4}{4!}-\cdots\right]}{x-y}\\ &=\frac{-\frac{x^2-y^2}{2!} +\frac{x^4-y^4}{4!}-\cdots}{x-y} \\ &= -\frac{1}{2!}\frac{x^2-y^2}{x-y} +\frac{1}{4!}\frac{x^4-y^4}{x-y}-\cdots \\ &= -\frac{x+y}{2!} +\frac{x^3+x^2y+xy^2+y^3}{4!}-\cdots \end{align*}\]

Así que por\((x,y)\) cerca\((0,0)\text{,}\)

\[ f(x,y)\approx\begin{cases} -\frac{x+y}{2} &\text{if $x\ne y$} \\ 0 &\text{if $x=y$} \end{cases} \nonumber \]

Así que seguro que parece (y de hecho es cierto que)

• \(f(x,y)\)es continuo en\((0,0)\) y
• \(f(x,y)\)no es continuo en\((a,a)\) para pequeños\(a\ne 0\) y
• \(\displaystyle f_x(0,0)=f_y(0,0)=-\frac{1}{2}\)

Ejemplo 2.2.8

De nuevo establecido

\[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{\cos x-\cos y}{x-y}&\text{if } x\ne y \\ 0&\text{if } x=y \end{cases} \nonumber \]

Ahora calcularemos\(f_y(x,y)\) para todos\((x,y)\text{.}\)

El caso\(y\ne x\text{:}\) Cuando\(y\ne x\text{,}\)

\[\begin{align*} f_y(x,y) & = \frac{\partial }{\partial y}\frac{\cos x-\cos y}{x-y}\\ &=\frac{(x-y)\frac{\partial }{\partial y}(\cos x-\cos y) - (\cos x-\cos y)\frac{\partial }{\partial y}(x-y) }{(x-y)^2}\\ &\hskip2in\text{(by the quotient rule)}\\ &=\frac{(x-y)\sin y + \cos x-\cos y }{(x-y)^2} \end{align*}\]

El caso\(y= x\text{:}\) Cuando\(y = x\text{,}\)

\[\begin{align*} f_y(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,x+h)-f(x,x)}{h}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{\cos x-\cos(x+h)}{x-(x+h)}-0}{h} &\qquad\text{(Recall that $h\ne 0$ in the limit.)}\\ &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h^2} \end{align*}\]

Ahora aplicamos la regla de L'Hôpital, recordando que, en este límite,\(x\) es una constante y\(h\) es la variable —así diferenciamos con respecto a\(h\text{.}\)

\[\begin{align*} f_y(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\sin(x+h)}{2h} \end{align*}\]

Tenga en cuenta que si no\(x\) es un múltiplo entero de\(\pi\text{,}\) entonces el numerador\(-\sin(x+h)\) no tiende a cero como\(h\) tiende a cero, y el límite de dar\(f_y(x,y)\) no existe. Por otro lado, si\(x\) es un múltiplo entero\(\pi\text{,}\) tanto del numerador como del denominador tienden a cero como\(h\) tiende a cero, y podemos aplicar la regla de L'Hôpital por segunda vez. Entonces

\[\begin{align*} f_y(x,y) &= \lim_{h\rightarrow 0}\frac{-\cos(x+h)}{2}\\ &=-\frac{\cos x}{2} \end{align*}\]

La conclusión:

\[ f_y(x,y)=\begin{cases} \frac{(x-y)\sin y + \cos x-\cos y }{(x-y)^2}&\text{if } x\ne y\\ -\frac{\cos x}{2}&\text{if } x=y \text{ with } x \text{ an integer multiple of }\pi\\ DNE&\text{if } x=y \text{ with } x \text{ not an integer multiple of }\pi \end{cases} \nonumber \]

Ejemplo 2.2.9. Opcional — Un poco de rereza

En este ejemplo, veremos que la función

\[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2}{x-y}&\text{if } x\ne y \\ 0&\text{if } x=y \end{cases} \nonumber \]

no es continuo en\((0,0)\) y sin embargo tiene derivados parciales\(f_x(0,0)\) y\(f_y(0,0)\) perfectamente bien definidos. También veremos cómo eso es posible. Primero calculemos las derivadas parciales. Por definición,

\[\begin{align*} f_x(0,0)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\overbrace{\tfrac{h^2}{h-0}}^{h}-\,0}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}1\\ &=1\\ f_y(0,0)&=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{\frac{0^2}{0-h}-0}{h} =\lim_{h\rightarrow 0}0\\ &=0 \end{align*}\]

Entonces los derivados parciales de primer orden\(f_x(0,0)\) y\(f_y(0,0)\) están perfectamente bien definidos.

