5.E: Aplicaciones de Integración (Ejercicios)
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Términos y Conceptos
1. Define el término “antiderivado” en sus propias palabras
2. ¿Es más exacto referirse a “la” antiderivada de\(f(x)\) o “una” antiderivada de\(f(x)\)?
3. Usa tus propias palabras para definir la integral indefinida de\(f(x)\).
4. Rellene los espacios en blanco: “Las operaciones inversas hacen las cosas ____ en el orden _____”.
5. ¿Qué es un “problema de valor inicial”?
6. La derivada de una función position es una función _____.
7. El antiderivado de una función de aceleración es una función ______.
Problemas
En los Ejercicios 8-26, evaluar la integral indefinida dada.
8. \(\int 3x^3 \,dx\)
9. \(\int x^8 \,dx\)
10. \(\int (10x^2-2) \,dx\)
11. \(\int \,dt\)
12. \(\int 1 \,ds\)
13. \(\int \frac{1}{3t^2}\, dt\)
14. \(\int \frac{1}{t^2}\, dt\)
15. \(\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx\)
16. \(\int \sec^2 \theta\, d\theta\)
17. \(\int \sin \theta\, d\theta\)
18. \(\int (\sec x \tan x +\csc x \cot x )\, dx\)
19. \(\int 5e^\theta\, d\theta\)
20. \(\int 3^t\, dt\)
21. \(\int \frac{5^t}{2}\, dt\)
22. \(\int (2t+3)^2\, dt\)
23. \(\int (t^2+3)(t^3-2t)\, dt\)
24. \(\int x^2x^3\, dx\)
25. \(\int e^\pi\, dx\)
26. \(\int a\, dx\)
27. Este problema investiga por qué el Teorema 35 afirma que\(\int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x|+C\).
a) ¿Cuál es el dominio\(y=\ln x\)?
(b) Encontrar\(\frac{d}{dx}(\ln x)\).
c) ¿Cuál es el dominio\(y=\ln (-x)\)?
(d) Encontrar\(\frac{d}{dx}\left ( (\ln (-x)\right )\).
(e) Debe encontrar que\(1/x\) tiene dos tipos de antiderivados, dependiendo de si\(x>0\) o\(x<0\). En una expresión, da una fórmula para\(\int \frac{1}{x}\,dx\) que tome en cuenta estos diferentes dominios, y explique su respuesta.
En los Ejercicios 28-38, encuentra\(f(x)\) descrito por el problema de valor inicial dado.
28. \(f'(x)=\sin x\text{ and }f(0)=2\)
29. \(f'(x)=5e^x\text{ and }f(0)=10\)
30. \(f'(x)=4x^3-3x^2\text{ and }f(-1)=9\)
31. \(f'(x)=\sec^2 x\text{ and }f(\pi/4)=5\)
32. \(f'(x)=7^x\text{ and }f(2)=1\)
33. \(f''(x)=5\text{ and }f'(0)=7,f(0)=3\)
34. \(f''(x)=7x\text{ and }f'(1)=-1,f(1)=10\)
35. \(f''(x)=5e^x\text{ and }f'(0)=3,f(0)=5\)
36. \(f''(\theta)=\sin \theta \text{ and }f'(\pi)=2,f(\pi)=4\)
37. \(f''(x)=24x^2+2^x-\cos x \text{ and }f'(0)=5,f(0)=0\)
38. \(f''(x)=0\text{ and }f'(1)=3,f(1)=1\)
Revisar
39. Utilice la información obtenida de la primera y segunda derivada para bosquejar\(f(x)=\frac{1}{e^x+1}\).
40. Dado\(y=x^2e^x\cos x\), encuentra\(dy\).
5.2: La Integral Definitiva
Términos y Conceptos
1. ¿Qué es el “área total firmada”?
2. ¿Qué es el “desplazamiento”?
3. Qué es\(\int_3^3 \sin x\,dx\)
4. Dar una sola integral definida que tenga el mismo valor que\(\int_0^1 (2x+3)\,dx +\int_1^2 (2x+3)\,dx\).
Problemas
En los Ejercicios 5-9,\(f(x)\) se da una gráfica de una función. Utilizando la geometría de la gráfica, evaluar las integrales definidas.
