3.4: Superficie

Supongamos que deseamos encontrar el área de parte,$S\text{,}$ de la superficie$z=f(x,y)\text{.}$ Empezamos$S$ cortando en trozos diminutos. Para ello,

• dibujamos un montón de curvas de constante$x$ (las curvas azules en la figura de abajo). Cada una de esas curvas es la intersección de$S$ con el plano$x=x_0$ para alguna constante$x_0\text{.}$ Y también
• dibujar un manojo de curvas de constante$y$ (las curvas rojas en la figura de abajo). Cada una de esas curvas es la intersección$S$ con el plano$y=y_0$ para alguna constante$y_0\text{.}$

Concéntrate en cualquiera de las piezas diminutas. Aquí hay un boceto muy magnificado de la misma, mirándolo desde arriba.

Deseamos computar su área, que llamaremos$\mathrm{d}S\text{.}$ Ahora bien, este pequeño trozo de superficie no necesita ser paralelo al$xy$ plano, y de hecho ni siquiera necesita ser plano. Pero si la pieza es realmente pequeña, es casi plana. Ahora lo aproximaremos por algo que es plano, y cuya área conocemos. Para comenzar, determinaremos las esquinas de la pieza. Para ello, primero determinamos las curvas delimitadoras de la pieza. Mira la figura de arriba, y recuerda que, en la superficie$z=f(x,y)\text{.}$

• La curva azul superior se construyó manteniendo$x$ fija en el valor$x_0\text{,}$ y dibujando la curva barrida por$x_0\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0,y)\,\hat{\mathbf{k}}$ lo$y$ variado, y
• la curva azul inferior se construyó manteniendo$x$ fija en el valor ligeramente mayor$x_0+ \mathrm{d}{x} \text{,}$ y esbozando la curva barrida$(x_0+ \mathrm{d}{x} )\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0+ \mathrm{d}{x} ,y)\,\hat{\mathbf{k}}$ como$y$ varió.
• Las curvas rojas se construyeron de manera similar, manteniendo$y$ fija y variando$x\text{.}$

Entonces los cuatro puntos de intersección en la figura son

$$\begin{alignat*}{1} P_0&=x_0\,\hat{\pmb{\imath}}+y_0\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\\ P_1&=x_0\,\hat{\pmb{\imath}}+(y_0+ \mathrm{d}{y} )\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0,y_0+ \mathrm{d}{y} )\,\hat{\mathbf{k}}\\ P_2&=(x_0+ \mathrm{d}{x} )\,\hat{\pmb{\imath}}+y_0\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0+ \mathrm{d}{x} ,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\\ P_3&=(x_0+ \mathrm{d}{x} )\,\hat{\pmb{\imath}}+(y_0+ \mathrm{d}{y} )\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0+ \mathrm{d}{x} ,y_0+ \mathrm{d}{y} )\,\hat{\mathbf{k}} \end{alignat*}$$

Ahora, para cualquier constante pequeña$\mathrm{d}X$ y$\mathrm{d}Y\text{,}$ tenemos la aproximación lineal ¹

$$\begin{align*} f(x_0+\mathrm{d}X,y_0+\mathrm{d}Y) &\approx f(x_0\,,\,y_0) +\frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\,\mathrm{d}X +\frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\,\mathrm{d}Y \end{align*}$$

Aplicando esto tres veces, una con$\mathrm{d}X=0\text{,}$$\mathrm{d}Y= \mathrm{d}{y}$ (para aproximar$P_1$), una con$\mathrm{d}X= \mathrm{d}{x} \text{,}$$\mathrm{d}Y=0$ (para aproximar$P_2$), y una vez con$\mathrm{d}X= \mathrm{d}{x} \text{,}$$\mathrm{d}Y= \mathrm{d}{y}$ (para aproximar$P_3$),

$$\begin{alignat*}{1} P_1&\approx P_0 \phantom{\ +\ \mathrm{d}{x} \,\hat{\pmb{\imath}}} \ +\ \mathrm{d}{y} \,\hat{\pmb{\jmath}}\ \ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{y} \,\hat{\mathbf{k}}\\ P_2&\approx P_0 \ +\ \mathrm{d}{x} \,\hat{\pmb{\imath}} \phantom{\ +\ \mathrm{d}{y} \,\hat{\pmb{\jmath}}} \ \ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{x} \,\hat{\mathbf{k}}\\ P_3&\approx P_0 \ +\ \mathrm{d}{x} \,\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \mathrm{d}{y} \,\hat{\pmb{\jmath}} \ +\ \Big[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{y} \Big]\,\hat{\mathbf{k}} \end{alignat*}$$

