5.E: Aplicaciones de Integración (Ejercicios)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
5.1: Antiderivados e Integración Indefinida
Términos y Conceptos
1. Define el término “antiderivado” en sus propias palabras
2. ¿Es más exacto referirse a “la” antiderivada def(x) o “una” antiderivada def(x)?
3. Usa tus propias palabras para definir la integral indefinida def(x).
4. Rellene los espacios en blanco: “Las operaciones inversas hacen las cosas ____ en el orden _____”.
5. ¿Qué es un “problema de valor inicial”?
6. La derivada de una función position es una función _____.
7. El antiderivado de una función de aceleración es una función ______.
Problemas
En los Ejercicios 8-26, evaluar la integral indefinida dada.
8. ∫3x3dx
9. ∫x8dx
10. ∫(10x2−2)dx
11. ∫dt
12. ∫1ds
13. ∫13t2dt
14. ∫1t2dt
15. ∫1√xdx
16. ∫sec2θdθ
17. ∫sinθdθ
18. ∫(secxtanx+cscxcotx)dx
19. ∫5eθdθ
20. ∫3tdt
21. ∫5t2dt
22. ∫(2t+3)2dt
23. ∫(t2+3)(t3−2t)dt
24. ∫x2x3dx
25. ∫eπdx
26. ∫adx
27. Este problema investiga por qué el Teorema 35 afirma que∫1xdx=ln|x|+C.
a) ¿Cuál es el dominioy=lnx?
(b) Encontrarddx(lnx).
c) ¿Cuál es el dominioy=ln(−x)?
(d) Encontrarddx((ln(−x)).
(e) Debe encontrar que1/x tiene dos tipos de antiderivados, dependiendo de six>0 ox<0. En una expresión, da una fórmula para∫1xdx que tome en cuenta estos diferentes dominios, y explique su respuesta.
En los Ejercicios 28-38, encuentraf(x) descrito por el problema de valor inicial dado.
28. f′(x)=sinx and f(0)=2
29. f′(x)=5ex and f(0)=10
30. f′(x)=4x3−3x2 and f(−1)=9
31. f′(x)=sec2x and f(π/4)=5
32. f′(x)=7x and f(2)=1
33. f″(x)=5 and f′(0)=7,f(0)=3
34. f″(x)=7x and f′(1)=−1,f(1)=10
35. f″(x)=5ex and f′(0)=3,f(0)=5
36. f″(θ)=sinθ and f′(π)=2,f(π)=4
37. f″(x)=24x2+2x−cosx and f′(0)=5,f(0)=0
38. f″(x)=0 and f′(1)=3,f(1)=1
Revisar
39. Utilice la información obtenida de la primera y segunda derivada para bosquejarf(x)=1ex+1.
40. Dadoy=x2excosx, encuentrady.
5.2: La Integral Definitiva
Términos y Conceptos
1. ¿Qué es el “área total firmada”?
2. ¿Qué es el “desplazamiento”?
3. Qué es∫33sinxdx
4. Dar una sola integral definida que tenga el mismo valor que∫10(2x+3)dx+∫21(2x+3)dx.
Problemas
En los Ejercicios 5-9,f(x) se da una gráfica de una función. Utilizando la geometría de la gráfica, evaluar las integrales definidas.
5.
a)∫10(−2x+4)dx
b)∫20(−2x+4)dx
c∫30(−2x+4)dx
) d∫31(−2x+4)dx
) e∫42(−2x+4)dx
) f)∫10(−6x+12)dx
6.
a)∫20f(x)dx
b)∫30f(x)dx
c∫50f(x)dx
) d∫52f(x)dx
) e∫35f(x)dx
) f)∫30f(x)dx
7.
a)∫20f(x)dx
b)∫42f(x)dx
c∫422f(x)dx
) d∫104xdx
) e∫32(2x−4)dx
) f)∫32(4x−8)dx
8.
a)∫10(x−1)dx
b)∫20(x−1)dx
c∫30(x−1)dx
) d∫32(x−1)dx
) e∫41(x−1)dx
) f)∫41((x−1)+1)dx
9.
a)∫20f(x)dx
b)∫42f(x)dx
c)∫40f(x)dx
d)∫405f(x)dx
En los Ejercicios 10-13,f(x) se da una gráfica de una función; los números dentro de las regiones sombreadas dan el área de esa región. Evaluar las integrales definidas utilizando esta información de área.