5.
a)\(\int_0^1 (-2x+4)\,dx\)
b)\(\int_0^2 (-2x+4)\,dx\)
c\(\int_0^3 (-2x+4)\,dx\)
) d\(\int_1^3 (-2x+4)\,dx\)
) e\(\int_2^4 (-2x+4)\,dx\)
) f)\(\int_0^1 (-6x+12)\,dx\)
6.
a)\(\int_0^2 f(x)\,dx\)
b)\(\int_0^3 f(x)\,dx\)
c\(\int_0^5 f(x)\,dx\)
) d\(\int_2^5 f(x)\,dx\)
) e\(\int_5^3 f(x)\,dx\)
) f)\(\int_0^3 f(x)\,dx\)
7.
a)\(\int_0^2 f(x)\,dx\)
b)\(\int_2^4 f(x)\,dx\)
c\(\int_2^4 2f(x)\,dx\)
) d\(\int_0^1 4x\,dx\)
) e\(\int_2^3 (2x-4)\,dx\)
) f)\(\int_2^3 (4x-8)\,dx\)
8.
a)\(\int_0^1 (x-1)\,dx\)
b)\(\int_0^2 (x-1)\,dx\)
c\(\int_0^3 (x-1)\,dx\)
) d\(\int_2^3 (x-1)\,dx\)
) e\(\int_1^4 (x-1)\,dx\)
) f)\(\int_1^4 \left ((x-1)+1\right )\,dx\)
9.
a)\(\int_0^2 f(x)\,dx\)
b)\(\int_2^4 f(x)\,dx\)
c)\(\int_0^4 f(x)\,dx\)
d)\(\int_0^4 5f(x)\,dx\)
En los Ejercicios 10-13,\(f(x)\) se da una gráfica de una función; los números dentro de las regiones sombreadas dan el área de esa región. Evaluar las integrales definidas utilizando esta información de área.
10.
a)\(\int_0^1 f(x)\,dx\)
b)\(\int_0^2 f(x)\,dx\)
c)\(\int_0^3 f(x)\,dx\)
d)\(\int_1^2 -3f(x)\,dx\)
11.
a)\(\int_0^2 f(x)\, dx\)
b)\(\int_2^4 f(x)\, dx\)
c)\(\int_0^4 f(x)\, dx\)
d)\(\int_0^1 f(x)\, dx\)
12.
a)\(\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx\)
b)\(\int_{1}^{2}f(x)\,dx\)
c)\(\int_{-1}^{1}f(x)\,dx\)
d)\(\int_{0}^{1}f(x)\,dx\)
13.
a)\(\int_0^2 5x^2\,dx\)
b)\(\int_0^2 (x^2+1)\,dx\)
c)\(\int_1^3 (x-1)^2\,dx\)
d)\(\int_2^4 \left ( (x-2)+5\right )\,dx\)
En los Ejercicios 14-15, se da una gráfica de la función de velocidad de un objeto que se mueve en línea recta. Contesta las preguntas con base en esa gráfica.
14.
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuál es el desplazamiento total del objeto en [0,3]?
15.
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuál es el desplazamiento total del objeto en [0,5]?
16. Un objeto es arrojado hacia arriba con una velocidad, en pies/s, dada por\(v(t) = -32t+64\), donde\(t\) está en segundos, desde una altura de 48 pies.
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuándo ocurre el desplazamiento máximo?
d) ¿Cuándo alcanzará el objeto una altura de 0? (Pista: encontrar cuando el desplazamiento es -48ft.)
17. Un objeto es arrojado hacia arriba con una velocidad, en pies/s, dada por\(v(t)=-32t+96\), donde\(t\) es segundos, desde una altura de 64 pies.
(a) ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento del objeto 0?
c) ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en volver a su altura inicial?
(d) ¿Cuándo alcanzará el objeto una altura de 210 pies?
En Ejercicios 18-21, vamos
- \(\int_0^2 f(x) \,dx=5\),
- \(\int_0^3 f(x) \,dx=7\),
- \(\int_0^2 g(x) \,dx=-3\), y
- \(\int_2^3 g(x) \,dx=5\).
Utilice estos valores para evaluar las integrales definidas dadas.
18. \(\int_0^2 \left ( f(x)+g(x)\right )\,dx\)
19. \(\int_0^3 \left ( f(x)-g(x)\right )\,dx\)
20. \(\int_2^3 \left ( 3f(x)+2g(x)\right )\,dx\)
21. Encuentra valores para\(a\) y\(b\) tal que
\(\int_0^3 \left ( af(x)+bg(x)\right )\,dx=0\)
En Ejercicios 22-25, vamos
- \(\int_0^3 s(t)\,dt =10\),
- \(\int_3^5 s(t)\,dt =8\),
- \(\int_3^5 r(t)\,dt =-1\), y
- \(\int_0^5 r(t)\,dt =11\).
