3.4: Superficie

Supongamos que deseamos encontrar el área de parte,\(S\text{,}\) de la superficie\(z=f(x,y)\text{.}\) Empezamos\(S\) cortando en trozos diminutos. Para ello,

• dibujamos un montón de curvas de constante\(x\) (las curvas azules en la figura de abajo). Cada una de esas curvas es la intersección de\(S\) con el plano\(x=x_0\) para alguna constante\(x_0\text{.}\) Y también
• dibujar un manojo de curvas de constante\(y\) (las curvas rojas en la figura de abajo). Cada una de esas curvas es la intersección\(S\) con el plano\(y=y_0\) para alguna constante\(y_0\text{.}\)

Concéntrate en cualquiera de las piezas diminutas. Aquí hay un boceto muy magnificado de la misma, mirándolo desde arriba.

Deseamos computar su área, que llamaremos\(\mathrm{d}S\text{.}\) Ahora bien, este pequeño trozo de superficie no necesita ser paralelo al\(xy\) plano, y de hecho ni siquiera necesita ser plano. Pero si la pieza es realmente pequeña, es casi plana. Ahora lo aproximaremos por algo que es plano, y cuya área conocemos. Para comenzar, determinaremos las esquinas de la pieza. Para ello, primero determinamos las curvas delimitadoras de la pieza. Mira la figura de arriba, y recuerda que, en la superficie\(z=f(x,y)\text{.}\)

• La curva azul superior se construyó manteniendo\(x\) fija en el valor\(x_0\text{,}\) y dibujando la curva barrida por\(x_0\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0,y)\,\hat{\mathbf{k}}\) lo\(y\) variado, y
• la curva azul inferior se construyó manteniendo\(x\) fija en el valor ligeramente mayor\(x_0+ \mathrm{d}{x} \text{,}\) y esbozando la curva barrida\((x_0+ \mathrm{d}{x} )\,\hat{\pmb{\imath}}+y\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0+ \mathrm{d}{x} ,y)\,\hat{\mathbf{k}}\) como\(y\) varió.
• Las curvas rojas se construyeron de manera similar, manteniendo\(y\) fija y variando\(x\text{.}\)

Entonces los cuatro puntos de intersección en la figura son

\[\begin{alignat*}{1} P_0&=x_0\,\hat{\pmb{\imath}}+y_0\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\\ P_1&=x_0\,\hat{\pmb{\imath}}+(y_0+ \mathrm{d}{y} )\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0,y_0+ \mathrm{d}{y} )\,\hat{\mathbf{k}}\\ P_2&=(x_0+ \mathrm{d}{x} )\,\hat{\pmb{\imath}}+y_0\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0+ \mathrm{d}{x} ,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\\ P_3&=(x_0+ \mathrm{d}{x} )\,\hat{\pmb{\imath}}+(y_0+ \mathrm{d}{y} )\,\hat{\pmb{\jmath}} + f(x_0+ \mathrm{d}{x} ,y_0+ \mathrm{d}{y} )\,\hat{\mathbf{k}} \end{alignat*}\]

Ahora, para cualquier constante pequeña\(\mathrm{d}X\) y\(\mathrm{d}Y\text{,}\) tenemos la aproximación lineal ¹

\[\begin{align*} f(x_0+\mathrm{d}X,y_0+\mathrm{d}Y) &\approx f(x_0\,,\,y_0) +\frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\,\mathrm{d}X +\frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\,\mathrm{d}Y \end{align*}\]

Aplicando esto tres veces, una con\(\mathrm{d}X=0\text{,}\)\(\mathrm{d}Y= \mathrm{d}{y} \) (para aproximar\(P_1\)), una con\(\mathrm{d}X= \mathrm{d}{x} \text{,}\)\(\mathrm{d}Y=0\) (para aproximar\(P_2\)), y una vez con\(\mathrm{d}X= \mathrm{d}{x} \text{,}\)\(\mathrm{d}Y= \mathrm{d}{y} \) (para aproximar\(P_3\)),

\[\begin{alignat*}{1} P_1&\approx P_0 \phantom{\ +\ \mathrm{d}{x} \,\hat{\pmb{\imath}}} \ +\ \mathrm{d}{y} \,\hat{\pmb{\jmath}}\ \ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{y} \,\hat{\mathbf{k}}\\ P_2&\approx P_0 \ +\ \mathrm{d}{x} \,\hat{\pmb{\imath}} \phantom{\ +\ \mathrm{d}{y} \,\hat{\pmb{\jmath}}} \ \ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{x} \,\hat{\mathbf{k}}\\ P_3&\approx P_0 \ +\ \mathrm{d}{x} \,\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \mathrm{d}{y} \,\hat{\pmb{\jmath}} \ +\ \Big[ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{x} + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{y} \Big]\,\hat{\mathbf{k}} \end{alignat*}\]