10.
a)∫10f(x)dx
b)∫20f(x)dx
c)∫30f(x)dx
d)∫21−3f(x)dx
11.
a)∫20f(x)dx
b)∫42f(x)dx
c)∫40f(x)dx
d)∫10f(x)dx
12.
a)∫−1−2f(x)dx
b)∫21f(x)dx
c)∫1−1f(x)dx
d)∫10f(x)dx
13.
a)∫205x2dx
b)∫20(x2+1)dx
c)∫31(x−1)2dx
d)∫42((x−2)+5)dx
En los Ejercicios 14-15, se da una gráfica de la función de velocidad de un objeto que se mueve en línea recta. Contesta las preguntas con base en esa gráfica.
14.
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuál es el desplazamiento total del objeto en [0,3]?
15.
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuál es el desplazamiento total del objeto en [0,5]?
16. Un objeto es arrojado hacia arriba con una velocidad, en pies/s, dada porv(t)=−32t+64, dondet está en segundos, desde una altura de 48 pies.
(a) ¿Cuál es la velocidad máxima del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento máximo del objeto?
c) ¿Cuándo ocurre el desplazamiento máximo?
d) ¿Cuándo alcanzará el objeto una altura de 0? (Pista: encontrar cuando el desplazamiento es -48ft.)
17. Un objeto es arrojado hacia arriba con una velocidad, en pies/s, dada porv(t)=−32t+96, dondet es segundos, desde una altura de 64 pies.
(a) ¿Cuál es la velocidad inicial del objeto?
b) ¿Cuál es el desplazamiento del objeto 0?
c) ¿Cuánto tiempo tarda el objeto en volver a su altura inicial?
(d) ¿Cuándo alcanzará el objeto una altura de 210 pies?
En Ejercicios 18-21, vamos
- ∫20f(x)dx=5,
- ∫30f(x)dx=7,
- ∫20g(x)dx=−3, y
- ∫32g(x)dx=5.
Utilice estos valores para evaluar las integrales definidas dadas.
18. ∫20(f(x)+g(x))dx
19. ∫30(f(x)−g(x))dx
20. ∫32(3f(x)+2g(x))dx
21. Encuentra valores paraa yb tal que
∫30(af(x)+bg(x))dx=0
En Ejercicios 22-25, vamos
- ∫30s(t)dt=10,
- ∫53s(t)dt=8,
- ∫53r(t)dt=−1, y
- ∫50r(t)dt=11.
Utilice estos valores para evaluar las integrales definidas dadas.
22. ∫30(s(t)+r(t))dt
23. ∫05(s(t)−r(t))dt
24. ∫33(πs(t)−7r(t))dt
25. Encuentra valores para a y b de tal manera que
∫50(ar(t)+bs(t))dt=0
Revisar
En los Ejercicios 26-29, evaluar la integral indefinida dada.
26. ∫(x3−2x2+7x−9)dx
27. ∫(sinx−cosx+sec2x)dx
28. ∫(3√t+1t2+2t)dt
29. ∫(1x−cscxcotx)dx
5.3: Sumas de Riemann
Términos y Conceptos
1. Una técnica fundamental de cálculo es usar ________ para refinar aproximaciones para obtener una respuesta exacta.
2. ¿Cuál es el límite superior en la suma∑14i=7(48i−201)?
3. Esta sección aproxima integrales definidas usando qué forma geométrica?
4. T/F: Una suma que usa la regla de la mano derecha es un ejemplo de una suma de Riemann.
Problemas
En los Ejercicios 5-11, escribe cada término de la suma y calcula la suma.
5. ∑4i=2i2
6. ∑3i=−1(4i−2)
7. ∑2i=−2sin(πi/2)
8. ∑5i=11i
9. ∑6i=1(−1)ii
10. ∑4i=1(1i−1i+1)
11. ∑5i=0(−1)icos(πi)
En los Ejercicios 12-15, escriba cada suma en notación de suma.