Por supuesto que sólo hemos aproximado las posiciones de las esquinas y así hemos introducido errores. Sin embargo, con más trabajo, uno puede ligar esos errores (como nosotros en el opcional §3.2.4) y mostrar que en el límite$\mathrm{d}{x} , \mathrm{d}{y} \rightarrow 0\text{,}$ todos los términos de error que bajamos contribuyen exactamente$0$ a la integral.

La pequeña pieza de nuestra superficie con esquinas$P_0\text{,}$$P_1\text{,}$$P_2\text{,}$$P_3$ es aproximadamente un paralelogramo con lados

$$\begin{align*} \overrightarrow{P_0P_1} \approx \overrightarrow{P_2P_3} &\approx \mathrm{d}{y} \,\hat{\pmb{\jmath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{y} \,\hat{\mathbf{k}}\\ \overrightarrow{P_0P_2} \approx \overrightarrow{P_1P_3} &\approx \mathrm{d}{x} \,\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{x} \,\hat{\mathbf{k}} \qquad\qquad \end{align*}$$

Denote por$\theta$ el ángulo entre los vectores$\overrightarrow{P_0P_1}$ y$\overrightarrow{P_0P_2}\text{.}$ La base del paralelogramo,$\overrightarrow{P_0P_1}\text{,}$ tiene longitud$\big|\overrightarrow{P_0P_1}\big|\text{,}$ y la altura del paralelogramo es$\big|\overrightarrow{P_0P_2}\big|\,\sin\theta\text{.}$ Así el área del paralelogramo es ², por Teorema 1.2.23,

$$\begin{align*} \mathrm{d}S =|\overrightarrow{P_0P_1}|\ |\overrightarrow{P_0P_2}| \ \sin\theta &= \big|\overrightarrow{P_0P_1}\times\overrightarrow{P_0P_2}\big|\\ &\hskip-0.5in\approx \bigg|\left(\hat{\pmb{\jmath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\times \left(\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\bigg| \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}$$

El producto cruzado se evalúa fácilmente:

$$\begin{align*} \left(\hat{\pmb{\jmath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\times \left(\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \\ 1 & 0 & \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \end{matrix}\right]\\ &\hskip-0.5in= f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} + f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}} \end{align*}$$

como es su longitud:

$$\begin{align*} &\left|\left(\hat{\pmb{\jmath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\times \left(\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\right|\\ &\hskip1in= \sqrt{1 + f_x(x_0,y_0)^2 + f_y(x_0,y_0)^2} \end{align*}$$

A lo largo de este cálculo,$x_0$ y$y_0$ fueron arbitrarios. Así que hemos encontrado el área de cada pequeño trozo de la superficie$S\text{.}$

Ecuación 3.4.1

Para la superficie$z=f(x,y)\text{,}$

$$\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}$$

Del mismo modo, para la superficie$x=g(y,z)\text{,}$

$$\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + g_y(y,z)^2 + g_z(y,z)^2}\ \mathrm{d}{y} \mathrm{d}{z} \end{align*}$$

y para la superficie$y=h(x,z)\text{,}$

$$\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + h_x(x,z)^2 + h_z(x,z)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{z} \end{align*}$$

En consecuencia, tenemos

Teorema 3.4.2

1. El área de la parte de la superficie$z=f(x,y)$$(x,y)$ que corre sobre la región$\mathcal{D}$ en el$xy$ plano es

   $$\iint_\mathcal{D} \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber$$

2. El área de la parte de la superficie$x=g(y,z)$$(y,z)$ que corre sobre la región$\mathcal{D}$ en el$yz$ plano es

   $$\iint_\mathcal{D} \sqrt{1 + g_y(y,z)^2 + g_z(y,z)^2}\ \mathrm{d}{y} \mathrm{d}{z} \nonumber$$