Por supuesto que sólo hemos aproximado las posiciones de las esquinas y así hemos introducido errores. Sin embargo, con más trabajo, uno puede ligar esos errores (como nosotros en el opcional §3.2.4) y mostrar que en el límite\( \mathrm{d}{x} , \mathrm{d}{y} \rightarrow 0\text{,}\) todos los términos de error que bajamos contribuyen exactamente\(0\) a la integral.

La pequeña pieza de nuestra superficie con esquinas\(P_0\text{,}\)\(P_1\text{,}\)\(P_2\text{,}\)\(P_3\) es aproximadamente un paralelogramo con lados

\[\begin{align*} \overrightarrow{P_0P_1} \approx \overrightarrow{P_2P_3} &\approx \mathrm{d}{y} \,\hat{\pmb{\jmath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{y} \,\hat{\mathbf{k}}\\ \overrightarrow{P_0P_2} \approx \overrightarrow{P_1P_3} &\approx \mathrm{d}{x} \,\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\, \mathrm{d}{x} \,\hat{\mathbf{k}} \qquad\qquad \end{align*}\]

Denote por\(\theta\) el ángulo entre los vectores\(\overrightarrow{P_0P_1}\) y\(\overrightarrow{P_0P_2}\text{.}\) La base del paralelogramo,\(\overrightarrow{P_0P_1}\text{,}\) tiene longitud\(\big|\overrightarrow{P_0P_1}\big|\text{,}\) y la altura del paralelogramo es\(\big|\overrightarrow{P_0P_2}\big|\,\sin\theta\text{.}\) Así el área del paralelogramo es ², por Teorema 1.2.23,

\[\begin{align*} \mathrm{d}S =|\overrightarrow{P_0P_1}|\ |\overrightarrow{P_0P_2}| \ \sin\theta &= \big|\overrightarrow{P_0P_1}\times\overrightarrow{P_0P_2}\big|\\ &\hskip-0.5in\approx \bigg|\left(\hat{\pmb{\jmath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\times \left(\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\bigg| \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}\]

El producto cruzado se evalúa fácilmente:

\[\begin{align*} \left(\hat{\pmb{\jmath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\times \left(\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right) &=\det\left[\begin{matrix} \hat{\pmb{\imath}} & \hat{\pmb{\jmath}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 0 & 1 & \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \\ 1 & 0 & \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \end{matrix}\right]\\ &\hskip-0.5in= f_x(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\imath}} + f_y(x_0,y_0)\,\hat{\pmb{\jmath}} - \hat{\mathbf{k}} \end{align*}\]

como es su longitud:

\[\begin{align*} &\left|\left(\hat{\pmb{\jmath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial y}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\times \left(\hat{\pmb{\imath}}\ +\ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0\,,\,y_0)\,\hat{\mathbf{k}}\right)\right|\\ &\hskip1in= \sqrt{1 + f_x(x_0,y_0)^2 + f_y(x_0,y_0)^2} \end{align*}\]

A lo largo de este cálculo,\(x_0\) y\(y_0\) fueron arbitrarios. Así que hemos encontrado el área de cada pequeño trozo de la superficie\(S\text{.}\)

Ecuación 3.4.1

Para la superficie\(z=f(x,y)\text{,}\)

\[\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}\]

Del mismo modo, para la superficie\(x=g(y,z)\text{,}\)

\[\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + g_y(y,z)^2 + g_z(y,z)^2}\ \mathrm{d}{y} \mathrm{d}{z} \end{align*}\]

y para la superficie\(y=h(x,z)\text{,}\)

\[\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + h_x(x,z)^2 + h_z(x,z)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{z} \end{align*}\]

En consecuencia, tenemos

Teorema 3.4.2

1. El área de la parte de la superficie\(z=f(x,y)\)\((x,y)\) que corre sobre la región\(\mathcal{D}\) en el\(xy\) plano es

   \[ \iint_\mathcal{D} \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber \]

2. El área de la parte de la superficie\(x=g(y,z)\)\((y,z)\) que corre sobre la región\(\mathcal{D}\) en el\(yz\) plano es

   \[ \iint_\mathcal{D} \sqrt{1 + g_y(y,z)^2 + g_z(y,z)^2}\ \mathrm{d}{y} \mathrm{d}{z} \nonumber \]