Utilice estos valores para evaluar las integrales definidas dadas.
22. \(\int_0^3 \left ( s(t)+r(t)\right )\,dt\)
23. \(\int_5^0 \left ( s(t)-r(t)\right )\,dt\)
24. \(\int_3^3 \left ( \pi s(t)-7r(t)\right )\,dt\)
25. Encuentra valores para a y b de tal manera que
\(\int_0^5 \left ( ar(t)+bs(t)\right )\,dt=0\)
Revisar
En los Ejercicios 26-29, evaluar la integral indefinida dada.
26. \(\int (x^3-2x^2+7x-9)\,dx\)
27. \(\int (\sin x -\cos x +\sec^2 x)\,dx\)
28. \(\int (\sqrt[3]{t}+\frac{1}{t^2}+2^t)\,dt\)
29. \(\int \left ( \frac{1}{x} -\csc x \cot x \right )\,dx\)
5.3: Sumas de Riemann
Términos y Conceptos
1. Una técnica fundamental de cálculo es usar ________ para refinar aproximaciones para obtener una respuesta exacta.
2. ¿Cuál es el límite superior en la suma\(\sum_{i=7}^{14} (48i-201)\)?
3. Esta sección aproxima integrales definidas usando qué forma geométrica?
4. T/F: Una suma que usa la regla de la mano derecha es un ejemplo de una suma de Riemann.
Problemas
En los Ejercicios 5-11, escribe cada término de la suma y calcula la suma.
5. \(\sum_{i=2}^4 i^2\)
6. \(\sum_{i=-1}^3 (4i-2)\)
7. \(\sum_{i=-2}^2 \sin (\pi i/2)\)
8. \(\sum_{i=1}^5 \frac{1}{i}\)
9. \(\sum_{i=1}^6 (-1)^i i\)
10. \(\sum_{i=1}^4 \left ( \frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}\right )\)
11. \(\sum_{i=0}^5 (-1)^i \cos (\pi i)\)
En los Ejercicios 12-15, escriba cada suma en notación de suma.
12. \(3+6+9+12+15\)
13. \(-1+0+3+8+15+24+35+48+63\)
14. \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\)
15. \(1-e+e^2-e^3+e^4\)
En los Ejercicios 16-22, evaluar la suma utilizando el Teorema 37.
16. \(\sum_{i=1}^25 i\)
17. \(\sum_{i=1}^10 (3i^2-2i)\)
18. \(\sum_{i=1}^15 (2i^3-10)\)
19. \(\sum_{i=1}^10 (-4i^3+10i^2-7i+11)\)
20. \(\sum_{i=1}^10 (i^3-3t^2+2i+7)\)
21. \(1+2+3+... + 99+100\)
22. \(1+4+9+...+361+400\)
Teorema 37 estados
\(\sum_{i=1}^n a_i = \sum+{i=1}^k a_i+\sum_{i=k+1}^n a_i\), entonces
\(\sum_{i=k+1}^n a_i = \sum_{i=1}^n a_i -\sum_{i=1}^k a_i \).
Utilice este hecho, junto con otras partes del Teorema 37, para evaluar las sumas dadas en los Ejercicios 23-26.
23. \(\sum_{i=11}^20 i\)
24. \(\sum_{i=16}^25 i^3\)
25. \(\sum_{i=7}^12 4\)
26. \(\sum_{i=5}^10 4i^3\)
En los Ejercicios 27-32
\(\int_a^b f(x)\,dx \) se da una integral definida.
a) Gráfica\(f(x)\) sobre [a, b].
(b) Agregar al boceto rectángulos utilizando la regla proporcionada.
(c)\(\int_a^b f(x)\,dx\) Aproximar sumando las áreas de los rectángulos.
27. \(\int_{-3}^3 x^2\,dx\), con 6 rectángulos usando la Regla de la Mano Izquierda.
28. \(\int_{0}^2 (5-x^2)\,dx\), con 4 rectángulos usando la Regla de Punto Medio.
29. \(\int_0^{\pi}\sin x\,dx\), con 6 rectángulos usando la Regla de la Mano Derecha.
30. \(\int_0^3 2^x\,dx\), con 5 rectángulos usando la Regla de la Mano Izquierda.
31. \(\int_1^2 \ln x\,dx\), con 3 rectángulos usando la Regla de Punto Medio.