3. El área de la parte de la superficie$y=h(x,z)$$(x,z)$ que corre sobre la región$\mathcal{D}$ en el$xz$ plano es

   $$\iint_\mathcal{D} \sqrt{1 + h_x(x,z)^2 + h_z(x,z)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{z} \nonumber$$

Ejemplo 3.4.3. Área de un cono

Como primer ejemplo, calculamos el área de la parte del cono

$$z=\sqrt{x^2+y^2} \nonumber$$

con$0\le z\le a$ o, equivalentemente, con$x^2+y^2\le a^2\text{.}$

Tenga en cuenta que$z=\sqrt{x^2+y^2}$ es el lado del cono. No incluye la parte superior.

Para encontrar su área, aplicaremos 3.4.1 a

$$z=f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \qquad\text{with $(x,y)$ running over } x^2+y^2\le a^2 \nonumber$$

Eso nos obliga a calcular las derivadas parciales de primer orden

$$\begin{align*} f_x(x,y) & = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ f_y(x,y) & = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{align*}$$

Sustituyéndolos en la primera fórmula en 3.4.1 rendimientos

$$\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\Big(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^2 +\Big(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^2} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{2} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \end{align*}$$

Entonces

$$\begin{align*} \text{Area} &= \iint_{x^2+y^2\le a^2} \sqrt{2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = \sqrt{2} \iint_{x^2+y^2\le a^2} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = \sqrt{2} \pi a^2 \end{align*}$$

porque$\iint_{x^2+y^2\le a^2} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y}$ es exactamente el área de un disco circular de radio$a\text{.}$

Ejemplo 3.4.4. Área de un cilindro

Vamos$a,b \gt 0\text{.}$ a encontrar la superficie de

$$\mathcal{S} = \left \{(x,y,z)|x^2+z^2=a^2,\ 0\le y\le b\right \} \nonumber$$

Solución

La intersección de$x^2+z^2=a^2$ con cualquier plano de constante$y$ es el círculo de radio$a$ centrado en$x=z=0\text{.}$ Así$\mathcal{S}$ es un montón de círculos apilados lateralmente. Se trata de un cilindro en su costado (con ambos extremos abiertos). Por simetría, el área de$\mathcal{S}$ es cuatro veces el área de la parte de$\mathcal{S}$ que se encuentra en el primer octanto, que es

$$\mathcal{S}_1 = \Big\{(x,y,z)\ \Big|\ z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2},\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le b\Big\} \nonumber$$

Desde

$$f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\qquad f_y(x,y)=0 \nonumber$$

la primera fórmula en 3.4.1 rendimientos

$$\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\Big(-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\Big)^2} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}$$

Entonces

$$\begin{align*} \text{Area}(\mathcal{S}_1) &= \int_0^a \mathrm{d}{x} \int_0^b \mathrm{d}{y} \ \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}} =ab \int_0^a \mathrm{d}{x} \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \end{align*}$$

La integral indefinida de$\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ es$\arcsin\frac{x}{a}+C\text{.}$ (Véase la tabla de integrales en el Apéndice A.4. Alternativamente, use la sustitución trigonométrica$x=a\sin\theta\text{.}$) So

$$\begin{gather*} \text{Area}(\mathcal{S}_1) = ab\left[\arcsin\frac{x}{a}\right]_0^a = ab\big[\arcsin 1 -\arcsin 0\big] =\frac{\pi}{2} ab \end{gather*}$$

y

$$\begin{gather*} \text{Area}(\mathcal{S}) =4\text{Area}(\mathcal{S}_1) =2\pi ab \end{gather*}$$

