Processing math: 71%
Saltar al contenido principal
Library homepage
 

Text Color

Text Size

 

Margin Size

 

Font Type

Enable Dyslexic Font
LibreTexts Español

5.E: Aplicaciones de Integración (Ejercicios)

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

5.1: Antiderivados e Integración Indefinida

Términos y Conceptos

1. Define el término “antiderivado” en sus propias palabras

2. ¿Es más exacto referirse a “la” antiderivada def(x) o “una” antiderivada def(x)?

3. Usa tus propias palabras para definir la integral indefinida def(x).

4. Rellene los espacios en blanco: “Las operaciones inversas hacen las cosas ____ en el orden _____”.

5. ¿Qué es un “problema de valor inicial”?

6. La derivada de una función position es una función _____.

7. El antiderivado de una función de aceleración es una función ______.

Problemas

En los Ejercicios 8-26, evaluar la integral indefinida dada.

8. 3x3dx

9. x8dx

10. (10x22)dx

11. dt

12. 1ds

13. 13t2dt

14. 1t2dt

15. 1xdx

16. sec2θdθ

17. sinθdθ

18. (secxtanx+cscxcotx)dx

19. 5eθdθ

20. 3tdt

21. 5t2dt

22. (2t+3)2dt

23. (t2+3)(t32t)dt

24. x2x3dx

25. eπdx

26. adx

27. Este problema investiga por qué el Teorema 35 afirma que1xdx=ln|x|+C.
a) ¿Cuál es el dominioy=lnx?
(b) Encontrarddx(lnx).
c) ¿Cuál es el dominioy=ln(x)?
(d) Encontrarddx((ln(x)).
(e) Debe encontrar que1/x tiene dos tipos de antiderivados, dependiendo de six>0 ox<0. En una expresión, da una fórmula para1xdx que tome en cuenta estos diferentes dominios, y explique su respuesta.

En los Ejercicios 28-38, encuentraf(x) descrito por el problema de valor inicial dado.

28. f(x)=sinx and f(0)=2

29. f(x)=5ex and f(0)=10

30. f(x)=4x33x2 and f(1)=9

31. f(x)=sec2x and f(π/4)=5

32. f(x)=7x and f(2)=1

33. f(x)=5 and f(0)=7,f(0)=3

34. f(x)=7x and f(1)=1,f(1)=10

35. f(x)=5ex and f(0)=3,f(0)=5

36. f(θ)=sinθ and f(π)=2,f(π)=4

37. f(x)=24x2+2xcosx and f(0)=5,f(0)=0

38. f(x)=0 and f(1)=3,f(1)=1

Revisar

39. Utilice la información obtenida de la primera y segunda derivada para bosquejarf(x)=1ex+1.

40. Dadoy=x2excosx, encuentrady.

5.2: La Integral Definitiva

Términos y Conceptos

1. ¿Qué es el “área total firmada”?

2. ¿Qué es el “desplazamiento”?

3. Qué es33sinxdx

4. Dar una sola integral definida que tenga el mismo valor que10(2x+3)dx+21(2x+3)dx.

Problemas

En los Ejercicios 5-9,f(x) se da una gráfica de una función. Utilizando la geometría de la gráfica, evaluar las integrales definidas.

5.
5205.PNG
a)10(2x+4)dx
b)20(2x+4)dx
c30(2x+4)dx
) d31(2x+4)dx
) e42(2x+4)dx
) f)10(6x+12)dx

6.
5206.PNG
a)20f(x)dx
b)30f(x)dx
c50f(x)dx
) d52f(x)dx
) e35f(x)dx
) f)30f(x)dx

7.
5207.PNG
a)20f(x)dx
b)42f(x)dx
c422f(x)dx
) d104xdx
) e32(2x4)dx
) f)32(4x8)dx

8.
5208.PNG
a)10(x1)dx
b)20(x1)dx
c30(x1)dx
) d32(x1)dx
) e41(x1)dx
) f)41((x1)+1)dx

9.
5209.PNG
a)20f(x)dx
b)42f(x)dx
c)40f(x)dx
d)405f(x)dx

En los Ejercicios 10-13,f(x) se da una gráfica de una función; los números dentro de las regiones sombreadas dan el área de esa región. Evaluar las integrales definidas utilizando esta información de área.