Para ver que, sin embargo, no\(f(x,y)\) es continuo en\((0,0)\text{,}\) tomamos el límite de\(f(x,y)\) como se\((x,y)\) acerca\((0,0)\) a lo largo de la curva\(y=x-x^3\text{.}\) El límite es

\[\begin{gather*} \lim_{x\rightarrow 0} f\big(x,x-x^3\big) =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{x-(x-x^3)} =\lim_{x\rightarrow 0} \frac{1}{x} \end{gather*}\]

que no existe. De hecho,\(x\) como enfoques a\(0\) través de números positivos,\(\frac{1}{x}\) enfoques\(+\infty\text{,}\) y como\(x\) enfoques a\(0\) través de números negativos,\(\frac{1}{x}\) enfoques\(-\infty\text{.}\)

Entonces, ¿cómo es esto posible? La respuesta es que\(f_x(0,0)\) solo involucra valores de\(f(x,y)\) con\(y=0\text{.}\) Como\(f(x,0)=x\text{,}\) para todos los valores de\(x\text{,}\) tenemos que\(f(x,0)\) es una función continua, y de hecho diferenciable. De igual manera,\(f_y(0,0)\) solo involucra valores de\(f(x,y)\) con\(x=0\text{.}\) As\(f(0,y)=0\text{,}\) para todos los valores de\(y\text{,}\) tenemos que\(f(0,y)\) es una función continua, y de hecho diferenciable. Por otro lado, el mal comportamiento de\(f(x,y)\) por\((x,y)\) cerca\((0,0)\) solo sucede para\(x\) y\(y\) ambos distintos de cero.

Nuestro siguiente ejemplo utiliza diferenciación implícita.

Ejemplo 2.2.10

La ecuación

\[ z^5 + y^2 e^z +e^{2x}=0 \nonumber \]

determina implícitamente\(z\) como una función de\(x\) y es\(y\text{.}\) decir, la función\(z(x,y)\) obedece

\[ z(x,y)^5 + y^2 e^{z(x,y)} +e^{2x}=0 \nonumber \]

Por ejemplo, cuando\(x=y=0\text{,}\) la ecuación se reduce a

\[ z(0,0)^5=-1 \nonumber \]

que obliga\(z(0,0)=-1\text{.}\) a ³ Encontremos la derivada parcial\(\frac{\partial z}{\partial x}(0,0)\text{.}\)

No vamos a poder resolver explícitamente la ecuación para\(z(x,y)\text{.}\) Todo lo que sabemos es que

\[ z(x,y)^5 + y^2 e^{z(x,y)} + e^{2x} =0 \nonumber \]

para todos\(x\) y\(y\text{.}\) podemos convertir esto en una ecuación para\(\frac{\partial z}{\partial x}(0,0)\) diferenciando ⁴ toda la ecuación con respecto a\(x\text{,}\) dar

\[ 5z(x,y)^4\ \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) + y^2 e^{z(x,y)}\  \frac{\partial z}{\partial x}(x,y) +2e^{2x} =0 \nonumber \]

y luego establecer\(x=y=0\text{,}\) dando

\[ 5z(0,0)^4\ \frac{\partial z}{\partial x}(0,0) +2 =0 \nonumber \]

Como ya sabemos que\(z(0,0)=-1\text{,}\)

\[ \frac{\partial z}{\partial x}(0,0) = -\frac{2}{5z(0,0)^4} =-\frac{2}{5} \nonumber \]

A continuación tenemos una derivada parcial disfrazada de límite.

Ejemplo 2.2.11

En este ejemplo vamos a evaluar el límite

\[ \lim_{z\rightarrow 0}\frac{(x+y+z)^3-(x+y)^3}{(x+y)z} \nonumber \]

La observación crítica es que, al tomar el límite\(z\rightarrow 0\text{,}\)\(x\) y\(y\) se fijan. No cambian ya que cada vez\(z\) son cada vez más pequeños. Además, este límite es exactamente de la forma de los límites de la Definición 2.2.1 de derivada parcial, disfrazados por algunos cambios ofuscantes de notación.