3. El área de la parte de la superficie\(y=h(x,z)\)\((x,z)\) que corre sobre la región\(\mathcal{D}\) en el\(xz\) plano es

   \[ \iint_\mathcal{D} \sqrt{1 + h_x(x,z)^2 + h_z(x,z)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{z} \nonumber \]

Ejemplo 3.4.3. Área de un cono

Como primer ejemplo, calculamos el área de la parte del cono

\[ z=\sqrt{x^2+y^2} \nonumber \]

con\(0\le z\le a\) o, equivalentemente, con\(x^2+y^2\le a^2\text{.}\)

Tenga en cuenta que\(z=\sqrt{x^2+y^2}\) es el lado del cono. No incluye la parte superior.

Para encontrar su área, aplicaremos 3.4.1 a

\[ z=f(x,y) = \sqrt{x^2+y^2} \qquad\text{with $(x,y)$ running over } x^2+y^2\le a^2 \nonumber \]

Eso nos obliga a calcular las derivadas parciales de primer orden

\[\begin{align*} f_x(x,y) & = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ f_y(x,y) & = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{align*}\]

Sustituyéndolos en la primera fórmula en 3.4.1 rendimientos

\[\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\Big(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^2 +\Big(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\Big)^2} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2}} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{2} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \end{align*}\]

Entonces

\[\begin{align*} \text{Area} &= \iint_{x^2+y^2\le a^2} \sqrt{2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = \sqrt{2} \iint_{x^2+y^2\le a^2} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} = \sqrt{2} \pi a^2 \end{align*}\]

porque\(\iint_{x^2+y^2\le a^2} \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \) es exactamente el área de un disco circular de radio\(a\text{.}\)

Ejemplo 3.4.4. Área de un cilindro

Vamos\(a,b \gt 0\text{.}\) a encontrar la superficie de

\[ \mathcal{S} = \left \{(x,y,z)|x^2+z^2=a^2,\ 0\le y\le b\right \} \nonumber \]

Solución

La intersección de\(x^2+z^2=a^2\) con cualquier plano de constante\(y\) es el círculo de radio\(a\) centrado en\(x=z=0\text{.}\) Así\(\mathcal{S}\) es un montón de círculos apilados lateralmente. Se trata de un cilindro en su costado (con ambos extremos abiertos). Por simetría, el área de\(\mathcal{S}\) es cuatro veces el área de la parte de\(\mathcal{S}\) que se encuentra en el primer octanto, que es

\[ \mathcal{S}_1 = \Big\{(x,y,z)\ \Big|\ z=f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2},\ 0\le x\le a,\ 0\le y\le b\Big\} \nonumber \]

Desde

\[ f_x(x,y)=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\qquad f_y(x,y)=0 \nonumber \]

la primera fórmula en 3.4.1 rendimientos

\[\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\Big(-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\Big)^2} \ \mathrm{d}{x} \, \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2-x^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}\]

Entonces

\[\begin{align*} \text{Area}(\mathcal{S}_1) &= \int_0^a \mathrm{d}{x} \int_0^b \mathrm{d}{y} \ \frac{a}{\sqrt{a^2-x^2}} =ab \int_0^a \mathrm{d}{x} \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} \end{align*}\]

La integral indefinida de\(\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) es\(\arcsin\frac{x}{a}+C\text{.}\) (Véase la tabla de integrales en el Apéndice A.4. Alternativamente, use la sustitución trigonométrica\(x=a\sin\theta\text{.}\)) So

\[\begin{gather*} \text{Area}(\mathcal{S}_1) = ab\left[\arcsin\frac{x}{a}\right]_0^a = ab\big[\arcsin 1 -\arcsin 0\big] =\frac{\pi}{2} ab \end{gather*}\]

y

\[\begin{gather*} \text{Area}(\mathcal{S}) =4\text{Area}(\mathcal{S}_1) =2\pi ab \end{gather*}\]

También podríamos haber llegado a esta conclusión usando un poco de geometría, en lugar de usar cálculo. Abra el cilindro cortando a lo largo de una línea paralela al\(y\) eje -y luego aplane el cilindro. Esto da un rectángulo. Un lado del rectángulo es solo un círculo de radio\(a\text{,}\) enderezado. Entonces el rectángulo tiene lados de longitudes\(2\pi a\) y\(b\) y tiene área\(2\pi ab\text{.}\)