12. 3+6+9+12+15
13. −1+0+3+8+15+24+35+48+63
14. 12+23+34+45
15. 1−e+e2−e3+e4
En los Ejercicios 16-22, evaluar la suma utilizando el Teorema 37.
16. ∑2i=15i
17. ∑1i=10(3i2−2i)
18. ∑1i=15(2i3−10)
19. ∑1i=10(−4i3+10i2−7i+11)
20. ∑1i=10(i3−3t2+2i+7)
21. 1+2+3+...+99+100
22. 1+4+9+...+361+400
Teorema 37 estados
∑ni=1ai=∑+i=1kai+∑ni=k+1ai, entonces
∑ni=k+1ai=∑ni=1ai−∑ki=1ai.
Utilice este hecho, junto con otras partes del Teorema 37, para evaluar las sumas dadas en los Ejercicios 23-26.
23. ∑2i=110i
24. ∑2i=165i3
25. ∑1i=724
26. ∑1i=504i3
En los Ejercicios 27-32
∫baf(x)dx se da una integral definida.
a) Gráficaf(x) sobre [a, b].
(b) Agregar al boceto rectángulos utilizando la regla proporcionada.
(c)∫baf(x)dx Aproximar sumando las áreas de los rectángulos.
27. ∫3−3x2dx, con 6 rectángulos usando la Regla de la Mano Izquierda.
28. ∫20(5−x2)dx, con 4 rectángulos usando la Regla de Punto Medio.
29. ∫π0sinxdx, con 6 rectángulos usando la Regla de la Mano Derecha.
30. ∫302xdx, con 5 rectángulos usando la Regla de la Mano Izquierda.
31. ∫21lnxdx, con 3 rectángulos usando la Regla de Punto Medio.
32. ∫911xdx, con 4 rectángulos usando la Regla de la Mano Derecha.
En los Ejercicios 33-38
∫baf(x)dx se da una integral definida. Como se demuestra en los Ejemplos 123 y 124, haga lo siguiente.
(a) Encontrar una fórmula para aproximar∫baf(x)dx usandon subintervalos y la regla proporcionada.
b) Evaluar la fórmula utilizandon=10,100 and 1000.
(c) Encontrar el límite de la fórmula, comon→∞, para encontrar el valor exacto de∫baf(x)dx.
33. ∫10x3dx, usando la Regla de la Mano Derecha.
34. ∫1−13x2dx, usando la Regla de la Mano Izquierda.
35. ∫3−1(3x−1)dx, utilizando la Regla de Punto Medio.
36. ∫41(2x2−3)dx, usando la Regla de la Mano Izquierda.
37. ∫10−10(5−x)dx, usando la Regla de la Mano Derecha.
38. ∫10(x3−x2)dx, usando la Regla de la Mano Derecha.
Revisar
En los Ejercicios 39-44, encuentra una antiderivada de la función dada.
39. f(x)=5sec2x
40. f(x)=7x
41. g(t)=4t5−5t3+8
42. g(t)=5⋅8t
43. g(t)=cost+sint
44. f(x)=1√x
5.4: El teorema fundamental del cálculo
Términos y Conceptos
1. ¿Cómo se relacionan las integrales definidas e indefinidas?
2. ¿Qué constantes de integración se utilizan más comúnmente a la hora de evaluar integrales definidas?
3. T/F: Sif es una función continua, entonces tambiénF(x)=∫xaf(t)dt es una función continua.
4. La integral definida se puede utilizar para encontrar “el área bajo una curva”. Dar otros dos usos para integrales definidas.
Problemas
En Ejercicios 5-28, evaluar la integral definida.
5. ∫31(3x2−2x+1)dx
6. ∫40(x−1)2dx
7. ∫1−1(x3−x5)dx
8. ∫ππ/2cosxdx
9. ∫π/40sec2xdx
10. ∫e11xdx
11. ∫1−15xdx
12. ∫−1−2(4−2x3)dx
13. ∫π0(2cosx−2sinx)dx
14. ∫31exdx
15. ∫40√tdt
16. ∫2591√tdt
17. ∫813√xdx
18. ∫211xdx
19. ∫211x2dx
20. ∫211x3dx
21. ∫10xdx
22. ∫10x2dx
23. ∫10x3dx
24. ∫10x100dx
25. ∫4−4dx
26. ∫−5−103dx
27. ∫2−20dx
28. ∫π/3π/6cscxcotxdx
29. Explique por qué:
(a)∫1−1xndx=0, cuando n es un entero positivo, impar, y
(b)∫1−1xndx=2∫10xndx cuando n es un entero positivo, par.