Set

\[ f(x,y,z) = \frac{(x+y+z)^3}{(x+y)} \nonumber \]

Entonces

\[\begin{align*} \lim_{z\rightarrow 0}\frac{(x+y+z)^3-(x+y)^3}{(x+y)z} &=\lim_{z\rightarrow 0}\frac{f(x,y,z)-f(x,y,0)}{z}\\ &=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x,y,0+h)-f(x,y,0)}{h}\\ &=\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,0)\\ &={\left[\frac{\partial }{\partial z}\frac{(x+y+z)^3}{x+y}\right]}_{z=0} \end{align*}\]

Recordando que\(\frac{\partial }{\partial z}\) trata\(x\) y\(y\) como constantes, estamos evaluando la derivada de una función de la forma\(\frac{({\rm const}+z)^3}{\rm const}\text{.}\) So

\[\begin{align*} \lim_{z\rightarrow 0}\frac{(x+y+z)^3-(x+y)^3}{(x+y)z} &={\left.3\frac{(x+y+z)^2}{x+y}\right|}_{z=0}\\ &=3(x+y) \end{align*}\]

El siguiente ejemplo destaca una diferencia potencialmente peligrosa entre derivados ordinarios y parciales.

Ejemplo 2.2.12

En este ejemplo vamos a ver que, a diferencia del caso derivado ordinario, no\(\frac{\partial r}{\partial x}\) es, en general, lo mismo que\(\big(\frac{\partial x}{\partial r}\big)^{-1}\text{.}\)

Recordemos que las coordenadas cartesianas y polares ⁵ (para\((x,y)\ne (0,0)\) y\(r \gt 0\)) están relacionadas por

\[\begin{align*} x&=r\cos\theta\\ y&=r\sin\theta\\ r&=\sqrt{x^2+y^2}\\ \tan\theta&=\frac{y}{x} \end{align*}\]

Usaremos las funciones

\[ x(r,\theta) = r\cos\theta\qquad \text{and}\qquad r(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \nonumber \]

Fijar cualquier punto\((x_0,y_0)\ne (0,0)\) y dejar\((r_0,\theta_0)\text{,}\)\(0\le\theta_0 \lt 2\pi\text{,}\) que sean las coordenadas polares correspondientes. Entonces

\[\begin{gather*} \frac{\partial x}{\partial r}(r,\theta) = \cos\theta\qquad \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{gather*}\]

para que

\[\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial r}(r_0,\theta_0)=\left(\frac{\partial r}{\partial x}(x_0,y_0)\right)^{-1} &\iff \cos\theta_0= \left(\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+y_0^2}}\right)^{-1} = \left(\cos\theta_0\right)^{-1}\\ &\iff \cos^2\theta_0= 1\\ &\iff \theta_0=0,\pi \end{align*}\]

También podemos ver pictóricamente por qué sucede esto. Por definición, las derivadas parciales

\[\begin{align*} \frac{\partial x}{\partial r}(r_0,\theta_0) &= \lim_{\mathrm{d}{r}\rightarrow 0} \frac{x(r_0+\mathrm{d}{r},\theta_0) - x(r_0,\theta_0)}{\mathrm{d}{r}}\\ \frac{\partial r}{\partial x}(x_0,y_0) &= \lim_{\mathrm{d}{x}\rightarrow 0} \frac{r(x_0+\mathrm{d}{x},y_0) - r(x_0,y_0)}{\mathrm{d}{x}} \end{align*}\]

Aquí acabamos de renombrar el\(h\) de Definición 2.2.1 a\(\mathrm{d}{r}\) y a\(\mathrm{d}{x}\) en las dos definiciones.

En la computación\(\frac{\partial x}{\partial r}(r_0,\theta_0)\text{,}\)\(\theta_0\) se mantiene fijo,\(r\) se cambia en una pequeña cantidad\(\mathrm{d}{r}\) y\(\mathrm{d}{x}=x(r_0+\mathrm{d}{r},\theta_0) - x(r_0,\theta_0)\) se calcula el resultante. En la figura de abajo a la izquierda,\(\mathrm{d}{r}\) se encuentra la longitud del segmento de línea naranja y\(\mathrm{d}{x}\) es la longitud del segmento de línea azul.