También podríamos haber llegado a esta conclusión usando un poco de geometría, en lugar de usar cálculo. Abra el cilindro cortando a lo largo de una línea paralela al$y$ eje -y luego aplane el cilindro. Esto da un rectángulo. Un lado del rectángulo es solo un círculo de radio$a\text{,}$ enderezado. Entonces el rectángulo tiene lados de longitudes$2\pi a$ y$b$ y tiene área$2\pi ab\text{.}$

Ejemplo 3.4.5. Área de un hemisferio

Esta vez calculamos la superficie del hemisferio

$$x^2+y^2+z^2=a^2\qquad z\ge 0 \nonumber$$

(con$a \gt 0$). Probablemente sepas, de secundaria, que la respuesta es$\frac{1}{2}\times 4\pi a^2=2\pi a^2\text{.}$ Pero probablemente no has visto una derivación ³ de esta respuesta. Tenga en cuenta que, ya que$x^2+y^2 = a^2-z^2$ en el hemisferio, el conjunto de$(x,y)$'s para el que hay un$z$ con$(x,y,z)$ en el hemisferio es exactamente$\left \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\le a^2\right \}\text{.}$ Así que el hemisferio es

$$\begin{align*} S &= \Big\{(x,y,z)\ \Big|\ z=\sqrt{a^2-x^2-y^2},\ x^2+y^2\le a^2\Big\} \end{align*}$$

Calcularemos el área de$S$ aplicando 3.4.1 a

$$z=f(x,y) = \sqrt{a^2-x^2-y^2} \qquad\text{with $(x,y)$ running over } x^2+y^2\le a^2 \nonumber$$

La primera fórmula en 3.4.1 rendimientos

$$\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\Big(\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\Big)^2 +\Big(\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\Big)^2} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}$$

Entonces el área es$\iint_{x^2+y^2\le a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \text{.}$ Para evaluar esta integral, cambiamos a coordenadas polares, sustituyendo$x=r\cos\theta\text{,}$$y=r\sin\theta\text{.}$ Esto da

$$\begin{align*} \text{area} &=\iint_{x^2+y^2\le a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} =\int_0^a\mathrm{d}r\ r\int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\\ &=2\pi a \int_0^a\mathrm{d}r\ \frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\\ &=2\pi a\int_{a^2}^0 \frac{-\mathrm{d}u/2}{\sqrt{u}} \qquad\text{with } u=a^2-r^2,\ \mathrm{d}u = -2r\,\mathrm{d}r\\ &=2\pi a\Big[-\sqrt{u}\Big]_{a^2}^0\\ &=2\pi a^2 \end{align*}$$

como debería ser.

Ejemplo 3.4.6

Encuentra el área de superficie de la parte del paraboloide que se$z=2-x^2-y^2$ encuentra por encima del$xy$ plano.

Solución

La ecuación de la superficie es de la forma$z=f(x,y)$ con$f(x,y)=2-x^2-y^2\text{.}$ So

$$\begin{gather*} f_x(x,y) =-2x\qquad f_y(x,y) =-2y \end{gather*}$$

y, en la primera parte del 3.4.1,

$$\begin{align*} \mathrm{d}S &= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+4x^2+4y^2} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}$$

El punto$(x,y,z)\text{,}$ con$z=2-x^2-y^2\text{,}$ se encuentra por encima del$xy$ plano -si y solo si$z\ge 0\text{,}$ o, de manera equivalente,$2-x^2-y^2\ge 0\text{.}$ Entonces el dominio de la integración es$\left \{(x,y)\big{|}x^2+y^2\le 2\right \}$ y

$$\text{Surface Area} = \iint_{x^2+y^2\le 2}\ \sqrt{1+4x^2+4y^2} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber$$

Cambiando a coordenadas polares,

$$\begin{align*} \text{Surface Area} &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{2}}\sqrt{1+4r^2}\ r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \\ &=2\pi\left[\frac{1}{12}{\big(1+4r^2\big)}^{3/2}\right]_0^{\sqrt{2}} =\frac{\pi}{6}[27-1]\\ &=\frac{13}{3}\pi \end{align*}$$

Ejercicios

Etapa 1

1

Dejar$0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}\text{,}$ y$a,b \gt 0\text{.}$ denotar por$S$ la parte de la superficie$z=y\,\tan\theta$ con$0\le x\le a\text{,}$$0\le y\le b\text{.}$

1. Encuentra el área de superficie de$S$ sin usar ningún cálculo.
2. Encuentra el área de superficie de$S$ usando el Teorema 3.4.2.