32. \(\int_1^9 \frac{1}{x} \,dx\), con 4 rectángulos usando la Regla de la Mano Derecha.
En los Ejercicios 33-38
\(\int_a^b f(x)\,dx\) se da una integral definida. Como se demuestra en los Ejemplos 123 y 124, haga lo siguiente.
(a) Encontrar una fórmula para aproximar\(\int_a^b f(x)\,dx\) usando\(n\) subintervalos y la regla proporcionada.
b) Evaluar la fórmula utilizando\(n=10,\,100\text{ and }1000.\)
(c) Encontrar el límite de la fórmula, como\(n\to \infty\), para encontrar el valor exacto de\(\int_a^b f(x)\,dx\).
33. \(\int_0^1 x^3\,dx\), usando la Regla de la Mano Derecha.
34. \(\int_{-1}^1 3x^2\,dx\), usando la Regla de la Mano Izquierda.
35. \(\int_{-1}^3 (3x-1)\,dx\), utilizando la Regla de Punto Medio.
36. \(\int_1^4 (2x^2-3)\,dx\), usando la Regla de la Mano Izquierda.
37. \(\int_{-10}^{10}(5-x)\,dx\), usando la Regla de la Mano Derecha.
38. \(\int_0^1 (x^3-x^2)\,dx\), usando la Regla de la Mano Derecha.
Revisar
En los Ejercicios 39-44, encuentra una antiderivada de la función dada.
39. \(f(x) = 5\sec^2 x\)
40. \(f(x) = \frac{7}{x}\)
41. \(g(t) = 4t^5-5t^3+8\)
42. \(g(t) =5\cdot 8^t\)
43. \(g(t) =\cos t +\sin t\)
44. \(f(x) =\frac{1}{\sqrt{x}}\)
5.4: El teorema fundamental del cálculo
Términos y Conceptos
1. ¿Cómo se relacionan las integrales definidas e indefinidas?
2. ¿Qué constantes de integración se utilizan más comúnmente a la hora de evaluar integrales definidas?
3. T/F: Si\(f\) es una función continua, entonces también\(F(x) =\int_a^x f(t)\,dt\) es una función continua.
4. La integral definida se puede utilizar para encontrar “el área bajo una curva”. Dar otros dos usos para integrales definidas.
Problemas
En Ejercicios 5-28, evaluar la integral definida.
5. \(\int_1^3 (3x^2-2x+1)\,dx\)
6. \(\int_0^4 (x-1)^2\,dx\)
7. \(\int_{-1}^1 (x^3-x^5)\,dx\)
8. \(\int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\,dx\)
9. \(\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx\)
10. \(\int_1^e \frac{1}{x}\,dx\)
11. \(\int_{-1}^1 5^x \,dx\)
12. \(\int_{-2}^{-1}(4-2x^3)\,dx\)
13. \(\int_0^{\pi}(2\cos x -2\sin x)\,dx\)
14. \(\int_1^3 e^x\,dx\)
15. \(\int_0^4 \sqrt{t}\,dt\)
16. \(\int_9^{25} \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt\)
17. \(\int_1^8 \sqrt[3]{x}\,dx\)
18. \(\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx\)
19. \(\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx\)
20. \(\int_1^2 \frac{1}{x^3}\,dx\)
21. \(\int_0^1 x\,dx\)
22. \(\int_0^1 x^2\,dx\)
23. \(\int_0^1 x^3\,dx\)
24. \(\int_0^1 x^{100}\,dx\)
25. \(\int_{-4}^4 dx\)
26. \(\int_{-10}^{-5} 3\,dx\)
27. \(\int_{-2}^2 0\,dx\)
28. \(\int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc x \cot x\,dx\)
29. Explique por qué:
(a)\(\int_{-1}^1 x^n\,dx=0\), cuando n es un entero positivo, impar, y
(b)\(\int_{-1}^1x^n\,dx =2\int_0^1 x^n \,dx\) cuando n es un entero positivo, par.
En los Ejercicios 30-33, encuentra un valor c garantizado por el Teorema del Valor Medio.
30. \(\int_0^2 x^2\,dx\)
31. \(\int_{-2}^2 x^2\,dx\)
32. \(\int_0^1 e^x\,dx\)
33\(\int_0^16 \sqrt{x}\,dx\)
En Ejercicios 34-39, encuentra el valor promedio de la función en el intervalo dado.