10.
5210.PNG
a)10f(x)dx
b)20f(x)dx
c)30f(x)dx
d)213f(x)dx

11.
5211.PNG
a)20f(x)dx
b)42f(x)dx
c)40f(x)dx
d)10f(x)dx

12.
5212.PNG
a)12f(x)dx
b)21f(x)dx
c)11f(x)dx
d)10f(x)dx

13.
5213.PNG
a)205x2dx
b)20(x2+1)dx
c)31(x1)2dx
d)42((x2)+5)dx

En los Ejercicios 14-15, se da una gráfica de la función de velocidad de un objeto que se mueve en línea recta. Contesta las preguntas con base en esa gráfica.

14.
5214.PNG
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuál es el desplazamiento total del objeto en [0,3]?

15.
5215.PNG
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuál es el desplazamiento total del objeto en [0,5]?

16. Un objeto es arrojado hacia arriba con una velocidad, en pies/s, dada porv(t)=32t+64, dondet está en segundos, desde una altura de 48 pies.
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuándo ocurre el desplazamiento máximo?
d) ¿Cuándo alcanzará el objeto una altura de 0? (Pista: encontrar cuando el desplazamiento es -48ft.)

17. Un objeto es arrojado hacia arriba con una velocidad, en pies/s, dada porv(t)=32t+96, dondet es segundos, desde una altura de 64 pies.
(a) ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento del objeto 0?
c) ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en volver a su altura inicial?
(d) ¿Cuándo alcanzará el objeto una altura de 210 pies?

En Ejercicios 18-21, vamos

  • 20f(x)dx=5,
  • 30f(x)dx=7,
  • 20g(x)dx=3, y
  • 32g(x)dx=5.

Utilice estos valores para evaluar las integrales definidas dadas.

18. 20(f(x)+g(x))dx

19. 30(f(x)g(x))dx

20. 32(3f(x)+2g(x))dx

21. Encuentra valores paraa yb tal que
30(af(x)+bg(x))dx=0

En Ejercicios 22-25, vamos

  • 30s(t)dt=10,
  • 53s(t)dt=8,
  • 53r(t)dt=1, y
  • 50r(t)dt=11.

Utilice estos valores para evaluar las integrales definidas dadas.

22. 30(s(t)+r(t))dt

23. 05(s(t)r(t))dt

24. 33(πs(t)7r(t))dt

25. Encuentra valores para a y b de tal manera que
50(ar(t)+bs(t))dt=0

Revisar

En los Ejercicios 26-29, evaluar la integral indefinida dada.

26. (x32x2+7x9)dx

27. (sinxcosx+sec2x)dx

28. (3t+1t2+2t)dt

29. (1xcscxcotx)dx

5.3: Sumas de Riemann

Términos y Conceptos

1. Una técnica fundamental de cálculo es usar ________ para refinar aproximaciones para obtener una respuesta exacta.

2. ¿Cuál es el límite superior en la suma14i=7(48i201)?

3. Esta sección aproxima integrales definidas usando qué forma geométrica?

4. T/F: Una suma que usa la regla de la mano derecha es un ejemplo de una suma de Riemann.

Problemas

En los Ejercicios 5-11, escribe cada término de la suma y calcula la suma.

5. 4i=2i2

6. 3i=1(4i2)

7. 2i=2sin(πi/2)

8. 5i=11i

9. 6i=1(1)ii

10. 4i=1(1i1i+1)

11. 5i=0(1)icos(πi)

En los Ejercicios 12-15, escriba cada suma en notación de suma.

12. 3+6+9+12+15

13. 1+0+3+8+15+24+35+48+63

14. 12+23+34+45

15. 1e+e2e3+e4

En los Ejercicios 16-22, evaluar la suma utilizando el Teorema 37.

16. 2i=15i

17. 1i=10(3i22i)

18. 1i=15(2i310)

19. 1i=10(4i3+10i27i+11)

20. 1i=10(i33t2+2i+7)

21. 1+2+3+...+99+100

22. 1+4+9+...+361+400

Teorema 37 estados

ni=1ai=+i=1kai+ni=k+1ai, entonces

ni=k+1ai=ni=1aiki=1ai.

Utilice este hecho, junto con otras partes del Teorema 37, para evaluar las sumas dadas en los Ejercicios 23-26.

23. 2i=110i

24. 2i=165i3

25. 1i=724

26. 1i=504i3

En los Ejercicios 27-32
baf(x)dx se da una integral definida
.
a) Gráfica
f(x) sobre [a, b].
(b) Agregar al boceto rectángulos utilizando la regla proporcionada.
(c)
baf(x)dx Aproximar sumando las áreas de los rectángulos.

