4.2.E: Mejores aproximaciones afín (ejercicios)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentre la mejor aproximación afín para cada una de las siguientes funciones en el punto especificado\(\mathbf{c}\).

(a)\(f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}, 3 x y\right), \mathbf{c}=(1,2) \)

b)\(g(x, y, z)=(\sin (x+y+z), x y \cos (z)), \mathbf{c}=\left(0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)\)

c)\(h(s, t)=\left(3 s^{2}+t, s-t, 4 s t^{2}, 4 t-s\right), \mathbf{c}=(-1,3)\)

Contestar

(a)\ (A (x, y) =\ left [\ begin {array} {ll}
2 & 4\\
6 & 3
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
x-1\
y-2
\ end {array}\ right] +\ left [\ begin {array} {l}
5\
6
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {l}
2 x+4 y-5\\
6 x+3 y-6
\ end {array}\ right]\)

(c)\ (A (s, t) =\ left [\ begin {array} {rr}
-6 & 1\\
1 & -1\\
36 & -24\\
-1 & 4
\ end {array}\ right]\ left [\ begin {array} {l}
s+1\\
t-3
\ end {array}\ right ] +\ left [\ begin {array} {c}
6\\
-4\\
-36\\
13
\ end {array}\ right] =\ left [\ begin {array} {c}
-6 s+t-3\\
s-t\\
36 s-24 t+72\\
-2+4 t
\ end {array}\ derecha]\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Cada una de las siguientes funciones parametriza una superficie\(S\) en\(\mathbb{R}^3\). En cada caso, encuentra ecuaciones paramétricas para el plano tangente\(P\) que pasa por el punto\(f\left(s_{0}, t_{0}\right)\). Trama\(S\) y\(P\) juntos.

(a)\(f(s, t)=(t \cos (s), t \sin (s), t),\left(s_{0}, t_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{2}, 2\right)\)

b)\(f(s, t)=\left(t^{2} \cos (s), t^{2}, t^{2} \sin (s)\right),\left(s_{0}, t_{0}\right)=(0,1)\)

c)\(f(s, t)=(\cos (s) \sin (t), \sin (s) \sin (t), \cos (t)),\left(s_{0}, t_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}\right)\)

d)\(f(s, t)=(3 \cos (s) \sin (t), \sin (s) \sin (t), 2 \cos (t)),\left(s_{0}, t_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)\)

e)\(f(s, t)=((4+2 \cos (t)) \cos (s),(4+2 \cos (t)) \sin (s), 2 \sin (t)),\left(s_{0}, t_{0}\right)=\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)\)

Contestar

(a)\(x=-2 s+\pi, y=t, z=t\)

c)\(x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\left(s-\frac{\pi}{2}\right)\)

(e)\ (\ begin {alineado}
& x=- (2\ sqrt {2} +1)\ izquierda (s-\ frac {3\ pi} {4}\ derecha) +\ izquierda (t-\ frac {\ pi} {4}\ derecha) -2\ sqrt {2} -1\
&y=- (2\ sqrt {2}) +1 (s-\ frac {3\ pi} {4}\ derecha) -\ izquierda (t-\ frac {\ pi} {4}\ derecha) +2\ sqrt {2} +1\\
&y=\ sqrt {2}\ izquierda (t-\ frac {\ pi} {4}\ derecha) +\ sqrt {2}
\ end {alineado}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Dejar\(S\) ser la gráfica de una función\(f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}\). Definir la función\(F: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^3 \) por\(F(s, t)=(s, t, f(s, t))\). Podemos encontrar una ecuación para el plano tangente a\(S\) at\(\left(s_{0}, t_{0}, f\left(s_{0}, t_{0}\right)\right)\) usando las técnicas de la Sección 3.3 (mirando\(S\) como la gráfica de\(f\)) o las técnicas de esta sección (mirando\(S\) como una superficie parametrizado por\(F\)). Verificar que estos dos enfoques arrojan ecuaciones para un mismo plano, tanto en el caso especial cuándo\(f(s,t) = s^2 + t^2 \) y\(\left(s_{0}, t_{0}\right)=(1,2)\), como en el caso general.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilice la regla de la cadena para encontrar la derivada de\(f \circ g\) en el punto\(\mathbf{c}\) para cada una de las siguientes.