Por otro lado, en la computación\(\frac{\partial r}{\partial x}\text{,}\)\(y\) se mantiene fijo,\(x\) se cambia en una pequeña cantidad\(\mathrm{d}{x}\) y\(\mathrm{d}{r}=r(x_0+\mathrm{d}{x},y_0) - r(x_0,y_0)\) se calcula el resultante. En la figura de arriba a la derecha,\(\mathrm{d}{x}\) se encuentra la longitud del segmento de línea rosa y\(\mathrm{d}{r}\) es la longitud del segmento de línea naranja.

Aquí están las dos figuras combinadas entre sí. Hemos dispuesto que lo mismo\(\mathrm{d}{r}\) se utilice en ambos cómputos. Para que los\(\mathrm{d}{r}\)'s sean iguales en ambos cómputos, los dos\(\mathrm{d}{x}\) tienen que ser diferentes (a menos que\(\theta_0=0,\pi\)). Entonces, en general,\(\frac{\partial x}{\partial r}(r_0,\theta_0)\ne \big(\frac{\partial r}{\partial x}(x_0,y_0)\big)^{-1}\text{.}\)

Ejemplo 2.2.13. Opcional — Ejemplo 2.2.12, continuación

El teorema de la función inversa, para funciones de una variable, dice que, si\(y(x)\) y\(x(y)\) son funciones inversas, lo que significa que\(y\big(x(y)\big)=y\)\(x\big(y(x)\big)=x\text{,}\) y y son diferenciables con\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\ne 0\text{,}\) entonces

\[ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}(y) = \frac{1}{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\big(x(y)\big)} \nonumber \]

Para ver esto, solo aplica\(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\) a ambos lados de\(y\big(x(y)\big)=y\) para obtener\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\big(x(y)\big)\ \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y}(y)=1\text{,}\) por la regla de la cadena (ver Teorema 2.9.3 en el texto CLP-1). En el texto CLP-1, se utilizó esto para calcular las derivadas del logaritmo (ver Teorema 2.10.1 en el texto CLP-1) y de las funciones trig inversas (ver Teorema 2.12.7 en el texto CLP-1).

Acabamos de ver, en el Ejemplo 2.2.12, que no podemos ser demasiado ingenuos al extender el teorema de la función inversa de una sola variable a funciones de dos (o más) variables. Por otro lado, existe tal extensión, que ahora ilustraremos, utilizando coordenadas cartesianas y polares. Por simplicidad, limitaremos nuestra atención\(x \gt 0\text{,}\)\(y \gt 0\text{,}\) o equivalentemente,\(r \gt 0\text{,}\)\(0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}\text{.}\) Las funciones que convierten entre coordenadas cartesianas y polares son

\[\begin{alignat*}{2} x(r,\theta)&=r\cos\theta\qquad& r(x,y)&=\sqrt{x^2+y^2}\\ y(r,\theta)&=r\sin\theta& \theta(x,y)&=\arctan\left(\frac{y}{x}\right) \end{alignat*}\]

Las dos funciones de la izquierda convierten de coordenadas polares a cartesianas y las dos funciones de la derecha convierten de coordenadas cartesianas a polares. El teorema de la función inversa (para funciones de dos variables) dice que,

• si se forman las derivadas parciales de primer orden de las funciones de la izquierda en la matriz

  \[ \left[\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}(r,\theta) & \frac{\partial r}{\partial \theta}(r,\theta) \\ \frac{\partial y}{\partial r}(r,\theta) & \frac{\partial y}{\partial \theta}(r,\theta) \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{matrix}\right] \nonumber \]

• y se forman las derivadas parciales de primer orden de las funciones de la mano derecha en la matriz

  \[ \left[\begin{matrix} \frac{\partial r}{\partial x}(x,y) & \frac{\partial r}{\partial y}(x,y) \\ \frac{\partial \theta }{\partial x}(x,y) & \frac{\partial \theta }{\partial y}(x,y) \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{-\frac{y}{x^2}}{1+(\frac{y}{x})^2} & \frac{\frac{1}{x}}{1+(\frac{y}{x})^2} \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\ \frac{-y}{x^2+y^2} & \frac{x}{x^2+y^2} \end{matrix}\right] \nonumber \]