27. 33x2dx, con 6 rectángulos usando la Regla de la Mano Izquierda.

28. 20(5x2)dx, con 4 rectángulos usando la Regla de Punto Medio.

29. π0sinxdx, con 6 rectángulos usando la Regla de la Mano Derecha.

30. 302xdx, con 5 rectángulos usando la Regla de la Mano Izquierda.

31. 21lnxdx, con 3 rectángulos usando la Regla de Punto Medio.

32. 911xdx, con 4 rectángulos usando la Regla de la Mano Derecha.

En los Ejercicios 33-38
baf(x)dx se da una integral definida
. Como se demuestra en los Ejemplos 123 y 124, haga lo siguiente.
(a) Encontrar una fórmula para aproximar
baf(x)dx usandon subintervalos y la regla proporcionada.
b) Evaluar la fórmula utilizando
n=10,100 and 1000.
(c) Encontrar el límite de la fórmula, comon\to \infty, para encontrar el valor exacto de\int_a^b f(x)\,dx.

33. \int_0^1 x^3\,dx, usando la Regla de la Mano Derecha.

34. \int_{-1}^1 3x^2\,dx, usando la Regla de la Mano Izquierda.

35. \int_{-1}^3 (3x-1)\,dx, utilizando la Regla de Punto Medio.

36. \int_1^4 (2x^2-3)\,dx, usando la Regla de la Mano Izquierda.

37. \int_{-10}^{10}(5-x)\,dx, usando la Regla de la Mano Derecha.

38. \int_0^1 (x^3-x^2)\,dx, usando la Regla de la Mano Derecha.

Revisar

En los Ejercicios 39-44, encuentra una antiderivada de la función dada.

39. f(x) = 5\sec^2 x

40. f(x) = \frac{7}{x}

41. g(t) = 4t^5-5t^3+8

42. g(t) =5\cdot 8^t

43. g(t) =\cos t +\sin t

44. f(x) =\frac{1}{\sqrt{x}}

5.4: El teorema fundamental del cálculo

Términos y Conceptos

1. ¿Cómo se relacionan las integrales definidas e indefinidas?

2. ¿Qué constantes de integración se utilizan más comúnmente a la hora de evaluar integrales definidas?

3. T/F: Sif es una función continua, entonces tambiénF(x) =\int_a^x f(t)\,dt es una función continua.

4. La integral definida se puede utilizar para encontrar “el área bajo una curva”. Dar otros dos usos para integrales definidas.

Problemas

En Ejercicios 5-28, evaluar la integral definida.

5. \int_1^3 (3x^2-2x+1)\,dx

6. \int_0^4 (x-1)^2\,dx

7. \int_{-1}^1 (x^3-x^5)\,dx

8. \int_{\pi/2}^{\pi}\cos x\,dx

9. \int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx

10. \int_1^e \frac{1}{x}\,dx

11. \int_{-1}^1 5^x \,dx

12. \int_{-2}^{-1}(4-2x^3)\,dx

13. \int_0^{\pi}(2\cos x -2\sin x)\,dx

14. \int_1^3 e^x\,dx

15. \int_0^4 \sqrt{t}\,dt

16. \int_9^{25} \frac{1}{\sqrt{t}}\,dt

17. \int_1^8 \sqrt[3]{x}\,dx

18. \int_1^2 \frac{1}{x}\,dx

19. \int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx

20. \int_1^2 \frac{1}{x^3}\,dx

21. \int_0^1 x\,dx

22. \int_0^1 x^2\,dx

23. \int_0^1 x^3\,dx

24. \int_0^1 x^{100}\,dx

25. \int_{-4}^4 dx

26. \int_{-10}^{-5} 3\,dx

27. \int_{-2}^2 0\,dx

28. \int_{\pi/6}^{\pi/3}\csc x \cot x\,dx

29. Explique por qué:
(a)\int_{-1}^1 x^n\,dx=0, cuando n es un entero positivo, impar, y
(b)\int_{-1}^1x^n\,dx =2\int_0^1 x^n \,dx cuando n es un entero positivo, par.

En los Ejercicios 30-33, encuentra un valor c garantizado por el Teorema del Valor Medio.

30. \int_0^2 x^2\,dx

31. \int_{-2}^2 x^2\,dx

32. \int_0^1 e^x\,dx

33\int_0^16 \sqrt{x}\,dx

En Ejercicios 34-39, encuentra el valor promedio de la función en el intervalo dado.