(a)\(f(x, y)=\left(x^{2} y, x-y\right), g(s, t)=\left(3 s t, s^{2}-4 t\right), \mathbf{c}=(1,-2)\)

b)\(f(x, y, z)=(4 x y, 3 x z), g(s, t)=\left(s t^{2}-4 t, s^{2}, \frac{4}{s t}\right), \mathbf{c}=(-2,3)\)

c)\(f(x, y)=\left(3 x+4 y, 2 x^{2} y, x-y\right), g(s, t, u)=\left(4 s-3 t+u, 5 s t^{2}\right), \mathbf{c}=(1,-2,3)\)

Contestar

(a)\ (D (f\ circ g) (1, -2) =\ left [\ begin {array} {cc}
720 & -468\\
-8 & 15
\ end {array}\ right]\)

(c)\ (D (f\ circ g) (1, -2,3) =\ left [\ begin {array} {ccc}
92 & -89 & 3\\
10920 & -9880 & 1040\\
-16 & 17 & 1
\ end {array}\ right]\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Supongamos

\ [\ begin {alineado}
&x=f (u, v),\\
&y=g (u, v),
\ end {alineado}\]

y

\ [\ begin {alineado}
&u=h (s, t),\\
&v=k (s, t).
\ end {alineado}\]

a) Demostrar que

\[ \frac{\partial x}{\partial s}=\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial s}+\frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial s} \nonumber \]

y

\[ \frac{\partial x}{\partial t}=\frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial t}+\frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial t} . \nonumber \]

(b) Encontrar expresiones similares para\(\frac{\partial y}{\partial s}\) y\(\frac{\partial y}{\partial t}\).

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Usa tus resultados en el Ejercicio 5 para encontrar\(\frac{\partial x}{\partial s}, \frac{\partial x}{\partial t}, \frac{\partial y}{\partial s}\), y\(\frac{\partial y}{\partial t}\) cuándo

\ [\ begin {aligned}
&x=u^ {2} v,\\
&y=3 u-v,
\ end {alineado}\]

y

\ [\ begin {alineado}
&u=4 t^ {2} -s^ {2},\\
&v=\ frac {4 t} {s}.
\ end {alineado}\]

Contestar

\ (\ begin {alineado}
&\ frac {\ parcial x} {\ parcial s} =( 2 u v) (-2 s) +\ izquierda (u^ {2}\ derecha)\ izquierda (-\ frac {4 t} {s^ {2}}\ derecha)\\
&\ frac {\ x parcial} {\ t parcial} =( 2 u v) (8 t) +\ izquierda (u^ {2}\ derecha)\ izquierda (\ frac {4} {s}\ derecha)\\
&\ frac {\ parcial y} {\ parcial s} =( 3) (-2 s) + (-1)\ izquierda (-\ frac {4 t} {s^ {2}}\ derecha)\\
&\ frac {\ parcial y} {\ t parcial} =( 3) (8 t) + (-1)\ izquierda (\ frac {4} {s}\ derecha)
\ final {alineado}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Supongamos que\(T\) es una función de\(x\) y\(y\) dónde

\ [\ begin {aligned}
&x=r\ cos (\ theta),\\
&y=r\ sin (\ theta).
\ end {alineado}\]

Demostrar que

\[ \frac{\partial T}{\partial r}=\frac{\partial T}{\partial x} \cos (\theta)+\frac{\partial T}{\partial y} \sin (\theta) \nonumber \]

y

\[ \frac{\partial T}{\partial \theta}=-\frac{\partial T}{\partial x} r \sin (\theta)+\frac{\partial T}{\partial y} r \cos (\theta) . \nonumber \]

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Supongamos que la temperatura\((x,y)\) en un punto del plano viene dada por

\[ T=100-\frac{20}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}} . \nonumber \]

(a) Si\((r , \theta )\) representa las coordenadas polares de\((x,y)\), use el Ejercicio 7 para buscar\(\frac{\partial T}{\partial r}\) y\(\frac{\partial T}{\partial \theta}\) cuándo\(r=4\) y\(\theta = \frac{\pi}{6}\).

(b) Demostrar que\(\frac{\partial T}{\partial \theta}=0\) para todos los valores de\(r\) y\(\theta\). ¿Puedes explicar este resultado geométricamente?

Contestar

(a)\(\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=4, \theta=\frac{\pi}{6}}=\frac{80}{17 \sqrt{17}},\left.\frac{\partial T}{\partial \theta}\right|_{r=4, \theta=\frac{\pi}{6}}=0\)

(b) Las curvas de nivel de\(T\) son círculos.

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Deja\(T\) ser el toro parametrizado por

\ [\ begin {alineado}
&x =( 4+2\ cos (t))\ cos (s),\\
&y =( 4+2\ cos (t))\ sin (s),\\
&z=2\ sin (t),
\ end {alineado}\]

para\(0 \leq s \leq 2 \pi\) y\(0 \leq t \leq 2 \pi\).

(a) Si\(U\) es una función de\(x\),\(y\), y\(z\), encontrar expresiones generales para\(\frac{\partial U}{\partial s}\) y\(\frac{\partial U}{\partial t}\).

(b) Supongamos

\[ U=80-40 e^{-\frac{1}{20}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \nonumber \]

da la temperatura en un punto\((x,y,z)\) encendido\(T\). Encuentra expresiones para\(\frac{\partial U}{\partial s}\) y\(\frac{\partial U}{\partial t}\) en este caso. ¿Cuál es la interpretación geométrica de estas cantidades?

c) Evaluar\(\frac{\partial U}{\partial s}\) y\(\frac{\partial U}{\partial t}\) en el caso particular\(s=\frac{\pi}{4}\) y\(t=\frac{\pi}{4}\).