• y si evaluas la segunda matriz en\(x=x(r,\theta)\text{,}\)\(y=y(r,\theta)\text{,}\)

  \[ \left[\begin{matrix} \frac{\partial r}{\partial x}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) & \frac{\partial r}{\partial y}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) \\ \frac{\partial \theta }{\partial x}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) & \frac{\partial \theta }{\partial y}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) \end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r} \end{matrix}\right] \nonumber \]

• y si multiplicas ⁶ las dos matrices juntas

  \[\begin{align*} &\left[\begin{matrix} \frac{\partial r}{\partial x}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) & \frac{\partial r}{\partial y}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) \\ \frac{\partial \theta }{\partial x}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) & \frac{\partial \theta }{\partial y}\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) \end{matrix}\right]\ \left[\begin{matrix} \frac{\partial x}{\partial r}(r,\theta) & \frac{\partial x}{\partial \theta}(r,\theta) \\ \frac{\partial y}{\partial r}(r,\theta) & \frac{\partial y}{\partial \theta}(r,\theta) \end{matrix}\right]\\ &=\left[\begin{matrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\frac{\sin\theta}{r} & \frac{\cos\theta}{r} \end{matrix}\right]\ \left[\begin{matrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{matrix}\right]\\\ &=\left[\begin{matrix} (\cos\theta)(\cos\theta) + (\sin\theta)(\sin\theta) &(\cos\theta)(-r\sin\theta)+(\sin\theta)(r\cos\theta) \\ (-\frac{\sin\theta}{r})(\cos\theta)+(\frac{\cos\theta}{r})(\sin\theta) & (-\frac{\sin\theta}{r})(-r\sin\theta) + (\frac{\cos\theta}{r})(r\cos\theta) \end{matrix}\right] \end{align*}\]

• entonces el resultado es la matriz de identidad

  \[ \left[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right] \nonumber \]

  ¡y de hecho lo es!

Esta versión de dos variables del teorema de la función inversa se puede derivar aplicando las derivadas\(\frac{\partial}{\partial r}\) y\(\frac{\partial }{\partial \theta}\) a las ecuaciones

\[\begin{align*} r\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) &=r \\ \theta\big(x(r,\theta),y(r,\theta)\big) &=\theta \end{align*}\]

y usando la versión de dos variables de la regla de la cadena, que veremos en §2.4.

Ejercicios

Etapa 1

1

Dejar\(f(x,y) = e^x\cos y\text{.}\) La siguiente tabla da algunos valores de\(f(x,y)\text{.}\)

	\(x=0\)	\(x=0.01\)	\(x=0.1\)
\(y=-0.1\)	0.99500	1.00500	1.09965
\(y=-0.01\)	0.99995	1.01000	1.10512
\(y=0\)	1.0	1.01005	1.10517

1. Encuentra dos valores aproximados diferentes para\(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) usar los datos en la tabla anterior.
2. Encuentra dos valores aproximados diferentes para\(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\) usar los datos en la tabla anterior.
3. Evaluar\(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) y\( \frac{\partial f}{\partial y} (0,0)\) exactamente.

2

Estás atravesando un paisaje ondulado. Tomar el\(z\) eje -para estar recto hacia arriba hacia el cielo, el\(x\) eje positivo para ser hacia el sur, y el\(y\) eje positivo para ser hacia el este. Entonces el paisaje cerca de ti es descrito por la ecuación\(z=f(x,y)\text{,}\) contigo en el punto\((0,0,f(0,0))\text{.}\) La función\(f(x,y)\) es diferenciable.

Supongamos ¿\(f_y(0,0) \lt 0\text{.}\)Es posible que estés en una cumbre? Explique.

3 ✳

Let

\[ f(x,y)=\begin{cases}\frac{x^2y}{x^2+y^2}& \text{if } (x,y)\ne (0,0)\\ 0 & \text{if } (x,y)=(0,0) \end{cases} \nonumber \]

Calcular, directamente a partir de las definiciones,

1. \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\)
2. \(\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\)
3. \(\displaystyle \frac{d}{dt} f(t,t)\Big|_{t=0}\)

Etapa 2

4

Encuentre todas las primeras derivadas parciales de las siguientes funciones y evalúelas en el punto dado.