Ejemplo 3.4.5. Área de un hemisferio

Esta vez calculamos la superficie del hemisferio

\[ x^2+y^2+z^2=a^2\qquad z\ge 0 \nonumber \]

(con\(a \gt 0\)). Probablemente sepas, de secundaria, que la respuesta es\(\frac{1}{2}\times 4\pi a^2=2\pi a^2\text{.}\) Pero probablemente no has visto una derivación ³ de esta respuesta. Tenga en cuenta que, ya que\(x^2+y^2 = a^2-z^2\) en el hemisferio, el conjunto de\((x,y)\)'s para el que hay un\(z\) con\((x,y,z)\) en el hemisferio es exactamente\(\left \{(x,y)\in\mathbb{R}^2|x^2+y^2\le a^2\right \}\text{.}\) Así que el hemisferio es

\[\begin{align*} S &= \Big\{(x,y,z)\ \Big|\ z=\sqrt{a^2-x^2-y^2},\ x^2+y^2\le a^2\Big\} \end{align*}\]

Calcularemos el área de\(S\) aplicando 3.4.1 a

\[ z=f(x,y) = \sqrt{a^2-x^2-y^2} \qquad\text{with $(x,y)$ running over } x^2+y^2\le a^2 \nonumber \]

La primera fórmula en 3.4.1 rendimientos

\[\begin{align*} \mathrm{d}S&= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\Big(\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\Big)^2 +\Big(\frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}\Big)^2} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+\frac{x^2+y^2}{a^2-x^2-y^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{\frac{a^2}{a^2-x^2-y^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}\]

Entonces el área es\(\iint_{x^2+y^2\le a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \text{.}\) Para evaluar esta integral, cambiamos a coordenadas polares, sustituyendo\(x=r\cos\theta\text{,}\)\(y=r\sin\theta\text{.}\) Esto da

\[\begin{align*} \text{area} &=\iint_{x^2+y^2\le a^2}\frac{a}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} =\int_0^a\mathrm{d}r\ r\int_0^{2\pi} \mathrm{d}{\theta} \ \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}\\ &=2\pi a \int_0^a\mathrm{d}r\ \frac{r}{\sqrt{a^2-r^2}}\\ &=2\pi a\int_{a^2}^0 \frac{-\mathrm{d}u/2}{\sqrt{u}} \qquad\text{with } u=a^2-r^2,\ \mathrm{d}u = -2r\,\mathrm{d}r\\ &=2\pi a\Big[-\sqrt{u}\Big]_{a^2}^0\\ &=2\pi a^2 \end{align*}\]

como debería ser.

Ejemplo 3.4.6

Encuentra el área de superficie de la parte del paraboloide que se\(z=2-x^2-y^2\) encuentra por encima del\(xy\) plano.

Solución

La ecuación de la superficie es de la forma\(z=f(x,y)\) con\(f(x,y)=2-x^2-y^2\text{.}\) So

\[\begin{gather*} f_x(x,y) =-2x\qquad f_y(x,y) =-2y \end{gather*}\]

y, en la primera parte del 3.4.1,

\[\begin{align*} \mathrm{d}S &= \sqrt{1 + f_x(x,y)^2 + f_y(x,y)^2}\ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \\ &=\sqrt{1+4x^2+4y^2} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \end{align*}\]

El punto\((x,y,z)\text{,}\) con\(z=2-x^2-y^2\text{,}\) se encuentra por encima del\(xy\) plano -si y solo si\(z\ge 0\text{,}\) o, de manera equivalente,\(2-x^2-y^2\ge 0\text{.}\) Entonces el dominio de la integración es\(\left \{(x,y)\big{|}x^2+y^2\le 2\right \}\) y

\[ \text{Surface Area} = \iint_{x^2+y^2\le 2}\ \sqrt{1+4x^2+4y^2} \ \mathrm{d}{x} \mathrm{d}{y} \nonumber \]

Cambiando a coordenadas polares,

\[\begin{align*} \text{Surface Area} &=\int_0^{2\pi}\int_0^{\sqrt{2}}\sqrt{1+4r^2}\ r\,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \\ &=2\pi\left[\frac{1}{12}{\big(1+4r^2\big)}^{3/2}\right]_0^{\sqrt{2}} =\frac{\pi}{6}[27-1]\\ &=\frac{13}{3}\pi \end{align*}\]

Ejercicios

Etapa 1

1

Dejar\(0 \lt \theta \lt \frac{\pi}{2}\text{,}\) y\(a,b \gt 0\text{.}\) denotar por\(S\) la parte de la superficie\(z=y\,\tan\theta\) con\(0\le x\le a\text{,}\)\(0\le y\le b\text{.}\)

1. Encuentra el área de superficie de\(S\) sin usar ningún cálculo.
2. Encuentra el área de superficie de\(S\) usando el Teorema 3.4.2.

