4.1: Modelos de Tiempo Discreto con Ecuaciones de Diferencia
- Page ID
- 115687
Los modelos de tiempo discreto son fáciles de entender, desarrollar y simular. Son fácilmente implementables para simulaciones por computadora escalonadas, y a menudo son adecuadas para modelar datos experimentales que casi siempre son ya discretos. Además, pueden representar cambios abruptos en los estados del sistema, y posiblemente dinámicas caóticas, utilizando menos variables que sus contrapartes de tiempo continuo (esto se discutirá más en el Capítulo 9). Los modelos de tiempo discreto de los sistemas dinámicos a menudo se denominan ecuaciones de referencia D, porque se puede reescribir cualquier sistema dinámico de tiempo discreto de primer orden con una variable de estado\(x\) (Ec. (3.1.1)), es decir,
\[x_t = F(x_{t-1}, t) \label{4.1} \]
en una forma de “diferencia”
\[∆ x = x_t -x_{t-1} = x_t = F(x_{t-1}, t) - x_{t-1} \label{4.2} \]
que es matemáticamente más similar a las ecuaciones diferenciales. Pero en este libro, en su mayoría nos apegamos a la forma original que especifica directamente el siguiente valor de x, que es más directo y más fácil de entender.
Tenga en cuenta que la ecuación\ ref {4.1} también se puede escribir como
\[x_{t+1}= F(x_t, t) \label{4.3} \]
que es matemáticamente equivalente a la Ecuación\ ref {4.1} y quizás más comúnmente utilizada en la literatura. Pero usaremos la notación con\(x_t, x_{t−1}, x_{t−2}\), etc., en este libro de texto, porque esta notación facilita ver cuántos pasos previos se necesitan para calcular el siguiente paso (por ejemplo, si el lado derecho contiene\(x_{t−1}\) y\(x_{t−2}\), eso significa que necesitará conocer el estado del sistema en los dos anteriores pasos para determinar su siguiente estado). A partir de una ecuación de diferencia, puede producir una serie de valores de la variable de estado x a lo largo del tiempo, comenzando con la condición inicial\(x_0\):
\[{x_0, x_1, x_2, x_3....}\label {(4.4)} \]
A esto se le llama series de tiempo. En este caso, es una predicción hecha usando el modelo de ecuaciones de diferencia, pero en otros contextos, series de tiempo también significa valores secuenciales obtenidos por observación empírica de sistemas del mundo real.
Aquí hay un ejemplo muy simple de un sistema dinámico de tiempo discreto, estado discreto. El sistema está compuesto por dos componentes que interactúan: A y B. Cada componente toma uno de dos estados posibles: Azul o Rojo. Sus comportamientos están determinados por las siguientes reglas:
- A trata de mantener el mismo color que B.
- B intenta ser el color opuesto de A.
Estas reglas se aplican a sus estados simultáneamente en pasos de tiempo discretos
Escribir las funciones de transición de estado\(F_A(S_A, S_B)\) y\(F_B(S_A, S_B)\) para este sistema, donde\(S_A\) y\(S_B\) son los estados de A y B, respectivamente.
Produzca una serie temporal de\(S_A, S_B\) comenzar con una condición inicial con ambos componentes en azul, utilizando el modelo que creó. ¿Qué tipo de comportamiento surgirá?