6.4: Resumen

La mayoría de las veces, los problemas de conteo se reducen a una variación de una de las siguientes tres situaciones básicas:

• \(n^k\)— esto es cuando tenemos cosas\(k\) diferentes, cada una de las cuales es libre de asumir una de elecciones\(n\) completamente independientes.

• \(n^{\underline{k}}\)— esto es cuando estamos tomando una secuencia de cosas\(k\) diferentes de un conjunto de\(n\), pero no se permiten repeticiones. (Un caso especial de esto es\(n!\), cuándo\(k=n\).)

• \(\binom{n}{k}\)— esto es cuando estamos tomando cosas\(k\) diferentes de un conjunto de\(n\), pero el orden no importa.

A veces es complicado deducir exactamente cuál de estas tres situaciones se aplica. Hay que pensar detenidamente sobre el problema, y preguntarse si se permitirían valores repetidos, y si importa en qué orden aparecen los valores. Esto suele ser sutil.

Como ejemplo, supongamos que mi amigo y yo hacemos ejercicio en el mismo gimnasio. Este gimnasio cuenta con 18 máquinas de pesas diferentes para elegir, cada una de las cuales ejerce un grupo muscular diferente. Cada mañana, cada uno de nosotros hacemos una sesión de entrenamiento rápida de 30 minutos dividida en seis bloques de 5 minutos, y trabajamos con una de las máquinas durante cada bloque, turnándonos para mirarnos. Un día mi amigo me pregunta: “oye Stephen, ¿alguna vez te has preguntado: cuántas rutinas de entrenamiento diferentes son posibles para nosotros?”

Yo estaba, por supuesto, preguntándome exactamente eso. Pero la respuesta correcta resulta depender muy delicadamente de lo que es exactamente “una rutina de ejercicios”. Si pudiéramos seleccionar cualquier máquina de pesas para cualquier bloque de 5 minutos, entonces la respuesta es\(18^6\), ya que tenemos 18 opciones para nuestro primer bloque, 18 opciones para nuestro segundo, y así sucesivamente. (Esto llega a 34,012,224 rutinas diferentes, si te interesa).

Sin embargo, en una inspección adicional, podríamos cambiar de opinión sobre esto. ¿Tiene sentido elegir la misma máquina más de una vez en un entrenamiento de 30 minutos? ¿Realmente completaríamos un entrenamiento que consistiera en “1.bíceps 2.abs, 3.pecs, 4.bíceps, 5.bíceps, 6.bíceps?” Si no (y la mayoría de los entrenadores probablemente recomendarían contra tales enfoques monomaníacos para hacer ejercicio) entonces la respuesta real es solo\(18^{\underline{6}}\), ya que tenemos 18 opciones para nuestro primer bloque, y luego solo 17 para el segundo, 16 para el tercero, etc. (Esto reduce el total a 13.366.080.)

Pero quizás la frase “una rutina de ejercicios” signifique algo diferente incluso a eso. Si le digo a mi fisioterapeuta en qué consistía “mi rutina de ejercicios” esta mañana, ¿realmente le importa si hice tríceps primero, último o en medio? Probablemente solo le importa en qué máquinas (y por lo tanto qué grupos musculares) trabajé esa mañana, no en qué orden las hice. Si esto es cierto, entonces nuestra definición de una rutina de ejercicios es algo diferente a la anterior. Ya no es una secuencia consecutiva de elecciones de máquina, sino más bien un conjunto de seis opciones de máquina. Sólo habría\(\binom{18}{6}\) de esos, o un mero 18.564. Entonces, como puedes ver, la respuesta depende radicalmente de la interpretación precisa de los conceptos, lo que significa que para hacer combinatoria con éxito, hay que frenar y pensar con mucho cuidado.