1. \(\displaystyle f(x,y,z)=x^3y^4z^5\qquad (0,-1,-1)\)
2. \(\displaystyle w(x,y,z)=\ln\left(1+e^{xyz}\right)\qquad (2,0,-1)\)
3. \(\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\qquad (-3,4)\)

5

Mostrar que la función\(z(x,y)=\frac{x+y}{x-y}\) obedece

\[ x\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)+y\\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0 \nonumber \]

6 ✳

Una superficie\(z(x, y)\) se define por\(zy - y + x = \ln(xyz)\text{.}\)

1. Calcular\(\frac{\partial z}{\partial x}\text{,}\)\(\frac{\partial z}{\partial y}\) en términos de\(x\text{,}\)\(y\text{,}\)\(z\text{.}\)
2. Evaluar\(\frac{\partial z}{\partial x}\) y\(\frac{\partial z}{\partial y}\) en\((x, y, z) = (-1, -2, 1/2)\text{.}\)

7 ✳

Buscar\(\frac{\partial U}{\partial T}\) y\(\frac{\partial T}{\partial V}\) en\((1, 1, 2, 4)\) si\((T, U, V, W)\) están relacionados por

\[ (TU-V)^2 \ln(W-UV) = \ln 2 \nonumber \]

8 ✳

Supongamos que\(u = x^2 + yz\text{,}\)\(x = \rho r \cos(\theta)\text{,}\)\(y = \rho r \sin(\theta)\) y\(z = \rho r\text{.}\) Encuentra\(\frac{\partial u}{\partial r}\) en el punto\((\rho_0 , r_0 , \theta_0) = (2, 3, \pi/2)\text{.}\)

9

Utilizar la definición de la derivada para evaluar\(f_x(0,0)\) y\(f_y(0,0)\) para

\[ f(x,y)=\begin{cases} \frac{x^2-2y^2}{x-y}&\text{if } x\ne y\\ 0&\text{if } x=y \end{cases} \nonumber \]

Etapa 3

10

Dejar\(f\) ser cualquier función diferenciable de una variable. Definir\(z(x,y)=f(x^2+y^2)\text{.}\) es la ecuación

\[ y\frac{\partial z}{\partial x}(x,y)-x\frac{\partial z}{\partial y}(x,y) = 0 \nonumber \]

necesariamente satisfecho?

11

Definir la función

\[ f(x,y)=\begin{cases}\frac{(x+2y)^2}{x+y}& \text{if } x+y\ne 0 \\ 0 &\text{if } x+y=0 \end{cases} \nonumber \]

1. Evaluar, si es posible,\(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) y\(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\text{.}\)
2. Es\(f(x,y)\) continuo en\((0,0)\text{?}\)

12

Considere el cilindro cuya base es el círculo de radio 1 en el\(xy\) plano centrado en\((0,0)\text{,}\) y que se inclina paralela a la línea en el\(yz\) plano dado por\(z=y\text{.}\)

Cuando te paras en el punto\((0,-1,0)\text{,}\) ¿cuál es la pendiente de la superficie si miras en la\(y\) dirección positiva? ¿La\(x\) dirección positiva?

1. Hay aplicaciones en las que hay varias variables que no se pueden variar de manera independiente. Por ejemplo, la presión, el volumen y la temperatura de un gas ideal están relacionados por la ecuación de estado\(PV= \text{(constant)} T\text{.}\) En esas aplicaciones, puede que no quede claro del contexto qué variables se mantienen fijas.
2. También es posible evaluar la derivada utilizando la técnica de la optativa Sección 2.15 en el texto CLP-1.
3. El único número real\(z\) que obedece\(z^5=-1\) es\(z=-1\text{.}\) Sin embargo hay otros cuatro números complejos que también obedecen\(z^5=-1\text{.}\)
4. Deberías haber visto ya esta técnica, llamada diferenciación implícita, en tu primer curso de Cálculo. Se trata en la Sección 2.11 del texto CLP-1.
5. Si no estás familiarizado con las coordenadas polares, no te preocupes por ello. Habrá una introducción a ellos en §3.2.1.
6. La multiplicación matricial generalmente se cubre en cursos sobre álgebra lineal, que puede o no haber tomado. Por eso este ejemplo es opcional.