2

Dejar$c \gt 0\text{.}$ Denotar por$S$ la parte de la superficie$ax+by+cz=d$ con$(x,y)$ correr sobre la región$D$ en el$xy$ plano -. Encontrar la superficie de$S\text{,}$ en términos de$a\text{,}$$b\text{,}$$c\text{,}$$d$ y$A(D)\text{,}$ el área de la región$D\text{.}$

3

Dejar$a,b,c \gt 0\text{.}$ Denotar por$S$ el triángulo con vértices$(a,0,0)\text{,}$$(0,b,0)$ y$(0,0,c)\text{.}$

1. Encuentra el área de superficie de tres$S$ maneras diferentes, cada una usando el Teorema 3.4.2.
2. Denote por$T_{xy}$ la proyección de$S$ sobre el$xy$ plano. (Es el triángulo con vértices$(0,0,0)$$(a,0,0)$ y$(0,b,0)\text{.}$) Del mismo modo se usa$T_{xz}$ para denotar la proyección de$S$ sobre el$xz$ plano y$T_{yz}$ para denotar la proyección de$S$ sobre el$yz$ plano. Demostrar que

   $$\text{Area}(S) =\sqrt{\text{Area}(T_{xy})^2 +\text{Area}(T_{xz})^2 +\text{Area}(T_{yz})^2 } \nonumber$$

Etapa 2

4. ✳

Encuentra el área de la parte de la superficie$z=y^{3/2}$ que se encuentra arriba$0\le x,y\le 1\text{.}$

5. ✳

Encuentra el área de superficie de la parte del paraboloide$z = a^2 - x^2 - y^2$ que se encuentra por encima$xy$ del plano.

6. ✳

Encuentra el área de la porción del cono que se$z^2 = x^2 + y^2$ encuentra entre los planos$z = 2$ y$z = 3\text{.}$

7. ✳

Determinar el área de superficie de la superficie dada por$z = \frac{2}{3}\big(x^{3/2} + y^{3/2}\big)\text{,}$ sobre el cuadrado$0 \le x \le 1\text{,}$$0 \le y \le 1\text{.}$

8. ✳

1. Para encontrar la superficie de la superficie$z = f (x,y)$ por encima de la región$D\text{,}$ integramos$\iint_D F(x,y)\ \mathrm{d}A\text{.}$ Qué es$F(x,y)\text{?}$
2. Considera una “Estrella de la Muerte”, una bola de radio$2$ centrada en el origen con otra bola de radio$2$ centrada en el$(0, 0, 2\sqrt{3})$ corte de la misma. El siguiente diagrama muestra la porción donde$y = 0\text{.}$

1. Los Rebeldes quieren pintar parte de la superficie de Estrella de la Muerte de color rosa fuerte; específicamente, la parte cóncava (indicada con una línea gruesa en el diagrama). Para ayudarles a determinar cuánta pintura se necesita, rellene cuidadosamente las partes faltantes de esta integral:

   $$\text{surface area} = \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\ \mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \nonumber$$

2. ¿Cuál es la superficie total de la Estrella de la Muerte?

9. ✳

Encuentra el área del cono$z^2=x^2+y^2$ entre$z=1$ y$z=16\text{.}$

10. ✳

Encuentra el área de superficie de esa parte del hemisferio$z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ que se encuentra dentro del cilindro$\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2\text{.}$

1. Recordar 2.6.1.
2. Como mencionamos anteriormente, la aproximación a continuación se vuelve exacta cuando$\mathrm{d}{x} , \mathrm{d}{y} \rightarrow 0$ se toma el límite en la definición de la integral. Ver §3.3.5 en el texto CLP-4.
3. Aquí hay un juego de palabras escondido, porque se puede (con un poco de pensamiento) también obtener el área de superficie diferenciando el volumen con respecto al radio.