34. \(f(x) =\sin x \text{ on }[0,\pi/2]\)
35. \(y =\sin x \text{ on }[0,\pi]\)
36. \(y = x \text{ on }[0,4]\)
37. \(y =x^2 \text{ on }[0,4]\)
38. \(y =x^3 \text{ on }[0,4]\)
39. \(g(t) =1/t \text{ on }[1,e]\)
En los Ejercicios 40-44, se da una función de velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta. Encuentra el desplazamiento del objeto en el intervalo de tiempo dado.
40. \(v(t) =-32t+20\)pies/s encendido [0,5].
41. \(v(t) =-32t+200\)pies/s el [0,10].
42. \(v(t) =2^t\)mph en [-1,1].
43. \(v(t) =\cos t\)pies/s encendido\([0,3\pi /2]\).
44. \(v(t) =\sqrt[4]{t}\)pies/s el [0,16].
En los Ejercicios 45-48, se da una función de aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta. Encuentra el cambio de la velocidad del objeto en el intervalo de tiempo dado.
45. \(a(t) =-32\)pies/s el [0,2].
46. \(a(t) =10\)pies/s encendido [0,5].
47. \(a(t) =t\)pies/s\(^2\) el [0,2].
48. \(a(t) =\cos t\)pies/s\(^2\) encendido\([0,\pi]\).
En los Ejercicios 49-52, esboza las funciones dadas y afina el área de la región cerrada.
49. \(y =2x,\, y=5x,\text{ and }x=3\).
50. \(y=-x+1,\,y=3x+6,\,x=2\text{ and }x=-1\).
51. \(y=x^2-2x+5,\,y=5x-5\).
52. \(y = 2x^2+2x-5,\,y=x^2+3x+7\).
En Ejercicios 53-56, encuentra\(F'(x)\).
53. \(F(x) =\int_2^{x^3+x}\frac{1}{t}\,dt\)
54. \(F(x) = \int_{x^3}^0 t^3\,dt\)
55. \(F(x)=\frac{x}{x^2}(t+2)\,dt\)
56. \(F(x) =\int_{\ln x}^{e^x}\sin t\,dt\)
5.5: Integración Numérica
Términos y Conceptos
1. T/F: La regla de Simpson es un método de aproximación de antiderivados.
2. ¿Cuáles son las dos situaciones básicas en las que es necesario aproximar el valor de una integral definida?
3. ¿Por qué rara vez se usan las Reglas de Mano Izquierda y Derecha?
Problemas
En los Ejercicios 4-11 se da una integral definida.
a) Aproximación a la integral definida con la Regla Trapezoidal y\(n=4\).
(b) Aproximar la integral definitiva con la Regla de Simpson y\(n=4\).
c) Encontrar el valor exacto de la integral.
4. \(\int_{-1}^1 x^2\,dx\)
5. \(\int_{0}^{10} 5x\,dx\)
6. \(\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx\)
7. \(\int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx\)
8. \(\int_{0}^{3} (x^3+2x^2-5x+7)\,dx\)
9. \(\int_{0}^{1} x^4\,dx\)
10. \(\int_{0}^{2x} \cos x\,dx\)
11. \(\int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx\)
En los Ejercicios 12-19, aproximar la integral definitiva con la Regla Trapezoidal y la Regla de Simpson, con\(n=6\).
12. \(\int_{0}^{1}\cos (x^2)\,dx\)
13. \(\int_{-1}^{1}e^{x^2}\,dx\)
14. \(\int_{0}^{5}\sqrt{x^2+1}\,dx\)
15. \(\int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx\)
16. \(\int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos x}\,dx\)
17. \(\int_{1}^{4}\ln x\,dx\)
18. \(\int_{-1}^{1}\frac{1}{\sin x +2}\,dx\)
19. \(\int_{0}^{6}\frac{1}{\sin x +2}\,dx\)
En los Ejercicios 20-23, encontrar n tal que el error al aproximar la integral definida dada sea menor que 0.0001 al usar:
(a) la Regla Trapezoidal
(b) Regla de Simpson
20. \(\int_{0}^{\pi} \sin x\,dx\)
21. \(\int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\)
22. \(\int_{0}^{\pi} \cos (x^2)\,dx\)
23. \(\int_{0}^{5} x^4\,dx\)
En Ejercicios 24-25, se da una región. Encuentra el área de la región usando la Regla de Simpson:
(a) donde las medidas están en centímetros, tomadas en incrementos de 1cm, y
(b) donde las medidas están en cientos de yardas, tomadas en incrementos de 100 yd.
24.
25.