34. f(x) =\sin x \text{ on }[0,\pi/2]

35. y =\sin x \text{ on }[0,\pi]

36. y = x \text{ on }[0,4]

37. y =x^2 \text{ on }[0,4]

38. y =x^3 \text{ on }[0,4]

39. g(t) =1/t \text{ on }[1,e]

En los Ejercicios 40-44, se da una función de velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta. Encuentra el desplazamiento del objeto en el intervalo de tiempo dado.

40. v(t) =-32t+20pies/s encendido [0,5].

41. v(t) =-32t+200pies/s el [0,10].

42. v(t) =2^tmph en [-1,1].

43. v(t) =\cos tpies/s encendido[0,3\pi /2].

44. v(t) =\sqrt[4]{t}pies/s el [0,16].

En los Ejercicios 45-48, se da una función de aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta. Encuentra el cambio de la velocidad del objeto en el intervalo de tiempo dado.

45. a(t) =-32pies/s el [0,2].

46. a(t) =10pies/s encendido [0,5].

47. a(t) =tpies/s^2 el [0,2].

48. a(t) =\cos tpies/s^2 encendido[0,\pi].

En los Ejercicios 49-52, esboza las funciones dadas y afina el área de la región cerrada.

49. y =2x,\, y=5x,\text{ and }x=3.

50. y=-x+1,\,y=3x+6,\,x=2\text{ and }x=-1.

51. y=x^2-2x+5,\,y=5x-5.

52. y = 2x^2+2x-5,\,y=x^2+3x+7.

En Ejercicios 53-56, encuentraF'(x).

53. F(x) =\int_2^{x^3+x}\frac{1}{t}\,dt

54. F(x) = \int_{x^3}^0 t^3\,dt

55. F(x)=\frac{x}{x^2}(t+2)\,dt

56. F(x) =\int_{\ln x}^{e^x}\sin t\,dt

5.5: Integración Numérica

Términos y Conceptos

1. T/F: La regla de Simpson es un método de aproximación de antiderivados.

2. ¿Cuáles son las dos situaciones básicas en las que es necesario aproximar el valor de una integral definida?

3. ¿Por qué rara vez se usan las Reglas de Mano Izquierda y Derecha?

Problemas

En los Ejercicios 4-11 se da una integral definida.
a) Aproximación a la integral definida con la Regla Trapezoidal y
n=4.
(b) Aproximar la integral definitiva con la Regla de Simpson y
n=4.
c) Encontrar el valor exacto de la integral.

4. \int_{-1}^1 x^2\,dx

5. \int_{0}^{10} 5x\,dx

6. \int_{0}^{\pi} \sin x\,dx

7. \int_{0}^{4} \sqrt{x}\,dx

8. \int_{0}^{3} (x^3+2x^2-5x+7)\,dx

9. \int_{0}^{1} x^4\,dx

10. \int_{0}^{2x} \cos x\,dx

11. \int_{-3}^{3} \sqrt{9-x^2}\,dx

En los Ejercicios 12-19, aproximar la integral definitiva con la Regla Trapezoidal y la Regla de Simpson, conn=6.

12. \int_{0}^{1}\cos (x^2)\,dx

13. \int_{-1}^{1}e^{x^2}\,dx

14. \int_{0}^{5}\sqrt{x^2+1}\,dx

15. \int_{0}^{\pi}x\sin x\,dx

16. \int_{0}^{\pi/2}\sqrt{\cos x}\,dx

17. \int_{1}^{4}\ln x\,dx

18. \int_{-1}^{1}\frac{1}{\sin x +2}\,dx

19. \int_{0}^{6}\frac{1}{\sin x +2}\,dx

En los Ejercicios 20-23, encontrar n tal que el error al aproximar la integral definida dada sea menor que 0.0001 al usar:
(a) la Regla Trapezoidal
(b) Regla de Simpson

20. \int_{0}^{\pi} \sin x\,dx

21. \int_{1}^{4}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx

22. \int_{0}^{\pi} \cos (x^2)\,dx

23. \int_{0}^{5} x^4\,dx

En Ejercicios 24-25, se da una región. Encuentra el área de la región usando la Regla de Simpson:
(a) donde las medidas están en centímetros, tomadas en incrementos de 1cm, y
(b) donde las medidas están en cientos de yardas, tomadas en incrementos de 100 yd.

24.
5524.PNG

25.
5525.PNG


5.E: Aplicaciones de Integración (Ejercicios) is shared under a CC BY-NC license and was authored, remixed, and/or curated by LibreTexts.

Support Center

How can we help?