2

Dejar\(c \gt 0\text{.}\) Denotar por\(S\) la parte de la superficie\(ax+by+cz=d\) con\((x,y)\) correr sobre la región\(D\) en el\(xy\) plano -. Encontrar la superficie de\(S\text{,}\) en términos de\(a\text{,}\)\(b\text{,}\)\(c\text{,}\)\(d\) y\(A(D)\text{,}\) el área de la región\(D\text{.}\)

3

Dejar\(a,b,c \gt 0\text{.}\) Denotar por\(S\) el triángulo con vértices\((a,0,0)\text{,}\)\((0,b,0)\) y\((0,0,c)\text{.}\)

1. Encuentra el área de superficie de tres\(S\) maneras diferentes, cada una usando el Teorema 3.4.2.
2. Denote por\(T_{xy}\) la proyección de\(S\) sobre el\(xy\) plano. (Es el triángulo con vértices\((0,0,0)\)\((a,0,0)\) y\((0,b,0)\text{.}\)) Del mismo modo se usa\(T_{xz}\) para denotar la proyección de\(S\) sobre el\(xz\) plano y\(T_{yz}\) para denotar la proyección de\(S\) sobre el\(yz\) plano. Demostrar que

   \[ \text{Area}(S) =\sqrt{\text{Area}(T_{xy})^2 +\text{Area}(T_{xz})^2 +\text{Area}(T_{yz})^2 } \nonumber \]

Etapa 2

4. ✳

Encuentra el área de la parte de la superficie\(z=y^{3/2}\) que se encuentra arriba\(0\le x,y\le 1\text{.}\)

5. ✳

Encuentra el área de superficie de la parte del paraboloide\(z = a^2 - x^2 - y^2\) que se encuentra por encima\(xy\) del plano.

6. ✳

Encuentra el área de la porción del cono que se\(z^2 = x^2 + y^2\) encuentra entre los planos\(z = 2\) y\(z = 3\text{.}\)

7. ✳

Determinar el área de superficie de la superficie dada por\(z = \frac{2}{3}\big(x^{3/2} + y^{3/2}\big)\text{,}\) sobre el cuadrado\(0 \le x \le 1\text{,}\)\(0 \le y \le 1\text{.}\)

8. ✳

1. Para encontrar la superficie de la superficie\(z = f (x,y)\) por encima de la región\(D\text{,}\) integramos\(\iint_D F(x,y)\ \mathrm{d}A\text{.}\) Qué es\(F(x,y)\text{?}\)
2. Considera una “Estrella de la Muerte”, una bola de radio\(2\) centrada en el origen con otra bola de radio\(2\) centrada en el\((0, 0, 2\sqrt{3})\) corte de la misma. El siguiente diagrama muestra la porción donde\(y = 0\text{.}\)

1. Los Rebeldes quieren pintar parte de la superficie de Estrella de la Muerte de color rosa fuerte; específicamente, la parte cóncava (indicada con una línea gruesa en el diagrama). Para ayudarles a determinar cuánta pintura se necesita, rellene cuidadosamente las partes faltantes de esta integral:

   \[ \text{surface area} = \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \int_{\underline{\ \ \ \ }}^{\underline{\ \ \ \ }} \underline{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\ \mathrm{d}r\, \mathrm{d}{\theta} \nonumber \]

2. ¿Cuál es la superficie total de la Estrella de la Muerte?

9. ✳

Encuentra el área del cono\(z^2=x^2+y^2\) entre\(z=1\) y\(z=16\text{.}\)

10. ✳

Encuentra el área de superficie de esa parte del hemisferio\(z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\) que se encuentra dentro del cilindro\(\big(x-\frac{a}{2}\big)^2+y^2=\big(\frac{a}{2}\big)^2\text{.}\)

1. Recordar 2.6.1.
2. Como mencionamos anteriormente, la aproximación a continuación se vuelve exacta cuando\( \mathrm{d}{x} , \mathrm{d}{y} \rightarrow 0\) se toma el límite en la definición de la integral. Ver §3.3.5 en el texto CLP-4.
3. Aquí hay un juego de palabras escondido, porque se puede (con un poco de pensamiento) también obtener el área de superficie diferenciando el volumen con respecto al radio.