En los Ejercicios 30-33, encuentra un valor c garantizado por el Teorema del Valor Medio.
30. ∫20x2dx
31. ∫2−2x2dx
32. ∫10exdx
33∫106√xdx
En Ejercicios 34-39, encuentra el valor promedio de la función en el intervalo dado.
34. f(x)=sinx on [0,π/2]
35. y=sinx on [0,π]
36. y=x on [0,4]
37. y=x2 on [0,4]
38. y=x3 on [0,4]
39. g(t)=1/t on [1,e]
En los Ejercicios 40-44, se da una función de velocidad de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta. Encuentra el desplazamiento del objeto en el intervalo de tiempo dado.
40. v(t)=−32t+20pies/s encendido [0,5].
41. v(t)=−32t+200pies/s el [0,10].
42. v(t)=2tmph en [-1,1].
43. v(t)=costpies/s encendido[0,3π/2].
44. v(t)=4√tpies/s el [0,16].
En los Ejercicios 45-48, se da una función de aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta. Encuentra el cambio de la velocidad del objeto en el intervalo de tiempo dado.
45. a(t)=−32pies/s el [0,2].
46. a(t)=10pies/s encendido [0,5].
47. a(t)=tpies/s2 el [0,2].
48. a(t)=costpies/s2 encendido[0,π].
En los Ejercicios 49-52, esboza las funciones dadas y afina el área de la región cerrada.
49. y=2x,y=5x, and x=3.
50. y=−x+1,y=3x+6,x=2 and x=−1.
51. y=x2−2x+5,y=5x−5.
52. y=2x2+2x−5,y=x2+3x+7.
En Ejercicios 53-56, encuentraF′(x).
53. F(x)=∫x3+x21tdt
54. F(x)=∫0x3t3dt
55. F(x)=xx2(t+2)dt
56. F(x)=∫exlnxsintdt
5.5: Integración Numérica
Términos y Conceptos
1. T/F: La regla de Simpson es un método de aproximación de antiderivados.
2. ¿Cuáles son las dos situaciones básicas en las que es necesario aproximar el valor de una integral definida?
3. ¿Por qué rara vez se usan las Reglas de Mano Izquierda y Derecha?
Problemas
En los Ejercicios 4-11 se da una integral definida.
a) Aproximación a la integral definida con la Regla Trapezoidal yn=4.
(b) Aproximar la integral definitiva con la Regla de Simpson yn=4.
c) Encontrar el valor exacto de la integral.
4. ∫1−1x2dx
5. ∫1005xdx
6. ∫π0sinxdx
7. ∫40√xdx
8. ∫30(x3+2x2−5x+7)dx
9. ∫10x4dx
10. ∫2x0cosxdx
11. ∫3−3√9−x2dx
En los Ejercicios 12-19, aproximar la integral definitiva con la Regla Trapezoidal y la Regla de Simpson, conn=6.
12. ∫10cos(x2)dx
13. ∫1−1ex2dx
14. ∫50√x2+1dx
15. ∫π0xsinxdx
16. ∫π/20√cosxdx
17. ∫41lnxdx
18. ∫1−11sinx+2dx
19. ∫601sinx+2dx
En los Ejercicios 20-23, encontrar n tal que el error al aproximar la integral definida dada sea menor que 0.0001 al usar:
(a) la Regla Trapezoidal
(b) Regla de Simpson
20. ∫π0sinxdx
21. ∫411√xdx
22. ∫π0cos(x2)dx
23. ∫50x4dx
En Ejercicios 24-25, se da una región. Encuentra el área de la región usando la Regla de Simpson:
(a) donde las medidas están en centímetros, tomadas en incrementos de 1cm, y
(b) donde las medidas están en cientos de yardas, tomadas en incrementos de 100 yd.
24.
25.